第五章 點的運動學描述和剛體的簡單運動

1、1運動學2 運動學是研究物體運動幾何性質(zhì)的科學。運動學是研究物體運動幾何性質(zhì)的科學。是是從從幾幾何學方面何學方面來研究物體的機械運動，來研究物體的機械運動，不研究物體的運動不研究物體的運動規(guī)律與力、慣性等物理因素的關(guān)系，單獨研究物體運規(guī)律與力、慣性等物理因素的關(guān)系，單獨研究物體運動的動的幾何性質(zhì)，幾何性質(zhì)，包括：包括：運動方程、軌跡、速度和加速運動方程、軌跡、速度和加速度等度等。 學習運動學的意義：首先是為學習動力學打下必學習運動學的意義：首先是為學習動力學打下必要的基礎(chǔ)。其次運動學本身也有獨立的應(yīng)用。要的基礎(chǔ)。其次運動學本身也有獨立的應(yīng)用。 由于物體運動的描述是相對的。將觀察者所在的由于物體

2、運動的描述是相對的。將觀察者所在的物體稱為物體稱為參考體參考體，固結(jié)于參考體上的坐標系稱為，固結(jié)于參考體上的坐標系稱為參考參考系。系。只有明確參考系來分析物體的運動才有意義。只有明確參考系來分析物體的運動才有意義。 時間概念要明確：時間概念要明確：瞬時瞬時和和時間間隔時間間隔。 運動學所研究的力學模型為：運動學所研究的力學模型為：點點和和剛體剛體。34 本章介紹三種方法（即本章介紹三種方法（即矢量法、直角坐標法矢量法、直角坐標法和和自然法自然法）研究點相對某一個參考系的幾何位置隨時）研究點相對某一個參考系的幾何位置隨時間變化的規(guī)律，包括點的運動方程、軌跡、速度和間變化的規(guī)律，包括點的運動方程、

3、軌跡、速度和加速度及剛體的簡單運動（平移和定軸轉(zhuǎn)動）等。加速度及剛體的簡單運動（平移和定軸轉(zhuǎn)動）等。本章內(nèi)容本章內(nèi)容 5. 1 點的運動學描述點的運動學描述 5. 2 剛體的平移剛體的平移 5. 3 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 5. 4 輪系的傳動比輪系的傳動比 5. 5 以矢量表示角速度和角加速度以矢量表示角速度和角加速度 以矢積表示點的速度和加速度以矢積表示點的速度和加速度51. 1. 運動方程運動方程選取參考系上某確定點選取參考系上某確定點O為坐標原點，自點為坐標原點，自點O向動點向動點M作矢量作矢量r，稱為點，稱為點M相對原點相對原點O的位置矢的位置矢量，簡稱量，簡稱矢徑矢徑。5.1

4、 點的運動學描述點的運動學描述MrO以矢量表示以矢量表示的點的運動的點的運動方程方程)(trr 當動點當動點 M 運動時，矢徑運動時，矢徑r 隨時隨時間而變化，并且是時間的單值連續(xù)函數(shù)，即間而變化，并且是時間的單值連續(xù)函數(shù)，即矢端曲線即為動點矢端曲線即為動點運動軌跡運動軌跡一、矢量法一、矢量法62. 2. 速度速度動點的速度矢等于它的矢徑對時間的一階導(dǎo)數(shù)。動點的速度矢沿著矢徑的矢端曲線的切線，即沿動點運動軌跡的切線，并與此點運動的方向一致。AMBOr(t)r(t+t)Mvv*rtrtrvtddlim073. 3. 加速度加速度點的速度矢對時間的變化率稱為加速度。點的加速度也是矢量，它表征了速度

5、大小和方向的變化。點的加速度等于它的速度對時間的一階導(dǎo)數(shù)，也等于它的矢徑對時間的二階導(dǎo)數(shù)。 有時為了方便，在字母上方加“.”表示該量對時間的一階導(dǎo)數(shù)，加“.”表示該量對時間的二階導(dǎo)數(shù)。 avr220ddddlimtrtvtvat8速度矢端曲線速度矢端曲線OM1M2M3v0v1v2a加速度的方向確定加速度的方向確定 如在空間任意取一點O，把動點M在連續(xù)不同瞬時的速度矢v0,v1,v2，等都平行地移到點O，連接各矢量的端點M1，M2，M3，就構(gòu)成了矢量v端點的連續(xù)曲線，稱為速度矢端曲線，如圖所示。動點的加速度矢a的方向與速度矢端曲線在相應(yīng)點M的切線相平行。 9二、二、 直角坐標法直角坐標法這組方程

