2021年人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)課時(shí)學(xué)案第3章《3.3.2 第1課時(shí) 拋物線的簡單幾何性質(zhì)》(含解析)

1、33.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)第1課時(shí) 拋物線的簡單幾何性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握拋物線的幾何性質(zhì).2.掌握直線與拋物線的位置關(guān)系的判斷及相關(guān)問題知識(shí)點(diǎn)一拋物線的簡單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)圖形范圍x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR對(duì)稱軸x軸x軸y軸y軸焦點(diǎn)坐標(biāo)FFFF準(zhǔn)線方程xxyy頂點(diǎn)坐標(biāo)O(0,0)離心率e1通徑長2p知識(shí)點(diǎn)二直線與拋物線的位置關(guān)系直線ykxb與拋物線y22px(p0)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)決定于關(guān)于x的方程組解的個(gè)數(shù)，即二次方程k2x22(kbp)xb20解的個(gè)數(shù)當(dāng)k0時(shí)，若0，則直線與拋物線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)；若0，直

2、線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)；若0)，O為拋物線的頂點(diǎn)，OAOB，則AOB的面積是()A8p2 B4p2 C2p2 Dp2答案B解析因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸為x軸，內(nèi)接AOB為等腰直角三角形，所以由拋物線的對(duì)稱性知，直線AB與拋物線的對(duì)稱軸垂直，從而直線OA與x軸的夾角為45.由方程組得或不妨設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2p，2p)和(2p，2p)所以|AB|4p，所以SAOB4p2p4p2.(2)已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸，且與圓x2y24相交于A，B兩點(diǎn)，|AB|2，求拋物線方程解由已知，拋物線的焦點(diǎn)可能在x軸正半軸上，也可能在負(fù)半軸上故可設(shè)拋物線方程為y2ax(a0)設(shè)拋物線與圓x2y2

3、4的交點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)拋物線y2ax(a0)與圓x2y24都關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)A與B關(guān)于x軸對(duì)稱，|y1|y2|且|y1|y2|2，|y1|y2|，代入圓x2y24，得x234，x1，A(1，)或A(1，)，代入拋物線方程，得()2a，a3.所求拋物線方程是y23x或y23x.反思感悟把握三個(gè)要點(diǎn)確定拋物線的簡單幾何性質(zhì)(1)開口：由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程看圖象開口，關(guān)鍵是看準(zhǔn)二次項(xiàng)是x還是y，一次項(xiàng)的系數(shù)是正還是負(fù)(2)關(guān)系：頂點(diǎn)位于焦點(diǎn)與準(zhǔn)線中間，準(zhǔn)線垂直于對(duì)稱軸(3)定值：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p；過焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的弦(又稱為通徑)長為2p；離心率恒等于1.跟蹤訓(xùn)練1(1)邊長為

4、1的等邊三角形AOB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，ABx軸，以O(shè)為頂點(diǎn)且過A，B的拋物線方程是()Ay2x By2xCy2x Dy2x答案C解析設(shè)拋物線方程為y2ax(a0)又A(取點(diǎn)A在x軸上方)，則有a，解得a，所以拋物線方程為y2x.故選C.(2)已知雙曲線1(a0，b0)的兩條漸近線與拋物線y22px(p0)的準(zhǔn)線分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若雙曲線的離心率為2，AOB的面積為，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A(2,0) B(1,0)C(8,0) D(4,0)答案B解析因?yàn)?，所以4，于是b23a2，則，故雙曲線的兩條漸近線方程為yx.而拋物線y22px(p0)的準(zhǔn)線方程為x，不妨設(shè)A，B，則|AB

5、|p，又三角形的高為，則SAOBp，即p24.因?yàn)閜0，所以p2，故拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)二、直線與拋物線的位置關(guān)系命題角度1直線與拋物線位置關(guān)系的判斷例2已知直線l：ykx1，拋物線C：y24x，當(dāng)k為何值時(shí)，l與C：只有一個(gè)公共點(diǎn)；有兩個(gè)公共點(diǎn)；沒有公共點(diǎn)解聯(lián)立消去y，得k2x2(2k4)x10.(*)當(dāng)k0時(shí)，(*)式只有一個(gè)解x，y1，直線l與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)直線l平行于x軸當(dāng)k0時(shí)，(*)式是一個(gè)一元二次方程，(2k4)24k216(1k)當(dāng)0，即k1，且k0時(shí)，l與C有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)直線l與C相交；當(dāng)0，即k1時(shí)，l與C有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)直線l與C相切；當(dāng)1時(shí)，l與C沒

