chFIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)實(shí)用PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計(jì)學(xué)1chFIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)實(shí)用數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)實(shí)用10)()()(Niinxihny10)()(NnnznhzH系統(tǒng)函數(shù)描述：差分方程描述：三、FIR濾波器的設(shè)計(jì)任務(wù) FIR濾波器的設(shè)計(jì)任務(wù)就是按照要求的頻率特性，以一定的準(zhǔn)則選取式中的多項(xiàng)式系數(shù)h(n)，即濾波器的單位沖激響應(yīng)及階數(shù)N ，使傳輸函數(shù)H(ejw)滿足技術(shù)指標(biāo)。這里技術(shù)指標(biāo)除了幅度特性要求以外，更重要的要求是保證H(z)具有線性相位。第1頁/共48頁7.1 線性相位 FIR DF 的設(shè)計(jì)條件和特點(diǎn)是w的實(shí)函數(shù)，稱為幅度特性寫成：將)(jweH)()()(wjgjwewHeH為了保證H(z)具有線性相位，單位取樣響應(yīng)h(n)

2、應(yīng)滿足的條件？ 滿足線性相位條件下，幅度特性具有的特點(diǎn)？10)()(NnjwnjwenheHFIR DF 的頻率響應(yīng)：稱為相位特性第2頁/共48頁是正值，稱為幅頻特性)()()(wjjwjweeHeH稱為相頻特性H(ejw)線性相位是指(w)是w的線性函數(shù)。(w)=-w （為常數(shù)）第一類線性相位:第二類線性相位:(w)= 0 - w（0為起始相位）第3頁/共48頁推導(dǎo)第一類線性相位，單位取樣響應(yīng)應(yīng)滿足的條件：1010)sin()()cos()(NnNnwnnhjwnnh設(shè)h(n)是實(shí)序列：10)()(NnjwnjwenheH1010)cos()()sin()(arctan)(NnNnwnnhw

3、nnhw第一類線性相位w第4頁/共48頁wwnnhwnnhwNnNn1010)cos()()sin()(arctan)(兩邊取tan：)cos()sin()tan()cos()()sin()(1010wwwwnnhwnnhNnNn10100)cos()sin()()sin()cos()(NnNnwwnnhwwnnh100)sin()(Nnwnnh第5頁/共48頁一、條件 處奇對稱對nwnNn10)sin(100)sin()(Nnwnnh為中心奇對稱則正弦函數(shù)以設(shè)21,21NN即：偶對稱，關(guān)于上式成立的條件是21)(Nnh)1()(nNhnh要線性相位，應(yīng)滿足上式。要滿足上式，h(n)應(yīng)滿足怎樣

4、的條件？第6頁/共48頁wwNnNhnh)() 1(21)1()(第一類線性相位：用類似方法可證明第二類線性相位要求： h(n)對(N-1)/2奇對稱偶數(shù)奇數(shù)N2)(21)1()(wNnNhnh偶數(shù)奇數(shù)N第7頁/共48頁可分為三部分：,)()(10NnjwnjwenheH二 、特點(diǎn)共有4種情況，討論4種情況下幅度特性的特點(diǎn)。第一種情況: h(n)=h(N-1-n)，N是奇數(shù)211212/ )3(0)21()()(NjwNNnjwnNnjwneNhenhenh)21()21(cos()(22/ )3(021NhNnwnheNnwNj，則：令nNm21第8頁/共48頁第一種情況: h(n)=h(N

5、-1-n)，N是奇數(shù))21()cos()21(2)(2/ ) 1(121NhwmmNheeHNmwNjjw212 , 1)21(2)(NnnNhna令則)21()0(Nha2/ )1(021)cos()()(NnwNjjwwnnaeeH第9頁/共48頁2/ )1(021)cos()()(NnwNjjwwnnaeeH因?yàn)?cos(wn)對w=0, , 2 偶對稱，所以Hg(w)對這些頻率偶對稱。第一種情況: h(n)=h(N-1-n)，N是奇數(shù)2/ )1(021)()cos()()(NngwNwwnnawH可用于設(shè)計(jì)各種濾波器。則幅度特性和相位特性分別為：第10頁/共48頁2/2 , 1)2/(

