誤差與分析數(shù)據(jù)的處理(1)

1、（1） 2.1.1 準(zhǔn)確度與精密度準(zhǔn)確度與精密度 2.1.2 誤差與偏差誤差與偏差 2.1.3 系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差 2.1.4 系統(tǒng)誤差與準(zhǔn)確度系統(tǒng)誤差與準(zhǔn)確度2.2.1 頻率分布頻率分布 2.2.2 正態(tài)分布正態(tài)分布 2.2.3 隨機(jī)誤差的區(qū)間概率隨機(jī)誤差的區(qū)間概率要點要點2.3.1 2.3.1 集中趨勢和分散趨勢的表示集中趨勢和分散趨勢的表示 2.3.2 2.3.2 平均值的置信區(qū)間平均值的置信區(qū)間 2.3.3 2.3.3 顯著性檢驗顯著性檢驗 2.3.4 2.3.4 離群值的取舍離群值的取舍 2.3.5 2.3.5 誤差的傳遞誤差的傳遞 2.3.6 2.3.6 標(biāo)準(zhǔn)曲線

2、及線性回歸標(biāo)準(zhǔn)曲線及線性回歸2.4.1 2.4.1 減小測量誤差減小測量誤差 2.4.2 2.4.2 控制隨機(jī)誤差控制隨機(jī)誤差 2.4.3 2.4.3 消除系統(tǒng)誤差消除系統(tǒng)誤差 準(zhǔn)確度準(zhǔn)確度 Accuracy 準(zhǔn)確度表征測量值與真實值的符合程度。準(zhǔn)確度準(zhǔn)確度表征測量值與真實值的符合程度。準(zhǔn)確度用誤差表示。用誤差表示。精密度精密度 precision精密度表征平行測量值的相互符合程度。精密度表征平行測量值的相互符合程度。精密度用偏差表示。精密度用偏差表示。 準(zhǔn)確度與精密度的關(guān)系準(zhǔn)確度與精密度的關(guān)系例：例：A、B、C、D 四個分析工作者對同一鐵標(biāo)樣四個分析工作者對同一鐵標(biāo)樣（WFe=37.40%)

3、中的鐵含量進(jìn)行測量，得結(jié)果如圖示，中的鐵含量進(jìn)行測量，得結(jié)果如圖示，比較其準(zhǔn)確度與精密度。比較其準(zhǔn)確度與精密度。36.00 36.50 37.00 37.50 38.00測量點測量點平均值平均值真值真值DCBA表觀準(zhǔn)確度高，精密度低表觀準(zhǔn)確度高，精密度低準(zhǔn)確度高，精密度高準(zhǔn)確度高，精密度高準(zhǔn)確度低，精密度高準(zhǔn)確度低，精密度高準(zhǔn)確度低，精密度低準(zhǔn)確度低，精密度低（不可靠）（不可靠） 結(jié)論：結(jié)論：1、精密度是保證準(zhǔn)確度的前提。、精密度是保證準(zhǔn)確度的前提。2、精密度高，不一定準(zhǔn)確度就高。、精密度高，不一定準(zhǔn)確度就高。對一對一B物質(zhì)客觀存在量為物質(zhì)客觀存在量為T 的分析對象進(jìn)行分析，得到的分析對象進(jìn)行

4、分析，得到n個個個別測定值個別測定值 x1、x2、x3、 xn，對，對n 個測定值進(jìn)行平均，個測定值進(jìn)行平均，得到測定結(jié)果的平均值，那么：得到測定結(jié)果的平均值，那么：個別測定的誤差為：個別測定的誤差為：Txi測定結(jié)果的絕對誤差為：測定結(jié)果的絕對誤差為：TxEa測定結(jié)果的相對誤差為：測定結(jié)果的相對誤差為：%100TEEar真值真值T (True value)某一物理量本身具有的客觀存在的真實值。真值是未知某一物理量本身具有的客觀存在的真實值。真值是未知的、客觀存在的量。在特定情況下的、客觀存在的量。在特定情況下認(rèn)為認(rèn)為是已知的：是已知的：1、理論真值（如化合物的理論組成）、理論真值（如化合物的理

