高等數(shù)學44有理函數(shù)的積分課件

1、$4幾種特殊函數(shù)的積分高等數(shù)學44有理函數(shù)的積分1$4幾種特殊函數(shù)的積分高等數(shù)學44有理函數(shù)的積分2有理函數(shù)的定義：有理函數(shù)的定義：兩個多項式的商表示的函數(shù)稱之兩個多項式的商表示的函數(shù)稱之. . mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(其其中中m、n都都是是非非負負整整數(shù)數(shù)；naaa,10及及mbbb,10都都是是實實數(shù)數(shù)，并并且且00 a，00 b.一、有理函數(shù)的積分一、有理函數(shù)的積分Integration of rational function$4幾種特殊函數(shù)的積分高等數(shù)學44有理函數(shù)的積分3假定分子與分母之間沒有公因式假定分子與分母之間沒有公因式,

2、)1(mn 這有理函數(shù)是這有理函數(shù)是真分式真分式 ; Proper fraction ；,)2(mn 這有理函數(shù)是這有理函數(shù)是假分式假分式;Improper fraction ； 利用多項式除法利用多項式除法, 假分式可以化成一個假分式可以化成一個多項式和一個真分式之和多項式和一個真分式之和. 例例212234 xxx100234 xx22 x2924222 xxxx22x24402xx 10423 xxx xx203 1242 xx-48042 x-2x+9如同如同435423 2352034有理函數(shù)的積分就化為如何有理函數(shù)的積分就化為如何求真分式的積分求真分式的積分$4幾種特殊函數(shù)的積分高

3、等數(shù)學44有理函數(shù)的積分4（1）分母中若有因式）分母中若有因式 ，則分解后為，則分解后為kax)( ,)()(121axAaxAaxAkkk 有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律：有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律：其其中中kAAA,21都都是是常常數(shù)數(shù).特殊地：特殊地：Specially ：, 1 k分解后為分解后為;axA 難點難點 Difficult point將有理函數(shù)化為部分分式之和將有理函數(shù)化為部分分式之和.$4幾種特殊函數(shù)的積分高等數(shù)學44有理函數(shù)的積分5（2）分母中若有因式）分母中若有因式 ，其中，其中kqpxx)(2 則分解后為則分解后為042 qpqpxxNxMqpxxNxM

4、qpxxNxMkkkk 21222211)()(其其中中iiNM ,都都是是常常數(shù)數(shù)), 2 , 1(ki .特殊地：特殊地：Specially ：, 1 k分解后為分解后為;2qpxxNMx $4幾種特殊函數(shù)的積分高等數(shù)學44有理函數(shù)的積分6分解定理：分解定理： 設(shè)多項式設(shè)多項式 )()()()()(220srxxqpxxbxaxbxQ 22(40,40)pqrs 其其中中（最最簡簡分分式式）之之和和：式式可可唯唯一一地地分分解解成成部部分分分分則則真真分分式式)()(xQxp$4幾種特殊函數(shù)的積分高等數(shù)學44有理函數(shù)的積分7 )()()()(221axAaxAaxAxQxp )()(221

5、bxBbxBbxB )()(22222211qpxxNxMqpxxNxMqpxxNxM )()(22222211srxxSxRsrxxSxRsrxxSxR ,iiiiiiAB M NR S其其中中都都是是常常數(shù)數(shù)。$4幾種特殊函數(shù)的積分高等數(shù)學44有理函數(shù)的積分8最簡分式的積分有兩類：最簡分式的積分有兩類：), 2 , 1()(. 1 kdxaxAk積分為對數(shù)函數(shù)或有理真分式。積分為對數(shù)函數(shù)或有理真分式。222.(40,1,2,)()kMxNdxpqkxpxq 積分為真分式、對數(shù)、反正切函數(shù)。積分為真分式、對數(shù)、反正切函數(shù)。2k （時時較較復(fù)復(fù)雜雜）由分解定理知道，只要會求最簡分式（都可積）由

6、分解定理知道，只要會求最簡分式（都可積）的積分即可。的積分即可。$4幾種特殊函數(shù)的積分高等數(shù)學44有理函數(shù)的積分9例例 Example 1dxxx 2)2( 22)2(22)2(22xdxxdxdxxxcxx 222ln例例 Example 2解解dxxx 2)2(dxx 3242解解dxx 3242 222)23(2232xdxxdxcx 32arctan322$4幾種特殊函數(shù)的積分高等數(shù)學44有理函數(shù)的積分10例例 Example 3 （99碩士入學理工數(shù)學二）碩士入學理工數(shù)學二）dxxxx 13652 4)3(8136622122xdxdxxxxcxxx 23arctan4)136ln(