6、叫做用直角坐標表示的點的運動方程。123( )( )( )xf tyf tzf tMrkijyxzOyxz有一動點M。也可用它的三個直角坐標表示。也是點運動軌跡的參數(shù)方程1. 1. 運動方程運動方程 取一固定的直角坐標系Oxyz，kzj yi xr 則動點M在任意瞬時的空間位置，既可用相對于O的矢徑r表示， 由于矢徑的原點與直角坐標系的原點重合，所以矢徑r 可表示為：10 速度在各坐標軸上的投影等于動點的各對應(yīng)坐標對時間的一階導(dǎo)數(shù)。2. 速度若已知速度的投影，則速度的大小為222zyxvvvv其方向余弦為txvxddtyvyddtzvzddktzjtyitxtrvddddddddkvjvivz

7、yxkzj yi xrvzkvvyjvvxiv),cos( ,),cos( ,),cos(11 加速度在各坐標軸上的投影等于動點的各對應(yīng)坐標對時間的二階導(dǎo)數(shù)。3. 加速度若已知加速度的投影，則加速度的大小為222222zyxaaaazyx 其方向也可確定22ddddtytvayy22ddddtztvazz22ddddtxtvaxxktvjtvitvtvazyxddddddddkajaiazyxkvjvivvzyx12解：解： 以以O(shè)為坐標圓點，建立如圖為坐標圓點，建立如圖坐標系。坐標系。M點的坐標為：點的坐標為：sinsinxOMOAr 將將 =w w t帶入上式，得帶入上式，得M點的點的運動

8、方程運動方程：sinxrtw將上式對時間求一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)得：將上式對時間求一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)得：dcosdxvrttww222ddsinddvxartttww BABOKMKwxx例例1 如圖為偏心驅(qū)動油泵中的曲柄導(dǎo)桿機構(gòu)。設(shè)曲柄如圖為偏心驅(qū)動油泵中的曲柄導(dǎo)桿機構(gòu)。設(shè)曲柄 OA 長為長為r ，自水平位置開始以勻角速度自水平位置開始以勻角速度w 轉(zhuǎn)動，即轉(zhuǎn)動，即 =wt，滑槽，滑槽K-K與導(dǎo)桿與導(dǎo)桿B-B制成一體。曲柄端點制成一體。曲柄端點A通過滑塊在滑槽通過滑塊在滑槽K-K中滑動，因而曲中滑動，因而曲柄帶動導(dǎo)桿柄帶動導(dǎo)桿B-B作上下直線運動。試求導(dǎo)桿的運動方程，速度和作上下直線運動。試求導(dǎo)

9、桿的運動方程，速度和加速度。加速度。13例例2 一人高一人高 h2 ，在路燈下以勻速，在路燈下以勻速v1行走，燈距地面行走，燈距地面的高為的高為h1 ，求人影的頂端，求人影的頂端M沿地面移動的速度。沿地面移動的速度。解解: 取坐標軸取坐標軸Ox如圖所示，由幾何關(guān)系得如圖所示，由幾何關(guān)系得:上式對上式對t求一階導(dǎo)數(shù)，得求一階導(dǎo)數(shù)，得 M 點的速度為點的速度為:221xxxhhMM2121hhxhxM12112211ddddvhhhtxhhhtxvMMh1h2xMx2MxO14)(tfs 這就是點沿軌跡的運動方程或以弧坐標表示的點的運動方程。三、三、自然法自然法1. 1. 弧坐標弧坐標 設(shè)動點M的

