2021-2021版高中數(shù)學(xué)第2章推理與證明章末復(fù)習(xí)課學(xué)案蘇教版選修1-2

1、第2章推理與證明學(xué)習(xí)目標(biāo)丨1. 了解合情推理的含義，能利用歸納進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理2 了解合情推理的含義，能利用類(lèi)比進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理 3 了解直接證明的兩種根本方法： 分析法和綜合法，并能利用分 析法和綜合法證明簡(jiǎn)單的問(wèn)題 4 了解反證法的思想，并能靈活應(yīng)用.問(wèn)題導(dǎo)學(xué)新知探究點(diǎn)點(diǎn)蒂實(shí)知識(shí)點(diǎn)一合情推理1 .歸納推理 定義：從個(gè)別事實(shí)中推演出 的結(jié)論的推理稱(chēng)為歸納推理. 歸納推理的思維過(guò)程大致是：工工.特點(diǎn)：由到整體、由到一般的推理.2 .類(lèi)比推理(1) 定義：根據(jù)兩個(gè)(或兩類(lèi))對(duì)象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們?cè)谄渌矫嬉蚕嗨苹蛳嗤?，像這樣的推理通常稱(chēng)為類(lèi)比推理.類(lèi)比推理的思維過(guò)程為： 特點(diǎn)：類(lèi)

2、比推理是由 到的推理.3 .合情推理合情推理是根據(jù) 、，以及個(gè)人的和直覺(jué)等推測(cè)某些結(jié)果的推理過(guò)程. 和都是數(shù)學(xué)活動(dòng)中常用的合情推理.知識(shí)點(diǎn)二演繹推理1演繹推理由一般性的命題推演出特殊性命題的推理方法叫演繹推理簡(jiǎn)言之，演繹推理是由到的推理.2 “三段論是演繹推理的一般模式(1) 大前提的 ;(2) 小前提一一所研究的 ;(3) 結(jié)論根據(jù)一般原理，對(duì) 做出的判斷.知識(shí)點(diǎn)三直接證明1 .綜合法(1)定義：從條件出發(fā)，以的定義、公理、定理為依據(jù)，逐步下推，直到推出要證明的結(jié)論為止，這種證明方法常稱(chēng)為綜合法.(2)推證過(guò)程：條件?結(jié)論(3)思維過(guò)程：由因?qū)Ч?2 分析法(1)定義：從問(wèn)題的結(jié)論出發(fā)， 追

3、溯導(dǎo)致結(jié)論成立的條件，逐步上溯，直到使結(jié)論成立的條件和條件吻合為止，這種證明方法常稱(chēng)為分析法. 推證過(guò)程：I結(jié)論I ?|條件(3)思維過(guò)程：執(zhí)果索因.知識(shí)點(diǎn)四間接證明用反證法來(lái)證明時(shí)，要從否認(rèn)結(jié)論開(kāi)始，經(jīng)過(guò)正確的推理，導(dǎo)致邏輯矛盾，從而到達(dá)新的否 定(即肯定原命題).題S!探究車(chē)點(diǎn)難點(diǎn)個(gè)個(gè)擊碩類(lèi)型一歸納思想ann例1 數(shù)列an滿(mǎn)足ai= 1,=(n= 1,2 , 3，).an+1 n+ 1(1) 求a2, a3, a4, a5，并猜測(cè)通項(xiàng)公式 an；(2) 根據(jù)(1)中的猜測(cè)，有下面的數(shù)陣：S = a1,82+ a3,S3= a4+ a5 + a6,S4= a7+ a8 + a9+ a1o,S

4、5= an+ a12+ ai3 + a14+ a15.試求 S, S+ S, S + S + S，并猜測(cè) S+ S3+ $+ San-1 的值.反思與感悟 歸納猜測(cè)是理性思維的重要表達(dá)，是獲得發(fā)現(xiàn)的源泉.具有共同特征的歸納推理，首先要觀察式子的共同結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，其次是式子中出現(xiàn)的數(shù)字、字母之間的關(guān)系，這樣便于觀察運(yùn)算規(guī)律和結(jié)構(gòu)上的共同點(diǎn).跟蹤訓(xùn)練1設(shè)an是集合2t + 2s|0 0, x + y= 1,求證：log 2xy + 1 log 2X log 2ylog 217 2.反思與感悟 證明問(wèn)題時(shí)，往往利用分析法尋找解題思路，用綜合法書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程.亠 亠sin 2 a +Ssin 0跟蹤訓(xùn)練4求

5、證： 一s-2cos( a + 0)=帀一;達(dá)標(biāo)檢測(cè)當(dāng)堂檢潮穩(wěn)固反M1 有一個(gè)奇數(shù)列 135,7,9 ，現(xiàn)在進(jìn)行如下分組：第一組含一個(gè)數(shù) 1;第二組含兩個(gè) 數(shù)3,5;第三組含三個(gè)數(shù)7,9,11;第四組含四個(gè)數(shù)13,15,17,19;，那么每組內(nèi)各數(shù)之 和f (n)( n N*)與組的編號(hào)數(shù)n的關(guān)系式為 .2. ABC中, ADLBC于D,三邊是a, b, c,那么有a= ccos B+ bcos C;類(lèi)比上述推理 結(jié)論，寫(xiě)出以下條件下的結(jié)論：四面體LABC中， ABC PAB PBC PCA的面積分別是S,S,S2,S3,二面角P AB C,P BC A,P AC B 的度數(shù)分別是a , 0

