2021年構(gòu)造平行四邊形證幾何題技巧

1、精品資料歡迎下載構(gòu)造平行四邊形證幾何題技巧總結(jié)總論：一、有關(guān)線段的證明. 構(gòu)造平行四邊形證兩線段平行. 構(gòu)造平行四邊形證兩線段相等. 構(gòu)造平行四邊形證線段的不等關(guān)系. 構(gòu)造平行四邊形證線段的倍分關(guān)系. 構(gòu)造平行四邊形證兩線段相互平分. 構(gòu)造平行四邊形證線段的和差關(guān)系二、有關(guān)角的證明. 構(gòu)造平行四邊形證角的不等關(guān)系與相等關(guān)系三、有關(guān)點的證明、證三線共點四、有關(guān)線段長度、角的度數(shù)、面積等運算與證明、在運算角的度數(shù)中的妙用10. 在運算線段長度中的妙用1 、證特別圖形1 、證面積問題在證明或運算某些幾何問題時，如能依據(jù)圖形的特點，添加恰當(dāng)?shù)膸椭€構(gòu)造出平行四邊形，并利用其性質(zhì)可使問題化難為易，化繁為

2、簡，下面舉例說明；一、有關(guān)線段的證明 . 構(gòu)造平行四邊形證兩線段平行例 1. 已知如圖，平行四邊形abcd 的對角線 ac 和 bd 交于 o， e、f 分別為 ob 、od 的中點，過 o 任作始終線分別交 ab 、cd 于 g、h；求證： gf/eh ；證明：連結(jié) ge、fh四邊形 abcd 是平行四邊形oaoc,baodco 又aogcohaogcohogoh又 oeof四邊形 ehfg 是平行四邊形gf / eh例 2 在 abc中， ae、bd、cf為中線， fmbd，dm ab；求證： mcae證明： 連結(jié) am、fd；fmbd，dm ab，四邊形 fbdm為平行四邊形ambfdm

3、af bfafdm四邊形 afdm為平行四邊形amfd又 f、d、e 分別為 ab、ac、bc邊中點fdecamec，四邊形 aecm為平行四邊形 mcae；fdbec . 構(gòu)造平行四邊形證兩線段相等例 3. 如圖，abc 中， d 在 ab 上， e 在 ac 的延長線上， bd=ce 連結(jié) de ，交 bc 于 f， bac 外角的平分線交 bc 的延長線于 g，且 ag/de ；求證： bf=cf分析：過點 c 作 cm/ab交 de 于點 m ，可以證明 bd=cm ，然后再利用平行四邊形的性質(zhì)得到bf=cf證明：過點 c 作 cm/ab交 be 于點 m ，連接 bm 、cd ，就

4、cme= adeag / de且 12ade cmecmce1,e2e bdbd / cm四邊形 bmcd 為平行四邊形故 bf=cf . 構(gòu)造平行四邊形證線段的不等關(guān)系例 4. 如圖， ad 是 abc 的邊 bc 上的中線，求證： ad1 ab2ac 分析：欲證 ad1 ab2ac ，即要證2adabac ，設(shè)法將 2ad 、ab 、ac 歸結(jié)到一個三角形中，利用三角形任意兩邊之和大于第三邊來證明；留意到ad 為 abc 的中線，故可考慮延長ad 到 e，使 de=ad ， 就四邊形 abec 為平行四邊形；從而問題得證；證明：延長 ad 到 e，使 de=ad ，連結(jié) be 、ecadd

5、e, bddc四邊形 abec 是平行四邊形beac在abe 中， aeab+be即 2adbd求證： dbc acb證明：過點 d 作 de/ac 交 bc 的延長線于點e，就四邊形 aced 是平行四邊形acb又ace, acde bddebd在bde 中， dbe edbcacb例 11如圖，在四邊形 abcd中， ad=bc，e、f 分別是 cd、ab的中點，直線 ef分別交 bc、ad延長線于 s、t，求證： atf=bsf.stcdehafbg【分析】由于 atf和 bsf不在同一個三角形內(nèi)，又不行能在兩個全等的三角形內(nèi)，所以需要把兩個角轉(zhuǎn)移， 由此想到會通過某些點做平行線，再結(jié)合

6、平行四邊形性質(zhì)和全等三角形性質(zhì)以達(dá)到目的.證明 過點 f 做 ghcd，且 fg=fh，連接 dg、ch、ag、bh.就四邊形 dghc和四邊形 agbh是平行四邊形. ag=b，hdg=c，h dg/sf/ch. adg=atf， bch=bsf.又 ad=bc， adg bch（ sss）， adg=bch， atf= bsf.三、有關(guān)點的證明、證三線共點例 12求證：四邊形兩組對邊中點連線與兩對角線中點連線這三線共點.ldaemnof【分析】如圖，即證 ef、mn和 hl三線共點，易猜想這三線兩兩相互平分，結(jié)合平行四邊形對角線性質(zhì)，可想到構(gòu)造平行四邊形 .證明如圖，設(shè) n、h、m、l、f

7、、e 分別為 ab、bc、cd、da、ac、bd的中點，只需證明 ef、lh 和ml三線共點 .連接 le，eh，hf，lf，ne，em，mf，fn.就 le、hf分別為 abd和 abc的中位線，所以 le1 ab，hf21 ab，所以 lehf，故四邊形 ehfl是平行四邊形，設(shè) ef，lh 相交于 o，就 o平分 ef.2同理可證：四邊形 nfme是平行四邊形，所以 mn平分 ef，即 mn經(jīng)過點 o.故 ef，lh，mn三線共點 .四、有關(guān)線段長度、角的度數(shù)、面積等運算與證明、在運算角的度數(shù)中的妙用例 13如圖，在等腰 abc中，延長邊 ab到點 d，延長邊 ca到點 e，連結(jié) de，

