天津市高考數(shù)學試卷理科答案與解析

1、2021年天津市高考數(shù)學試卷理科參考答案與試題解析一 選擇題在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的1. 5 分2021?天津全集 U=1, 2，3，4，5，6，7，8，集合 A=2，3，5，6，集合 B=1,3, 4，6，7，那么集合 AQ?uB=A.2，5B. 3，6C.2，5，6D.2，3，5，6，8考占八、交、并、補集的混合運算.專題：集合.分析：由全集U及B,求出B的補集，找出 A與B補集的交集即可；解答:解：全集 U=1，2，3，4，5，6，7，8，集合 A=2，3，5，6，集合 B=1，3，4，6， 7， ?uB=2，5, 8，那么 AA ?iB=2 , 5.應選：

2、A.占八、評：此題考查了交、并、補集的混合運算，熟練掌握運算法那么是解此題的關鍵.+202. 5分2021?天津設變量 x, y滿足約束條件x - y+30 ，那么目標函數(shù) z=x+6y的最大值為2x+y- 3 5,退出循環(huán)，輸出S的值為6.解答:解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得S=20, i=1=2 , S=18不滿足條件i 5, i=4 , S=14不滿足條件i 5, i=8 , S=6滿足條件i 5,退出循環(huán)，輸出 S的值為6. 應選：B.點此題主要考查了循環(huán)結(jié)構的程序框圖，正確寫出每次循環(huán)得到的i , S的值是解題的關鍵，屬評：于根底題.24. 5 分2021?天津設 xR,那么 “ |k

3、2| V 1是 “x+x-2 0的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C充要條件D.既不充分也不必要條件考占：八、必要條件、充分條件與充要條件的判斷.專題：簡易邏輯.分析:根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.解答:解：由“ |x - 2| V 1 得 1 V XV 3,由 X+X 20 得 x 1 或 xv- 2,2即“|x 2| V 1是“X +x 20的充分不必要條件， 應選：A.點八、評：此題主要考查充分條件和必要條件的判斷，比擬根底.5. 5分2021?天津如圖，在圓 O中，M、N是弦AB的三等分點，弦 CD, CE分別經(jīng)過點 M , N, 假設CM=2,

4、MD=4 , CN=3,那么線段NE的長為A.B. 3C.D.考占八、與圓有關的比例線段.專題：選作題；推理和證明.分析:由相交弦定理求出 AM再利用相交弦定理求 NE即可.解解：由相交弦定理可得 CM?MD=AM?MB答： 2X 4=AM?2AM AM=2 MN=NB=2又 CN?NE=AN?NB 3X NE=40, b0)的一條漸近線過點(2,；)，且雙/ b2曲線的一個焦點在拋物線y2=4_x的準線上，那么雙曲線的方程為(C.-=12128B. 2| 2 .匸-工=1 28 21考占：八、雙曲線的標準方程.專題:分析:解答:計算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.由拋物線標準方程易得其準線方

5、程，從而可得雙曲線的左焦點，再根據(jù)焦點在x軸上的雙曲a、線的漸近線方程漸近線方程，得 a、b的另一個方程，求出 a、b，即可得到雙曲線的標準方 程.解：由題意，上應，32拋物線 y2=4(Gx 的準線方程為x=-祈，雙曲線的一個焦點在拋物線y2=4聽x的準線上, c7，2 , 2 2 “ a +b =c =7， a=2， b=J3，.雙曲線的方程為一苧.應選：D.點此題主要考查雙曲線和拋物線的標準方程與幾何性質(zhì)，考查學生的計算能力，屬于根底評：題.7. ( 5分)(2021?天津)定義在 R上的函數(shù)f(x)=2|X m| -1( m為實數(shù))為偶函數(shù)，記 a=( logo.53)，b=f (lo