6、有公共點(diǎn)，此時(shí)直線l與C相離綜上所述，當(dāng)k1或0時(shí)，l與C有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)k1時(shí)，l與C沒有公共點(diǎn)命題角度2直線與拋物線的相交問題例3已知拋物線方程為y22px(p0)，過此拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|p，求AB所在的直線方程解由題意知焦點(diǎn)F，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，若ABx軸，則|AB|2pp，不滿足題意所以直線AB的斜率存在，設(shè)為k，則直線AB的方程為yk，k0.由消去x，整理得ky22pykp20.由根與系數(shù)的關(guān)系得y1y2，y1y2p2.所以|AB|2pp，解得k2.所以AB所在的直線方程為2xyp0或2xyp0.延伸探究本例條件不變，求弦AB的中

7、點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離解如圖，過A，B，M分別作準(zhǔn)線x的垂線交準(zhǔn)線于點(diǎn)C，D，E.由定義知|AC|BD|p，則梯形ABDC的中位線|ME|p，M點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為pp.反思感悟直線與拋物線的位置關(guān)系(1)設(shè)直線方程時(shí)要特別注意斜率不存在的直線應(yīng)單獨(dú)討論，求解交點(diǎn)時(shí)不要忽略二次項(xiàng)系數(shù)為0的情況(2)一般弦長：|AB|x1x2|y1y2|.(3)焦點(diǎn)弦長：設(shè)焦點(diǎn)的弦的端點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|x1x2p.跟蹤訓(xùn)練2(1)過點(diǎn)P(0,1)與拋物線y2x有且只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有()A4條 B3條C2條 D1條答案B解析如圖，過P可作拋物線的兩條切線，即y軸和l1均與拋物線只有一個(gè)公共

8、點(diǎn)，過P可作一條與x軸平行的直線l2與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)故過點(diǎn)P與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線共3條，故選B.(2)設(shè)拋物線C：x24y焦點(diǎn)為F，直線ykx2與C交于A，B兩點(diǎn)，且25，則k的值為()A2 B1 C1 D2答案A解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，將直線ykx2代入x24y，消去x得y2(44k2)y40，所以y1y24，y1y244k2，拋物線C：x24y的準(zhǔn)線方程為y1，因?yàn)閥11，y21，所以y1y2(y1y2)1444k2125k2.1已知點(diǎn)A(2,3)在拋物線C：y22px(p0)的準(zhǔn)線上，記C的焦點(diǎn)為F，則直線AF的斜率為()A B1 C D答案C解析因?yàn)閽佄?/p>

9、線C：y22px的準(zhǔn)線為x，且點(diǎn)A(2,3)在準(zhǔn)線上，所以2，解得p4，所以y28x，所以焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,0)，故直線AF的斜率k.2(多選)以y軸為對(duì)稱軸的拋物線的通徑(過焦點(diǎn)且與對(duì)稱軸垂直的弦)長為8，若拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，則其方程為()Ay28x By28xCx28y D. x28y答案CD解析設(shè)拋物線方程為x22py或x22py(p0)，依題意得y，代入x22py或x22py得|x|p，2|x|2p8，p4.拋物線方程為x28y或x28y.3設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線y24x的焦點(diǎn)，A是拋物線上一點(diǎn)，若4，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是()A(2，2) B(1，2)C(1,2) D(2,2)答

10、案B解析由題意知F(1,0)，設(shè)A，則，.由4得y02，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，2)，故選B.4拋物線y24x的弦ABx軸，若|AB|4，則焦點(diǎn)F到直線AB的距離為_答案2解析由拋物線的方程可知F(1,0)，由|AB|4且ABx軸得y(2)212，xA3，所求距離為312.5直線ykx2與拋物線y28x有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則k_.答案0或1解析當(dāng)k0時(shí)，直線與拋物線有唯一交點(diǎn)，當(dāng)k0時(shí)，聯(lián)立方程消去y，得k2x24(k2)x40，由題意16(k2)216k20，k1.1知識(shí)清單：(1)拋物線的幾何性質(zhì)(2)直線與拋物線的位置關(guān)系2方法歸納：待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法、代數(shù)法3常見誤區(qū)：四種形式的拋物線性

11、質(zhì)混淆；忽略直線的特殊情況1若拋物線y24x上一點(diǎn)P到x軸的距離為2，則點(diǎn)P到拋物線的焦點(diǎn)F的距離為()A4 B5 C6 D7答案A解析由題意，知拋物線y24x的準(zhǔn)線方程為x1，拋物線y24x上一點(diǎn)P到x軸的距離為2，則P(3，2)，點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線的距離為314，點(diǎn)P到拋物線的焦點(diǎn)F的距離為4.故選A.2過拋物線y24x的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)之和等于5，則這樣的直線()A有且僅有一條 B有且僅有兩條C有無窮多條 D不存在答案B解析當(dāng)斜率不存在時(shí)，x1x22不符合題意當(dāng)斜率存在時(shí)，由焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，可設(shè)直線方程為yk(x1)，k0，由得k2x2(2k24

