結構有限元法(緒論)

1、有限元分析有限元分析 (FEA) 方法方法結構力學的研究對象 桿件結構，如桁架、剛架等，桿件的幾何特征是長度比橫截面尺寸大得多。彈性力學的研究對象 非桿件結構如扳、殼結構、實體結構等，這些結構的幾何特征是它的厚度要比長度和寬度小得多，或長、寬、厚三個尺度大小屬于同一量級。 結構力學剛架位移法： 先取基本體系，把剛架拆成多個單元(桿件)，作單元分析，再將桿件組合成整個剛架，建立剛架位移法的基本方程，作整體分析。 在這一分一合、先拆后搭的過程中，把復雜結構的計算問題，轉化為簡單的單元分析和集合問題，這就是有限單元法的雛形。 解析法： 由于數(shù)學上的困難，通常只有某些簡單向題才能得到解析的解答，而對于

2、多數(shù)復雜結構問題，目前還沒能得到閉合解?，F(xiàn)在，為了求解這些復雜問題，唯一的途徑是應用數(shù)值法，求得問題的近似解。 數(shù)值法分為兩類：第一類是在解析法的基礎上進行數(shù)值計算。它的要點是對基本微分方程采用近似的數(shù)值解法，如將微分改為差分，建立差分方程，得有限差分法，第二類是在力學模型上進行近似的數(shù)值計算。它的基本點是將連續(xù)體簡化為由有限個單元組成的離散化模型，再對離散化模型求出數(shù)值解答，對這類方法的代表就是近三十年發(fā)展起來的有限單元法。 有限單元法具有如下的優(yōu)點：(1) 物理概念清晰 有限元法一開始就從力學角度進行簡化，使初學者易于入門。(2) 可以在不同的水平上建立起對該法的理解 它可以從通俗易懂的結

3、構力學方法出發(fā)，闡述其基本原理和公式推導，也可以利用變分原理為該法建立起嚴格的數(shù)學解釋。 (3) 有較強的靈活性與適用性 它不僅能處理力學分析中的復雜的幾何形狀，任意的邊界條件，非均質各向異性材料，結構中包含桿件、板、殼等不同類型的構件，非線性應力應變關系，還能用來求解流體力學、熱傳導以及電磁場等領域的許多問題。目前，它幾乎適用于求解所有的連續(xù)介質和場的問題。(4) 采用矩陣表達形式 便于編制計算機程序，能充分利用高速電子計算機這個現(xiàn)代化工具。 因此，有限元法已被公認為力學分析中的新穎而又有效的數(shù)值方法。 有限單元法的發(fā)展歷史 有限單元法最初是在五十年代作為處理固體力學問題的方法出現(xiàn)的。 追溯

4、歷史，早在一九四三年，庫蘭特(courant)已應用了“單元”概念。在一九五六年，特納(Turner)等人把剛架位移法的解題思路，推廣應用于彈性力學平面問題。他們把連續(xù)體劃分成一個個三角形的和矩形的單元，單元中位移函數(shù)首先采用了近似表達式，推導了單元剛度矩陣，建立了單元結點位移與結點力之間的單元剛度方程。 近幾十年來，隨著電子計算機的高速化和普遍化，有限元繼續(xù)不斷地向更加廣闊、更加深入的方面發(fā)展。 有限單元法的發(fā)展借助于兩個重要工具，在理論推導方面，采用了矩陣方法，在實際計算中，采用了電子計算機。有限元、矩陣、計算機是三位一體的。由于有了現(xiàn)代化的、先進的計算工具，使得有限單元法近年來以驚人的速

5、度驟然崛起。有限單元法的應用有限單元法的應用 有限單元法在應用上已遠遠超過了原來的范圍。它已由彈性力學平面問題擴展到空間問題和板殼問題，能對原子能反應堆、拱壩、飛機、船體、渦輪葉片等復雜結構進行應力分析；它已出平衡問題擴展到穩(wěn)定問題與動力問題，由彈性問題擴展到彈塑性與粘彈性問題，由結構的應力分析擴展到結構的優(yōu)化設計。除此，它在流體力學、熱傳導、磁場、建筑聲學、生物力學等等方面部有不同程度的應用。 用有限單元法解彈性力學問題，初學者并不需要掌握彈性力學的全部理論，但對其中的某些基本概念和基本方程卻要有所了解。為此，本節(jié)將對這些概念和方程作簡要的介紹，作為下面各章介紹彈性力學有限單元法的導引。 彈

