圓錐曲線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)2016

1、叫做曲線的方程;這條曲線叫做方程的曲線。點(diǎn)與曲線的關(guān)系:兩條曲線的交點(diǎn):一、方程的曲線:在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C(看作適合某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x,y)=O的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：(1)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)，那么這個(gè)方程若曲線C的方程是f(x,y)=0，則點(diǎn)Po(x o,y 0)在曲線C上二f(x o,y o)=0 ;點(diǎn)Po(x o,y o)不在曲線C上二f(x o,y o)若曲線 C, C的方程分別為fi(x,y)=O,f 2(x,y)=O,則點(diǎn)Po(xo,y o)是G, C的交點(diǎn)二fl(Xo,y

2、o) = o方程組有 f2 (xo,yo) = on個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，兩條曲線就有 n個(gè)不同的交點(diǎn)；方程組沒(méi)有實(shí)數(shù)解，曲線就沒(méi)有交點(diǎn)。二、圓:1、定義：點(diǎn)集 Mil 0M| =r,其中定點(diǎn)0為圓心，定長(zhǎng)r為半徑.2、方程：(1)標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心在c(a,b)，半徑為r的圓方程是(x-a) 2+(y-b) 2=r2圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為r的圓方程是x2+y2=r2一般方程：當(dāng)D2+E-4F 0時(shí)，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圓的一般方程，圓心為(-衛(wèi)廠勻半徑是D2 + E2-4F2 2 22 2配方，將方程 x2+y2+Dx+Ey+F=(化為(x+ D) 2+(y+ -)2= DE

3、 - 4F224圓錐曲線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)當(dāng)C2+E2-4F=O時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)(-D,-);2 2當(dāng)D2+E2-4F 0時(shí)，方程不表示任何圖形.(3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系已知圓心C(a,b),半徑為r,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x o,y o)，則| MC| 心 點(diǎn) M在圓 C內(nèi)，其中 I MC =J(xo-a)2+(yo-b)2。(4)直線和圓的位置關(guān)系：直線和圓有相交、相切、相離三種位置關(guān)系：直線與圓相交二有兩個(gè)公共點(diǎn)；直線與圓相切二有一個(gè)公共點(diǎn)；直線與圓相離二沒(méi)有公共點(diǎn)。Aa+ Bb + C直線和圓的位置關(guān)系的判定：(i)判別式法；(ii)利用圓心C(a,b)到直線Ax+By+C二啲距離d= , _r A2

4、 + B2與半徑r的大小關(guān)系來(lái)判定。三、圓錐曲線的統(tǒng)一定義:平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到一個(gè)定點(diǎn)F(c,O)的距離與到不通過(guò)這個(gè)定點(diǎn)的一條定直線I的距離之比是一個(gè)常數(shù)e(e 0),則動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線。其中定點(diǎn)F(c,0)稱為焦點(diǎn)，定直線I稱為準(zhǔn)線，正常數(shù)e稱為離心率。當(dāng)0e 1時(shí)，軌跡為雙曲線。四、橢圓、雙曲線、拋物線:【備注1】雙曲線:等軸雙曲線：雙曲線x2-y2 =勺2稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為y=x，離心率e-H.2 2 2 2共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共軛雙曲線與令-備一二互 a b a b2 2丄-紅=0a2 b2為共軛雙曲線，

5、它們具有共同的漸近線:共漸近線的雙曲線系方程:=xo+號(hào);拋物線y2=-2px(p0)上的點(diǎn)M(x0,y0)與焦點(diǎn)F的距(4)已知過(guò)拋物線y2=2px(p0)焦點(diǎn)的直線交拋物線于長(zhǎng) AB =x1 +x2 +p 或 I AB =Xi丄(a為直線AB的傾斜角),sin CtAF=X1 + p (AF22222右一計(jì)心0)的漸近線方程為于計(jì)0如果雙曲線的漸近線為晉0時(shí)，它的雙曲線方程可2 2設(shè)為罕-WH0).a b【備注2】拋物線：(1) 拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(號(hào),0)，準(zhǔn)線方程X二-號(hào)，開(kāi)口向右；拋物線y2=-2px(p0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(-號(hào),0), 準(zhǔn)線方程x=p，開(kāi)口向左；拋