8、恰有 ad=bc=ce=，de求 bac的度數(shù) .eacdbf【分析】題設(shè)條件給出的是線段的等量關(guān)系，要求的卻是角的度數(shù)，相等的線段可得到全等三角形、特別三角形，為此需通過構(gòu)造平行四邊形轉(zhuǎn)變它們的位置.證明 過點 c做 cf/ad，過點 d做 df/bc，cf與 df相交于 f，連結(jié) ef.就四邊形 dbfc是平行四邊形，所以 df=bc，fc=db.ade中，ad=ed，其底角 ead必為銳角， 就 bac必為鈍角， 必為 abc的頂角，所以 ab=ac，又 ec=ad， ae=db， ae=fc. ad/fc， ead=ecf， ade cef（sas）， ef=de，從而 de=df=e

9、，f 故 edf是等邊三角形 .180 0a設(shè) bac=a ，就 adf=abc=2， dae=180 0a ， ade=180-2 0180 0adae=180 02180 0a2a180 0 . 由于 adf+ade=edf=600 ，所以：2+2a180 0 600 ，解之得 a100 0 ，即 bac=100 0 .10. 在運算線段長度中的妙用00例 14四邊形 abcd中，已知 ab= 6 ，bc=53 ，cd=6 ，abc=135 ，bcd=120 ，求 ad的長.fbceagd【分析】所給的條件與要求的 ad無法直接建立關(guān)系，因此需要將ad轉(zhuǎn)移到某個特別三角形內(nèi)，留意到 abc

10、和 bcd的補(bǔ)角的度數(shù)分別是450 和 60 0 ，不難做出幫助線了 .解 過點 a作 afcb于 f，過點 d作 de bc于 e，就 af/de，再過點 f 作 fg/ad 交 de于 g，那么四邊形 afgd為平行四邊形 .abc=135 0 ， bcd=120 0fba=45 0 ， ecd=600在 rtabf中，af=bf=2 ab= 321ce=2cd=3在 rtced中，de=cd 2ce 262323 3eg=de-dg=de-a2f=3 ，ef=fb+bc+ce=8在 rt feg中，fg=fe 2eg 22 19故 ad=2191、證特別圖形例 15如圖 6，在梯形 ab

11、cd 中，ab cd ，ac = bd .求證：梯形 abcd 是等腰梯形.證明：過 c 點作 ce bd 交于 ab 的延長線于點 e，就四邊形 cdbe 是平行四邊形 .bd = ce ， 1 = e .又 ac = bd ， ac = ce ，dc 2 = e .又 ab = ba ， dab cba . ad = bc . 梯形 abcd 是等腰梯形 .1、證面積問題例 16 如圖 7，e 是梯形 abcd 腰 dc 的中點 .121aeb（圖 6）求證： sabe =2s 梯形 abcd .證明：過點 e 作 mn ab ，交 bc 于 n，交 ad 的延長線于 m ，就四邊形 ab

12、nm是平行四邊形 .1 s abe =s 平行四邊形 abnm.d2am又 ad bc， de = ce ,1 1 = c， m = 2 ，e emd enc . s 梯形 abcd = s 平行四邊形 abnm，12bnc（圖 7） s abe =s 梯形 abcd .2同步練習(xí)：1. 如圖 1，在梯形 bced 中， de/bc 延長 bd 、ce 交于 a ，在 bd 上截取 bf=ad ；過 f 作 fg/bc 交 ec 于g，求證： de+fg=bc ；2. 如圖 2，abc 中， ab=ac ， e 是 ab 上一點， f 是 ac 延長線上一點， be=cf ， ef 交 bc

13、于 d ；求證： de=df3. 如圖 3，平行四邊形abcd 中， e、g、f、h 分別是四條邊上的點，且ae=cf ， bg=dh ，求證： ef 與 gh相互平分4. 如圖 4，已知 ab=ac ，b 是 ad 的中點， e 是 ab 的中點，求證 cd=2ce5. 已知：如圖 5 在四邊形 abcd 中， ab=dc ，ad=bc ，點 e 在 bc 上，點 f 在 ad 上， af=ce ， ef 與對角線 bd 相交于點 o，求證： o 是 bd 的中點； 、如圖，在 abc 中， ab=10 ， ac=6 ，那么 bc 上的中線 ad 的取值范疇是 、如圖，六邊形 abcdef

14、中，如 a= b= c= d= e= f，且 ab+bc=11 ， af cd=3 ，就 bc+de等于多少？ 、如圖，已知 abc 中，ab=ac ，d 是 ab 上的一點， e 是 ac 延長線上的一點， 且 db=ce ，試說明 debc 提示：1. 過點 f 作 fm/ac交 bc 于點 m ，就有平行四邊形fmcg ；2. 過 e 作 eg/ac 交 bc 于 g，連結(jié) ce、gf；3. 連結(jié) fh、he 、eg、gf4. 延長 ce 至 f，使 ef=ce，連結(jié) af 、bf；5. 連結(jié) bf、deabdc, adbc四邊形 abcd 是平行四邊形fd / be又 adfdbc, afcebe四邊形 bedf 是平行四邊形o 是 bd 的中點 、如圖，在 abc 中， ab=10 ，ac=6 ，那么 bc 上的中線 ad 的取值范疇是解析：延長 ad 至 e，使 ed=ad ，連結(jié) be 、ce，就四邊形abec 為平行四邊形，所以be=ac ，在 abe 中，由于abbeaeab+be，即 10 62ad10+6, 故知 2adbc 解析：由于 de、bc 不在同一三角形中，其大小不好比較，把 de 沿著 ab 平移到 bf，連結(jié) cf、ef ，就可得四邊形 bdef