10、軌跡為如圖所示的曲線，則動點M在軌跡上的位置可以這樣確定：在軌跡上任選一點O為參考點，并設(shè)點O的某一側(cè)為正向，動點M在軌跡上的位置由弧長s確定，視弧長s為代數(shù)量，稱它為動點M在軌跡上的弧坐標。當動點M運動時，s隨著時間變化，它是時間的單值連續(xù)函數(shù)，即 MOs(-)(+)15 在運動軌跡上取極為接近的點M和M1，切線的單位矢量分別為和1，指向與弧坐標正向一致。將1平移到點M，則 和1決定一平面。令M無限趨近點M1，則此平面趨近于某一極限位置，此極限平面稱為曲線在點M的密切面。過點M并與切線垂直的平面稱為法平面，法平面與密切面的交線稱主法線。令主法線的單位矢量為n，指向曲線內(nèi)凹一側(cè)。過點M且垂直于

11、切線及主法線的直線稱副法線，其單位矢量為b，指向與 、n構(gòu)成右手系。2. 自然軸系 16 以點M為原點，以切線、主法線和副法線為坐標軸組成的正交坐標系稱為曲線在點M的自然坐標系，這三個軸稱為自然軸。且三個單位矢量滿足右手法則，即曲線切線的轉(zhuǎn)角對弧長一階導(dǎo)數(shù)的絕對值稱為曲線在M點的曲率。曲率的倒數(shù)稱為M點的曲率半徑。曲率曲率nbsssdd1lim017由左圖知：由左圖知：2sin2 100，s垂直，且有垂直，且有與與時時當當n 則nnsssss1limlimdd00相關(guān)的計算結(jié)果相關(guān)的計算結(jié)果 又因為又因為s為正時，點沿切向為正時，點沿切向 的正方向運動，的正方向運動， 指指向軌跡內(nèi)凹一側(cè)；反之

12、則相反。于是有向軌跡內(nèi)凹一側(cè)；反之則相反。于是有183 點的速度 tststrvttddlimlim00用矢量表示為： 在曲線運動中，點的速度是矢量。它的大小等于弧坐標對于時間的一階導(dǎo)數(shù)，它的方向沿軌跡的切線，并指向運動的一方。srt0時時，有有當當vdtdsv194 點的切向加速度和法向加速度 由于所以nvvntsst1ddddddtvtv vttvaddddddddnaaaantnt法向加速度切向加速度，va tva2ntdd=其中nvtva2dd20naaaantntnvtva2dd 上式表明加速度矢量上式表明加速度矢量 是由兩個分矢量組成：是由兩個分矢量組成：切向加速度切向加速度 反映

13、速度代數(shù)值對時間的變化率，反反映速度代數(shù)值對時間的變化率，反映速度大小的變化，它的方向沿軌跡的切線方向；映速度大小的變化，它的方向沿軌跡的切線方向；法向加速度法向加速度 反映速度方向改變的快慢程度，它反映速度方向改變的快慢程度，它的方向沿主法線的方向，指向曲率中心。的方向沿主法線的方向，指向曲率中心。atana2122tnaaa大小：大?。悍较颍悍较颍簍n|tanaantaaa全加速度全加速度為為切向加速度切向加速度和和法向加速法向加速度度的矢量和的矢量和22200t12ssv ta tttddacva t 了解上述關(guān)系后，容易得到曲線運動的運動規(guī)律。例如所謂曲線勻速運動，即動點速度的代數(shù)值保

14、持不變。0ssvt 如果動點的切向加速度的代數(shù)值保持不變，則動點的運動稱為曲線勻變速運動?，F(xiàn)在來求它的運動規(guī)律。 tavvt023例例3 3 下圖為料斗提升機示意圖。料斗通過鋼絲繩由繞水平軸下圖為料斗提升機示意圖。料斗通過鋼絲繩由繞水平軸O轉(zhuǎn)動的卷筒提升。已知：卷筒的半徑為轉(zhuǎn)動的卷筒提升。已知：卷筒的半徑為R16cm，料斗沿鉛垂提，料斗沿鉛垂提升的運動方程為升的運動方程為y2t2，y以以cm記，記，t 以以s計。求卷筒邊緣一點計。求卷筒邊緣一點M在在t4s時的速度和加速度。時的速度和加速度。解：解：此時此時M點的點的切向加速度切向加速度為：為：2td4 cm/sdvatv4416 cm/s當當