7、212例例 Example 4dxxxx 22)136(52(40)pq 222222)3()3(8)136(6221xxddxxxx由由P258,例例9cxxxxxx 23arctan21)136(3)136(2122$4幾種特殊函數(shù)的積分高等數(shù)學44有理函數(shù)的積分11例例 Example 5 將下列真分式化為部分分式之和：將下列真分式化為部分分式之和：22323)3()2)(1(13 xxxxxxx解解 由分解定理由分解定理22323)3()2)(1(13 xxxxxxx222221133221221)3(3)2()2(21 xxNxMxxNxMxCxCxCxBxAxA通分比較兩端分子通分

8、比較兩端分子同次冪系數(shù)同次冪系數(shù)即可求得即可求得$4幾種特殊函數(shù)的積分高等數(shù)學44有理函數(shù)的積分126532 xxx)3)(2(3 xxx,32 xBxA),2()3(3 xBxAx),23()(3BAxBAx , 3)23(, 1BABA,65 BA例例 Example 6Example 6（P262P262例例1 1） 解解1 （待定系數(shù)法）（待定系數(shù)法）（1）2356xdxxx2356xdxxx56()23dxxx5ln26ln3xxC $4幾種特殊函數(shù)的積分高等數(shù)學44有理函數(shù)的積分13解解2 （觀察法）（觀察法）)3)(2(3 xxx2536 xx由分解定理應(yīng)為由分解定理應(yīng)為32 x

9、BxA)3)(2( xx(x-2)- (x-3) 求求A、B還可用下面方法：還可用下面方法：在恒等式在恒等式),2()3(3 xBxAx（1）中）中令令 x=2, 得得 A=-5令令 x=3, 得得 B=665$4幾種特殊函數(shù)的積分高等數(shù)學44有理函數(shù)的積分142)1(1 xx,1)1(2 xCxBxA)1()1()1(12 xCxBxxA代入特殊值來確定系數(shù)代入特殊值來確定系數(shù)CBA,取取, 0 x1 A取取, 1 x1 B取取, 2 xBA,并將并將 值代入值代入)1(1 C.11)1(112 xxx2)1(1 xx例例 Example 7 (P263Example 7 (P263例例2

10、2）.)1(12dxxx 解解$4幾種特殊函數(shù)的積分高等數(shù)學44有理函數(shù)的積分15 求積分求積分 .)1(12dxxx dxxx 2)1(1dxxxx 11)1(112dxxdxxdxx 11)1(1121lnln11xxCx $4幾種特殊函數(shù)的積分高等數(shù)學44有理函數(shù)的積分16例例 Example 8(P264Example 8(P264例例4 4）.1515221542xxx )1)(21(12xx ),21)()1(12xCBxxA ,)2()2(12ACxCBxBA , 1, 02, 02CACBBA,51,52,54 CBA,1212xCBxxA )1)(21(12xx 整理得整理得

11、.)1)(21(12 dxxx解解$4幾種特殊函數(shù)的積分高等數(shù)學44有理函數(shù)的積分17 求積分求積分.)1)(21(12 dxxxdxxxdxx 2151522154 dxxx)1)(21(122222111ln 1255511xxdxdxxx 2211ln 12ln(1)arctan.555xxxC $4幾種特殊函數(shù)的積分高等數(shù)學44有理函數(shù)的積分18例例9. 觀察法練習：觀察法練習：)1()1(122 xxxx22)1(xx 112 xxx)1(1 xx111 xx1252 xxx(21)(1)xx (21)(1)xx 12312 xx)1(12 xxxx)1()1(222 xxxxxx1

12、12 xxxx421xx )1)(1(222xxx )1111(2122xx 2 3$4幾種特殊函數(shù)的積分高等數(shù)學44有理函數(shù)的積分19例例 Example 10Example 10 求積分求積分解解.11632dxeeexxx 令令6xet ,ln6tx ,6dttdx dxeeexxx 63211dttttt61123 dtttt )1)(1(162dttttt 2133136 $4幾種特殊函數(shù)的積分高等數(shù)學44有理函數(shù)的積分20Ctttt arctan3)1ln(23)1ln(3ln62dttttt 2133136.)arctan(3)1ln(23)1ln(3636Ceeexxxx 23

13、)1ln(3ln6 ttdttttd 2221131)1($4幾種特殊函數(shù)的積分高等數(shù)學44有理函數(shù)的積分21說明說明Directions 將有理函數(shù)化為部分分式之和后，只將有理函數(shù)化為部分分式之和后，只出現(xiàn)三類情況：出現(xiàn)三類情況：)1(多項式；多項式；;)()2(naxA ;)()3(2nqpxxNMx 討論積分討論積分Discuss the integral ,)(2 dxqpxxNMxn,42222pqpxqpxx 令令tpx 2$4幾種特殊函數(shù)的積分高等數(shù)學44有理函數(shù)的積分22,422pqa ,2MpNb 則則 dxqpxxNMxn)(2 dtatMtn)(22 dtatbn)(22