6、g25)， c=f (2m)，貝U a，b，c 的大小關系為 f)A.av bv cB. av cv bC. cv av bD. cv bv a考占八、函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì).專函數(shù)的性質(zhì)及應用.題:分析:解答:根據(jù)f (x)為偶函數(shù)便可求出m=0從而f (x) =2兇-1這樣便知道f (x)在0 , +8)上單調(diào)遞增，根據(jù)f(x)為偶函數(shù)，便可將自變量的值變到區(qū)間0, +8)上: a=f( |log o.5 3| ),b=f (log 25) , c=f (0),然后再比擬自變量的值，根據(jù)f (x)在0 , +8) 上的單調(diào)性即可比擬出a, b, c的大小.解： f ( x)為偶函數(shù)； f (-

7、x) =f (x)；| - x - m|x - m| 211-仁 211- 1; | - x - m|=|x - m|;2 2(-x - m) = (x - m); mx=0 m=0 f ( x) =2|x| - 1 ; f ( x)在0 , +8)上單調(diào)遞增，并且a=f (|log 0.5 3| ) =f (log 23) , b=f (log 25), c=f(0);/ 0v log 23 v log 25; cv a v b. 應選：C.點 考查偶函數(shù)的定義，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，對于偶函數(shù)比擬函數(shù)值大小的方法就是將自變量的 評：值變到區(qū)間0 , +8)上，根據(jù)單調(diào)性去比擬函數(shù)值大小.對數(shù)的

8、換底公式的應用，對數(shù)函數(shù) 的單調(diào)性，函數(shù)單調(diào)性定義的運用.(2- |x |,8. ( 5分)(2021?天津)函數(shù) f (x)=，函數(shù)g (x) =b - f ( 2 - x),其中(X- 2 ) x2bR,假設函數(shù)y=f (x)- g (x)恰有4個零點，貝U b的取值范圍是()A.(工 +8)B- (-8,丄)C (0, I)D (丄 2)4444考占八、根的存在性及根的個數(shù)判斷.專題：創(chuàng)新題型；函數(shù)的性質(zhì)及應用.分析:求出函數(shù)y=f (x)- g (x)的表達式，構造函數(shù)h (x) =f (x) +f (2 - x)，作出函數(shù)h (x)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可.解答:解： g (

9、 x) =b- f (2 - x), y=f ( x)- g (x) =f (x)- b+f ( 2 - x),由 f (x)- b+f (2 - x) =0,得 f (x) +f (2 - x) =b, 設 h (x) =f (x) +f (2 -x),假設 XW0,那么-x0,2-x2,那么 h (x) =f (x) +f (2 - x) =2+x+x2,假設 0Wx2,那么2W-x0, 0W2-x2,- xv 0, 2- xv 0,那么 h (x) =f (x) +f (2- x) = (x - 2) +2 - |2 x|=x 5x+ 8.z2+x+2fx0即 h (x) 2,0x2 ,

10、J -作出函數(shù)h (x)的圖象如圖：當 x,244當 x 2 時，h (x) =x2- 5x+8= ( x 5) 2+丄 ,24 4故當b時，h (x) =b，有兩個交點，4當b=2時，h (x) =b，有無數(shù)個交點，由圖象知要使函數(shù) y=f (x)- g (x)恰有4個零點，即h (x) =b恰有4個根，那么滿足bv 2,4應選：D.點 此題主要考查函數(shù)零點個數(shù)的判斷，根據(jù)條件求出函數(shù)的解析式，利用數(shù)形結(jié)合是解決此題 評：的關鍵.二.填空題(每題 5分，共30分)9.( 5分)(2021?天津)i是虛數(shù)單位，假設復數(shù)(1 - 2i)(a+i)是純虛數(shù)，那么實數(shù) a的值為 -2考占：八、復數(shù)的

