2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考三輪復(fù)習(xí)：《三角形綜合訓(xùn)練》（解析版）

1、中考三輪復(fù)習(xí)：三角形綜合訓(xùn)練1如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（a，0），B（b，0），C（2，7），連接AC，交y軸于D，且a，（）25（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)（2）如圖2，y軸上是否存在一點(diǎn)P，使得ACP的面積與ABC的面積相等？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，說明理由（3）如圖3，若Q（m，n）是x軸上方一點(diǎn)，且QBC的面積為20，試說明：7m+3n是否為定值，若為定值，請(qǐng)求出其值，若不是，請(qǐng)說明理由解：（1）a，（）25，a5，b5，A（a，0），B（b，0），A（5，0），B（5，0），OAOB5如圖1，連接OC，設(shè)ODx，C（2，7），SAOC5717.5，SAOCSAOD+SCOD

2、，5x17.5，x5，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，5）；（2）如圖2，A（5，0），B（5，0），C（2，7），SABC（5+5）735，點(diǎn)P在y軸上，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，y），SACPSADP+SCDP，D（0，5），5|5y|+2|5y|35，解得：y5或15，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，5）或（0，15）；（3）7m+3n是定值點(diǎn)Q在x軸的上方，分兩種情況考慮，如圖3，當(dāng)點(diǎn)Q在直線BC的左側(cè)時(shí)，過點(diǎn)Q作QHx軸，垂足為H，連接CH，SQBCSQHC+SHBCSQHB，且SQBC20，20，7m+3n5如圖4，當(dāng)點(diǎn)Q在直線BC的右側(cè)時(shí)，過點(diǎn)Q作QHx軸，垂足為H，連接CH，SQBCSQHC+SHBCSQHB，

3、且SQBC20，20，7m+3n75，綜上所述，7m+3n的值為5或752平面直角坐標(biāo)系中，A（a，0），B（0，b），a，b滿足（2a+b+5）2+0，將線段AB平移得到CD，A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C，D，其中點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸上（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖1，連AD交BC于點(diǎn)E，若點(diǎn)E在y軸正半軸上，求的值；（3）如圖2，點(diǎn)F，G分別在CD，BD的延長(zhǎng)線上，連結(jié)FG，BAC的角平分線與DFG的角平分線交于點(diǎn)H，求G與H之間的數(shù)量關(guān)系解：（1）（2a+b+5）20，0，且（2a+b+5）2+0，解得：，A（4，0），B（0，3）（2）設(shè)C（0，c），E（0，y），將線段AB平移得到CD，

4、A（4，0），B（0，3）由平移的性質(zhì)得D（4，3+c），過D作DPx軸于P，AO4OP，DP3+c，OEy，OCc，SADPSAOE+S梯形OEDP，解得yBEOE（BOOE）OEBO2OE32cOC，1（3）G與H之間的數(shù)量關(guān)系為：G2H180如圖，設(shè)AH與CD交于點(diǎn)Q，過H，G分別作DF的平行線MN，KJ，HD平分BAC，HF平分DFG，設(shè)BAHCAH，DFHGFH，AB平移得到CD，ABCD，BDAC，BAHAQCFQH，BAC+ACD180BDC+ACD，BACBDCFDG2，MNFQ，MHQFQH，NHFDFH，QHF180MHQNHF180（+），KJDF，DGKFDG2，DFG

5、FGJ2，DGF180DGKFGJ1802（+），DGF2QHF1803在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A（m，n+1），B（m+2，n）（1）當(dāng)m1，n2時(shí)如圖1，連接AB、AO、BO直接寫出ABO的面積為（2）如圖2，若點(diǎn)A在第二象限、點(diǎn)B在第一象限，連接AB、AO、BO，AB交y軸于H，ABO的面積為2求點(diǎn)H的坐標(biāo)（3）若點(diǎn)A、B在第一象限，在y軸正半軸上存在點(diǎn)C，使得CAB90，且CAAB，求m的值，及OC的長(zhǎng)（用含n的式子表示）解：（1）A（1，3），B（3，2），SABC33132123故答案為（2）如圖2中，SABOSAOH+SOBHOH（m+2m）2，OH2（3）如圖3中，作

