(課件)高一數(shù)學(xué)(函數(shù)的最值)分析

1、1.3.1 1.3.1 單調(diào)性與最大（?。┲祮握{(diào)性與最大（小）值 第三課時第三課時 函數(shù)的最值函數(shù)的最值問題提出問題提出1.1.確定函數(shù)的單調(diào)性有哪些手段和方法？確定函數(shù)的單調(diào)性有哪些手段和方法？2.2.函數(shù)圖象上升與下降反映了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)圖象上升與下降反映了函數(shù)的單調(diào)性，如果函數(shù)如果函數(shù)的圖象存在最高點或最低點，它又的圖象存在最高點或最低點，它又反映了函數(shù)的什么性質(zhì)？反映了函數(shù)的什么性質(zhì)？( )f x知識探究（一）知識探究（一）觀察下列兩個函數(shù)的圖象：觀察下列兩個函數(shù)的圖象： 圖圖1ox0 xMy思考思考1:1:這兩個函數(shù)圖象有何共同特征？這兩個函數(shù)圖象有何共同特征？思考思考2:2:設(shè)

2、函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)y=f(x)圖象上最高點的縱坐標(biāo)為圖象上最高點的縱坐標(biāo)為M，則對函數(shù)定義域內(nèi)任意自變量則對函數(shù)定義域內(nèi)任意自變量x x，f(x)f(x)與與M的大小的大小關(guān)系如何？關(guān)系如何？y yx xox0圖圖2M函數(shù)圖象上最高點的縱坐標(biāo)是不是函數(shù)值的最大值？函數(shù)圖象上最高點的縱坐標(biāo)是不是函數(shù)值的最大值？思考思考3:3:設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) ，則，則 成立嗎？成立嗎？ 的最大值是的最大值是2 2嗎？為什么？嗎？為什么？2( )1f xx ( )2f x ( )f x( )f x思考思考4:4:怎樣定義函數(shù)怎樣定義函數(shù) 的最大值？用什么符號的最大值？用什么符號表示？表示？( )yf x0()f

3、xM( )f xM一般地，設(shè)函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù) 的定義域為的定義域為I I，如果存在，如果存在實數(shù)實數(shù)M滿足：滿足：（1 1）對于任意的）對于任意的 , , 都有都有 ；（2 2）存在）存在 ，使得，使得 . . 那么稱那么稱M是函數(shù)是函數(shù) 的最大值，記作的最大值，記作0 xIxI( )yf xmax( )f xM思考思考5:5:函數(shù)的最大值是函數(shù)值域中的一個元函數(shù)的最大值是函數(shù)值域中的一個元素嗎？如果函數(shù)素嗎？如果函數(shù) 的值域是的值域是(a,b)(a,b)，則函，則函數(shù)數(shù) 存在最大值嗎？存在最大值嗎？ ( )f x( )f x思考思考6:6:函數(shù)函數(shù) 有最大有最大值嗎？為什么？值嗎？為什么？

4、21,( 1,)yxx 圖圖1yox0 xm知識探究（二）知識探究（二）觀察下列兩個函數(shù)的圖象：觀察下列兩個函數(shù)的圖象： xyox0圖圖2m思考思考1:1:這兩個函數(shù)圖象各有一個最低點，函數(shù)圖這兩個函數(shù)圖象各有一個最低點，函數(shù)圖象上最低點的縱坐標(biāo)是不是函數(shù)值的最小值？象上最低點的縱坐標(biāo)是不是函數(shù)值的最小值？思考思考2:2:仿照函數(shù)最大值的定義，怎樣定義函數(shù)仿照函數(shù)最大值的定義，怎樣定義函數(shù) 的最小值？的最小值？ ( )f x( )yf x0( )f xm( )f xm一般地，設(shè)函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù) 的定義域為的定義域為I I，如果存在實數(shù)如果存在實數(shù)m滿足：滿足：（1 1）對于任意的）對于任意的

5、 , , 都有都有 ; ; （2 2）存在）存在 ，使得，使得 . . 那么稱那么稱m是函數(shù)是函數(shù) 的最小值，記作的最小值，記作0 xIxI( )yf xm( )inf xm知識探究（三）知識探究（三）12()( )()f xf xf x思考思考1:1:如果在函數(shù)如果在函數(shù) 定義域內(nèi)存在定義域內(nèi)存在x x1 1和和 x x2 2，使對定義域內(nèi)任意使對定義域內(nèi)任意x x都有都有成立，由此你能得到什么結(jié)論？成立，由此你能得到什么結(jié)論？( )f x思考思考2:2:對一個函數(shù)就最大值和最小值的存在性而對一個函數(shù)就最大值和最小值的存在性而言，有哪幾種可能情況？言，有哪幾種可能情況？( )f x思考思考3

6、:3:如果函數(shù)如果函數(shù) 存在最大值，那么有幾個？存在最大值，那么有幾個？( )f x思考思考4:4:如果函數(shù)如果函數(shù) 的最大值是的最大值是b b，最小值是，最小值是a a，那么函數(shù)那么函數(shù) 的值域是的值域是aa，bb嗎？嗎？( )f x( )f x思考思考5:5:如果函數(shù)如果函數(shù) 的值域是的值域是aa，bb，那么函，那么函數(shù)數(shù) 的最大值是的最大值是b b，最小值是，最小值是a a嗎？嗎？( )f x求值域的方法：1.配方法2.換元法3.單調(diào)性法理論遷移理論遷移 2,2,61f xxx 2,2,61f xxx例例1 1已知函數(shù)已知函數(shù) ，求函數(shù)，求函數(shù) 的最大值和最小值的最大值和最小值. . 2

