如何解一元二次不等式(20201222144947)

1、如何解一元二次不等式, 例如：x?2+2x+3 0.請大家寫出解題過程和思路解：對于高中 “解一元二次不等式 ”這一塊,通常有以下兩種解決辦法： 運(yùn)用“分類討論”解題思想； 運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合 ”解題思想。以下分別詳細(xì)探討。例1、解不等式 x2 - 2x - 8 。0解法：原不等式可化為：(x - 4) (x + 2) 。 0兩部分的乘積大于等于零,等價(jià)于以下兩個不等式組：（1） x - 4 0 或 （2）x - 4 0x + 2 0x + 2 0解不等式組(1)得：x （4 因?yàn)閤 4 一定滿足 x - 2,此為“同大取大 ”）解不等式組(2)得：x - 2（因?yàn)閤 -2 一定滿足 x 4,此為

2、“同小取小 ”）不等式 x2- 2x - 8 0的解為：x 4 或 x - 2。其解集為： ( - ,- 2 4,+ ）。解法：原不等式可化為： (x2 - 2x + 1) - 1 - 8 。0 (x - 1)2 9 x - 1 3 或 x - 1 - 3 x 4 或 x - 2。原不等式的解集為： ( - ,- 2 4,+ ）。解法：如果不等式的左邊不便于因式分解、不便于配方,那就用一元二次方程的求根公式進(jìn)行左邊因式分解,如本題,用求根公式求得方程 x2- 2x - 8 = 0的兩根為x1 = 4 ,x2 = - 2 ,則原不等式可化為：(x - 4) (x + 2) 。 0下同解法。體會：

3、以上三種解法,都是死板板地去解；至于“分類討論”法,有時(shí)雖麻煩,但清晰明了。下面看“數(shù)形結(jié)合 ”法。解法：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),函數(shù) f(x) = x2 - 2x - 8 的圖像開口向上、與 x軸的兩交點(diǎn)分別為(- 2,0) 和 (4,0),顯然,當(dāng)自變量的取值范圍為x 4 或 x - 2時(shí),圖像在 x軸的上方；當(dāng)自變量的取值范圍為- 2 x 時(shí)4,圖像在 x軸的下方。 當(dāng)x 4 或 x - 2時(shí),x2 - 2x - 8 ,0即：不等式 x2- 2x - 8 0的解為：x 4 或 x - 2。順便說一下,當(dāng) - 2 x 時(shí)4,圖像在 x軸的下方,即： x2- 2x - 8 0,不等式 x2 -

4、2x - 8 0的解為：- 2 x 。4其解集為： - 2,4 。領(lǐng)悟：對于 ax2 + bx + c 0 型的二次不等式, 其解為“大于大根或小于小根 ”；對于 ax2 + bx + c 0 型的二次不等式,其解為“大于小根且小于大根 ”。例 2、解不等式 x2+ 2x + 3 0。在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)左邊無法進(jìn)行因式分解。配方得：(x + 1)2 + 2 0。無論x 取任何實(shí)數(shù), (x + 1)2 + 2 均大于零。該不等式的解集為x R。用“數(shù)形結(jié)合 ”考慮, 方程 x2+ 2x + 3 = 0 的根的判別式 0,函數(shù) f(x) = x2 + 2x + 3 的圖像與 x軸無交點(diǎn)且開口向上。即：無

5、論自變量 x 取任意實(shí)數(shù)時(shí),圖像恒位于 x軸的上方。不等式 x2+ 2x + 3 0 的解集為x R。例 3、解不等式 x2+ 2x + 3 0。在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)左邊無法進(jìn)行因式分解。配方得：(x + 1)2 + 2 0。無論x 取任何實(shí)數(shù), (x + 1)2 + 2 均大于零,該不等式的解集為空集。用“數(shù)形結(jié)合 ”考慮, 方程 x2+ 2x + 3 = 0 的根的判別式 0,函數(shù) f(x) = x2 + 2x + 3 的圖像與 x軸無交點(diǎn)且開口向上。即：無論自變量 x 取任意實(shí)數(shù)時(shí),圖像恒位于 x軸的上方。不等式 x2+ 2x + 3 0 的解集為空集。注：在以后的高中學(xué)習(xí)中,對于 “不等式”這

6、一塊,較麻煩的是“含有參數(shù)的不等式 ”。如：f(x) = ax2 + x （ a R 且 a ? 1）若當(dāng) x 0,1時(shí),總有 | f(x) | 1,求 a 的取值范圍。cos27cos57-sin27 cos147=解一cos27cos57-sin27 cos147=cos27cos57+sin27 sin57 =cos(27 -57 ）=cos30=3/2解二cos27cos57-sin27 cos147=cos27sin33 +sin27 cos33=sin（27+33）=sin60 =3/2解三把 cos147 度用誘導(dǎo)公式 cos(90 度+A ）=-sinA變成 -sin57 度,所以原式變?yōu)閏os27 度 cos57度+sin27 度 sin57 度=cos(57 度-27 度） =cos30 度=根號 3/2根據(jù)等差數(shù)列的求和公式和通項(xiàng)公式分別表示出 S5 和 a2,聯(lián)立方程求得 d 和 a 1,最后根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得參考答案解：依題意可得 a1+d=35a1+10d=25 ,d=2,a1=1a7=1+62=13故參考答案為： 13本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)考查了學(xué)生對等差數(shù)列基礎(chǔ)知識的綜合運(yùn)用若 x0,則(x2+