例1：如圖,ΔABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,BD

1、例1 :如圖， ABC是等腰直角三角形，/ BAC=90 , BD平分/ ABC交 AC于點(diǎn)D, CE垂直于BD, 交BD的延長線于點(diǎn) E。求證：BD=2CE思路分析：1題意分析：此題考查等腰三角形的三線合一定理的應(yīng)用2 解題思路：要求證BD=2CE可用加倍法，延長短邊，又因?yàn)橛?BD平分/ ABC的條件，可以 和等腰三角形的三線合一定理結(jié)合起來。解答過程：證明：延長 BA，CE交于點(diǎn)F，在 BEF和 BEC中，/ 1 = / 2，BE=BE，/ BEF= / BEC=90 ，I I BEF A BEC,. EF=EC，從而 CF=2CE。又/ 1+ / F=Z 3+ / F=90，故/ 1

2、= / 3。_I ,-1,.-|* .X 在 A ABD 和 A ACF 中，t/ 1 = / 3，AB=AC，/ BAD= / CAF=90 ， A ABDB A ACF，. BD=CF， BD=2CE。y Ji* |* l : I |解題后的思考：等腰三角形“三線合一性質(zhì)的逆命題在添加輔助線中的應(yīng)用不但可以提高解 題的能力，而且還加強(qiáng)了相關(guān)知識點(diǎn)和不同知識領(lǐng)域的聯(lián)系，為同學(xué)們開拓了一個(gè)廣闊的探索空 間；并且在添加輔助線的過程中也蘊(yùn)含著化歸的數(shù)學(xué)思想，它是解決問題的關(guān)鍵。2假設(shè)遇到三角形的中線，可倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利 用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)。例2：

3、如圖， A ABC中，AD是/ BAC的平分線，AD又是BC邊上的中線。求證：A ABC是等腰三角形。思路分析：1題意分析：此題考查全等三角形常見輔助線的知識。2解題思路：在證明三角形的問題中特別要注意題目中出現(xiàn)的中點(diǎn)、中線、中位線等條件，一般這些條件都是解題的突破口，此題給出了AD又是BC邊上的中線這一條件，而且要求證AB=AC，可倍長AD得全等三角形，從而問題得證。解答過程：證明：延長 AD至U E，使DE=AD，連接 BE。又因?yàn)?AD是BC邊上的中線， BD=DC又/ BDE= / CDAA BED A CAD,故 EB=AC，/ E= / 2， AD是/ BAC的平分線/ 仁/ 2，

4、/ 仁/ E， AB=EB從而AB=AC即卩 ABC是等腰三角形。解題后的思考：題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常加倍延長此線段，再將端點(diǎn)連結(jié)，便可 得到全等三角形。3遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角 形全等變換中的“對折，所考知識點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理。例 3:，如圖，AC平分/ BAD CD=CB ABAD 求證：/ B+Z ADC=180。思路分析：1題意分析：此題考查角平分線定理的應(yīng)用。2 解題思路：因?yàn)锳C是Z BAD的平分線，所以可過點(diǎn)C作Z BAD勺兩邊的垂線，構(gòu)造直角三 角形，通過證明三角形全等解決問題。解答過程：證明：作C

5、EL AB于E，CF丄AD于F。 AC平分Z BAD CE=CF_I jn,*.!*. X在 Rt CBE和 Rt CDF中，vCE=CF CB=CD Rt CBE Rt CDFZ B=Z CDFvZ CDFZ ADC=180， Z B+Z ADC=180。解題后的思考： 關(guān)于角平行線的問題，常用兩種輔助線； 見中點(diǎn)即聯(lián)想到中位線。4過圖形上某一點(diǎn)作特定的平行線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平 移或“翻轉(zhuǎn)折疊例4:如圖， ABC中, AB=AC E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AC延長線上一點(diǎn)，連EF交BC于D,假設(shè)EB=CF ?求證：DE=DF思路分析：1題意分析：？此題考查全等三角形