6、性力學的基本假定 彈性力學在處理問題方面比材料力學更廣泛、但彈性力學仍必須作一些基本的假設；（1）假設物體是線性彈性的 即物體在引起形變的外力被除去以后，能夠完全恢復其原來的形狀，這種性質稱為“彈性”。如果材料又服從虎克定律，即外力與變形之間的關系成正比，這種彈性就叫做“線性彈性”。在這一假定下的物體只能發(fā)生線性彈性變形。（2）假設物體是連續(xù)的 這假設認為整個物體的體積都被組成這個物體的物質所填滿，而不留下任何空隙。這樣物體中應力、應變和位移等等物理量就可看成是連續(xù)的，因而我們就可用坐標的連續(xù)函數(shù)來表示它們的變化規(guī)律。（3）假設物體是均勻的，各向同性的 均勻假設是認為整個物體是由同一種材料組成

7、的，在這種情況下物體內部各點的物理性質都是相同的，反映這些物理性質的彈性常數(shù)，加彈性模量、泊松比等都不隨位置坐標而變化。因此，我們可以取出物體中的任意一小部分來加以研究，然后把研究的結果用于整個物體。物體各向同性的假設是認為物體的彈性在所有各個方向都相同，各個彈性常數(shù)不隨方向而變化。（4）假設物體的位移和應變是微小的 該假設認為物體在外力作用下，整個物體所有各點的位移都遠遠小于物體的原來尺寸。經過這樣假定以后，有以下好處 1）在考察物體的應變和位移時，我們可以將它們的二次冪或乘積略去不計。因此彈性力學中的微分方程都可簡化為線性的微分方程，由此得小位移可以應用迭加原理。 2）建立物體變形以后的平

8、衡方程時，可用變形以前的尺寸代替變形以后的尺寸，而不致引起顯著的誤差。有限元分析 (FEA)有限元分析有限元分析 是利用數(shù)學近似的方法對真實物理系統(tǒng)是利用數(shù)學近似的方法對真實物理系統(tǒng)（幾何和載荷工況）進行模擬。還利用簡單而又相互（幾何和載荷工況）進行模擬。還利用簡單而又相互作用的元素，即單元，就可以用有限數(shù)量的未知量去作用的元素，即單元，就可以用有限數(shù)量的未知量去逼近無限未知量的真實系統(tǒng)。逼近無限未知量的真實系統(tǒng)。定義定義物理系統(tǒng)舉例 幾何體幾何體 載荷載荷 物理系統(tǒng)物理系統(tǒng)結構結構熱熱電磁電磁有限元模型真實系統(tǒng)真實系統(tǒng)有限元模型有限元模型 有限元模型有限元模型 是真實系統(tǒng)理想化的數(shù)學抽象是真

9、實系統(tǒng)理想化的數(shù)學抽象。定義定義自由度（DOFs）自由度自由度(DOFs) 用于描述一個物理場的響應特性用于描述一個物理場的響應特性。結構結構 DOFs 結構結構 位移位移 熱熱 溫度溫度 電電 電位電位 流體流體 壓力壓力 磁磁 磁位磁位 方向方向 自由度自由度ROTZUYROTYUXROTXUZ節(jié)點和單元節(jié)點節(jié)點: 空間中的坐標位置，具有一定空間中的坐標位置，具有一定自由度和自由度和 存在相互存在相互物理作用物理作用。單元單元: 一組節(jié)點自由度間相互作用的一組節(jié)點自由度間相互作用的數(shù)值、矩陣描述（稱為剛度或系數(shù)矩數(shù)值、矩陣描述（稱為剛度或系數(shù)矩陣陣)。單元有線、面或實體以及二維或。單元有線

10、、面或實體以及二維或三維的單元等種類。三維的單元等種類。有限元模型由一些簡單形狀的有限元模型由一些簡單形狀的單元單元組成，單組成，單元之間通過元之間通過節(jié)點節(jié)點連接，并承受一定連接，并承受一定載荷載荷。載荷載荷載荷載荷節(jié)點和單元 (續(xù))l 每個單元的特性是通過一些線性方程式來描述的。每個單元的特性是通過一些線性方程式來描述的。l 作為一個整體，單元形成了整體結構的數(shù)學模型。作為一個整體，單元形成了整體結構的數(shù)學模型。l 盡管梯子的有限元模型低于盡管梯子的有限元模型低于100100個方程（即個方程（即“自由度自由度”），然而在今天一個小的），然而在今天一個小的 ANSYSANSYS分析就可能有分