6、ADy軸于D，BEDA交D的延長(zhǎng)線于EADCECAB90，DAC+EAB90，EAB+ABE90，DACABE，ACAB，DACEBA（AAS），ADBEm，CDAE2，OC+CDn+1，OCn1（n1），OC+CDn+mn+1，m14在ABC中，ABAC，點(diǎn)D在射線BC上，連接AD（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，若AB5，BC8，CD2，求ABD的面積；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，過B作BEAC分別交AC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，截取AC中點(diǎn)G，延長(zhǎng)BG到點(diǎn)H，連接AH，使AHBACBABH，若ADB45，求證：AHDF解：（1）如圖1中，作AHBC于HABAC5，AHBC，

7、BHCHBC4，在RtABH中，AH3，SABDBDAH639（2）如圖2中，作FMBD于M，作ANBC于NABAC，ANBC，BNCN，BANCAN，ABCACB，BEAC，ANCANBBEC90，CN+ACB90，F(xiàn)BM+ACB90，F(xiàn)BMCANBAN，HACBABH，HABCABHHBC，AGGC，AGHCGB，AGHCGB（AAS），AHBC，AND90，D45，NADD45，BFAD+FBD，BAFDAN+BAN，BFABAF，BABF，ANBBMF90，ANBBMF（AAS），BNFM，DFFM，DFBN，DF2BNBAH，即AHDF5如圖，等腰三角形ABC中，ABAC10cm，B

8、C12cm，AD為底邊BC上的高，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿DA方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），連接BP（0t8）（1）求AD的長(zhǎng)；（2）設(shè)APB的面積為y（cm2），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）是否存在某一時(shí)刻t，使得SAPB：SABC1：3，若存在，求出t的值；若不存在，說明理由（4）是否存在某一時(shí)刻t，使得點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由解：（1）ABAC，ADBC，BCDC6cm，在RtABD中，ADB90，AB10cm，BD6cm，AD8（cm）（2）ySAPBSABDSPBD686t3t+24y243t（0t8

9、）（3）SAPB：SABC1：3，（243t）：1281：3，解得t滿足條件的t的值為（4）由題意點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，PAPB，在RtPBD中，PB2PD2+BD2，t2（8t）2+62，解得t滿足條件的t的值為6如圖1，ABC是邊長(zhǎng)為8的等邊三角形，ADBC下點(diǎn)D，DEAB于點(diǎn)E（1）求證：AE3EB；（2）若點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接PE，PF，如圖2所示，求PE+PF的最小值及此時(shí)BP的長(zhǎng)；（3）在（2）的條件下，連接EF，若AD，當(dāng)PE+PF取最小值時(shí)，PEF的面積是2（1）證明：如圖1中，ABC是等邊三角形，ABBCAC8，BBAC60ADBC，BDDC4

10、，DEAB，DEB90，BDE30，BEBD2，AEABBE826，AE3BE（2）解：如圖2中，延長(zhǎng)DF到H，使得DHDF，連接EF，連接EH交BC于點(diǎn)P，此時(shí)PE+PF的值最小AED90，AFFD，EFAFDF，DFDH，DEDFDH，F(xiàn)EH90，在RtABD中，ADB90，BD4，B60，ADBDtan604，BADBAC30，F(xiàn)EFA，F(xiàn)EAFAE30，EFH60，H30，F(xiàn)HAD4，EHFHcos306，PE+PF的最小值PE+PHEH6，PDDHsin302，BPBDPD2（3）解：如圖2中，BEBP2，B60，BPE是等邊三角形，PE2，PEF90，EFAFDF2，SPEFPEE