5、論組成）2、計量學(xué)約定真值（如國際計量大會確定的長度、質(zhì)、計量學(xué)約定真值（如國際計量大會確定的長度、質(zhì)量、物質(zhì)的量單位等等）量、物質(zhì)的量單位等等）3、相對真值（如高一級精度的測量值相對于低一級精、相對真值（如高一級精度的測量值相對于低一級精度的測量值）度的測量值）例如，標(biāo)準(zhǔn)樣品的標(biāo)準(zhǔn)值例如，標(biāo)準(zhǔn)樣品的標(biāo)準(zhǔn)值偏差（偏差（deviation): 表示精密度高低的量。偏差表示精密度高低的量。偏差小，精密度高。小，精密度高。偏差的表示有：偏差的表示有： 偏差偏差 did極差極差 R標(biāo)準(zhǔn)偏差標(biāo)準(zhǔn)偏差 S相對標(biāo)準(zhǔn)偏差相對標(biāo)準(zhǔn)偏差 （變異系數(shù)）（變異系數(shù)）CV具體定義和計算在后續(xù)內(nèi)容中介紹。具體定義和計算在

6、后續(xù)內(nèi)容中介紹。平均偏差平均偏差 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差 （Systematic error)某種固定的因某種固定的因素造成的誤差。素造成的誤差。 隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差 （Random error)不定的因素造成不定的因素造成的誤差的誤差 過失誤差過失誤差 （Gross error, mistake)系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的比較系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的比較項目項目系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差產(chǎn)生原因產(chǎn)生原因固定因素，有時不存在固定因素，有時不存在不定因素，總是存在不定因素，總是存在分類分類方法誤差、儀器與試劑方法誤差、儀器與試劑誤差、主觀誤差誤差、主觀誤差環(huán)境的變化因素、主環(huán)境的變化因素、主觀的變化因素等觀

7、的變化因素等性質(zhì)性質(zhì)重現(xiàn)性、單向性（或周重現(xiàn)性、單向性（或周期性）、可測性期性）、可測性服從概率統(tǒng)計規(guī)律、服從概率統(tǒng)計規(guī)律、不可測性不可測性影響影響準(zhǔn)確度準(zhǔn)確度精密度精密度消除或減消除或減小的方法小的方法校正校正增加測定的次數(shù)增加測定的次數(shù)系統(tǒng)誤差的校正系統(tǒng)誤差的校正 方法系統(tǒng)誤差方法系統(tǒng)誤差方法校正方法校正 主觀系統(tǒng)誤差主觀系統(tǒng)誤差對照實驗（外檢）對照實驗（外檢） 儀器系統(tǒng)誤差儀器系統(tǒng)誤差對照實驗對照實驗 試劑系統(tǒng)誤差試劑系統(tǒng)誤差空白實驗空白實驗系統(tǒng)誤差與準(zhǔn)確度系統(tǒng)誤差與準(zhǔn)確度 Bias and accuracy測量值的誤差：測量值的誤差：Txi可以寫成：可以寫成：iiiiEETxxxE系統(tǒng)

8、誤差）隨機(jī)誤差）()()(注：系統(tǒng)誤差注：系統(tǒng)誤差 systematic error 或者或者 bias對單一測量值對單一測量值 ：誤差誤差 = = 隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差 + + 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差Error = random error + bias由足夠多的單一測量求得的由足夠多的單一測量求得的“穩(wěn)定穩(wěn)定”的平均值：的平均值：絕對誤差絕對誤差 = = 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差TxEa系統(tǒng)誤差與準(zhǔn)確度系統(tǒng)誤差與準(zhǔn)確度 Bias and accuracy無限次測量求平均值，得到的總體平均值無限次測量求平均值，得到的總體平均值 絕對誤差TEa絕對誤差絕對誤差 = 總體平均值總體平均值 真值真值 = 系統(tǒng)誤差系

9、統(tǒng)誤差誤差的分配誤差的分配系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差 = 實驗室系統(tǒng)誤差實驗室系統(tǒng)誤差+方法系統(tǒng)誤差方法系統(tǒng)誤差注：實驗室系統(tǒng)誤差指單一實驗室內(nèi)重復(fù)測量所表現(xiàn)出注：實驗室系統(tǒng)誤差指單一實驗室內(nèi)重復(fù)測量所表現(xiàn)出的系統(tǒng)誤差。的系統(tǒng)誤差。有有 j 個實驗室對同一樣品進(jìn)行分析，每個實驗個實驗室對同一樣品進(jìn)行分析，每個實驗室得到室得到 i 個測量值，將單一測量值表示為個測量值，將單一測量值表示為 xij實驗室實驗室11,2111.,ixxx2,2212.,ixxx實驗室實驗室2實驗室實驗室 jijjjxxx.,21.誤差分配示意圖誤差分配示意圖單一實驗室的誤差分配單一實驗室的誤差分配實驗室間誤差分配實驗室間誤差分

