初二數(shù)學(xué)平行分線段成比例定理

1、初二數(shù)學(xué)【教學(xué)進度】幾何第二冊第五章 5.2教學(xué)內(nèi)容平行線分線段成比例定理重點難點剖析一、主要知識點1平行線分線段成比例定理，三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例。2 三角形一邊平行線的性質(zhì)定理（即平行線分線段成比例定理的推論）：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例。3.三角形一邊的平行線的判定定理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線） 所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。4 三角形一邊的平行線的性質(zhì)定理2（即課本例6）:平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應(yīng)成

2、比例。二、重點剖析1. 平行線分線段成比例定理，是研究相似的最重和最基本的理論，同時，它也是直接證明線段成比例的最重要方法之一。定理的基本圖形ADL1 -11DAfL1B EL2EBl2X1F lC FL3CL31/ /1/ 圖1- (1)圖 1- (2)A(D)L1DAL1BE一 l2RE)一 l2CFL3CFL3/圖1-(3)圖1-(4) h / l2 / l3ABBCDEEFABDEBCEFAC DFAC DF10對應(yīng)線段是指一條直線被兩條平行直線截得的線段與另一條直線被這兩條平行直線截得的線段對應(yīng)。為了強調(diào)對應(yīng)和記憶，可以使用一些簡單形象化語言記憶上面所列三組比例式:AB DEBC E

3、FABACDEDFBCACEFDF可以說成“上比下等于上比下”可以說成“上比全等于上比全”可以說成“下比全等于下比全”等2 三角形一邊平行線的性質(zhì)定理1 （即平行線分線段比例定理的推論）基本圖形BC圖 2-(1)圖 2-(2)DE / BCAD AEDBEC圖2 ( 1),圖2 ( 3)稱為“ A”型，圖DB _ CE AC2( 2)稱為“ X ”型推論中“或兩邊的延長線”是指三角形兩邊在第三邊同一側(cè)的延長線3 三角形一邊平行線的判定定理是平行線分線段成比例的推論的逆命題。(1) 這個定理可以用來判定兩條直線平行。(2) 使用時，一定要注意這個定理的前提：截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得對

4、應(yīng)線段成比例。4 平行線分線段成比例定理的逆命題：三條直線截兩條直線，截得的對應(yīng)線段成比例，那么這三條直線平行。它是一個假命題，如圖 3,其中AB=BC ,DE=EF，貝U 空=匹=1，但L2、L3不平行。BC EF5、三角形一邊的平行線的性質(zhì)定理2(即課本例6)，這個定理也叫做相似三角形預(yù)備定理11l3 DE / BC =這時，成比例的線段已經(jīng)不一定分布在兩條直線上。當(dāng)平行于三角形一邊的直線截兩邊的延長線時，這個定 理也成立。圖4是最基本的“ A”型，課本例6中有“ A”型時常 作平行線，把所要研究的線段中， 與其它線段關(guān)系不明顯的線 段平移到關(guān)系明顯的線段上去。典型例題例1、如圖5,在厶A

5、BC中，D是BC上的點，E是AC上的點，AD與BE交于點F,若AE:EC=3:4 , BD:DC=2:3，求 BF:EF 的值。/B-圖4分析：求兩條線段的比值，可通過平行線截得比例線段定理和已知線段的比發(fā)生聯(lián)系，而圖形本身 并沒有平行線，故需添加輔助線一一平行線去構(gòu)造比例線段，進而求出比值。解：過E作EG / BC交AD于G,則在 ADC中,GE AEDC AC又圧仝EC 4AE 3EG 3 AC 7DC 7BD22 “214 DB= DC7x :xDC333314BDx -3.14EG3x9極 EG=3X , DC=7X (X0),則BF BD 14應(yīng)用相似三角形的預(yù)備定理，得再應(yīng)用比例性