6、2)()21cos()()(2/121NnnNhnbwnnbeeHNnwNjjw其中Hg(w)對w= 是奇對稱，且 Hg( )=0。第二種情況: h(n)=h(N-1-n)，N是偶數(shù)對=奇對稱2/1)21cos()()(NngwnnbwH幅度特性不能用這種情況設(shè)計(jì)w= 處H(ejw)不為0的濾波器，如高通、帶阻濾波器。第11頁/共48頁213 , 2 , 1)21(2)()sin()()(2/ )1(1)212(NnnNhncwnnceeHNnwNjjw其中第三種情況: h(n)=-h(N-1-n)，N是奇數(shù)奇對稱。對時(shí)當(dāng)2 , 0)(, 0)(2 , 0wwHwHwggwNwwnncwHNn

7、g) 1(212)()sin()()(211只能用于帶通濾波器的設(shè)計(jì)。第12頁/共48頁2/2, 1)2(2)()21sin()()(2/1)212(NnnNhndwNndeeHNnwNjjw其中第四種情況: h(n)=-h(N-1-n)，N是偶數(shù)偶對稱。奇對稱，對對時(shí)當(dāng)wwwHwHwgg2 , 0)(, 0)(2 , 0wNwwnndwHNng212)()21sin()()(2/1只能用于高通、帶通濾波器的設(shè)計(jì)。第13頁/共48頁以上四種頻率特性可參考教材P198：表7.1.1。從四種頻率特性可以看出，對FIR DF，只要 h(n)具有對稱性，則一定具有線性相位特征。而當(dāng)h(n)奇對稱時(shí)，通

8、過濾波器的所有頻率分量都將產(chǎn)生90的相移。第14頁/共48頁7.2 利用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器|Hd(ejw)| -2 -wc wc 2 w1、設(shè)計(jì)原則 FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法主要是建立在 對理想濾波器頻率特性作某種近似的基礎(chǔ)上的。例如，設(shè)計(jì)一低通FIR DF，設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)是依據(jù)理想低通DF的頻率特性：第15頁/共48頁)()sin(121)(21)(nwSwnnwdwedweeHnhcaccwwjwnjwnjwddcc2、設(shè)計(jì)思路和方法：1) 由理想的頻率響應(yīng)Hd(ejw)得到理想的hd(n)；2)對hd(n)加窗；3)由hd(n)移位得到因果、有限長的單位取樣響應(yīng)h(n)。以上述要求為

9、例：設(shè)已知|Hd(ejw)|=1，()=0，則其逆變換（或者說理想低通數(shù)字濾波器的單位取樣響應(yīng)）：第16頁/共48頁hd(n)的特點(diǎn)：特 點(diǎn)： 無限長 非因果 偶對稱（優(yōu)點(diǎn)）解決方法： 加窗截短 移位(N-1)/2 保留h(n)=hd(n-(N-1)/2)此時(shí)的h(n)是因果的、線性相位，且為有限長（長度為N）。10)()(NnnznhzH即為所要設(shè)計(jì)的濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，其頻率響應(yīng)就會近似理想低通濾波器的頻響Hd(ejw)，而且是線性相位的。對h(n)求Z變換：第17頁/共48頁 總結(jié)：截取無限長序列hd(n)的一段作為FIR濾波器的沖激響應(yīng)，只要乘以一窗函數(shù) w(n)，只不過在這里，選擇的窗

10、函數(shù) w(n)=RN(n)，是一矩形窗函數(shù)。 顯然，不同的截取長度N及不同的窗函數(shù)，會給設(shè)計(jì)的濾波器帶來不同的特性。為此，以理想低通濾波器為例說明序列長度N和窗函數(shù)的影響。第18頁/共48頁3.矩形加窗濾波器特性a=(N-1)/2也就是事先給一線性相位，aww)(幅頻特性如圖：w-wc wc|Hd(ejw)|取Hd(ejw)的逆變換得hd(n)：jwajwdeeH1)(為了省去每次的移位，可以令第19頁/共48頁)()()(sin(21)(anwSwananwdweenhcaccjwnjwadhd(n)以n=a為對稱， a=(N-1)/2第20頁/共48頁如果選擇的函數(shù)為 矩形窗w(n)=RN

11、(n)= 1 0 n N-1 0 其它 第21頁/共48頁)2/sin()2sin(1)(2110wwNeeeRwNjNnjwnjwN矩形窗的頻率特性為積）為（時(shí)域相乘，頻域卷我們設(shè)計(jì)的濾波器特性)()()(nRnhnhNddeReHeHwjNjjw)()(21)()(第22頁/共48頁w=0一半波形的積分最大的正峰最大的負(fù)峰第23頁/共48頁比較(a) 和(f)的特性可以看出：（1）經(jīng)過矩形窗函數(shù)的加權(quán)后，理想濾波器陡直的邊緣被加寬，也就是在w=wc出現(xiàn)了過渡帶，其值大約為RN(w) 的主瓣寬度4 /N。（2）通帶內(nèi)出現(xiàn)起伏，最大峰值在 wc-2/N處，起伏為0.75 dB=20lg(1+0