10、配隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差再現(xiàn)性再現(xiàn)性 Reproducibitity重現(xiàn)性重現(xiàn)性 Repeatability 正態(tài)分布的正態(tài)分布的實驗室內(nèi)隨機(jī)誤差實驗室內(nèi)隨機(jī)誤差正態(tài)分布正態(tài)分布的實驗室的實驗室系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差方法系統(tǒng)誤差方法系統(tǒng)誤差正態(tài)分布的正態(tài)分布的實驗室內(nèi)隨機(jī)誤差實驗室內(nèi)隨機(jī)誤差方法系統(tǒng)誤差方法系統(tǒng)誤差 + 實驗室系統(tǒng)誤差實驗室系統(tǒng)誤差xjxTijx實驗室實驗室11,2111.,ixxx2,2212.,ixxx實驗室實驗室2實驗室實驗室 jijjjxxx.,21.No分組分組頻數(shù)頻數(shù)（ni)頻率頻率（ni/n)頻率密度頻率密度（ni/n s)115.8410.0050.17215.8710.0

11、050.17315.9030.0150.51415.9380.0401.35515.96180.0913.03615.99340.1725.72716.02550.2789.26816.06400.2026.73916.09200.1013.371016.12110.0561.851116.1550.0250.841216.1820.0100.341316.2100.0000.00廈門大學(xué)的學(xué)生對海水中廈門大學(xué)的學(xué)生對海水中的鹵素進(jìn)行測定，得到的鹵素進(jìn)行測定，得到198nLgs/047. 074.24%88.38%數(shù)據(jù)集中與分散的趨勢數(shù)據(jù)集中與分散的趨勢Lgx/01.16頻率密度直方圖0.00

12、2.004.006.008.0010.0015.8315.9015.9616.0216.0916.1516.21測量值頻率密度頻率密度分布圖0.002.004.006.008.0010.0015.815.916.016.116.216.3測量值頻率密度222)(21)(xexfy測量值正態(tài)分布測量值正態(tài)分布N ( , 2) 的概率密度函數(shù)：的概率密度函數(shù)： 1=0.047 2=0.023 xy 概率密度概率密度x 個別測量值個別測量值 總體平均值，表總體平均值，表示無限次測量值集示無限次測量值集中的趨勢。中的趨勢。 總體標(biāo)準(zhǔn)偏差，總體標(biāo)準(zhǔn)偏差，表示無限次測量分表示無限次測量分散的程度。散的程度

13、。x- 隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差的正態(tài)分布隨機(jī)誤差的正態(tài)分布測量值的正態(tài)分布測量值的正態(tài)分布0 0 x- - 總體標(biāo)準(zhǔn)偏差總體標(biāo)準(zhǔn)偏差 相同，相同，總體平均值總體平均值 不同不同總體平均值總體平均值 相同，總相同，總體標(biāo)準(zhǔn)偏差體標(biāo)準(zhǔn)偏差 不同不同原因：原因：1、總體不同、總體不同2、同一總體，存在系統(tǒng)、同一總體，存在系統(tǒng)誤差誤差原因：原因：同一總體，精密度不同同一總體，精密度不同1、小誤差出現(xiàn)的概率大，大誤差出現(xiàn)的概率?。惶?、小誤差出現(xiàn)的概率大，大誤差出現(xiàn)的概率?。惶貏e大的誤差出現(xiàn)的概率極小。別大的誤差出現(xiàn)的概率極小。2、正誤差出現(xiàn)的概率與負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相等。、正誤差出現(xiàn)的概率與負(fù)誤差出現(xiàn)的

14、概率相等。3、x = 時，時，y 值最大，體現(xiàn)了測量值的集中趨勢。值最大，體現(xiàn)了測量值的集中趨勢。集中的程度與集中的程度與 有關(guān)。有關(guān)。平均值平均值222)(21xey結(jié)論：增加平行測量結(jié)論：增加平行測量次數(shù)可有效減小隨機(jī)次數(shù)可有效減小隨機(jī)誤差。誤差。x令：令：xu正態(tài)分布函數(shù)轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)：正態(tài)分布函數(shù)轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)：2/221)(ueuy68.3%95.5%99.7%u1)duu（面積（概率uudueduu02/221)| u | u |面積面積| u | u 面積面積| u | u 面積面積| u | u 面積面積0.6740.6740.25000.25001.0001.