15、t=4 s時時速度速度為：為：M點的點的法向加速度法向加速度為：為：OMRMA0AM0yatan attsv4dd22s/cm16Rvan24M點的全加速度為：點的全加速度為：222tn16.5cm/saaatntan|0.25arctan 0.2514 2 aaOMRMA0AM0yatan a25例例4 列車沿曲線軌道行駛，初速度列車沿曲線軌道行駛，初速度v1=18km/h，速度，速度均勻增加，行駛均勻增加，行駛s=1km后，速度增加到后，速度增加到v2=54km/h，若鐵軌曲線形狀如圖若鐵軌曲線形狀如圖1-17所示。在所示。在M1、M2點的曲率點的曲率半徑分別為半徑分別為1=600m, 2

16、=800m 。求列車從。求列車從M1到到M2所所需的時間和經(jīng)過需的時間和經(jīng)過M1和和M2處的加速度。處的加速度。M1M2v1v1at2解：解：20021tatvssttavvt02222122s/m1 . 0100025152svvatat1（1）求從）求從M1到到M2所需時間所需時間261an1a1(2)求列車經(jīng)過求列車經(jīng)過M1和和M2時的時的法向加速度法向加速度：(3)求列車經(jīng)過求列車經(jīng)過M1時的時的全加速度全加速度：s1001 . 051512tavvt221222s/m281. 060015vana2an2M1M2v1v1at2at1221211s/m042. 06005van2222

17、121s/m108. 0042. 01 . 0ntaaa（4）求列車經(jīng)過）求列車經(jīng)過M2時的時的全加速度全加速度：2222222s/m293. 0281. 01 . 0ntaaa4 .6715 .192227 例例5 桿桿AB繞繞A點轉(zhuǎn)動時，帶動套在半徑為點轉(zhuǎn)動時，帶動套在半徑為R的固定大圓環(huán)上的小的固定大圓環(huán)上的小護環(huán)護環(huán)M 運動，已知運動，已知 wt (w為常數(shù)為常數(shù))。求小環(huán)。求小環(huán)M 的運動方程、速的運動方程、速度和加速度。度和加速度。解：解：建立如圖所示的直角坐標系。則建立如圖所示的直角坐標系。則即為小環(huán)即為小環(huán)M 的運動方程。的運動方程。2cos2sinRyRxtRytRxww2c

18、os2sintRxvxww2cos2 tRyvyww2sin2 ABMOxy228故故M點的速度大小為點的速度大小為wRvvvyx222其方向余弦為其方向余弦為cos( , )cos2xvvv icos( , )sin2yvv v jxtRvaxx2242sin4www ytRvayy2242cos4www 故故M點的加速度大小為點的加速度大小為2224wRaaayx且有且有2222444()4xyxywwww aijijrABMOxy2vxvyva29MMRo例例6 半徑為半徑為R 的輪子沿直線軌道純滾動的輪子沿直線軌道純滾動(無滑動地滾無滑動地滾動動)。設(shè)輪子保持在同一豎直平面內(nèi)運動，。設(shè)

19、輪子保持在同一豎直平面內(nèi)運動， ，試，試分析輪子邊緣一點分析輪子邊緣一點M的運動。的運動。tw30此處有影片播放此處有影片播放31解：解：取坐標系取坐標系A(chǔ)xy如圖所示，并設(shè)如圖所示，并設(shè)M 點所在的一個點所在的一個最低位置為原點最低位置為原點A，則當輪子轉(zhuǎn)過一個角度后，則當輪子轉(zhuǎn)過一個角度后，M點坐標為點坐標為)cos1 (cosROMOCy這是旋輪線的參數(shù)方程。這是旋輪線的參數(shù)方程。oRCAxyMM點的速度和加速度為：點的速度和加速度為：jtRitRj yi xv)sin()cos1 (wwww-當當M點與地面接觸，即點與地面接觸，即 時，時，M點速度等于零。點速度等于零。k2jtRitR