6、物線x2 =2py(p0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0, p)，準(zhǔn)線方程y=- p ，開(kāi)口向上；拋物線x2=-2py (p0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,- 2)，準(zhǔn)線方程y=;p，開(kāi)口向下.(2) 拋物線y2 =2px(p0)上的點(diǎn)M(x0,y0)與焦點(diǎn)F的距離|MF離 I MF| 誇-x0(3)設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p0)，貝拋物線的焦點(diǎn)到其頂點(diǎn)的距離為 號(hào)，頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離號(hào)，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p.A B兩點(diǎn)，則線段AB稱為焦點(diǎn)弦，設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，貝卩弦五、橢圓的常用結(jié)論:1.點(diǎn)P處的切線PT平分 PF1F2在點(diǎn)P處的外角.2. PT平分F1F2在點(diǎn)P處的外角，貝康點(diǎn)在直線P

7、T上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)3.以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相離.叫做焦半徑).22Pyiy2=P ,X1X2 =44.以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以長(zhǎng)軸為直徑的圓內(nèi)切.5.x22若R(x0,y0)在橢圓x2+y2 =1上，則過(guò)P0的橢圓的切線方程是 彎+轡=1.a ba b6.2 2若F0(x0,y0)在橢圓篤+占=1外，則過(guò)P0作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為Pi、P2,則切點(diǎn)弦PIP2的直線方程是x02+y02i.a ba b7.橢圓務(wù)+七=1a b2 YSVFPFC =b tan?.述IPF22 28.橢圓篤+告=1a b9.設(shè)過(guò)橢圓焦點(diǎn)(a b0)的左右焦

8、點(diǎn)分別為Fi, F 2，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)NFIPF2 = Y ,貝y橢圓的焦點(diǎn)角形的面積為(ab0)的焦半徑公式 |MFi 卜a +exo, |MF2|=a-ex)( Fi(-c,0) , F2(c,0) M (心 y。).F作直線與橢圓相交P、Q兩點(diǎn)，A為橢圓長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié) AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的橢圓準(zhǔn)線于M N兩點(diǎn)，貝J MFINF.10.過(guò)橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F的直線與橢圓交于兩點(diǎn)P、Q, Ai、A為橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn)，AiP和AQ交于點(diǎn)M AP和AQ交于點(diǎn)N,貝J MFL NF.2 2 b11.AB是橢圓務(wù)+y2=i的不平行于對(duì)稱軸的弦，Mx0,y0)為AB的中點(diǎn)，貝J匕kA-

9、，即KA -bx0。a baa yo_ 2 212.若R(x0,y0)在橢圓x2舁2 =1內(nèi)，則被PO所平分的中點(diǎn)弦的方程是 弩+冒=x； + 丫02 ；a ba b a bx2221、若 P)(Xo,yo)在橢圓 X2a2 2 2+ y2 =1內(nèi)，則過(guò)PO的弦中點(diǎn)的軌跡方程是X2 + y2 = X； + y02y。ba b a b2 橢圓X2 a2+打=1 (a b 0)的兩個(gè)頂點(diǎn)b2、過(guò)橢圓22 乂-12 - 2 - I a bkBC畢a y。(常數(shù)).【推論】：為A(a,0), A2(a,0)，與y軸平行的直線交橢圓于Pi、R時(shí)AR與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是22務(wù)十告=1 (a 0, b

10、 0)上任一點(diǎn)A(x0,y0)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓于B,C兩點(diǎn)，貝y直線BC有定向且a b22_ b 0)上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)尸，F(xiàn)2是焦點(diǎn),仆十，NP甘占，則訐tan2c%.224、設(shè)橢圓x2 + y2=i (ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為Fi、F2,P (異于長(zhǎng)軸端點(diǎn))為橢圓上任意一點(diǎn)，在 PFF2中，記NF1PF2, a bNPFIF2=P,NFIF2P=Y，貝y有 S：廠=e.Sin P +sin y a2 25、若橢圓務(wù)+每=1 (ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為Fi、F2,左準(zhǔn)線為L(zhǎng),則當(dāng)0Vew72-l時(shí)，可在橢圓上求一點(diǎn)P,使a b得PF是P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離d與PF的比例中項(xiàng).22