15、0000.34130.34131.6451.6450.45000.45001.9601.9600.47500.47502.0002.0000.47730.47732.5762.5760.49500.49503.0003.0000.49870.4987 0.50000.5000正態(tài)分布概率積分表（部分?jǐn)?shù)值）正態(tài)分布概率積分表（部分?jǐn)?shù)值）隨機(jī)誤差出現(xiàn)的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的區(qū)間區(qū)間u（以（以 為為單位）單位）測量值出現(xiàn)的區(qū)測量值出現(xiàn)的區(qū)間間概率概率%（-1, +1)( -1 , +1 )68.3(-1.96, +1.96)( -1.96 , +1.96 )95.0(-2, +2)( -2 , +2 )95

16、.5(-2.58, 2.58)( -2.58 , +2.58 )99.0(-3, +3)( -3 , +3 )99.7xu正態(tài)分布概率積分表（部分?jǐn)?shù)值）正態(tài)分布概率積分表（部分?jǐn)?shù)值）| u |面積面積| u 面積面積| u 面積面積| u 面積面積0.6740.25001.0000.34131.6450.45001.9600.47502.0000.47732.5760.49503.0000.4987 0.50000.5000.19151.5000.43322.5000.49380.000.100.200.300.40-3-2-10123uy例題例題2-1：（1）解解5 . 110. 015.

17、0 xu查表：查表：u=1.5 時，概率為：時，概率為：2 0.4332 = 0.866 = 86.6 %（2）解）解5 . 210. 075. 12u查表：查表：u 2.5 時，概率為：時，概率為：0.5 0.4938 = 0.0062 =0.62%一樣品，標(biāo)準(zhǔn)值為一樣品，標(biāo)準(zhǔn)值為1.75%，測得，測得 = 0.10, 求結(jié)果落在求結(jié)果落在1.750.15% 概率；概率；測量值大于測量值大于2 %的概率。的概率。86.6%0.62%P a aP + a = 1a 顯著性水平顯著性水平 P 置信度置信度有限數(shù)據(jù)的統(tǒng)計處理有限數(shù)據(jù)的統(tǒng)計處理總體總體樣本樣本甲甲樣本容量樣本容量平均值平均值500g

18、500g乙乙平行測定平行測定 3 3 次次1x平行測定平行測定 4 4 次次2x丙丙平行測定平行測定 4 4次次3x有限數(shù)據(jù)的處理：有限數(shù)據(jù)的處理：.,.,321321xxxxxx計算計算x估計估計 顯著性檢驗顯著性檢驗沒有系統(tǒng)誤差，沒有系統(tǒng)誤差， = T有系統(tǒng)誤差，有系統(tǒng)誤差， T2.3.1數(shù)據(jù)集中趨勢和分散程度的表示數(shù)據(jù)集中趨勢和分散程度的表示數(shù)據(jù)集中趨勢的表示：數(shù)據(jù)集中趨勢的表示：對一對一B物質(zhì)客觀存在量為物質(zhì)客觀存在量為T 的分析對象進(jìn)行分析，得到的分析對象進(jìn)行分析，得到n個個別測定值個個別測定值 x1、x2、x3、 xn，平均值平均值 Average niixnx11中位數(shù)中位數(shù)Me

19、dianMx有限次測量：測量值向有限次測量：測量值向平均值平均值 集中集中無限次測量：測量值向無限次測量：測量值向總體平均值總體平均值 集中集中xn,極差極差R R RangeminmaxxxR相對極差相對極差R R%100 xR偏差偏差 Deviationxxdii平均偏差平均偏差 Mean deviationnxxdnii1相對平均偏差相對平均偏差 relative mean deviation100%xdRMD標(biāo)準(zhǔn)偏差標(biāo)準(zhǔn)偏差 standard deviation1)(12nxxsnii相對標(biāo)準(zhǔn)偏差相對標(biāo)準(zhǔn)偏差( (變異系數(shù)變異系數(shù)) )Relative standard deviati

20、on (Coefficient of variation , CV )100%xsRSD總體標(biāo)準(zhǔn)偏差與標(biāo)準(zhǔn)偏差的比較總體標(biāo)準(zhǔn)偏差與標(biāo)準(zhǔn)偏差的比較總體標(biāo)準(zhǔn)偏差總體標(biāo)準(zhǔn)偏差nxi2)（標(biāo)準(zhǔn)偏差標(biāo)準(zhǔn)偏差1)(2nxxsi無限次測量，無限次測量，對總體平均值的離散對總體平均值的離散有限次測量有限次測量對平均值的離散對平均值的離散自由度自由度1 nf計算一組數(shù)據(jù)分散計算一組數(shù)據(jù)分散度的獨立偏差數(shù)度的獨立偏差數(shù)自由度的理解：例如，有三個測量值，求得平均值，也知自由度的理解：例如，有三個測量值，求得平均值，也知道道x1和和x2與平均值的差值，那么，與平均值的差值，那么，x3與平均值的差值就是與平均值的差值就