11、析就可能有50005000個未個未知量，矩陣可能有知量，矩陣可能有2525，000000，000000個剛度系數(shù)。個剛度系數(shù)。歷史典故歷史典故 ANSYS ANSYS最早是在最早是在19701970年發(fā)布的，運行在價格為一百年發(fā)布的，運行在價格為一百萬美元萬美元、由由IBMIBM生產的計算機上，它們的處理能力遠遠落后生產的計算機上，它們的處理能力遠遠落后于今天的于今天的PCPC機。一臺奔騰機。一臺奔騰PCPC機在幾分鐘內可求解機在幾分鐘內可求解5000500050005000的矩陣系統(tǒng)，而過去則需要幾天時間。的矩陣系統(tǒng)，而過去則需要幾天時間。節(jié)點和單元 (續(xù))信息是通過單元之間的公共節(jié)點傳遞的

12、。信息是通過單元之間的公共節(jié)點傳遞的。分離但節(jié)點重疊的單元分離但節(jié)點重疊的單元A和和B之間沒有信息傳遞之間沒有信息傳遞（需進行節(jié)點合并處理）（需進行節(jié)點合并處理）具有公共節(jié)點的單元具有公共節(jié)點的單元之間存在信息傳遞之間存在信息傳遞 .AB.AB.1 node2 nodes節(jié)點和單元 (續(xù))節(jié)點自由度是隨連接該節(jié)點節(jié)點自由度是隨連接該節(jié)點 單元類型單元類型 變化的。變化的。JIIJJKLILKIPOMNKJIL三維桿單元三維桿單元 (鉸接鉸接)UX, UY, UZ三維梁單元三維梁單元二維或軸對稱實體單元二維或軸對稱實體單元UX, UY三維四邊形殼單元三維四邊形殼單元UX, UY, UZ,三維實體

13、熱單元三維實體熱單元TEMPJPOMNKJIL三維實體結構單元三維實體結構單元ROTX, ROTY, ROTZROTX, ROTY, ROTZUX, UY, UZ,UX, UY, UZ單元形函數(shù)FEAFEA僅僅求解節(jié)點處的僅僅求解節(jié)點處的DOFDOF值。值。單元單元形函數(shù)形函數(shù)是一種數(shù)學函數(shù)，規(guī)定了從節(jié)點是一種數(shù)學函數(shù)，規(guī)定了從節(jié)點DOFDOF值到單元內所值到單元內所有點處有點處DOFDOF值的計算方法。值的計算方法。因此，單元形函數(shù)提供出一種描述單元內部結果的因此，單元形函數(shù)提供出一種描述單元內部結果的“形狀形狀”。單元形函數(shù)描述的是給定單元的一種單元形函數(shù)描述的是給定單元的一種假定假定的特

14、性。的特性。單元形函數(shù)與真實工作特性吻合好壞程度直接影響求解精度。單元形函數(shù)與真實工作特性吻合好壞程度直接影響求解精度。真實的二次曲線真實的二次曲線.節(jié)點節(jié)點單元單元 二次曲線的線性近二次曲線的線性近 (不理想結果不理想結果).2單元形函數(shù)(續(xù))節(jié)點節(jié)點單元單元 DOF值二次分布值二次分布.1節(jié)點節(jié)點 單元單元 線性近似線性近似(更理想的結果更理想的結果)真實的二次曲線真實的二次曲線. . . .3節(jié)點節(jié)點單元單元二次近似二次近似 (接近于真實的二次近似擬合接近于真實的二次近似擬合) (最理想結果最理想結果).4單元形函數(shù)(續(xù))遵循遵循: DOFDOF值可以精確或不太精確地等于在節(jié)點處的真實解

15、，但值可以精確或不太精確地等于在節(jié)點處的真實解，但單元內的平均值與實際情況吻合得很好。單元內的平均值與實際情況吻合得很好。這些平均意義上的典型解是從單元這些平均意義上的典型解是從單元DOFsDOFs推導推導出來的（如出來的（如，結構應力，熱梯度）。，結構應力，熱梯度）。如果單元形函數(shù)不能精確描述單元內部的如果單元形函數(shù)不能精確描述單元內部的DOFsDOFs，就不能就不能很好地得到導出數(shù)據(jù)，因為這些導出數(shù)據(jù)是通過單元形很好地得到導出數(shù)據(jù)，因為這些導出數(shù)據(jù)是通過單元形函數(shù)推導出來的。函數(shù)推導出來的。單元形函數(shù)(續(xù))遵循原則遵循原則: 當選擇了某種單元類型時，也就十分確定地選擇并當選擇了某種單元類型時，也就十分確定地選擇并接受接受該種單元類型所假定的單