11、F2227在ABC中，ABC60（1）ABAC，PA5，PB3如圖1，若點(diǎn)P是ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PC4，求BPC的度數(shù)如圖2，若點(diǎn)P是ABC外一點(diǎn)，且APB60，求PC的長(zhǎng)（2）如圖3，ABAC，點(diǎn)P是ABC內(nèi)一點(diǎn)，AB6，BC8，則PA+PB+PC的最小值是2解：（1）在ABC中，ABC60，ABAC，ABC是等邊三角形，如圖1，將ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到CBP，連接PP，BPBP，PBPABC60，BPP是等邊三角形；PPPB，BPP60，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，PCPA5，PP2+PC232+4225PC2，CPP是直角三角形，CPP90，BPCBPP+CPP60+90150；如圖2中，以A

12、P為邊向上作等邊PAE，作EFBP交BP的延長(zhǎng)線于FEAPBAC60，EABPAC，AEAP，ABAC，EABPAC（SAS），BEPC，APEAPB60，EPF1806060120，PEPA5，PFPEcos60，EFPEsin60，BFBP+PF3+，BE7，PCPE7（2）如圖3中，將PBF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到BFE，作EHCB交CB的延長(zhǎng)線于HABC60，PBF60，ABPEBF，EBF+BC60，EBC120，PBBF，PBF60，PBF是等邊三角形，PBPF，PAEF，PA+PB+PCCP+PF+EF，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)E，F(xiàn)，P，C共線時(shí)，PA+PB+PC的值最小，

13、最小值EC的長(zhǎng)，在RtEBH中，EBH60，EB6，BHBEcos603，EHEBsin603，CHBH+CB3+811，EC28全等三角形是研究圖形性質(zhì)的主要工具，以此為基礎(chǔ)，我們又探索出一些軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)與判定通過尋找或構(gòu)造軸對(duì)稱圖形，能運(yùn)用其性質(zhì)及判定為解題服務(wù)（1）如圖，BEAC，CDAB，BDCE，BE與CD相交于點(diǎn)F求證：BECD；連接AF，求證：AF平分BAC（2）如圖，在ABC中，ABAC，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，且BDCE請(qǐng)你只用無刻度的直尺畫出BAC的平分線（不寫畫法，保留畫圖痕跡）（3）如圖，在ABC中，仍然有條件“ABAC，點(diǎn)D，E分別在AB和AC上”若ADC+A

14、EB180，則CD與BE是否仍相等？為什么？（1）證明：BEAC，CDAB，BDFCEF90，在BDF和CEF中，BDFCEF（AAS），BFCF，DFEF，BF+EFCF+DF，即BECD；證明：由得：DFEF，BEAC，CDAB，AF平分BAC（2）解：連接BE、CD交于點(diǎn)O，作射線AO交BC于F，如圖所示：AF即為所求；理由如下：ABAC，DBCECB，在BDC和CEB中，BDCCEB（SAS），BCDCBE，ABOACO，OBOC，同理：ABOACO（SAS），OABOAC，AF是BAC的平分線；（3）解：CDBE，理由如下：分別作CFAB于F，BGAC于G，如圖所示：CFB90，BG

15、C90，ABAC，ABCACB，在FBC和GCB中，F(xiàn)BCGCB（AAS）CFBG，ADC+AEB180，又BEG+AEB180，ADCBEG，在CFD和BGE中，CFDBGE（AAS），CDBE9如圖，ABC中，ACB90，AB10cm，BC6cm，若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒lcm的速度沿折線ACBA運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t0）（1）當(dāng)點(diǎn)P在AC上，且滿足PAPB時(shí)，求出此時(shí)t的值；（2）當(dāng)點(diǎn)P在BAC的角平分線上時(shí)，求出此時(shí)t的值；（3）當(dāng)P在運(yùn)動(dòng)過程中，求出t為何值時(shí)，BCP為等腰三角形（直接寫出結(jié)果）（4）若M為AC上一動(dòng)點(diǎn)，N為AB上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在M、N使得BM+MN的值最?。咳绻?/p>

