近獨(dú)立粒子的最概然分布習(xí)題課講解

1、第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 （習(xí)題課）本章題型一、基本概念：1、粒子相空間、自由度；廣義坐標(biāo)、廣義動(dòng)量；粒子微觀狀態(tài)、系統(tǒng)微觀狀態(tài)；經(jīng)典相格與粒子微觀狀態(tài)；系統(tǒng)宏觀態(tài)與系統(tǒng)微觀態(tài)。2、等概率原理（統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的基本假設(shè)） ：平衡態(tài)孤立系統(tǒng)的各個(gè)微觀態(tài)出現(xiàn)的概率相等。最概然分布作為平衡態(tài)下的分布近似。3、近獨(dú)立粒子孤立系統(tǒng)的粒子分布和與一個(gè)分布相對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)的微 觀狀態(tài)數(shù)及各分布出現(xiàn)的幾率、最概然分布 。1, 2, , l ,12al1, 2, , l ,a1,a2, ,al ,與分布 al 對(duì)應(yīng)的微觀狀 態(tài)數(shù)為 al 分布 al 要滿 足的條件是：al Nlal l El系統(tǒng)總的微觀狀態(tài)數(shù) 總

2、al man almal系統(tǒng)某時(shí)刻的微觀狀態(tài)只是其中的一個(gè)。 在宏觀短，微觀長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)（一瞬間）系統(tǒng)經(jīng)歷了所有的 微觀狀態(tài)al man alm 各態(tài)歷經(jīng)假al說(shuō)。且各微觀態(tài)出現(xiàn)的概率相等alalmanalmln al0 alml el -玻耳慈曼分布此分布（宏觀態(tài)）的概率為p almman almman almman alm 1alman almal即：最概然分布幾乎就是 孤立系統(tǒng)的平衡態(tài)分布。l dal4、熱力學(xué)第一定律的統(tǒng)計(jì)解釋：dU dW dQ Ual l dUal d lll 比較可知： dWald ldQl dalll 即：從統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)觀點(diǎn)看， 做功：通過(guò)改變粒子能級(jí)引起內(nèi)能變化； 傳

3、熱：通過(guò)改變粒子分布引起內(nèi)能變化。 二、相關(guān)公式1、分布與微觀狀態(tài)數(shù)N! a、 M .B. al lalM .B. lal! l ll、 B.E. al( l al 1)!B.E. l l a!( l 1)!、l!F.D. al l a!( l al)!、cl alN !al!llal ( h0rl )al2、最概然分布玻耳茲曼分布 al l e l玻色 -愛(ài)因斯坦分布 al費(fèi)米 -狄拉克分布 all本章題型、第一類是求粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在 空間的相軌跡 :關(guān) 鍵 是 由已 知 條件寫 出 廣 義坐 標(biāo) q 和 廣義動(dòng) 量 p 滿 足 的 函數(shù)關(guān) 系f q, p 0 。、第二類是求粒子能態(tài)密度 D

4、；已知粒子的哈密頓量 H 與廣義坐標(biāo) q 和廣義動(dòng)量 p 滿足的函數(shù)關(guān)系H H q, p ，求粒子能態(tài)密度 D 。不同方法有不同步驟，方法有： 方法一：量子力學(xué)方法。第一步，解薛定諤方程 H q,p q, p ，求能量本證值 i 第二步，求出粒子能量小于 的量子態(tài)數(shù)第三步，求出粒子能量在 到 d 范圍的量子態(tài)數(shù) D d 。方法二：半經(jīng)典近似法。該方法的依據(jù)是：對(duì)自由度為 r 的一個(gè)粒子，對(duì)每一個(gè)可能的狀態(tài)對(duì)于 空 間中大小為 hr 的一個(gè)相體積元，因此，粒子能量小于的量子態(tài)數(shù)為dqdphrH q ,p h由此求得粒子能量在到范圍的量子態(tài)數(shù) D d d d 。d計(jì)算步驟：第一步、寫出粒子自由度