14、,222atqpxx , bMtNMx 記記 Write$4幾種特殊函數(shù)的積分高等數(shù)學44有理函數(shù)的積分23, 1)2( n dxqpxxNMxn)(2122)(1(2 natnM.)(122 dtatbn這三類積分均可積出這三類積分均可積出, 且原函數(shù)都是初等函數(shù)且原函數(shù)都是初等函數(shù).結(jié)論結(jié)論Conclusion 有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù)有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù). ., 1)1( n dxqpxxNMx2)ln(22qpxxM ;2arctanCapxab $4幾種特殊函數(shù)的積分高等數(shù)學44有理函數(shù)的積分24三角有理式的定義：三角有理式的定義：Definition of trigon

15、ometricDefinition of trigonometric rational function rational function 由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算構(gòu)成的函數(shù)稱之一般記為構(gòu)成的函數(shù)稱之一般記為)cos,(sinxxR2cos2sin2sinxxx 2sec2tan22xx ,2tan12tan22xx ,2sin2coscos22xxx 二、三角函數(shù)有理式的積分二、三角函數(shù)有理式的積分Integration of trigonometric rational function$4幾種特殊函數(shù)的積分高等數(shù)學44有理函數(shù)的積分252se

16、c2tan1cos22xxx ,2tan12tan122xx 令令2tanxu uxarctan2 22sin,1uxu 22os,1c1uxu 221dxduu dxxxR)cos,(sin.1211,122222duuuuuuR （萬能置換公式）（萬能置換公式）$4幾種特殊函數(shù)的積分高等數(shù)學44有理函數(shù)的積分26例例1111 求積分求積分.cossin1sin dxxxx解解,12sin2uux 2211cosuux ,122duudx 由萬能置換公式由萬能置換公式 dxxxxcossin1sinduuuu )1)(1(22duuuuuu )1)(1(1122222222221221111

17、1uuduuuuuu $4幾種特殊函數(shù)的積分高等數(shù)學44有理函數(shù)的積分27duuuuu )1)(1()1()1(222duuu 211duu 11uarctan )1ln(212u Cu |1|ln2tanxu 2x |2sec|lnx .|2tan1|lnCx $4幾種特殊函數(shù)的積分高等數(shù)學44有理函數(shù)的積分28例例 Example 12Example 12 求積分求積分.sin14 dxx解（一）解（一）,2tanxu ,12sin2uux ,122duudx dxx4sin1duuuuu 46428331Cuuuu 333318133.2tan2412tan832tan832tan241

18、33Cxxxx $4幾種特殊函數(shù)的積分高等數(shù)學44有理函數(shù)的積分29解（二）解（二）xutan 令令,1sin2uux ,112duudx dxx4sin1duuuu 2421111duuu 421Cuu 1313.cotcot313Cxx $4幾種特殊函數(shù)的積分高等數(shù)學44有理函數(shù)的積分30解（三）解（三）可以不用萬能置換公式可以不用萬能置換公式. dxx4sin1dxxx)cot1(csc22 xdxxxdx222csccotcsc (cot )dx .cot31cot3Cxx 結(jié)論結(jié)論Conclusion 比較以上三種解法比較以上三種解法, 便知萬能置換不一定便知萬能置換不一定是最佳方法

19、是最佳方法, 故三角有理式的計算中先考故三角有理式的計算中先考慮其它手段慮其它手段, 不得已才用萬能置換不得已才用萬能置換. :萬能置換公式還可變換為萬能置換公式還可變換為222221sin2,cos2,111uuduxxdxuuu 則則tan ,ux 令令$4幾種特殊函數(shù)的積分高等數(shù)學44有理函數(shù)的積分31例例1313 求積分求積分.sin3sinsin1 dxxxx解解2cos2sin2sinsinBABABA dxxxxsin3sinsin1 dxxxxcos2sin2sin1 dxxxx2cossin4sin1 dxxx2cossin141 dxx2cos141$4幾種特殊函數(shù)的積分高

20、等數(shù)學44有理函數(shù)的積分32 dxxxxx222cossincossin41 dxx2cos141 dxxdxxxsin141cossin412 dxx2cos141 dxxxdxsin141)(coscos1412 dxx2cos141xcos41 2tanln41x .tan41Cx $4幾種特殊函數(shù)的積分高等數(shù)學44有理函數(shù)的積分33例例14dxxx sin1cos xxdsin1)sin1(cx )sin1ln(例例15(總習題總習題四四,26)dxxx sin1sindxxxx 2sin1)sin1(sinxdxxxd 22tancos)(cos dxxx)1(seccos12cxx