12、.0895) （第一旁瓣峰值為最大幅度的8.95%，這種效應(yīng)稱為不連續(xù)點(diǎn)上的Gipps效應(yīng)）阻帶衰減不為0，最大旁瓣為第一旁瓣，其值為-21dB=20lg(0.0895) ;在 過渡帶兩側(cè)附近產(chǎn)生起伏的 “肩峰”和波紋，是由窗函數(shù)頻響的旁瓣引起的，旁瓣相對值越大，起伏就越劇烈。以上兩點(diǎn)就是對hd(n)用矩形窗截短后，在頻域的反應(yīng)。第24頁/共48頁 實(shí)際上矩形窗的頻率特性如圖(b)，它有比較窄的主瓣寬度（兩零點(diǎn)間的寬度為 w=4 /N, 相當(dāng)于過渡帶寬度，過渡帶越窄越好） ，但旁瓣電平比較高，第一旁瓣電平為20lg0.21=-13.56dB，阻帶衰減比較慢。（3）增加截取長度N ，將縮小窗函數(shù)

13、的主瓣寬度4/N，但卻不能減小旁瓣相對值。旁瓣與主瓣的相對值主要取決于窗函數(shù)的形狀。因此，增加N，只能減小過渡帶寬度，不能改善濾波器通帶的平穩(wěn)性和 阻帶的衰減。因此，減少通帶內(nèi)起伏和加大阻帶的衰減只能從窗函數(shù)的形狀上找解決方法。第25頁/共48頁4.幾種窗函數(shù)主要指標(biāo)，類型（1）矩形窗其他0101)(Nnnw2/sin2sin)(21wNweeWwNjjw其頻率響應(yīng)為：主瓣寬為4/N,第一旁瓣電平為 -13dB 第26頁/共48頁（2）三角形窗（Bartlett Window）) 1() 1(21122) 1(21012)(NnNnNNnnNnw頻率響應(yīng)為：)21(2)2/sin()4/sin

14、(2)(wNwjjwewNwNeW主瓣寬為8/N,第一旁瓣電平為 -26dB 第27頁/共48頁（3）漢寧窗(Hanning)10)12cos(1 5 . 0)(NnNnnw（4）哈明窗（Hamming）10)12cos(46. 054. 0)(NnNnnw可合并在一起其頻譜為)(21)(21)()()12()12(NwjRNwjRjwRjweWaeWaeaWeW10)12cos()1 ()(NnNnaanw廣義哈明窗第28頁/共48頁)(21)(21)()()12()12(NwjRNwjRjwRjweWaeWaeaWeW 廣義哈明窗的頻譜由三部分組成，由于三部分的相互疊加，使旁瓣相互抵消，更

15、多的能量集中在主瓣中。為矩形窗的頻譜二者之瓣寬度為(2 /N)4=8 /N 漢寧：最大旁瓣電平-31dB 哈明： -41 dB這兩種窗函數(shù)與矩形窗相比：通常內(nèi)起伏變小，阻帶衰減變大（優(yōu)點(diǎn)），但代價(jià)是過渡帶加寬。第29頁/共48頁（5）布萊克曼窗(Blackman)10)14cos(08. 0)12cos(5 . 042. 0)(NnNnNnnw主瓣寬度為6 2 /N=12 /N最大旁瓣電平為-57dB旁瓣進(jìn)一步抵消阻帶衰減進(jìn)一步增加，過渡帶是矩形窗過渡帶的三倍。第30頁/共48頁比較各窗函數(shù)，可得：矩形窗具有最窄的 主瓣，但也有最大的旁瓣、峰值和最慢的衰減速度。漢寧窗和哈明窗的主瓣稍寬，但有較