16、有請(qǐng)求出最小值，如果沒有請(qǐng)說明理由解：（1）ABC中，ACB90，AB10，BC6，由勾股定理得AC8，連接BP，如圖所示：當(dāng)PAPB時(shí)，PAPBt，PC8t，在RtPCB中，PC2+CB2PB2，即（8t）2+62t2，解得：t，當(dāng)t秒時(shí)，PAPB；（2）如圖1，過P作PEAB，又點(diǎn)P恰好在BAC的角平分線上，且C90，AB10，BC6，CPEP，在RtACP和RtAEP中，RtACPRtAEP（HL），ACAE8，BE2，設(shè)CPEPx，則BP6x，在RtBEP中，BE2+PE2BP2，即22+x2（6x）2，解得x，CP，CA+CP8+，t；當(dāng)點(diǎn)P沿折線ACBA運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P也在BAC

17、的角平分線上，此時(shí)，t10+8+624；綜上，若點(diǎn)P恰好在BAC的角平分線上，t的值為秒或24秒；（3）如圖2，點(diǎn)P在CA上，當(dāng)CPCB6時(shí)，BCP為等腰三角形，則t862；如圖3，當(dāng)BPBC6時(shí)，BCP為等腰三角形，AC+CB+BP8+6+620，t20；如圖4，若點(diǎn)P在AB上，當(dāng)CPCB6時(shí)，BCP為等腰三角形；作CDAB于D，則根據(jù)面積法求得：CD4.8，在RtBCD中，由勾股定理得，BD3.6，PB2BD7.2，CA+CB+BP8+6+7.221.2，此時(shí)t21.2；如圖5，當(dāng)PCPB時(shí)，BCP為等腰三角形，作PDBC于D，則D為BC的中點(diǎn)，PD為ABC的中位線，APBPAB5，AC+

18、CB+BP8+6+519，t19；綜上所述，t為2s或20s或21.2s或19s時(shí)，BCP為等腰三角形（4）存在M、N使得BM+MN的值最小，理由如下：作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B，過B作AB的垂線交AC于M，交AB于N，連接BM，如圖6所示：則BCBC6，BMBM，BNB90，BM+MNBM+MNBN，BB2BC12，ACBBNB90，BBNABC，BBNABC，BNAC89.6，綜上所述，存在M、N使得BM+MN的值最小，BM+MN的最小值為9.610如圖1，在ABC中，ACB2B，BAC的平分線AO交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)H為AO上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)H作直線lAO于H，分別交直線AB、AC、BC、于點(diǎn)N、

19、E、M（1）當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)（如圖2），求證：BNCD；（2）當(dāng)M是BC中點(diǎn)時(shí)，寫出CE和CD之間的等量關(guān)系，并加以證明；（3）請(qǐng)直接寫出BN、CE、CD之間的等量關(guān)系（1）證明：連接ND，如圖2所示：AO平分BAC，BADCAD，直線lAO于H，AHNAHE90，ANHAEH，ANAC，NHCH，AH是線段NC的中垂線，DNDC，DNHDCH，ANDACB，ANDB+BDN，ACB2B，BBDN，BNDN，BNDC；（2）解：當(dāng)M是BC中點(diǎn)時(shí)，CE和CD之間的等量關(guān)系為CD2CE，理由如下：過點(diǎn)C作CNAO交AB于N，過點(diǎn)C作CGAB交直線l于點(diǎn)G，如圖3所示：由（1）得：BNCD，ANA

20、C，ANAE，ANEAEN，NNCE，ANECGE，BBCG，CGEAEN，CGCE，M是BC中點(diǎn)，BMCM，在BNM和CGM中，BNMCGM（ASA），BNCG，BNCE，CDBNNN+BN2CE；（3）解：BN、CE、CD之間的等量關(guān)系：當(dāng)點(diǎn)M在線段BC上時(shí)，CDBN+CE；理由如下：過點(diǎn)C作CNAO交AB于N，如圖3所示：由（2）得：NNCE，CDBNBN+CE；當(dāng)點(diǎn)M在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，CDBNCE；理由如下：過點(diǎn)C作CNAO交AB于N，如圖4所示：同（2）得：NNCE，CDBNBNCE；當(dāng)點(diǎn)M在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，CDCEBN；理由如下：過點(diǎn)C作CNAO交AB于N，如圖5所示：同（2）