5、r 和粒子哈密頓 H H q,p 。第二步、由dqdr p求出粒子能量小于的狀態(tài)數(shù)。H q, p h第三步、求出粒子態(tài)密度 D d 。例 1 、對(duì)于二維自由粒子，在長(zhǎng)度 L2內(nèi)，求粒子在 到 d 的能量范圍內(nèi)量子態(tài)數(shù) D d 。方法一：解，量子力學(xué)方法 :邊長(zhǎng)為 L 的正方形平面內(nèi)，粒子哈密頓算符的能量本征方程為H 1 P?X2 PY22m設(shè)： x,y X xY y 則2222XYXY1 d2X21 d2Y22m22m x2y2XYXYX dx2Y dy2 21 d2 X2 1 d2Y2 2 2 2mX1 ddxX2kx;Y1 ddyY2ky;其中kx ky 2m2解得： x,y X x Y

6、y 1 eikxx kyy 1 e pxx pyy利用周期性邊界條件：LL2,yx, Lx, 2x, L2 得：2pxL nx; pyL ny ,nx ;ny 0, 1, 2由上式可知，量子數(shù) nx，ny完全決定了粒子的量子狀態(tài)。以 nx，ny 為直角坐標(biāo)軸，構(gòu)成二維量子數(shù)空間，每一組數(shù) nx，ny 對(duì)應(yīng)一個(gè)點(diǎn)，它代表個(gè)量子態(tài)，這種點(diǎn)成為代表點(diǎn)，此空間中邊長(zhǎng)為 1 的一個(gè)正方形（面積為 1）內(nèi)有 1 個(gè)代表點(diǎn)，即相應(yīng)于 1 個(gè)量子態(tài)。1 2 2 2由 1 px2 py2 2 2 nx2 n y2 可知，在數(shù)空間中能量 的等能線為半徑 2mmL21 2 122R nx2 ny2 2 mL2 2

7、的圓，它所包圍的面積為 R 2 mL 2 ，而單位面積2 2 2 2 2對(duì)應(yīng) 1個(gè)量子態(tài)，所以粒子能量小于 的量子態(tài)數(shù)為 mL 2 ，所以粒2子在 到 d 的能量范圍內(nèi)的量子態(tài)數(shù) D d d d 2 L2 mddh 2其中： D2 L2 m 為態(tài)密度，顯然此情況在數(shù)空間態(tài)密度是均勻的。h方法二： 解，半經(jīng)典方法 : 由 1 px2 p y2 可知，在二維動(dòng)量空間中，2m等能線滿足 px2 py2 2m ，等能線為半徑等于 2m 的圓，由此求得粒子能量小于 的量子態(tài)數(shù)：dxdydp xdpy 2 L22 x y 2 L2 mA p x2 py2 2 mh h2 所以粒子在 到 d 的能量范圍內(nèi)的

8、量子態(tài)數(shù) D d d d 2 L2 mddh2、第三類確定孤立系統(tǒng)的粒子分布和與一個(gè)分布相對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)的微觀狀 態(tài)數(shù)及各分布出現(xiàn)的幾率或求最概然分布。例 2：（1）假設(shè)某種類型分子的許可能級(jí)為 0、 、 2 、 3 、，而 且都是非簡(jiǎn)并的，如果體系含有 6 個(gè)分子，問(wèn)與總能量 3 相聯(lián)系的是什 么樣的分布？并根據(jù)公式 M.B N!lal 計(jì)算每種分布的微觀態(tài)數(shù) D ,al ! ll并由此確定各種分布的幾率（設(shè)各種微觀態(tài)出現(xiàn)的幾率相等） 。（2）、在題（ 1）中，如 0 和 兩能級(jí)是非簡(jiǎn)并的，而 2 和3 兩個(gè)能級(jí)分 別是 6 度和 10 度簡(jiǎn)并。試重復(fù)上面的計(jì)算。解：（1）粒子的在各能級(jí)的分布可

9、以描述如下：能級(jí)1, 2 , 3， 4能量值0, ,2 ,3簡(jiǎn)并度1,1,1，1 ,分布數(shù)a1,a2, a4,分布 al 要滿足的條件是：a l N 6 ，al l E 3ll滿足上述限制條件的分布可以有：D 1 : al 5,0,0,1,0D2 : al 4,1,1,0,0D 3 : al 3,3,0,0,0則各分布所對(duì)應(yīng)的微觀態(tài)數(shù)為：D1 6! 1 6D1 5!D 2 6! 1 30D 2 4!D36! 1 203!3!所以此種情況下體系的總的微觀狀態(tài)數(shù)為總12356各分布的幾率為：PD1D總1 566 0.107PD2D230 0.53656PDD3200.357562）粒子的在各能級(jí)的