11、根本概念.專題：數(shù)系的擴充和復數(shù).分析:由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由實部等于0且虛部不等于0求得a的值.解答:解：由(1 - 2i ) (a+i ) = (a+2) + (1 - 2a) i 為純虛數(shù)， a+2二 0彳得，解得：a= - 2.1 -故答案為：-2.點八、評：此題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算，考查了復數(shù)為純虛數(shù)的條件，是根底題.o j 1310. (5分)(2021?天津)一個幾何體的三視圖如下圖(單位：m)，那么該幾何體的體積為 _一_m .W考占：八、由三視圖求面積、體積.專題：計算題；空間位置關系與距離.分析:根據(jù)幾何體的三視圖，得出該幾何體是圓柱與兩個圓錐的組合體，

12、結(jié)合圖中數(shù)據(jù)求出它的 體積.解答:解：根據(jù)幾何體的三視圖，得；該幾何體是底面相同的圓柱與兩個圓錐的組合體，且圓柱底面圓的半徑為 1，咼為2，圓錐底面圓的半徑為 1，咼為1; 該幾何體的體積為V幾何體=2x2n ?12x 1+n ?12?23=7 n3故答案為：n .3點此題考查了利用空間幾何體的三視圖求體積的應用問題，是根底題目評：11 . 5分2021?天津曲線y=x2與y=x所圍成的封閉圖形的面積為_一 6考占：八、定積分在求面積中的應用.專題：計算題；導數(shù)的概念及應用.分析:先根據(jù)題意畫出區(qū)域，然后依據(jù)圖形得到積分下限為0,積分上限為1,從而利用定積分表示出曲邊梯形的面積，最后用定積分的

13、定義求出所求即可.解答:解：先根據(jù)題意畫出圖形，得到積分上限為1,積分下限為02 1 2直線y=x與曲線y=x所圍圖形的面積 S=/o x - x dx而 / o1 x - x2 dx= 2 艾 2 _ 2 養(yǎng)| 0=2 -2.=丄232 3 6曲邊梯形的面積是 1.6故答案為：丄.6占八、評：此題主要考查了學生會求出原函數(shù)的能力，以及考查了數(shù)形結(jié)合的思想，冋時會利用定積 分求圖形面積的能力，解題的關鍵就是求原函數(shù).162帖12. 5分2021?天津在X-丄的展開式中，x的系數(shù)為 竺 .16考占：八、二項式定理的應用.專題：計算題；二項式定理.分析:在二項展開式的通項公式中，令 x的幕指數(shù)等于

14、2,求出r的值，即可求得x2的系數(shù).解答:解： x -A 6的展開式的通項公式為 +1弋三？ x 6 r?-丄r= - 1 r?c；?x6 2r,4x%44%令6 - 2r=2，解得r=2，展開式中x的系數(shù)為 C,16匕 16故答案為：芟.16點八、評：此題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，屬于 中檔題.13. 5分2021?天津在 ABC中，內(nèi)角 A, B, C所對的邊分別為 a, b，c. ABC的面積為 3 1 ：, b c=2, cosA=丄，貝U a 的值為 8 .考占：八、余弦定理.專題:分析:解三角形.解答:由 cosA=-_l, A 0, n

15、 ,可得 sinA=也 _ s s2&.利用15，化為42bc=24，又b - c=2,解得b, c .由余弦定理可得：a2=b2+c2 - 2bccosA即可得出.解：A 0,冗，二 sin 人=&_8鳳呼.=-二 bc=二 ，化為 bc=24,24b=6, c=4.,S ABC=-bcsinA又b - c=2，解得由余弦定理可得:2 2 2 a =b +c - 2bccosA=36+16 - 48X - -=64.4解得a=8.故答案為：&此題考查了余弦定理、同角三角函數(shù)根本關系式、三角形面積計算公式，考查了推理能力 與計算能力，屬于中檔題.占八、評：14. 5 分2021?天津在等腰梯形