21、得：NNCE，CDBNCEBN11在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB交y軸于A（0，a），交x軸于B（b，0），且a，b滿足（ab）2+|3a+5b88|0（1）求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；（2）如圖1，已知點(diǎn)D（2，5），求點(diǎn)D關(guān)于直線AB對(duì)稱的點(diǎn)C的坐標(biāo)（3）如圖2，若P是OBA的角平分線上的一點(diǎn)，APO67.5，求的值解：（1）由題意得解得A（0，11），B（11，0）（2）如圖一，延長(zhǎng)FD交AB于點(diǎn)E，連結(jié)CE因?yàn)镺BOA11所以三角形OAB是等腰直角三角形易得DEC，AFE都是等腰直角三角形所以FEAFOAOF1156CEDEEFFD624所以C的橫坐標(biāo)為6，縱坐標(biāo)為5+49故C的坐標(biāo)為（6，9）（

22、3）如上圖，作PM垂直AB于點(diǎn)M，作PM垂直O(jiān)B于點(diǎn)L，在L的左側(cè)取一點(diǎn)N，使得NLAMPB是ABO的平分線所以PMPLAMPNLPNLPAPMAPNMPLABO45MPL135APN135又APO67.5NPOAPO67.5PNPA，POPOOPNOPAPONPOA45，NOAO11設(shè)NLa，則MAa，BLBMa+11BL22a22aa+11a11LO11（11）POLO11所以312以ABC的邊AB，AC為直角邊向外作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACD，ABAE，ACAD，BAECAD90，M是BC中點(diǎn)，連接AM，DE（1）如圖1，在ABC中，當(dāng)BAC90時(shí)，求AM與DE的數(shù)量和位

23、置關(guān)系（2）如圖2，當(dāng)ABC為一般三角形時(shí)，（1）中的結(jié)論是否依然成立？說明理由（3）如圖3，若以ABC的邊AB，AC為直角邊向內(nèi)作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACD，其他條件不變（1）中的結(jié)論是否依然成立，并說明理由解：（1）AMDE，AMDE，理由如下：延長(zhǎng)MA交DE于F，如圖1所示：BAC90，M是BC中點(diǎn)，AMBC，BAECAD90，BAC90，EAD90，在ABC和AED中，ABCAED（SAS），DEBC，ABCAED，AMDE，BAE90，BAM+EAF90，AED+EAF90，AFE90，AMDE；（2）（1）中的結(jié)論成立，AMDE，AMDE，理由如下：延長(zhǎng)AM至N，使

24、MNAM，連接BN、CN，延長(zhǎng)MA交DE于F，如圖2所示：M是BC中點(diǎn)，BMCM，四邊形ABNC是平行四邊形，BNACAD，BNAC，NBA+BAC180，BAECAD90，DAE+BAC180，NBADAE，在ABN和EAD中，ABNEAD（SAS），ANDE2AM，BANAED，AMDE，BAE90，BAN+EAF90，AED+EAF90，AFE90，AMDE；（3）（1）中的結(jié)論成立，理由如下：由（1）的結(jié)論，當(dāng)BAC90，可得AMDE，AMDE，當(dāng)BAC90時(shí)，延長(zhǎng)CA到F，使AFAC，連接BF，延長(zhǎng)AM交DE于G，如圖3所示：則AFAXAD，M是BC中點(diǎn)，AM是BCF的中位線，AMB