10、分布可以描述如下：能級(jí)1, 2 , 3， 4能量值0, ,2 ,3簡(jiǎn)并度1,1,6，10 ,分布數(shù)a1,a2, a4,分布 al 要滿足的條件是：al N 6 ，al l Ell3滿足上述限制條件的分布可以有：D1 : al5,0,0,1,0D2 : al4,1,1,0,0D3 : al3,3,0,0,0則各分布所對(duì)應(yīng)的微觀態(tài)數(shù)為：6! 10 605!6! 64!1806! 13!3!20所以此種情況下體系的總的微觀狀態(tài)數(shù)為總 1 2 3 260各分布的幾率為：D1 60D 2 1 8 0D3 20PDD10.230 PDD 20.6 9 2 PDD30.0 7 7D1總 260D2 總 2

11、6 0D 3 總 2 6 0例 3： 設(shè)系統(tǒng)含有兩種粒子，其粒子數(shù)分別為 N 和 N.粒子間的相互作 用很弱，可看作是近獨(dú)立的。 假設(shè)粒子可分辨， 處在一個(gè)個(gè)體量子態(tài)的粒子數(shù)不受限制。試證明，在平衡態(tài)下兩種粒子的最概然分布分別為： allel 和 all e l其中 l和 l 是兩種粒子的能級(jí)， l 和 l 是能級(jí)簡(jiǎn)并度。證： 粒子 A 能級(jí)，粒子數(shù)分布： l al 簡(jiǎn)并度 l粒子 B 能級(jí)，粒子數(shù)分布： l al 簡(jiǎn)并度 l體系兩種粒子分布要滿足的條件為：al N ， al Nal lal l El l l l分布 al ，對(duì)應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)為N!al!分布 al ，對(duì)應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)為Na!l

12、!l lall則系統(tǒng)的微觀態(tài)數(shù)為 1 2上式表明：當(dāng)?shù)谝活惲Ｗ拥姆植紴?al ，而同時(shí)第二類粒子的分布為 al時(shí)系統(tǒng)的微觀態(tài)數(shù)。在平衡下兩種粒子的最可幾分布是對(duì)應(yīng)于在限制條件al N ， al Nllal lal l E下使 lnln 1 2為極大的分布。利用斯特林公式可得：llln ln 1 2 NlnNallnalalln l N lnNal lnalalln l 由lln 1 2 0 ，得ln 1 2 ln al alllln all al 0而由限制條件可得：al 0 ，al 0lll al l al0l引入拉氏不定乘子 ，得ln 1 2alll alln alllln allln a

13、ll 0ll0all explall expla all all alln ll l l l l根據(jù)拉格朗日未定乘子法原理，每個(gè) al 及 al 的系數(shù)都等于零，所以得：討論：（ 1）、上面的推導(dǎo)表明，兩種粒子各自遵從玻耳茲曼分布，兩分布的，不同，但有共同的 ，原因在于開始就假設(shè)兩種粒子的粒子數(shù)和能量具 有確定值，這意味著在相互作用中兩粒子可以交換能量， 但不會(huì)相互轉(zhuǎn)化。 從上述結(jié)果還可看出，由兩個(gè)弱相互作用的子系統(tǒng)構(gòu)成的系統(tǒng)達(dá)到平衡 時(shí)，兩子系統(tǒng)有相同的（ 2）、如果把每一種粒子看作是一個(gè)子系統(tǒng)， 則總系統(tǒng)是由兩個(gè)子系統(tǒng)組 成，在熱平衡時(shí)，兩子系統(tǒng)的溫度相等。 由于在熱平衡時(shí)， 兩子系統(tǒng)的溫

14、 度相等。從上面打推導(dǎo)中可看出，在熱平衡時(shí)，兩子系統(tǒng)的 是相同的， 由此可見，參數(shù) 是一個(gè)與溫度有關(guān)的量。例 4： 設(shè)系統(tǒng)含有兩種粒子，其粒子數(shù)分別為 N 和 N.粒子間的相互作 用很弱， 可看作是近獨(dú)立的。 如果粒子玻色子或費(fèi)米子。 試導(dǎo)出，在平衡 態(tài)下兩種粒子的最概然分布分別。解： 考慮一般性，系統(tǒng)由 N個(gè)玻色子和 N.個(gè)費(fèi)米子組成， 總能量為 E， 體積為 V 時(shí)，粒子的分布 al 和 al 必須滿足al N ， al Nal lal l El l l l才有可能實(shí)現(xiàn)。玻粒子 A 能級(jí)，粒子數(shù)分布： l al簡(jiǎn)并度 l費(fèi)米粒子 B 能級(jí)，粒子數(shù)分布： l al 簡(jiǎn)并度 l 玻色子處于分布