21、是確定的了，不是一個獨立的變數(shù)。確定的了，不是一個獨立的變數(shù)。平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差設(shè)有一樣品，設(shè)有一樣品，m 個分析工作者對其進(jìn)行分析，每人測個分析工作者對其進(jìn)行分析，每人測 n 次，計次，計算出各自的平均值，這些平均值的分布也是符合正態(tài)分布的。算出各自的平均值，這些平均值的分布也是符合正態(tài)分布的。試樣總體試樣總體樣本樣本1樣本樣本2樣本樣本mmmnmmmnnxxxxxxxxxxxxxxx,.,.,.,.,3212223222111131211xxxxxm.,321平均值的總體標(biāo)準(zhǔn)偏差：平均值的總體標(biāo)準(zhǔn)偏差：nx對有限次測量：對有限次測量：nssx對有限次測量：對有限次測量：nss

22、x1、增加測量次數(shù)、增加測量次數(shù)可以提高精密度?？梢蕴岣呔芏?。2、增加（過多）、增加（過多）測量次數(shù)的代價不測量次數(shù)的代價不一定能從減小誤差一定能從減小誤差得到補償。得到補償。結(jié)論：結(jié)論：ssx測量次數(shù)測量次數(shù)0.00.20.40.60.81.005101520252.3.2 總體平均值的置信區(qū)間總體平均值的置信區(qū)間對對 的區(qū)間的估計的區(qū)間的估計對一樣品分析，報告出：對一樣品分析，報告出：nsx ,x估計估計問題：問題：.)(. x)(Bnsxw例如例如xn,在在 的的某個范圍某個范圍 內(nèi)包含內(nèi)包含 的的把握把握 有多大？有多大？x無限次測量無限次測量對有限次測量對有限次測量1 1、把握程度

23、，多少把握、把握程度，多少把握2 2、區(qū)間界限，多大區(qū)間、區(qū)間界限，多大區(qū)間置信水平置信水平 Confidence level置信度置信度 Degree of confidence Probability level置信區(qū)間置信區(qū)間 Confidence interval 置信界限置信界限 Confidence limit 必然的聯(lián)系必然的聯(lián)系平均值的置信區(qū)間的問題平均值的置信區(qū)間的問題這個問題涉及兩個方面：這個問題涉及兩個方面：總體平均值的置信區(qū)間總體平均值的置信區(qū)間概率概率區(qū)間大小區(qū)間大小00.80 x例：例： 包含在包含在 15. 000.80 包含在包含在05. 000.80把握相對大

24、把握相對大把握把握 相對小相對小00.80100%的把握的把握無意義無意義 包含在包含在隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差1.1.對一個樣品進(jìn)行無限次測定，可以得到對一個樣品進(jìn)行無限次測定，可以得到 和和 ，測量值和隨機(jī)，測量值和隨機(jī)誤差遵從正態(tài)分布規(guī)律。誤差遵從正態(tài)分布規(guī)律。2.2.若用若用 u 表示隨機(jī)誤差，可得到一個隨機(jī)誤差的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表示隨機(jī)誤差，可得到一個隨機(jī)誤差的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. .3.3.根據(jù)隨機(jī)誤差的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，可求得隨機(jī)誤差出現(xiàn)在某一區(qū)根據(jù)隨機(jī)誤差的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，可求得隨機(jī)誤差出現(xiàn)在某一區(qū)間的概率，根據(jù)間的概率，根據(jù)u 的定義，也可求出的定義，也可求出x出現(xiàn)在某一區(qū)間的概率。出現(xiàn)在某一區(qū)間的

25、概率。 1=0.047 2=0.023 x0 x- 隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差 測量值測量值 u區(qū)間概率與置信區(qū)間區(qū)間概率與置信區(qū)間例例2-2查表查表%0 .95P若用單次測量值來估計若用單次測量值來估計 的區(qū)間：的區(qū)間：96. 1 xv 這是一個在一定置信度下總體平均值的置信區(qū)間的問題，這是一個在一定置信度下總體平均值的置信區(qū)間的問題，是說是說有有95%的把握說的把握說 包含在包含在 的范圍內(nèi)。的范圍內(nèi)。96. 1xnx則則nuxuxx96. 1v 這是一個區(qū)間概率的問題，是說測量值落在這是一個區(qū)間概率的問題，是說測量值落在 范圍內(nèi)的概率為范圍內(nèi)的概率為95%。即即96. 1xv 實際分析工作中通常是