25、F，AMBF，MACF，BAEDAC90，DAF90，BAEDAF，BAFEAD，在ABF和AED中，ABFAED（SAS），BFDE，F(xiàn)ADE，AMDE，BACADE，MAC+DAMDAC90，ADE+DAM90，AGD90，AMDE；綜上所述，（1）中的結(jié)論成立13在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4）（1）如圖1，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），ABC是等腰直角三角形，BABC，ABC90，求C點(diǎn)坐標(biāo)（2）如圖2，若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，求證：AB2OE；（3）如圖3，ABC是等腰直角三角形，BABC，ABC90，ACD是等邊三角形，連接OD，若AOD30，求B點(diǎn)坐標(biāo)（1）解：過點(diǎn) C 作 C

26、Dx 軸于D，如圖1所示：ABC90，ABO+CBD90，AOB90，ABO+BAO90，CBDBAO，CDx 軸，BDC90AOB，在BDC 和AOB 中，AOBBDC（AAS），OADB，OBDC，點(diǎn) A （0，4），點(diǎn) B （3，0），DB4，DC3，OD4+37，C 點(diǎn)坐標(biāo)為（7，3）；（2）證明：延長(zhǎng) OE 至 F 點(diǎn)，使得 EOEF，連接 FB，如圖2所示：點(diǎn) E 為 AB 的中點(diǎn)，EAEB，在AOE 和BFE 中，AOEBFE（SAS），OAFB，AOEF，OABF，AOB+FBO180，AOB90，F(xiàn)BO90，AOBFBO，在AOB 和FBO 中，AOBFBO（SAS），ABO

27、F，EAEB，EOEF，OEAEEB，AB2OE；（3）解：過點(diǎn)D作DMy 軸于M，CNOD于N，CHy 軸于H，CGx 軸于G，如圖3所示：則四邊形OHCG是矩形，OHCG，AOD30，ODM903060，OD2DM，ADC 為等邊三角形，ADCDAC，ADC60，ADM+ADO60，CDN+ADO60，ADMCDN，在DMA和DNC中，DMADNC（AAS），DMDN，OD2MD2DN，DNON，CDCOAC，HAHOCG2，由（1）得 CGOBOB2，B 點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）14已知，ABC，ADBD于點(diǎn)D，AECE于點(diǎn)E，連接DE（1）如圖1，若BD，CE分別為ABC的外角平分線，求證：

28、DE（AB+BC+AC）；（2）如圖2，若BD，CE分別為ABC的內(nèi)角平分線，（1）中的結(jié)論成立嗎？若成立請(qǐng)說明理由；若不成立，請(qǐng)猜想出新的結(jié)論并證明；（3）如圖3，若BD，CE分別為ABC的一個(gè)內(nèi)角和一個(gè)外角的平分線，AB8，BC10，AC7，請(qǐng)直接寫出DE的長(zhǎng)為4.5（1）證明：如圖1，分別延長(zhǎng)AE、AD交BC于H、K，在BAD和BKD中，BADBKD（ASA），ADKD，ABKB，同理可證，AEHE，ACHC，DEHK，又HKBK+BC+CHAB+BC+AC，DE（AB+AC+BC）；（2）解：結(jié)論不成立DE（AB+ACBC）理由：如圖2，分別延長(zhǎng)AE、AD交BC于H、K，在BAD和BK

29、D中，BADBKD（ASA），ADKD，ABKB，同理可證，AEHE，ACHC，DEHK，又HKBKBHAB+ACBC，DE（AB+ACBC）；（3）解：分別延長(zhǎng)AE、AD交BC或延長(zhǎng)線于H、K，在BAD和BKD中，BADBKD（ASA），ADKD，ABKB同理可證，AEHE，ACHC，DEKH又KHBCBK+HCBC+ACABDE（BC+ACAB），AB8，BC10，AC7，DE（10+78）4.5，故答案為4.515在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（a，0）、C（b，0）、B（0，），a、b滿足：a2+2ab+2b24b+40，且ABAC（1）判斷ABC的形狀并證明；（2）如圖1，點(diǎn)D為BA延長(zhǎng)線