15、 al 時(shí)，對(duì)應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)為l al 1 ! al ! l 1!費(fèi)米子處于分布 al 時(shí)，對(duì)應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)為al ! l al !則系統(tǒng)的微觀態(tài)數(shù)為 0上式表明：當(dāng)?shù)谝活惲Ｗ拥姆植紴?al ，而同時(shí)第二類粒子的分布為 al時(shí)系統(tǒng)的微觀態(tài)數(shù)。 在平衡下兩種粒子的最可幾分布是對(duì)應(yīng)于在限制條件al N ， al Nll al lal l E 下使 ln 0 ln 為極大的分布。利用斯特林公式可ll得：ln 0 lnlal ln lalalln all ln l lalln lalal ln all ln lll由 ln 0 ，得ln ln l al alln l al al 0la lla l而由

16、限制條件可得：al 0 ，al 0 l a ll a l 0l l l l引入拉氏不定乘子 ， ， ，得lnalall all all l l lln l all alln l all al 0lall l lall l根據(jù)拉格朗日未定乘子法原理，每個(gè) al 及 al 的系數(shù)都等于零，所以得：ln l alall0lale l 1lnl alall 0al拉 氏 不 定 乘 子 ， ， 由 限 制 條 件 al N ，al Nllal lal l E 確定。ll上式表明，兩種粒子分別遵從玻色分布和費(fèi)米分布，其中 ， 不同，但相等。第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布習(xí)題解答習(xí)題 6.1 試證明，在體

17、積 V 內(nèi)，在 到 d 的能量范圍內(nèi)，三維自由粒子的量子態(tài)數(shù)為： D( )d 2 3V 2m 32 12 dh3證明：P22mdn (P, , )VP 2 sin dPd d1）進(jìn)行變量代換：1 1 1 1 P (2m ) 2， dP (2m) 2 1 2d2h3代入（ 1）式dn( , , )1 12V 2m sin2d d d2h32m 12對(duì) , 積分mV 1 2 1dn 3 2 d sin d d (2m) 22 3V 2m 2 2d D ( )d 證畢 h習(xí)題 6.2 試證明，對(duì)子一維自由粒子，再長(zhǎng)度 L 內(nèi)，在 到 d 的能量范圍內(nèi)，量子態(tài)數(shù)為：D( )d 2L證：一維自由粒子，

18、Px 附近的量子態(tài)為L(zhǎng)dndPx ；h2Px2Px dPxx d x x 2m m2m 1 dPx2 dPxmmL2于是。 D d dhm而 Px 對(duì)應(yīng)同一能量 ，于是： D 2 L 22L 2x h mh m習(xí)題 6.3 試證明，對(duì)于二維自由粒子，在長(zhǎng)度 L2 內(nèi)，在 到 d 的能量范圍內(nèi)，量子態(tài)數(shù)為Dd2 L2md證：二維；在 Px,Py 附近 dPxdPy區(qū)間上內(nèi)的粒子數(shù)。SSdn 2 dPxdPy 2 PdPd(s面積 )hh因 P 只與 P 有關(guān)( P0) ,故對(duì) 積分可得：2mDd2Sh2 PdP2 S P2h22m2 mSm 2 dh22 mS(s=L2)cp 。試求在體習(xí)題 6.4 在極端相對(duì)論情形下，粒子的能量動(dòng)量關(guān)系為 積V 內(nèi)，在 到 d 的能量范圍內(nèi)能量范圍內(nèi)三維粒子的量子態(tài)數(shù)。 解：dn V3 dpxdpydpz V3 p2 sin dpd dhh由于 cp 只與 p 有關(guān)，與 、 無(wú)關(guān)，于是2VD( )dV3 p2 sin dpd d0 0 h34Vp2dp4V2(hc)3以上已經(jīng)代入了cp d c d p于是，D( )4 V