11、6、P為橢圓 務(wù)+占=1 (a b 0) 上任一點(diǎn),FI,F2為二焦點(diǎn)，A為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，貝J 2a-AF?冃PA| + | PR P 2a+| AF, |,當(dāng)且僅當(dāng) a bA,F2 ,P三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立.7、橢圓 空泄+上疚=1與直線Ax + By+C=0有公共點(diǎn)的充要條件是A2a2 + B2b2二(Ax。+ By。+ C)2. ab8已知橢圓 與 丄=1( a b 0),0為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且OP丄OQ. (2)|0 P|2+|OQ|2a b|OP| | OQ | a b,2. 22的最大值為4冬；(3) S心PQ的最小值是-.a+ba+b2 29、過(guò)橢圓篤+與=1 (

12、a b0)的右焦點(diǎn)F作直線交該橢圓右支于 M,N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線交x軸于P,a b則IP巳仝|MN I 22 210、已知橢圓xy2=1 ( a b0),A、B、是橢圓上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)P(X0,O),a b2.2 2.2a -ba -b-X0 b0)上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為其焦點(diǎn)記NRPF2=B ,則(1) | PF, |PF2F a b1 + cos 日2 Y S蟲(chóng)冃F2 =b tan?.12、設(shè)A B是橢圓篤+占=1 ( a b0)的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn), a bNPAB=a, NpBA = P,NBPA = Y , C、e 分別是2

13、橢圓的半焦距離心率，則有(1) | PAF2ab !COS2l(2)tan Sa nP=1-e2.(3)S辭a -c cos T=孳4曲.b -a2 213、已知橢圓需計(jì)1 ( a b0)的右準(zhǔn)線1與x軸相交于點(diǎn)E，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的直線與橢圓相交于A B兩點(diǎn),點(diǎn)C在右準(zhǔn)線l上，且BC丄X軸，則直線AC經(jīng)過(guò)線段EF的中點(diǎn).25、若F0(xo, yo)在雙曲線X2 -a14、過(guò)橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線，與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相交，貝y相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直. . . . 15、過(guò)橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于二點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直16、橢圓焦三角形中內(nèi)點(diǎn)

14、到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率丄二注:在橢圓焦三角形中亠非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別稱為虹處17橢圓焦三角形中亠內(nèi)心將內(nèi)點(diǎn)與非I焦頂點(diǎn)連線段分成定比 e.18、橢圓焦三角形中半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到橢圓中心的比例中項(xiàng)六、雙曲線的常用結(jié)論:1、點(diǎn)P處的切線PT平分PFF2在點(diǎn)P處的內(nèi)角.2、PT平分 PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角，則焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn) 3、以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相交.4、以焦點(diǎn)半徑PF為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓 相切.(內(nèi)切：P在右支；外切：P在左支)2y-1( a Ob 0)上則過(guò)

15、R的雙曲線的切線方程是簣鈴1.2 26、若F0(xo,yo)在雙曲線 務(wù)-占=1 (a0,b 0) 外，則過(guò)Po作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)為R、R,貝S切點(diǎn)弦P1P2的直線方程a b是弩-臂=1.a2b22 27、雙曲線 務(wù)-占=1 (a0,b 0)的左右焦點(diǎn)分別為F1, F 2，點(diǎn)P為雙曲線上任意一點(diǎn) 今1 PF2 = Y，則雙曲線的焦點(diǎn)角形的a b28雙曲線x2a10、過(guò)雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)2 2、AB是雙曲線；2一；2“ (a0,b 0)的不平行于對(duì)稱軸的弦，MXo,yo)為AB的中點(diǎn)，則KOM 5=筈，即KAB_ b2Xoa2yoXoXyoy _ Xo2.2ab、7面積為S告PF22y2 =1