16、 ABCD 中， AB/ DC, AB=2, BC=1,/ ABC=60 動點 E和 F* * 1 iQ Q分別在線段BC和DC上，且：.= ,1 -，那么X .?：1的最小值為 .“嚴18-考平面向量數(shù)量積的運算. 占八、專創(chuàng)新題型；平面向量及應用. 題分 利用等腰梯形的性質(zhì)結(jié)合向量的數(shù)量積公式將所求表示為關于 析求最值.入的代數(shù)式，根據(jù)具體的形式解軍.L .答 解：由題意，得到AD=BC=CD=1所以糾.？ J =汕丨 ?汕丨!=. J： 一丄-.i10 ，二面角D-AC- B1的正弦值為罟;(川)解：由題意可設=入?,其中入,1, E= ( 0,入，2) , NE= ( - 1 ,入 +

17、2 , 1),又 n= (0, 0, 1)是平面 ABCD的一個法向量, cos = 巴-1,I NE | I n |( - 1) 2+ ( +2 ) 2+l2 3整理,得入2+4入-3=0，解得入=祈-2 或- 2-荷(舍)， 線段A1E的長為 聽-2.占八、評:此題考查直線與平面平行和垂直、二面角、直線與平面所成的角等根底知識，考查用空間 向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力、運算能力和推理能力，注意解題方法 的積累，屬于中檔題.18.( 13 分)(2021?天津)數(shù)列an滿足 an+2=qan (q 為實數(shù)，且 qD , nN* , a1=1, a2+a3 , a3+a4 ,

18、a4+a5成等差數(shù)列()求q的值和an的通項公式；：二“ *(2)設bn=, n N ,求數(shù)列bn的前n項和.a2n-l考占：八、專數(shù)列的求和.等差數(shù)列與等比數(shù)列.題:分析:解答:1通過 an+2=qan、a1、a2，可得 aa a5、a4,利用 a2+aa, aa+a4, a4+a5成等差數(shù)列，計算即 可；2通過1 知bn= ：| , nN,寫出數(shù)列bn的前n項和Tn、2Tn的表達式，利用錯位2n_1相減法及等比數(shù)列的求和公式，計算即可.解：1 a n+2=qan q 為實數(shù)，且 q工 1, n N , a1 =1, a2=2,2a 3=q, a5=q , a4=2q,又/a 2+a3, a

19、3+a4, a4+a成等差數(shù)列，2 2X 3q=2+3q+q ,nrr 2即 q - 3q+2=0,(舍),a n=4n=2k - 13 kf N*;n=2k, kN*芒空空叼列a2n-l記數(shù)列b n的前n項和為Tn,那么 Tn=1+2?Z+3?丄+4?丄+2 22 232Tn=2+2+3?丄+4?A+5?A+ (n- 1) ?2護 23兩式相減，得Tn=3+丄+丄-+2吩2由1 知(n 1) ?+n?=2n2 2n_1丄+n? 一2宀2葉2,+ - _ n?-23 2宀 2宀-(1)2-n?2n_2=3+=3+1=4-止2n_1點此題考查求數(shù)列的通項與前n項和，考查分類討論的思想，利用錯位相

20、減法是解決此題的評：關鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題./ y2V319. 14分2021?天津橢圓+ . =1 a b 0的左焦點為F - c, 0,離心率為 一一a b點M在橢圓上且位于第一象限，直線FM被圓x2+y2=二廠截得的線段的長為 c, |FM|=I求直線FM的斜率；H求橢圓的方程；皿設動點P在橢圓上，假設直線 FP的斜率大于 訂:r,求直線0P O為原點的斜率的取值范圍. 考直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標準方程.占：八、解得q=2或q=1專創(chuàng)新題型；直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.題：分析:(I)通過離心率為 亞，計算可得a2=3c2、3勾股定理及弦心距公式，計算可