20、j yi xa)cos()sin(22wwww )sin(sinROMACx32如果在物體內(nèi)任取一直線段，在運動過程中這條如果在物體內(nèi)任取一直線段，在運動過程中這條直線段始終與它的最初位置平行，這種運動稱為直線段始終與它的最初位置平行，這種運動稱為平行平行移動移動，簡稱，簡稱平移平移。5.2 剛體的平移剛體的平移33擺式輸送機的料槽擺式輸送機的料槽直線行駛的列車車廂直線行駛的列車車廂 剛體平移時，其上各點剛體平移時，其上各點的軌跡不一定是直線，也的軌跡不一定是直線，也可能是曲線。可能是曲線。 （直線平移）（直線平移） （曲線平移）（曲線平移）34yxzaBvBvAaArArBABB1B2A2A

21、1O 結(jié)論：結(jié)論：當剛體平行移動時，其上各點的軌跡形狀相同；當剛體平行移動時，其上各點的軌跡形狀相同；在每一瞬時，各點的速度相同，加速度也相同。在每一瞬時，各點的速度相同，加速度也相同。 因此，研究剛體的平移，可以歸結(jié)為研究剛體內(nèi)任一因此，研究剛體的平移，可以歸結(jié)為研究剛體內(nèi)任一點的運動。點的運動。平行移動剛體內(nèi)各點的速度和加速度平行移動剛體內(nèi)各點的速度和加速度BArrBABAvvBAaa 另外可知，只要把點另外可知，只要把點B的軌跡沿的軌跡沿BA方向平行移動一段距方向平行移動一段距離離BA，就能與點，就能與點A的軌跡完全重合。的軌跡完全重合。 35 在剛體運動的過程中，若在剛體運動的過程中，

22、若剛體上剛體上或或其延伸部分上其延伸部分上有有一條直線始終不動，具有這樣一種特征的剛體的運動稱一條直線始終不動，具有這樣一種特征的剛體的運動稱為為剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動，簡稱，簡稱轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動。該固定不動的直線稱為。該固定不動的直線稱為轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸，簡稱為簡稱為軸軸。5.3 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動3637 固定平面固定平面A與動平面與動平面B間的夾間的夾角角稱為剛體的稱為剛體的轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角。轉(zhuǎn)角。轉(zhuǎn)角是是一個代數(shù)量，它確定了剛體的一個代數(shù)量，它確定了剛體的位置，用弧度位置，用弧度(rad)表示。表示。 逆時針為正逆時針為正 順時針為負順時針為負符號規(guī)定：符號規(guī)定：自自z 軸的正端看去，軸的正端

23、看去，1. 轉(zhuǎn)角和運動方程轉(zhuǎn)角和運動方程轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 是時間是時間t 的單值連續(xù)函數(shù)，即的單值連續(xù)函數(shù)，即( )f t這就是剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的這就是剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的運動方程運動方程。一、轉(zhuǎn)動方程、角速度和角加速度一、轉(zhuǎn)動方程、角速度和角加速度38轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 對時間的一階導(dǎo)數(shù)，稱為對時間的一階導(dǎo)數(shù)，稱為剛體的瞬時角速度，剛體的瞬時角速度，用用w 表示表示: :ddtw 角速度角速度表征剛體轉(zhuǎn)動的快慢和方向，表征剛體轉(zhuǎn)動的快慢和方向，是代數(shù)量，是代數(shù)量，其單其單位為位為rad/s 。2.2.定軸轉(zhuǎn)動剛體的角速度和角加速度定軸轉(zhuǎn)動剛體的角速度和角加速度（1 1）角速度）角速度 逆時針為正逆時針為正 順時針為

24、負順時針為負符號規(guī)定：符號規(guī)定：自自z 軸的正端看去，軸的正端看去，39角速度對時間的一階導(dǎo)數(shù)，稱為角速度對時間的一階導(dǎo)數(shù)，稱為剛體的瞬時角加剛體的瞬時角加速度速度，用字母，用字母a 表示，即表示，即22ddddttwaw角加速度表征角速度變化的快慢，也是代數(shù)量角加速度表征角速度變化的快慢，也是代數(shù)量, ,單位為單位為rad/s2 。如果如果w 與與a 同號，則轉(zhuǎn)動是加速的；如果同號，則轉(zhuǎn)動是加速的；如果w 與與a異號，則轉(zhuǎn)動是減速的。異號，則轉(zhuǎn)動是減速的。（2 2）角加速度）角加速度40 工程上常用轉(zhuǎn)速工程上常用轉(zhuǎn)速n 來表示剛體轉(zhuǎn)動的快慢。來表示剛體轉(zhuǎn)動的快慢。n 的單的單位是轉(zhuǎn)位是轉(zhuǎn)/