16、(a o,b 0)的焦半徑公式：(Fi(-c,o), F2(C,0)當(dāng) M(Xo,yo)在右支上時(shí)，|MFi|=eXo + a, | MF?卜 eXo - a ; b當(dāng)M (Xo, yo)在左支上時(shí)， |MFi |=exo +a, |MF2 |=exoa。9、設(shè)過(guò)雙曲線焦點(diǎn)F作直線與雙曲線相交P、Q兩點(diǎn)，A為雙曲線長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié) AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的雙曲線準(zhǔn)線于 M N兩點(diǎn)，貝J MFLNF.F的直線與雙曲線交于兩點(diǎn) P、Q, Ai、A為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn)，AiP和AQ交于點(diǎn)M A2P和AQ交于點(diǎn)N,則MFL NF.2 2 2 212、若Po(xo,yo)在雙曲線務(wù)-每=1 (

17、a0,b 0)內(nèi)，則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是 答-電y=篤-淫 a b a b a b向且kBC =-b Xo2a Vo(常數(shù)).ca 丄 CtP-=ta n cot 2 2C +a(或 =tanAq).【推論】：221、雙曲線Xy2 =1 (a0,b 0)的兩個(gè)頂點(diǎn)為A(-a,0),人佝0)，與y軸平行的直線交雙曲線于R、R時(shí)AR與AP交點(diǎn)的a b2 2軌跡方程是 篤+y2=1.a b2 22、過(guò)雙曲線 務(wù)-塔=1 (a0,b 0)上任一點(diǎn)A(xo,yo)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交雙曲線于B,C兩點(diǎn)，則直線BC有定b3、若p為雙曲線才計(jì)1 ( a 0,b 0)右(或左)支上除頂點(diǎn)外的任

18、一點(diǎn)，F(xiàn)1, F 2是焦點(diǎn),p FIF2N pF2F占，則2 25、若雙曲線X2-W=1 (a0,b 0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,左準(zhǔn)線為L(zhǎng),則當(dāng)1 0,b 0)上任一點(diǎn),F1,F2為二焦點(diǎn)，A為雙曲線內(nèi)一定點(diǎn)，則lAF?-2a列PA|+| PRI,當(dāng)且僅當(dāng)AP a bNP F1F2 邛F1F2 2，則有如丁:十)c=e.a24、設(shè)雙曲線 務(wù)-=1(a0,b 0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P (異于長(zhǎng)軸端點(diǎn))為雙曲線上任意一點(diǎn)，在 PFF2中，記乂片卩卩2=口， a b27、雙曲線X2a1 12=2|OQ |2 a2-占；(2) |OP|2+|OQ|2的最小值為b.2J2-2a一2; (3

19、) SPQ 的最小值是 -ab -ab -a9、過(guò)雙曲線2 x2 a(a0,b 0)的右焦點(diǎn)F作直線交該雙曲線的右支于 M,N兩點(diǎn)，弦MN勺垂直平分線交x軸于P,則|PF|e|MN |210、已知雙曲線2 2xy2 =1 (a 0,b 0),A、B是雙曲線上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)PgO),則x aa b2 + b2a2亠2卡a +b或 X0 0,b 0)上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為其焦點(diǎn)記NFfF2=e，則|PR |PF2F a b1 - cos。.二點(diǎn)共線且P和A, F2在y軸同側(cè)時(shí)，等號(hào)成立.2y2 =1 ( a 0,b 0)與直線Ax+By+C=0有公共點(diǎn)的充要條件是A2a2-B2b2a 0), O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為雙曲線上兩動(dòng)點(diǎn)，且OP _LOQ .a b心px （或宀2py ）的參數(shù)方程為：豐（或I；爲(wèi)2 ） （ t為參數(shù)）.；X2=2py（p工0）則焦點(diǎn)半徑為|PFy+JI.X+；2 212、設(shè)A B是雙曲線 篤-爲(wèi)=1 （a 0,b 0）的長(zhǎng)軸兩端