26、以樣本平均值估計總體平均值實際分析工作中通常是以樣本平均值估計總體平均值是說是說有一定的把握說有一定的把握說 包含在包含在 的范圍內(nèi)。的范圍內(nèi)。nux96. 1u1 1、t t 分布曲線分布曲線無限次測量，得到無限次測量，得到 xu0.000.100.200.300.40-3-2-10123uyu u 分布曲線分布曲線有限次測量，得到有限次測量，得到xs snsxsxtxt t 分布曲線分布曲線 t 分布值表分布值表自由度自由度f =(n-1)顯著水平顯著水平 0.500.100.050.0111.006.31 12.71 63.6620.822.924.309.9330.762.353.18

27、5.8440.742.132.784.6050.732.022.574.0360.721.942.453.7170.711.902.373.5080.711.862.313.3690.701.832.263.25100.701.812.233.17200.691.732.092.85 0.671.651.962.58P = 1 - ，置信度置信度 ，顯著性水平顯著性水平返回例題返回例題2-4返回例題返回例題2-31返回例題返回例題2-32返回例題返回例題2-56次測量，隨機(jī)誤差落次測量，隨機(jī)誤差落在在2.57 范圍內(nèi)的范圍內(nèi)的概率為概率為95%。xs無限次測量，隨機(jī)誤無限次測量，隨機(jī)誤差落在差

28、落在1.96 范圍內(nèi)范圍內(nèi)的概率為的概率為95%。t t 分布值表分布值表自由度自由度f =(n-1)顯著水平顯著水平 0.500.100.050.0111.006.3112.7163.6620.822.924.309.9330.762.353.185.8440.742.132.784.6050.732.022.574.0360.721.942.453.7170.711.902.373.5080.711.862.313.3690.701.832.263.25100.701.812.233.17200.691.732.092.85 0.671.651.962.582、置信區(qū)間、置信區(qū)間有限次測量

29、有限次測量nsxt服從自由度服從自由度 f 的的 t 分布分布fafattt,，時時1Pfafatnsxt,，t 代入，得代入，得改寫為改寫為nstxnstxfafa,，置信度為（置信度為（1- ） 100%的的 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為），（，nstxnstxfafa,nstxfa，分析鐵礦中的鐵的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，得到如下數(shù)據(jù)：分析鐵礦中的鐵的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，得到如下數(shù)據(jù)：37.4537.45，37.2037.20，37.5037.50，37.3037.30，37.2537.25（% %）。）。（1 1）計算此結(jié)果的平均值、中位值、極差、平均偏差、標(biāo)準(zhǔn)）計算此結(jié)果的平均值、中位值、極差、平均偏差、標(biāo)準(zhǔn)偏

30、差、變異系數(shù)和平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差。偏差、變異系數(shù)和平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差。（2 2）求置信度分別為）求置信度分別為95%95%和和99%99%的置信區(qū)間。的置信區(qū)間。解（解（1 1） 解題過程解題過程分析結(jié)果分析結(jié)果%13. 0%,34.37, 5sxn例題例題2-3 解（解（1）%34.37%525.3730.3750.3720.3745.37x%30.37Mx%30. 0%20.37%50.37R%11. 0)%09. 016. 004. 014. 011. 0(5111xxndndii%35. 0%10034.3713. 0%100 xsCV%06. 0%058. 05%13. 0nssx分析結(jié)

31、果：分析結(jié)果：%13. 0%,34.37, 5sxn%13. 015)09. 0()16. 0()04. 0()14. 0()11. 0(1)12222222nxxndsii（解（解（2 2） 求置信度分別為求置信度分別為95%95%和和99%99%的置信區(qū)間。的置信區(qū)間。置信度為置信度為95%95%，即，即1- = 0.95， = 0.05，t 0.05, 4 = 2.78 的的95%95%置信區(qū)間：置信區(qū)間：），（），（，%50.37%18.375%13.078.2%34.375%13.078.2%34.37),(,nstxnstxfafa%13.0%,34.37, 5sxn（1 1）的結(jié)