21、得結(jié)論；2 2b =2c ,設直線FM的方程為y=k (x+c)，利用(n)通過聯(lián)立橢圓與直線 fm的方程，可得M( c,，利用|FM|= 一計算即可;3(川)設動點P的坐標為(x, y),分別聯(lián)立直線 FP、直線OP與橢圓方程，分x(-:,-1)與x (- 1, 0)兩種情況討論即可結(jié)論.解答:解：(I)：離心率為V3 5 * *3一 h：=-2 2 2 2 2a =3b ,.a =3c , 設直線直線2 2b =2c ,(k 0)FM被圓x2+y2截得的線段的長為FM的斜率為k，那么直線FM的方程為y=k (x+c),圓心(0, 0)到直線c, d 2+L= V，即(解得，即直線FM的斜率

22、為辺;332 24)由(I )得橢圓方程為：+ =1,直線FM的方程為3c 2cz(x+C),22匚i聯(lián)立兩個方程，消去y，整理得3x +2cx - 5c=0,解得x=Vc,或x=c,點M在第一象限， M( c,竽c),刊|=琴,解得c=1,a(c+c ) 5-=二2 2 2 2=3c =3, b =2c =2,即橢圓的方程為年亭;(川)設動點P的坐標為(x, y)，直線FP的斜率為t ,y - 0 F (- 1, 0),. t ，即 y=t (x+1) (X 1),z+1fy=t (x+1)聯(lián)立方程組 * / ，消去y并整理，得2x2+3t2 (x+1) 2=6,I 32 1又直線FP的斜率

23、大于“2,*V,解得 0,1)當x (- 1 ,(x+1) 0，因此 mv0,0)時，有y=t綜上所述，直線 OP的斜率的取值范圍是：(-s點此題考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)、直線方程和圓的方程、直線與圓的位置關系、一元評：二次不等式等根底知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)，考查運算求解能力、以及用函數(shù)與方程思想解決問題的能力，屬于中檔題.nr r r?Lt20.( 14 分)(2021?天津)函數(shù) f (x) =nx x , xR,其中 n N ，且 n?2.(I)討論f (x)的單調(diào)性；(H)設曲線y=f (x)與x軸正半軸的交點為 P,曲線在點P處的切線方程為 y=g (x)，求證：

24、對于任 意的正實數(shù)x,都有f (x) g(x)；(皿)假設關于 x的方程f (x) =a (a為實數(shù))有兩個正實數(shù)根x1, x2,求證：|x2 x1| v J +2.考利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程.占：八、專壓軸題；創(chuàng)新題型；導數(shù)的概念及應用；導數(shù)的綜合應用.題：分 (I)由f (x) =nx xn,可得f(x)，分n為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況利用導數(shù)即可得函數(shù) 析：的單調(diào)性.(H)設點 P 的坐標為(X0, 0),那么可求 X0=n, f( X0)=n n2,可求 g (x) =f (X0)(x X0), F( x) =f ( x) f ( X0).由 f ( x) =

25、 nxn 勺+n 在(0, +口 上 單調(diào)遞減，可求F (x)在 (0, X。)內(nèi)單調(diào)遞增，在(X0, +R)上單調(diào)遞減，即可得證.(川)設X1 1+廣】=1+ n-仁n,推得：2、J_l=Xo,即可得證.1解答:(此題總分值為14分)解：(1)由 f( x)=nx xn，可得 f( x) =n - nxn n (1 - xn 1),其中 n N?,且 n?2.下面分兩種情況討論：(1)當n為奇數(shù)時，令f ( x) =0,解得x=1，或x= - 1，當x變化時，f ( x), f (x) 的變化情況如下表：X(-a, - 1)(-1, 1)(1, +a)X)+f ( X )所以，f (x)在(-a,- 1),( 1, +8)上單調(diào)遞減，在(-1, 1)單調(diào)遞增.(2)當n為偶數(shù)時，當f( x) 0,即xV 1時，函數(shù)f (x)單調(diào)遞增； 當f ( x)v 0,即x 1時，函數(shù)f (x)單調(diào)遞減； 所以，f (x)在(-a,1)單調(diào)遞增，在(1, +a)上單調(diào)遞減；I(H)證明：設點 P 的坐標為(xo,