25、/分分(r/min)， 與與n的轉(zhuǎn)換關(guān)系為的轉(zhuǎn)換關(guān)系為20.16030nnnw（1 1）勻速轉(zhuǎn)動）勻速轉(zhuǎn)動( (w w = =常數(shù)常數(shù)) )（2 2）勻變速轉(zhuǎn)動勻變速轉(zhuǎn)動(a 常數(shù)常數(shù))3.3.特殊情形特殊情形t+=0200021tttawaww41 剛體作定軸轉(zhuǎn)動時，其內(nèi)剛體作定軸轉(zhuǎn)動時，其內(nèi)各點在與軸垂直的平面內(nèi)作各點在與軸垂直的平面內(nèi)作圓周運動，圓周的半徑圓周運動，圓周的半徑R等等于該點到軸線的垂直距離。于該點到軸線的垂直距離。sR動點動點速度速度的大小為的大小為ddddsvRRttw 轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)各點的速度和加速度轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)各點的速度和加速度如圖設(shè)任一點由如圖設(shè)任一點由O運動到運動到M。

26、以固定點。以固定點O為弧坐標為弧坐標s的的原點，按原點，按角的正向規(guī)定弧坐標角的正向規(guī)定弧坐標s的正向，于是的正向，于是1.1.速度速度 w w , a a對整個對整個剛體剛體而言而言(各點都一樣各點都一樣)； v, a 對剛體中某個對剛體中某個點點而言而言(各點不一樣各點不一樣)。42即：即：轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)任一點速度的大小等于剛體角速度與轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)任一點速度的大小等于剛體角速度與該點到軸線的垂直距離的乘積，它的方向沿圓周的切該點到軸線的垂直距離的乘積，它的方向沿圓周的切線而指向轉(zhuǎn)動的一方。線而指向轉(zhuǎn)動的一方。ddddsvRRttw43tddd()dddvaRRRtttwwa（1 1）切向加速度為

27、：）切向加速度為：即：即：轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)任一點的切向加速度的大小，等于轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)任一點的切向加速度的大小，等于剛體的角加速度與該點到軸線垂直距離的乘積剛體的角加速度與該點到軸線垂直距離的乘積，它，它的方向由角加速度的符號決定，當?shù)姆较蛴山羌铀俣鹊姆枦Q定，當a 是正值時，它沿是正值時，它沿圓周的切線，指向角圓周的切線，指向角 的正向；否則相反。的正向；否則相反。2.2.加速度加速度44222n()vRaRRww（2 2）法向加速度為：）法向加速度為：即：即：轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)任一點的法向加速度轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)任一點的法向加速度( (又稱向心加又稱向心加速度速度) )的大小，等于剛體角速度的平方與該點到軸的大小，

28、等于剛體角速度的平方與該點到軸線的垂直距離的乘積，它的方向與速度垂直并指向線的垂直距離的乘積，它的方向與速度垂直并指向軸線。軸線。45如果如果w 與與a 同號，角速度的絕對值增加，剛體作加同號，角速度的絕對值增加，剛體作加速轉(zhuǎn)動，這時點的切向加速度速轉(zhuǎn)動，這時點的切向加速度at 與速度與速度v 的指向相同；的指向相同；如果如果w 與與a 異號，剛體作減速轉(zhuǎn)動，異號，剛體作減速轉(zhuǎn)動， at 與與v 的指向相的指向相反。這兩種情況如圖所示反。這兩種情況如圖所示atat46 (1) (1) 在每一瞬時，轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)所有各點的速度和加速在每一瞬時，轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)所有各點的速度和加速度的大小，分別與這些點到軸