30、上一點(diǎn)，ADAB，E為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，F(xiàn)為DE上一點(diǎn)，連接CF交AD于點(diǎn)G，EFC120，求的值；（3）如圖2，R（3a，0）點(diǎn)P為線段BR上一動(dòng)點(diǎn)，以AP為邊作等腰APQ，PAPQ，且APQRAB，連接AQ當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，ABQ的面積是否變化？若不變，求其值；若變化，求其變化范圍解：（1）結(jié)論：ABC是等邊三角形理由：a2+2ab+2b24b+40，（a+b）2+（b2）20，（a+b）20，（b2）20，a2，b2，A（2，0），C（2，0），OAOC，BOAC，BABC，ABAC，ABACBC，ABC是等邊三角形（2）如圖1中，作BHDE交x軸于HDEABHA，DAEBAH，ADAB，D

31、AEBAH（AAS），AEAH，D+DGFEFH120，D+DEADAC120，DEADGFAGH，AGHBHC，GAHBCH120，AHBC，AHGCBH（AAS），AGCH，2（3）結(jié)論：ABQ的面積不變，SABQ4理由：如圖2中，在x軸的正半軸上取一點(diǎn)M，使得PRPM，連接PM，QR由題意R（6，0），A（2，0），B（0，2），OR6，OB2，tanPQM，tanOABPRMPMR30，OAB60，RPM120，RPMAPQ120，APMRPQ，PRPM，PQPQ，PRQPMA（SAS），PRQAMP30，ARQ60OAB，ABQR，SABQSABR42416在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（

32、0，m）和點(diǎn)B（n，0）分別在y軸和x軸的正半軸上，滿足（mn）2+|m+n8|0，連接線段AB，點(diǎn)C為AB上一動(dòng)點(diǎn)（1）填空：m4，n4；（2）如圖，連接OC并延長(zhǎng)至點(diǎn)D，使得DCOC，連接AD若AOC的面積為2，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）如圖，BCOB，ABO的平分線交線段AO于點(diǎn)E，交線段OC于點(diǎn)F，連接EC求證：ACE為等腰直角三角形；BFEFOC解：（1）（mn）2+|m+n8|0，mn4，故答案為：4，4；（2）如圖1，過點(diǎn)C作CHOA，CGOB，點(diǎn)A（0，4）和點(diǎn)B（4，0），OAOB4，SABO448，AOC的面積為2，AOCH4CH2，SBOC6OBCG4CG，CH1，CG3，點(diǎn)C

33、（1，3），DCOC，點(diǎn)D（2，6）（3）OAOB4，AOB90，OABOBA45，BE平分ABO，EBOEBC，且BEBE，OBOC，OBECBE（SAS）EOBECB90，ACE90，且OAB45，CAEAEC45，ACCE，且ACE90，ACE是等腰直角三角形；如圖2，作OM平分AOB，交BE于點(diǎn)M，OM平分AOB，AOMBOM45，AOMBOMOABOBA，OBOC，BE平分ABO，ABO45，OBE22.5，BEOC，COBOCB67.5，AOC22.5COM，AOCBOM，且OBOA，OABOBM，ACOOMB（ASA）BMOC，EFOMFO90，OFOF，AOCCOM，EFOMF

34、O（ASA）EFFM，BFEFBFFMBMOC17【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖，數(shù)學(xué)課外資料全品P4頁(yè)有一道題條件為：“D是等邊三角形ABC的邊BC上的一動(dòng)點(diǎn)，以AD為邊在AB上方作等邊ADE，若AB10，AD8”，小明認(rèn)為AD有最小值，條件AD8是錯(cuò)誤的，他的想法得到了王老師的肯定，那么AD的最小值是5王老師又讓小明研究了以下兩個(gè)問題：【問題探究】（2）如圖，在等腰直角ABC中，ACB90，ACBC2，點(diǎn)D在AB上，且AD1，以CD為直角邊向右作等腰直角DCE，連接BE，求BDE的周長(zhǎng)；【問題解決】（3）如圖，ABC中，A45，ABC60，AB3+，點(diǎn)D是邊AB上任意一點(diǎn)，以CD為邊在AD的右側(cè)作