32、果）的結(jié)果置信度為置信度為99%99%，即，即1- = 0.99， = 0.01，t 0.01,4= 4.60 的的99%99%置信區(qū)間置信區(qū)間），（，%61.37%07.37),nstxnstxfafa結(jié)論結(jié)論 置信度高，置信區(qū)間大。區(qū)間的大小反置信度高，置信區(qū)間大。區(qū)間的大小反映估計的精度，置信度的高低說明估計映估計的精度，置信度的高低說明估計的把握程度。的把握程度?？傮w標(biāo)準(zhǔn)偏差已知情況下的總體平均值的置信區(qū)間總體標(biāo)準(zhǔn)偏差已知情況下的總體平均值的置信區(qū)間常規(guī)例行分析，每天進(jìn)行，可認(rèn)為常規(guī)例行分析，每天進(jìn)行，可認(rèn)為n n， 是已知的，是已知的，t t 分分布還原為布還原為 u u 分布，總體

33、平均值的置信區(qū)間為：分布，總體平均值的置信區(qū)間為：),(nuxnuxaa比較總體標(biāo)準(zhǔn)偏差已知與未知情況下的總體平均值的置信區(qū)間比較總體標(biāo)準(zhǔn)偏差已知與未知情況下的總體平均值的置信區(qū)間%13. 0%,34.37, 5sxn），（，%50.37%18.37),(,nstxnstxfafa置信度為置信度為95%95%，t 0.05, 4 = 2.78 未知未知%13. 0%,34.37, 5xn），（%48.37%20.37),(nuxnuxaa置信度為置信度為95%95%，u 0.05= 1.96 已知已知置信區(qū)間概念的應(yīng)用置信區(qū)間概念的應(yīng)用nux/An analyst is asked to de

34、termine lead in a consignment of fruit juice. The client specifies that the lead content is of the order of 100 g/kg (ppb) and that he requires an “accuracy” of 5 g/kg and accepts a 95% confidence level. Calculate the sample size necessary to satisfy this request assuming that, at the specified conc

35、entration level, the precision of the analytical method used is known to be 8 g/kg.對某海區(qū)沉積物中的油進(jìn)行分析，為使分析誤差不超過對某海區(qū)沉積物中的油進(jìn)行分析，為使分析誤差不超過 2s, ,ntsx/2.3.3 2.3.3 顯著性檢驗顯著性檢驗 Significant Test（1 1）對含量真值為）對含量真值為T T的某物質(zhì)進(jìn)行分析，得到平均值的某物質(zhì)進(jìn)行分析，得到平均值x0Tx（2 2）用兩種不同的方法、或兩臺不同的儀器、或兩個不同的實）用兩種不同的方法、或兩臺不同的儀器、或兩個不同的實驗室對同一樣品進(jìn)行分

36、析，得到平均值驗室對同一樣品進(jìn)行分析，得到平均值021 xx21,xx問題：是由隨機(jī)誤差引起，或存在系統(tǒng)誤差？問題：是由隨機(jī)誤差引起，或存在系統(tǒng)誤差？0Tx021 xx顯著性顯著性檢驗檢驗顯著性差異顯著性差異非顯著性差異非顯著性差異系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差校正校正隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差正常正常顯著性檢驗顯著性檢驗但但1.1.平均值與標(biāo)準(zhǔn)值的比平均值與標(biāo)準(zhǔn)值的比較較t t 檢驗法檢驗法假設(shè)不存在系統(tǒng)誤差，那么假設(shè)不存在系統(tǒng)誤差，那么T是由隨機(jī)誤差引起的，測量誤差應(yīng)滿足是由隨機(jī)誤差引起的，測量誤差應(yīng)滿足t t 分布，分布，0Txxsxt/nsTx,根據(jù)根據(jù) 計算出的計算出的t t 值應(yīng)落在指定值應(yīng)落在指定的概率

37、區(qū)間里。否則，假的概率區(qū)間里。否則，假設(shè)不滿足，表明存在著顯設(shè)不滿足，表明存在著顯著性差異。著性差異。t t 檢驗法的方法檢驗法的方法1 1、根據(jù)、根據(jù) 算出算出t t 值值; ;nsTx,2 2、給出顯著性水平或置信度、給出顯著性水平或置信度3 3、將計算出的、將計算出的t t 值與表上查得值與表上查得的的t t 值進(jìn)行比較，若值進(jìn)行比較，若表計tt表示表示 落在落在 為中心為中心的某一指定概率之外。在一的某一指定概率之外。在一次測定中，這樣的幾率是極次測定中，這樣的幾率是極小的，故認(rèn)為是不可能的，小的，故認(rèn)為是不可能的，拒絕接受。拒絕接受。x習(xí)慣上說習(xí)慣上說 表明有系統(tǒng)誤差存在。表明有系統(tǒng)