7、,2,61f xxx( )f x例例2 2 設(shè)設(shè) 為常數(shù)，如果當(dāng)為常數(shù)，如果當(dāng) 時，函時，函數(shù)數(shù) 的值域也是的值域也是1,b,1,b,求求b b的值的值. .1b 1, xb213( )22f xxx一、利用函數(shù)圖像求函數(shù)最值( )13(1)(2)(3)( )f xxxf x例1.已知函數(shù)畫出函數(shù)圖像求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間根據(jù)圖像寫出的最小值補充內(nèi)容：反比例函數(shù)與變換反比例函數(shù)與變換1-1100100yyyyxxxx畫出反比例函數(shù)，,的圖像.（1）這些函數(shù)的定義域分別是什么？（2）它們在定義域上的單調(diào)性分別是怎樣的？證明你的結(jié)論。1-1100100,00,yyyyxxxx,，,的定義域都是：1100

8、,00,yyxx,都是在和上是減函數(shù)。-1100,00,yyxx,都是在和上是增函數(shù)。由解析式和圖像可知：(0),(0)aayayaxx思考：函數(shù)的定義域是什么？她們在定義域上的單調(diào)性是怎么樣的？(0),(0),00,aayayaxx函數(shù)的定義域都是(0),00,ayax函數(shù)在和上是減函數(shù)。(0),00,ayax函數(shù)在和上是增函數(shù)。結(jié)論：(0),(0)11kkykykxx思考：函數(shù)的定義域是什么？它們在定義域上的單調(diào)性是怎么樣的？(0),(0),-1-1,+1+1kkykykxx函數(shù)的定義域都是(0), 11,+1kykx 函數(shù)在和上是減函數(shù)。(0), 11,+1kykx 函數(shù)在和上是增函數(shù)。

9、結(jié)論：分子上的常數(shù)的正負(fù)決定增減性，分母中的常數(shù)決定單調(diào)區(qū)間的位置。kyxa反比例函數(shù)：11yx 例1.求函數(shù)的單調(diào)性。111yx 變式訓(xùn)練1.判斷函數(shù)的單調(diào)性。23axyx變式訓(xùn)練2.判斷函數(shù)的單調(diào)性。1,2+1_.ayxa例2.若函數(shù)在區(qū)間都是減函數(shù)，則 的取值范圍是 ( )(0,0)bf xaxabx雙鉤函數(shù)1（）該函數(shù)的定義域是什么？2（ ）該函數(shù)在定義域上的單調(diào)性怎樣？定義域：(- ,0),(0,+ ) , 2, 2,abab 值域： ( )(0,0)bf xaxabx雙鉤函數(shù)的圖像定義域：(- ,0),(0,+ ) , 2, 2,abab 值域：(,),(,)(,bbaabbaa

10、增函數(shù)0)由圖像可知：函數(shù)在上為。 在上為,(0,)減函數(shù)。 2.yxx例1.判斷函數(shù)在(0,+ )的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論2( )22f xxx解：函數(shù)在(0,)上為減函數(shù)，在,+ )上為增函數(shù)。2( )2f xxx先證明：函數(shù)在(0,)上為增函數(shù)12121222( )()f xf xxxxx有121222xxxx12122()(1)xxx x1212122()()x xxxx x1212,0 xxxx1212,(0,2),20 x xx x又1212( )()0,( )()f xf xf xf x即2( )0,2f xxx函數(shù)在上為增函數(shù)1212,(0,2),x xxx證明：任取且2( )

11、2 +f xxx再證明：函數(shù)在(,)上為增函數(shù)12121222( )()f xf xxxxx有121222xxxx12122()(1)xxx x1212122()()x xxxx x1212,0 xxxx1212,( 2 + ),20 x xx x 又，1212( )()0,( )()f xf xf xf x即2( )2,f xxx函數(shù)在上為增函數(shù)1212,( 2 + ),x xxx證明：任取，且2(1)( )2 +(2)( )2,4yxxf xf x變式訓(xùn)練1.已知函數(shù)，求證：在，上是增函數(shù)。 求在上的最大值及最小值。12121222( )()f xf xxxxx有121222xxxx121

12、22()(1)xxx x1212122()()x xxxx x1212,0 xxxx1212,( 2 + ),20 x xx x 又，1212( )()0,( )()f xf xf xf x即2( )2,f xxx函數(shù)在上為增函數(shù)1212,( 2 + ),x xxx(1)證明：任取，且利用單調(diào)性求函數(shù)最值minmax(2)(1)( )2,452( )(2)2174( )(4)4175( )1,442f xxf xfxf xff x由可知，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，當(dāng)時，綜上所述，在上的最大值是，最小值是 。二次函數(shù)的最值問題2( )3125,f xxxx例1.已知函數(shù)當(dāng)自變量 在下列范圍內(nèi)取值時，求函數(shù)的最大值和最小值。(1);(2) 0,3 ;(31,1 ).xR2( )210,2f xxax變式訓(xùn)練1.求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.( ),0,2( ).f xxaaf x思路：先求出的對稱軸然后就 與區(qū)間的關(guān)系進行討論，分別求出的最大值、最小值22( )()1,f xxaaxa 解：對稱軸為minmax0( )0,2( )(0)1,( )(