35、等邊DCE，連接BE，試求BDE面積的最大值【問題發(fā)現(xiàn)】解：（1）當(dāng)ADBC時(shí)，AD的值最小，ABC是等邊三角形，ADBC，BCAB10，BDBC5，AD5，故答案為：5；【問題探究】解：（2）作CMAB于M，如圖所示：ACB90，ACBC2，AABC45，ABAC4，CMABAMBM2，DMAMAD1，BDBM+DM3，CD，DCE是等腰直角三角形，CDCE，DCE90ACB，DECD，ACDBCE，在ACD和BCE中，ACDBCE（SAS），ADBE1，BDE的周長(zhǎng)BD+BE+DE3+1+4+；【問題解決】解：（3）作CMAB于M，作ENAB于N，如圖所示：A45，ABC60，ACM是等腰

36、直角三角形，BCM30，AMCM，CMBM，設(shè)BMx，則AMCMx，ABx+x3+，解得：x，BM，CMAM3，設(shè)ADy，則DM3y，BD3+y，CDE是等邊三角形，DCE60CDCE，DCM+BCE30BCM，在MB上截取MHMD3y，連接CH，則CDCHCE，CMDH，DCMHCM，BCHBCE，在BCH和BCE中，BCHBCE（SAS），CBHCBE60，BHBE3+y2（3y）y+3，EBN60，ENAB，BEN30，BNBE，ENBNBE（y+3），BDE的面積BDEN（3+y）（y+3）（y2+6y6）（y3）2+，當(dāng)y3，即AD3時(shí)，BDE面積的最大值為18等腰RtABC中，AB

37、C90，ABBC，F(xiàn)為AB上的一點(diǎn)，連接CF，過點(diǎn)B作BHCF交CF于G，交AC于H（1）如圖1，延長(zhǎng)BH到點(diǎn)E，連接AE，當(dāng)EAB90，AE3，求BF的長(zhǎng)；（2）如圖2，若F為AB的中點(diǎn)，連接FH，求證：BH+FHCF；（3）如圖3，在AB上取點(diǎn)K，使AKBF，連接HK并延長(zhǎng)與CF的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，若G為CP的中點(diǎn)，PG2求AH+BH的值（直接寫出答案）解：（1）BHCF，ABC90，ABE+CFBCFB+BCF90，ABEBCF，在ABE與BCF中，ABEBCF（ASA），BFAE3（2）證明：如圖2中，過點(diǎn)A作ADAB交BH的延長(zhǎng)線于點(diǎn)DBADCBF90，D+ABDCFB+ABD90，A

38、BDBCF，在ABD與BCF中，RtBADRtCBF（AAS），ADBF，BDCFF為AB的中點(diǎn)，AFBF，ADAF，在ADH與AFH中，AHDAHF（SAS），DHFHBDBH+DHBH+FH，BH+FHCF；（3）如圖3中，過A作AMAB，交BH延長(zhǎng)線于M，由（2）證得MABFBC，AMBFAK，AMBCFB，ABC是等腰直角三角形，CAB45，MAB90，MAH45，MAHCAB，在MAH與KAH中，MAHKAH（SAS），AMBAKH，AKHCFB，AKHPKF，CFBPFK，PKFPFK，F(xiàn)CBH，G是PC中點(diǎn)，CHPH，AHK2P，在PFK中，PKF90P，則90P+45+2P180，解得P30，在CH上取一點(diǎn)R，使RHBH，連接BR，RHB60，RHB是等邊三角形，BHBRRH，CABACB45，AHB18060120，BRC18060120，ABHRBC，在ABH與CBR中，ABHCBR（ASA），AHCR，cos30，CHCGPG，RH+RCBH+AHPG，BH+AH19如圖（1），AB8cm，ACAB，BDAB，ACBD