29、線的垂直距離成正比。度的大小，分別與這些點到軸線的垂直距離成正比。 (2) (2) 在每一瞬時，剛體內(nèi)所有各點的加速度在每一瞬時，剛體內(nèi)所有各點的加速度a 與半徑與半徑間的夾角間的夾角 都有相同的值。都有相同的值。點的全加速度為：點的全加速度為：2224tnt2ntanaaaRaaawaw47例例5-1 齒輪傳動是工程上常見的一種傳動方式，可用來改齒輪傳動是工程上常見的一種傳動方式，可用來改變轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)向。如圖，已知變轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)向。如圖，已知r1、r2、1、a1，求求2、a2 。 解：解：因嚙合點無相對滑動，所以因嚙合點無相對滑動，所以tt1212,vvaa由于由于111222tt111222,v

30、rvrararwwaa于是可得于是可得11212122,rrrrwwaa即即112221rrwawaw1a1r1O1O2r2w2a2v1v2at1at248 解：解：圓輪在任一瞬時的角速度和角加速度為圓輪在任一瞬時的角速度和角加速度為42 tdtdw222dtda求當求當t=1s時，則為時，則為rad/s2w2rad/s2a因此輪緣上任一點因此輪緣上任一點M 的速度和加速度為的速度和加速度為m/s4 . 0wRv2m/s4 . 0aRat22m/s8 . 0wRanARMOvana方向如圖所示。方向如圖所示。 例5-2 一半徑為一半徑為R=0.2m的圓輪繞定軸的圓輪繞定軸O的轉(zhuǎn)動方程的轉(zhuǎn)動方程

31、為為 ，單位為弧度。求，單位為弧度。求t=1s時，輪緣上任一點時，輪緣上任一點M的速度和加速度（如圖）。如在此輪緣上繞一柔軟而的速度和加速度（如圖）。如在此輪緣上繞一柔軟而不可伸長的繩子并在繩端懸一物體不可伸長的繩子并在繩端懸一物體A，求當求當t=1s時，物時，物體體A 的速度和加速度。的速度和加速度。tt4249 M點的全加速度及其偏角為點的全加速度及其偏角為ARMOanaa22222m/s894. 0)8 . 0()4 . 0(ntaaa43265 . 02arctgarctgwa如圖如圖。 現(xiàn)在求物體現(xiàn)在求物體A的速度和加速度。因為的速度和加速度。因為MAss 上式兩邊求一階及二階導(dǎo)數(shù)，

32、則得上式兩邊求一階及二階導(dǎo)數(shù)，則得MAvv tMAaa因此因此m/s4 . 0Av2m/s4 . 0Aa50P解：例例5-35-3 在刮風期間，風車的角加速度在刮風期間，風車的角加速度 ，其中轉(zhuǎn)角其中轉(zhuǎn)角 以以rad計。若初瞬時若初瞬時 ，其葉片半徑為其葉片半徑為0.75m 。試求葉片轉(zhuǎn)過兩圈試求葉片轉(zhuǎn)過兩圈( )( )時其頂端時其頂端 P 點的速度。點的速度。 2rad/s 2 . 0arad/s6 , 000wrad 4wwwwaddddddddttww2 . 0ddwwww40d 2 . 0d 02022)4(2 . 0wwrad/s22. 8 wm/s17. 6 wrv51主動輪與從動輪角速度之比稱為主動輪與從動輪角速度之比稱為傳動比傳動比，記為，記為i12。5.4 輪系的傳動比輪系的傳動比齒輪傳動（外嚙合）齒輪傳動（外嚙合）齒輪傳動（內(nèi)嚙合）齒輪傳動（內(nèi)嚙合）52帶輪傳動帶輪傳動531) 1) 齒輪傳動齒輪傳動121221RiRww即：即：相互嚙合的兩齒輪的角速度之比與它們節(jié)圓半徑相互嚙合的兩齒輪的角速度之比與它們節(jié)圓半徑成反比。成反比。由于齒輪齒數(shù)與其節(jié)圓半徑成正比，故由于齒輪齒數(shù)與其節(jié)圓半徑成正比，故121221zizww即：即：相互嚙合的兩齒輪的角速度之比及角加速