6、常見輔助線的知識：作平行線。2 解題思路：因?yàn)镈E、DF所在的兩個(gè)三角形 DEB與 DFC不可能全等，又知 EB=CF，所以需通過添 加輔助線進(jìn)行相等線段的等量代換：過E作EG/CF，構(gòu)造中心對稱型全等三角形，再利用等腰三角形的性質(zhì)，使問題得以解決。解答過程：證明：過E作EG/AC交BC于G那么Z EGBZ ACB又 AB=AC：Z B=Z ACB Z B=Z EGB Z EGDZ DCF EB=EG=CFvZ EDBZ CDFDGE A DCF DE=DF解題后的思考：此題的輔助線還可以有以下幾種作法：例 5: ABC中，/ BAC=60，/ C=40 , AP平分/ BAC交 BC于 P,

7、 BC平分/ ABC交 AC于 Q 求 證：AB+BP=BQ+AQ思路分析：1題意分析：此題考查全等三角形常見輔助線的知識：作平行線。2解題思路：此題要證明的是AB+BP=BQ+A彫勢較為復(fù)雜，我們可以通過轉(zhuǎn)化的思想把左式和右式分別轉(zhuǎn)化為幾條相等線段的和即可得證?？蛇^0作BC的平行線。得AQO得到OD=O,AD=AQ只要再證出BD=O就可以了。解答過程：證明：如圖1,過0作OD/ BC交AB于 D,/ ADON ABC=180 60 40 =80,又/ AQON C+Z QBC=80 ,?/ ADOZ AQO?又 tZ DAOZ QAO OA=AO ? ADO AQO_I jyI .I *,7

8、 X? OD=O,AD=AQ ?又OD/ BP, ?/ PBOZ DOB ?又PBOZ DBO ?/ DBOZ DOB BD=OD又BPAZ C+Z PAC=70 , ?Z BOPZ OBAZ BAO=70 ,Z BOPZ BPO BP=OB? AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=A?+BQ?解題后的思考：1此題也可以在AB上截取AD=AQ連OD構(gòu)造全等三角形,即“截長法。2此題利用“平行法的解法也較多，舉例如下：如圖2,過O作OD/ BC交AC于D,那么厶ADO ABO從而得以解決。如圖5,過P作PD/ BQ交AC于D,那么厶ABPA ADP從而得以解決。小結(jié)：通過一題的多種輔助

9、線添加方法， 體會(huì)添加輔助線的目的在于構(gòu)造全等三角形。而不同 的添加方法實(shí)際是從不同途徑來實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)移的，體會(huì)構(gòu)造的全等三角形在轉(zhuǎn)移線段中的作用。 從變換的觀點(diǎn)可以看到，不管是作平行線還是倍長中線，實(shí)質(zhì)都是對三角形作了一個(gè)以中點(diǎn)為旋 轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造了全等三角形。5截長法與補(bǔ)短法，具體作法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條 線段延長，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明。這種作法，適合于證 明線段的和、差、倍、分等類的題目。例 6：如圖甲，AD/ BC,點(diǎn) E在線段 AB上,Z ADf=Z CDE Z DCEZ ECB 求證：CD=AE+BC。思路分析

10、：1題意分析：？此題考查全等三角形常見輔助線的知識：截長法或補(bǔ)短法。2解題思路：結(jié)論是CBAE+BC,可考慮用“截長補(bǔ)短法中的“截長,即在CD上截取CF=CB 只要再證DF=DA即可，這就轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等的問題，從而到達(dá)簡化問題的目的。解答過程：證明：在CD上截取CF=BC,如圖乙 FCEA BCE(SAS ,/ 2=Z 1。又 AD/ BC,:丄 AD(+Z BCD：180,/ DC&Z CD=90,/ 2+Z 3=90,/ 1 + Z 4=90,/Z 3=/ 4。在厶 FDEg ADE中, FDEAADE(ASA ,_ 1 1/. DF=DA CD=DF+CF, CD=AE+BC。_I