6、質(zhì)，即可求出 EF即BD。解： DE / AB ,四邊形BDEF又 EF/BC,EF / BC為平行四邊形,AF BD=EFEFBAFABBDBCBDAF BFD- 圖6BD DC10解之，得BD=(cm)3例 3、如圖 7, A、C、E 和 B、F、D求證：AF/CD分別是/ O的兩邊上的點，且AB / ED、BC / FE。分析 要證明AF/CD，應(yīng)推導(dǎo)出能使AF/CD的比例線段，由題中圖形可知，應(yīng)證明OA OF而由AB/EDOCOD，BC/FE，容易得到此關(guān)系。 OAOBOB (證明：.AB/ED =/ BC/FE OEODOF O由得 OA OD =0B OE由得OC OF=OB OE

7、 OA OD =OC OF則 OA =F AF/CD OC OD點評：本題是采用的是“公比過渡”的方法來解決問題的, “公比”是指兩個或兩個以上的比例式中均有一個公共比， 有時公比是采用乘積式的形式。例4如圖8梯形ABCD中，AB/CD，M為AB的中點，分別連結(jié)AB、E，DB 與 MC分析：要證 首先觀察EF、EFBD、MD、MC，且 AC 與 MD 交于 交于F，求證EF/CDEF/CD，可根據(jù)三角形一邊平行線的判定定理證明，CD截哪個三角形，然后證明它截得兩邊上的對應(yīng)線段成比例即可。CDDECDCFDECF證明： AB/CD ，又I AM=BM EF/CDAMEMMBFMEMFM點評 利用

8、三角形一邊平行線的判定定理證明兩直線平行的一般步驟為：(1)首先觀察欲證平行線截哪個三角形(2)再觀察它們截這個三角形的哪兩邊(3)最后只須證明這兩條邊上對應(yīng)線段成比例即可當(dāng)已知中有相等線段時，常利用它們和同一條線段(或其它相等線段)的比作為中間比例5如圖9， A,B ,C ,分別在 ABC的三邊BC、AC、AB上 或其延長線上，且 AA /BB /CC求證：-999AA BB CC分析 所證結(jié)論中出現(xiàn)的三條線段的倒數(shù)，解決此類問題，一般情況下，要將其轉(zhuǎn)化為線段比的形式。證明： CC 7/AA 竺. CC /BBAA BA生丄CC BC 丄 AC BC + AC _1 AX.CBlxBA圖9C

9、CC _ ACBB 一 AB1 1AA BBBA AB ABAA BB CC點評對于線段倒數(shù)和的證明，常見的方法是化倒數(shù)形式為線段的比的形式，再利用平行線或相似三角又/ EG/ BC,FE EG 9例 2、如圖 6, DE / AB , EF/ BC, AF=5cm, FB=3cm, CD=2cm,求 BD。分析 根據(jù)條件可知 BDEF為平行四邊形，由EF/ BC ,形有關(guān)性質(zhì)進行求解,為線段比的形式。如本題中,要證1 1 1+ =AA BB CC只需證CC .CC，AA BB即將倒數(shù)和的形式化例6如圖10四邊形ABCD中，/ BAD的平分線交 BD于E,BC ADEF/CD 交 BC 于 F

10、,求證：-1BF AB分析 結(jié)論是兩個線段比的差，可分別求出每一組線段的比, 再進行減法運算。證明： AE平分/ BAD AD二DEABBEDBCB在厶BCD中： EF/CD BEBF一得BCAD _ DBDE =1BC AD ,1BFAB BEBEBF AB例7如圖11 ,ADABC的角平線，BF丄AD的延長線于 F, AM丄AD于A交BC的延長線于 M , FC的延長線交 AM于E,求證：AE=EM分析 要證AE=EM，可利用比例緞來證明，而由BF丄AF ,可延長BF交AC延于N，構(gòu)造等腰三角形， 利用等腰三角形性質(zhì)有 BF=FN，再由BN/AM ,A圖11得比例線段，即可得出結(jié)論。證明：