16、小的旁瓣和衰減速度，是較為常用的函數(shù)。210020)2(!11)()()112(1()(kkxkxIINnInw其中稱為第一類修正零階貝塞爾函數(shù)（6）凱塞貝塞爾窗(kaiserBasel)第31頁/共48頁一般 I0(x)取1525次，便可滿足精度要求參數(shù)可以控制窗的形狀，典型數(shù)據(jù)為4 9加大，主瓣加寬，旁瓣幅度減小。窗函數(shù)的類型：基本上兩大類1）結(jié)構(gòu)性窗：簡單的窗函數(shù)經(jīng)過相加，相乘或卷積來合成一個(gè)性能較好的窗。例：前5種 ，三角形是矩形的卷積 漢寧是三個(gè)矩形的疊加：2/ )1(2/ )1(414121)(NnjNnjeenw第32頁/共48頁2）按優(yōu)化準(zhǔn)則構(gòu)造的窗： Kaiser窗； 高斯窗

17、4、各種窗函數(shù)的技術(shù)指標(biāo)總結(jié)：用表表示（P211）第33頁/共48頁1)求理想濾波器的單位取樣響應(yīng)hd(n) A. 已給定Hd(ejw) dweeHnhjwnjwdd)(21)(5、窗函數(shù)法的設(shè)計(jì)步驟四種理想濾波器的頻響函數(shù)： e-jwHd(ejw) = 0 c0c低通 e-jwHd(ejw) = 0 c0c高通第34頁/共48頁四種理想濾波器的頻響函數(shù)： e-jwHd(ejw) = 0 chcl帶通 e-jwHd(ejw) = 0 chcl,0帶阻chcl,0chclB. 只給通帶、阻帶衰減和邊界頻率可選用理想濾波器做為逼近函數(shù)：21,)()(sin()(Naananwnhcd第35頁/共4

18、8頁2）根據(jù)阻帶衰減選擇窗函數(shù)w(n)，根據(jù)允許的過渡帶寬度選擇相應(yīng)的序列長度N。A. 選擇窗函數(shù)w(n)：根據(jù)阻帶衰減，查表7.2.2（P211）B. 選擇序列長度N： 設(shè)允許的過渡帶用w=wp-ws表示，它近似等于所選窗函數(shù)的過渡帶寬度Bt（查表7.2.2）： w=Bt3）由窗函數(shù)w(n)和hd(n)求出濾波器的單位取樣響應(yīng)。 h(n)=hd(n)w(n)4）驗(yàn)證指標(biāo)第36頁/共48頁100)()(sin()()()(nananwnwnhnhcd5) 1(21Na6、設(shè)計(jì)舉例例 1：分別用矩形窗和漢寧窗設(shè)計(jì)FIR低通濾波器，設(shè)N=11，wc=0.2rad/s。 解：1)用理想低通作為逼近濾

19、波器，用矩形窗設(shè)計(jì)100)5()5(2 . 0sin()(nnnnhd第37頁/共48頁 2) 用漢寧窗設(shè)計(jì))102cos1 (5 . 0)5()5(2 . 0sin()()102cos1 (5 . 0)()()()(nnnnhnnwnwnhnhd第38頁/共48頁例 2：要求設(shè)計(jì)一低通濾波器，給定采樣頻率 sam=2104rad/s。通帶截止頻率p=2103rad/s，阻帶截止頻率s=21.5103rad/s,阻帶衰減不低于-50dB。 解: (1)確定hd(n) 先求wc：由過渡帶可得低通過濾器的3dB截止頻率 c=(p+ s)/2= 2.5103rad/s。 則 )()(sin()(an

20、anwnhcd25. 02samcccTw第39頁/共48頁解:(2)阻帶衰減50dB，可選哈明窗。過渡帶帶寬：w= 2/ sam(s- p )1 . 0105 . 02102234792cos46.054.0)(5.3921.801.0888nnwNawNwN第40頁/共48頁 (3)求濾波器沖激響應(yīng)790)5 .39()5 .39(25. 0sin)(nnnnhd)5 .39cos(46. 054. 0) 5 .39()5 .39(25. 0sin()(nnnnh第41頁/共48頁7.3 用頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR濾波器1.設(shè)計(jì)原理窗函數(shù)設(shè)計(jì)法是從時(shí)域出發(fā)的一種設(shè)計(jì)法。有時(shí)技術(shù)指標(biāo)是在頻域給出的，用頻率采樣法更直接。 設(shè)待設(shè)計(jì)的FIR濾波器的頻率響應(yīng)用Hd(ejw)表示，對它在間等間隔采樣N點(diǎn)，得到H(k)nkNjNnkNwjwdenheHkH)2(102)()()(H(k)反FFT得h(n)，將h(n)作為濾波器的單位取樣響應(yīng)，取Z變換即可。實(shí)際上對H(k)通過