12、)xk20，x1x25，k2，即k.因而這樣的直線有且僅有兩條3設(shè)拋物線y28x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，PAl，A為垂足如果直線AF的斜率為，那么|PF|等于()A4 B8 C8 D16答案B解析由拋物線方程y28x，可得準(zhǔn)線l：x2，焦點(diǎn)F(2,0)，設(shè)點(diǎn)A(2，n)，n4.P點(diǎn)縱坐標(biāo)為4.由(4)28x，得x6，P點(diǎn)坐標(biāo)為(6,4)，|PF|PA|6(2)|8，故選B.4拋物線y24x與直線2xy40交于兩點(diǎn)A與B，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，則|FA|FB|等于()A2 B3 C5 D7答案D解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|FA|FB|x1x22.由得x25x40，x

13、1x25，x1x227.5已知直線l過拋物線C的焦點(diǎn)，且與C的對(duì)稱軸垂直，l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|12，P為C的準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，則ABP的面積為()A18 B24 C36 D48答案C解析不妨設(shè)拋物線方程為y22px(p0)，依題意，lx軸，且焦點(diǎn)F，當(dāng)x時(shí)，|y|p，|AB|2p12，p6，又點(diǎn)P到直線AB的距離為p6，故SABP|AB|p12636.6拋物線y2x上到其準(zhǔn)線和頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)為_答案解析設(shè)拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，)，此點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為x，到頂點(diǎn)的距離為，由題意有x，x，y，此點(diǎn)坐標(biāo)為.7已知F是拋物線C：y28x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長線交y軸于點(diǎn)N.若M

14、是FN的中點(diǎn)，則|FN|_.答案6解析如圖，過點(diǎn)M作MMy軸，垂足為M，|OF|2，M為FN的中點(diǎn)，|MM|1，M到準(zhǔn)線距離d|MM|3，|MF|3，|FN|68已知點(diǎn)A到點(diǎn)F(1,0)的距離和到直線x1的距離相等，點(diǎn)A的軌跡與過點(diǎn)P(1,0)且斜率為k的直線沒有交點(diǎn)，則k的取值范圍是_答案(，1)(1，)解析設(shè)點(diǎn)(x，y)，依題意得點(diǎn)A在以y24x.過點(diǎn)P(1,0)且斜率為k的直線方程為yk(x1)，由得ky24y4k0，當(dāng)k0時(shí)，顯然不符合題意；當(dāng)k0時(shí)，依題意得(4)24k4k0)，設(shè)A(x0，y0)，由題意知M，|AF|3，y03，|AM|，x217，x8，代入方程x2py0得，82p

15、，解得p2或p4.所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24y或x28y.10已知拋物線C：y2x2和直線l：ykx1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求證：l與C必有兩交點(diǎn)(2)設(shè)l與C交于A，B兩點(diǎn)，且直線OA和OB斜率之和為1，求k的值(1)證明聯(lián)立拋物線C：y2x2和直線l：ykx1，可得2x2kx10，所以k280，所以l與C必有兩交點(diǎn)(2)解設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則1，因?yàn)閥1kx11，y2kx21，代入，得2k1，由(1)可得x1x2k，x1x2，代入得k1.11若點(diǎn)M(1,1)是拋物線y24x的弦AB的中點(diǎn)，則弦AB的長為_答案解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入拋物線y24x，

16、可得y4x1，y4x2，兩式相減，可得k2，所以直線AB的方程為y12(x1)，即y2x1，代入拋物線的方程得4x28x10，則x1x22，x1x2，則，即弦AB的長為.12已知A，B是拋物線y22px(p0)上兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)若|OA|OB|，且AOB的垂心恰是此拋物線的焦點(diǎn)，則直線AB的方程為_答案x解析由拋物線的性質(zhì)知A，B關(guān)于x軸對(duì)稱設(shè)A(x，y)，則B(x，y)，焦點(diǎn)為F.由題意知AFOB，則有1.所以y2x，2pxx.因?yàn)閤0.所以x.所以直線AB的方程為x.13拋物線x22py(p0)的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與雙曲線1相交于A，B兩點(diǎn)，若ABF為等邊三角形，則p_.答案6解析拋物線的

17、焦點(diǎn)坐標(biāo)F，準(zhǔn)線方程為y.代入1得 .要使ABF為等邊三角形，則tan ，解得p236，p6.14直線yx3與拋物線y24x交于A，B兩點(diǎn)，過A，B兩點(diǎn)向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為P，Q，則梯形APQB的面積為_答案48解析由消去y得x210x90，得x1或9，即或所以|AP|10，|BQ|2或|BQ|10，|AP|2，所以|PQ|8，所以梯形APQB的面積S848.15已知拋物線C：y28x與點(diǎn)M(2,2)，過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若0，則k等于()A. B. C. D2答案D解析由題意可知，拋物線的焦點(diǎn)為(2,0)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為yk(x2)由得k2x2(4k28)x4k20，則x1x2，x1x24.y1y2k(x12)k(x22)k(x1x24)，y1y216.(x12，y12)(x22，y22)(x12)(x22)y1y22(y1y2)4x1x22(x1x2)4