11、延長 BF 交 AC 的延長線于 N/ AF 丄 BFBFA= / NFA=90 0 又 BAF= / NAF , AF=AF ABF ANF BF=NF/ BF 丄 AF AM 丄 AF / BF/AMBFFCENEMECAEFCCEBF FN-： 又T BF=FN EM=AEEM AE點評（1）有和角平分線垂直線段時常把它延長，構(gòu)造等腰三角形，利用等腰三角形性質(zhì)證題（2）禾U用比例證明線段相等主要有以下形式=1 二 a =b b b d 二 a 二Cb =d_ a ca =cb ba=c b d = b =da =c例8如圖12把線段AB分成2: 3兩部分3aC圖12那么DE/BC3.如圖

12、DE/BCAD2DB3那么AC =DEECBCADEB F c（第1 題）分析利用平行線分線段成比例定理作圖 作法；1.以點A為端點，作射線 AM2. 在AM 上順次截 AD=2a , DE=3a （a為任意長）3. 連結(jié)BE,過點D作DC/BE交AB于C,則點C即為所求練習(xí)與測試1. 如圖 ABC 中，D、E、F 分別在 AB、AC、BC 上, 且 DE/BC , EF/AB , AD=9 , EF=6, CF=5 ,則 BF=2. 直線DE分別交 ABC的邊AB、AC于點D、E, 且 AD=4cm , AE=6cm、AB=12cm , AC=AE/_FB （第4題）CDC/ EFGH（第6

13、題）4. 如圖在 _ ABCD中，E在AD上，bf且 4AE=5DE , CE 交 BD 于 F,貝U=DF 5. 如圖，梯形 ABCD中，AD/BC，對角線 AC、BD相交于 O, CE/AB交BD的延長線于 若 OB=6 , OD=3，貝U DE=6. 如圖，已知 DC/EF/GH/AB ,AB=30 , CD=6，且 DE: EG : GA=1 : 2:貝U EF=GH=7. 如圖，在ABCD中，01、O2、O3分別為對角線 BD上三點， 且 BO1=O1O2=O2O3=O3D，連結(jié) AO1，并延長交 連結(jié)EO3,并延長交 AD于點F,則AD : FD=& 圖，l1 /l2 ,AF=2G

14、B , BC=4CD ,5若 AE=k EC，貝U k=9.如圖，CD是厶ABC的角平分線，點 E 在 AC 上, AD =AE =2 , AC=10，求 DE AC 5中，E為AC的中點，BCAB11.已知，C是線段AB上一點，分別以 AC、ACD 和 BCE ,ADAB10.如圖，CD是厶ABCD為BC上的點，且BD=AB，求證:3,E, l 2BC D（第8題）BC 于 E,BD（第10題）ENMAFADO2 03Oi一BE C（第7題）ABC（第9題）一 A MBC（第 13題（1）DAG =GD BCM（N）為邊，在AB的同側(cè)作兩個等邊三角形AE交CD于F，BD交CG于G，求證FG/

15、AB12. 已知，BD ABC的角平分線，丨交AB于E,求證： 1. 1= 1AB BC DE13. 已知，如圖（1）,梯形ABCD中，AD/BC , E、F 分別在 AB、CD 上，且EF/BC , EF分另【J交BD、AC 于 M、N。 求證ME=NF 當(dāng)EF向上平移 圖（2）各個位置其他條件不變時,的結(jié)論是否成立，請證明你的判斷。DE/BC ,BC第13題（2）NEFBC（第13題（2）MBC（第13題（2）練習(xí)與測試參考解答或提示1551 ; 2. 18cm；3.-2，-；4. 9: 4;5. 9；6.10, 18;7.9: 1;8. 2;9. 6235AGAEBCEC10.提示，過D作DH/AC交BG于H點，則一=又 AE=EC , BD=AB，即可GDDHBDDH得結(jié)論。11.略證，由/ DCA=