21、x tansecdxxx sin1cos$4幾種特殊函數(shù)的積分高等數(shù)學44有理函數(shù)的積分34討論類型討論類型),(nbaxxR ),(necxbaxxR 解決方法解決方法作代換去掉根號作代換去掉根號. . 例例Instance 16Instance 16 （P268P268例例9 9）求積分求積分 dxxxx11解解 Solution 令令txx 1,12txx 三三.簡單無理函數(shù)的積分簡單無理函數(shù)的積分Integration of simple irrational function $4幾種特殊函數(shù)的積分高等數(shù)學44有理函數(shù)的積分35,112 tx ,1222 ttdtdx dxxxx11

22、 dttttt 222121 1222tdttdtt 1112212ln1ttCt 1122 ln1ln.xxxCxx 222ln(1)ln1tttC $4幾種特殊函數(shù)的積分高等數(shù)學44有理函數(shù)的積分36例例 Example 17Example 17 求積分求積分.1113 dxxx解解 令令16 xt,65dxdtt dxxx3111dtttt52361 dttt 163322366ln|1|ttttC3662131616ln(11).xxxxC 說明說明Directions 無理函數(shù)去根號時無理函數(shù)去根號時, 取根指數(shù)的最小公倍取根指數(shù)的最小公倍數(shù)數(shù)3211166 (1)11tdtttdt

23、tt $4幾種特殊函數(shù)的積分高等數(shù)學44有理函數(shù)的積分37例例18 18 求積分求積分.1213 dxxxx解解先對分母進行有理化先對分母進行有理化原式原式 dxxxxxxxx)1213)(1213()1213( dxxx)1213()13(1331 xdx)12(1221 xdx.)12(31)13(922323Cxx $4幾種特殊函數(shù)的積分高等數(shù)學44有理函數(shù)的積分38簡單無理式的積分簡單無理式的積分. Integration of simple irrational function 有理式分解成部分分式之和的積分有理式分解成部分分式之和的積分.（注意：必須化成真分式）（注意：必須化成真

24、分式）三角有理式的積分三角有理式的積分.（萬能置換公式）（萬能置換公式）（注意：萬能公式并不萬能）（注意：萬能公式并不萬能）四、小結(jié)四、小結(jié) Brief summary 有理函數(shù)有理函數(shù)標準化標準化三角函數(shù)三角函數(shù)有理化有理化無理函數(shù)無理函數(shù)有理化有理化三角化三角化$4幾種特殊函數(shù)的積分高等數(shù)學44有理函數(shù)的積分39思考題思考題Consideration question 將分式分解成部分分式之和時應(yīng)注意什么？將分式分解成部分分式之和時應(yīng)注意什么？$4幾種特殊函數(shù)的積分高等數(shù)學44有理函數(shù)的積分40思考題解答思考題解答Solution to consideration question 分解后

25、的部分分式必須是最簡分式分解后的部分分式必須是最簡分式.$4幾種特殊函數(shù)的積分高等數(shù)學44有理函數(shù)的積分41一一、 填填空空題題：1 1、 dxxxCBxxAdxx111323，其其 A_ _ _ _ _, , B_ _ _ _ _ _ _ _ _ , , C_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；2 2、 dxxCxBxAdxxxx111111222, , 其其中中 A_ _ _ _ _ _, , B_ _ _ _ _ _, , C_ _ _ _ _ _ _ _；3 3、計算、計算 ,sin2xdx可用萬能代換可用萬能代換 xsin_ _, , dx_ _； 4 4、計算、計算 ,mba

26、xdx令令 t_, , x_,_, dx_ . . 練習題練習題 Exercises $4幾種特殊函數(shù)的積分高等數(shù)學44有理函數(shù)的積分425 5、有有理理函函數(shù)數(shù)的的原原函函數(shù)數(shù)都都是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .二二、求求下下列列不不定定積積分分： 1 1、 321xxxxdx； 2 2、 xxxdx221； 3 3、 dxx411； 4 4、 xdx2sin3； 5 5、 5cossin2xxdx； 6 6、 dxxx1111 ； 7 7、 xdxxx11； 8 8、 342)1()1(xxdx . .$4幾種特殊函數(shù)的積分高等數(shù)學44有理函數(shù)的積分43三三、求求下下列列不不定定積積分分（用用以以前前學學過過的的方方法法） ： 1 1、 dxxx31； 2 2、 dxxxxsincos1； 3 3、 241xxdx； 4 4、 dxxx32cossin； 5 5、 dxxx283)1(； 6 6、dxxx sin1sin； 7 7、 dxxxxx)(33； 8 8、 dxexexx2)1(； 9