11、 J-*.I* jZ 弋 。試題答案/ I1、分析：因?yàn)槠浇堑扔?80,因而應(yīng)考慮把兩個(gè)不在一起的角通過全等轉(zhuǎn)化成為平角，圖中 缺少全等的三角形，因而解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造直角三角形，可通過“截長法或補(bǔ)短法來實(shí)現(xiàn)。證明：過點(diǎn)D作DE垂直BA的延長線于點(diǎn)E,作DF丄BC于點(diǎn)F,如圖1-2 Rt ADERt CDfHL), / DAE：/DCF又/ BAD/DAE：180, / BAD/DC=180,即/ BAD/BC=1802、分析：與1相類似，證兩個(gè)角的和是180,可把它們移到一起，讓它們成為鄰補(bǔ)角，即證 明/BCf=/ EAP因而此題適用“補(bǔ)短進(jìn)行全等三角形的構(gòu)造。證明：過點(diǎn)P作PE垂直BA的延

12、長線于點(diǎn)E,如圖2-2 Rt APE Rt CPDSAS), / PAE：/PCD又/ BAP/PAE=180。 / BAP+Z BCf=1803、 分析：從結(jié)論分析，“截長或“補(bǔ)短都可實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，即延長AC至E使CE=CD或 在AB上截取AF=AG證明：方法一(補(bǔ)短法)延長 AC到 E,使 DC=CE,那么/ CDEZ CED 如圖 3-2 AFDAACD(SAS , DF=DC / AFD=Z ACD又/ AC* 2/ B, / FDB=Z B, FD=FB AB=AF+FB=AC+FDAB=AC+C。4、證明：方法一將DE兩邊延長分別交AB AC于M N,在厶 AMN中, AM+AN

13、MD+DE+NE?在厶 BDM中, MB+MDBD?在厶 CEN中, CN+NECE?由+得：AM+AN+MB+MD+CN+NEMD+DE+NE+BD+CE AB+ACBD+DE+EC方法二：圖4-2延長BD交AC于F,延長CE交BF于6在厶ABF GFCffiA GDE中有：丨 AB+AFBD+DG+GF?？GF+FCGE+CE?？DG+GEDE?？由+得：AB+AF+GF+FC+DG+GEBD+DG+GF+GE+CE+DE AB+ACBD+DE七EC5、分析：要證 AB+AC2AD由圖想至U： AB+BDADAC+CDAD所以有 AB+AC+BD+CDAD+AD=2AD 左邊比要證結(jié)論多B

14、D+CD故不能直接證出此題，而由2AD想到要構(gòu)造2AD即加倍中線，把所要 證的線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中去 ACDA EBDSAS BE=CA全等三角形對應(yīng)邊相等在 ABE中有：AB+BEAE三角形兩邊之和大于第三邊 AB+AC2AD6分析：欲證AC=BF只需證AC BF所在兩個(gè)三角形全等，顯然圖中沒有含有 AC BF的兩個(gè) 全等三角形，而根據(jù)題目條件去構(gòu)造兩個(gè)含有AC BF的全等三角形也并不容易。這時(shí)我們想到在同一個(gè)三角形中等角對等邊，能夠把這兩條線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中，只要說明轉(zhuǎn)移到同一個(gè) 三角形以后的這兩條線段，所對的角相等即可。思路一、以三角形ADC為根底三角形，轉(zhuǎn)移線段 AC使AC BF在三角形BFH中方法一：延長 AD到H,使得DH=AD連結(jié)BH證明 ADCP HDB全等，得AC=BH 通過證明/ H=Z BFH得到BF=BH ? ADCA HDBSAS ?AC=BH ?Z H=Z HAC ?EA=EF ?Z HAE2 AFE又 ?Z BFHW AFE BH=BF BF=AC方法二：過B點(diǎn)作BH平行AC,與AD的延長線相交于點(diǎn)H,證明 ADCPA HDB全等即可。 小結(jié)：對于含有中點(diǎn)的問題，通過“倍長中線？可以得到兩個(gè)全等三角形。而過一點(diǎn)作直線的平行線，可以起到轉(zhuǎn)移角的作用，也起到了構(gòu)造全