38、誤差存在。表計tt例題例題2-42-4某化驗室測定某化驗室測定CaO的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為30.43%的某樣品中的某樣品中CaO的含的含量，得如下結(jié)果：量，得如下結(jié)果：%05. 0%,51.30, 6sxn問此測定有無系統(tǒng)誤差？問此測定有無系統(tǒng)誤差？( (給定給定 = 0.05%)解解9 . 3605. 043.3051.30nsxsxtx計算57. 25 ,05. 0ttfa，比較：比較：表計算tt說明說明 和和T T 有顯著差異，此有顯著差異，此測定有系統(tǒng)誤差。測定有系統(tǒng)誤差。假設(shè)：假設(shè)： = T = T u檢驗法檢驗法 u 檢驗法與檢驗法與t 檢驗的不同在于用檢驗的不同在于用u分布，而

39、不是分布，而不是用用t分布。分布。例題例題2-5： 某煉鐵廠生產(chǎn)的鐵水，從長期經(jīng)驗知道它的碳含量某煉鐵廠生產(chǎn)的鐵水，從長期經(jīng)驗知道它的碳含量服從正態(tài)分布，服從正態(tài)分布，T為為4.55%， 為為0.08%?，F(xiàn)在又生產(chǎn)了?，F(xiàn)在又生產(chǎn)了5爐鐵爐鐵水，其碳含量分別為水，其碳含量分別為4.28%，4.40%, 4.42%, 4.35%, 4.37%。試問均值有無變化？試問均值有無變化？(給定給定 = 0.05%)解解假設(shè)：假設(shè)： = T 3 .5508.055.436.4nxxux計算表計算uu96. 105. 0u比較：比較：結(jié)論：均值比原來的降低了。（表明生產(chǎn)過程有差異）結(jié)論：均值比原來的降低了。（

40、表明生產(chǎn)過程有差異）(%)36. 45/ )37. 435. 442. 440. 428. 4(x2、兩組平均值的比較、兩組平均值的比較兩個實驗室對同一標(biāo)樣進(jìn)行分析，得到：兩個實驗室對同一標(biāo)樣進(jìn)行分析，得到：111,snx和和222,snx假設(shè)不存在系統(tǒng)誤差，那么：假設(shè)不存在系統(tǒng)誤差，那么：T212) 1() 1(21222211212121nnsnsnsnnnnsxxtpp 是由于隨機(jī)誤差引起的，應(yīng)滿足自由度是由于隨機(jī)誤差引起的，應(yīng)滿足自由度 f =(n1 + n2 2） 的的 t 分布，分布，021 xx兩組平均值的比較的方法兩組平均值的比較的方法1、F 檢驗法檢驗兩組實驗數(shù)據(jù)的精密度檢驗

41、法檢驗兩組實驗數(shù)據(jù)的精密度S1和和S2之間有無之間有無顯著差異：顯著差異：22小大計算ssF查表查表表計算FF精密度無顯著差異。精密度無顯著差異。2、t 檢驗確定兩組平均值之間有無顯著性差異檢驗確定兩組平均值之間有無顯著性差異2) 1() 1(21222211212121nnsnsnsnnnnsxxtpp計算3、查表、查表2)(21nnfftta，表4、比較、比較表計算tt非顯著差異，無系統(tǒng)誤差非顯著差異，無系統(tǒng)誤差具體計算見教材的例題。具體計算見教材的例題。 f大 f小23456219.0019.1619.2519.30 19.3339.559.289.129.018.94 46.946.5

42、96.396.166.0955.795.415.195.054.9565.144.764.534.394.282.3.4 異常值的檢驗異常值的檢驗 Outlier rejection異常值的檢驗方法：異常值的檢驗方法：1. Q 檢驗法檢驗法 Dixons Q-test（1）將測量的數(shù)據(jù)按大小順序排列。）將測量的數(shù)據(jù)按大小順序排列。nxxxx.,321（2）計算測定值的極差）計算測定值的極差R 。（3）計算可疑值與相鄰值之差（應(yīng)取絕對值）計算可疑值與相鄰值之差（應(yīng)取絕對值）d。（4）計算）計算Q值：值：RdQ計算（5）比較：）比較：表計算QQ舍棄。舍棄。舍棄商舍棄商Q值值測定次數(shù)測定次數(shù)n34567