6、, y ,那么S=.3 將以下給出的反證法證明過(guò)程填寫(xiě)完整.0,證明關(guān)于 x的方程ax= b有且僅有一個(gè)根.b證明 由于a0,因此方程ax = b至少有一個(gè)根 x=.a假設(shè)方程不止一個(gè)根，不妨設(shè)X1, x是,即ax1 = b, ax?= b,所以a(X1 X2) = 0,因?yàn)閄1 X2,所以X1 X2工0,所以a= 0,這與矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤.所以當(dāng)a0時(shí)，關(guān)于x的方程ax= b有且僅有一個(gè)根.4 .假設(shè) tan( a + 0 ) = 2tan a，求證：3sin 0 = sin(2 a + 0 ).f 規(guī)律與方法)直接證明和間接證明是數(shù)學(xué)證明的兩類(lèi)根本證明方法直接證明的兩類(lèi)根本方法是綜合法和

7、分析法：綜合法是從條件推導(dǎo)出結(jié)論的證明方法；分析法是由結(jié)論追溯到條件的證明方 法，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，常把它們結(jié)合起來(lái)使用間接證明的一種方法是反證法，反證法是 從結(jié)論反面成立出發(fā)，推出矛盾的證明方法.合案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)一1. (1) 一般性實(shí)驗(yàn)、觀察概括、推廣猜測(cè)一般性結(jié)論局部個(gè)別2 . (1)觀察、比擬 聯(lián)想、類(lèi)推 猜測(cè)新的結(jié)論 (2)特殊 特殊3 .已有的事實(shí) 正確的結(jié)論 實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果 經(jīng)驗(yàn)歸納推理類(lèi)比推理知識(shí)點(diǎn)二1.一般特殊2 . (1) 一般原理(2)特殊情況(3)特殊情況題型探究例 1 解 (1)因?yàn)閍1 = 1,由=-知an+1 =+an，故a2=2,a3=3,a4=4,a

8、5 = 5.an+1n+ 1n可歸納猜測(cè)出 an= n(n N*).根據(jù)(1)中的猜測(cè)，數(shù)陣為：S= 1,S2= 2 + 3= 5,S3= 4 + 5+ 6 = 15,S= 7 + 8+ 9 + 10= 34,S5= 11+ 12+ 13+ 14+ 15= 65,故 S = 1 = 14, S + S3= 1 + 15= 16= 2, S+ S3 + S5= 1 + 15 + 65= 81 = 34.可猜測(cè) S + S3 + S5 + + San-1 = n4.跟蹤訓(xùn)練 1 解1第 1 行：3 = 21 + 2;第 2 行：5 = 2w 100 n N*，得 nw 13.故前 13 行共有 1

9、 + 2+ 3 + + 13= 91個(gè)數(shù). + 20,6 = 22 + 21 ;第 3 行：9= 2因此，a100應(yīng)當(dāng)是第14行中第9個(gè)數(shù)，所以a100= 214+ 28= 16 384 + 256= 16 640. + 2。，10 =23+ 21,12= 23 + 22;由此歸納猜測(cè)： 第 4 行：24 + 2。= 17,2 4+ 21 = 18,2 4+ 22= 20,2 4+ 23= 24; 第 5 行，25 + 20 = 33,2 5 + 21= 34,2 5 + 22 = 36,2 5 + 23 = 40,2 5 + 24 = 48.故第4行各數(shù)依次為17,18,20,24 ;第5行

10、各數(shù)依次為33,34,36,40,48.n n+12 每行中數(shù)的個(gè)數(shù)與行數(shù)相同，即第1行1個(gè)數(shù)，第2行2個(gè)數(shù)，第3行3個(gè)數(shù)，由5n n為偶數(shù)2n_ 2解析an是等和數(shù)列，ai= 2,公和為5,a2= 3，貝V a3= 2, a4= 3，知 a2n = 3, a2n-1 = 2( n N). ai8= 3,數(shù)列an形如：2,3,2,3,2,3，.5n n為偶數(shù)跟蹤訓(xùn)練2解析根據(jù)三棱錐的體積公式，e 1111得 3S H + 尹f + 3$円+ 3$已=V,即 KH + 2KH+ 3KH+ 4KH= 3V,3VH+ 2H2+ 3H+ 4H4 = R例3證明 假設(shè)/ B不是銳角，那么/ B 90,

11、因此/ C+Z B 90+ 90= 180, 這與三角形的內(nèi)角和等于 180矛盾.所以假設(shè)不成立.從而Z B一定是銳角.跟蹤訓(xùn)練3證明 設(shè)存在非零實(shí)數(shù)X1, y1,左111使等式一+ =成立，X1 y1 X1+ y1那么有1(X1+ y + X1(X1 + y = xy,2 2 X1 + y1 + xy= 0,y1 23 2即(X1+2)+ 41=0.又t X1, y1 工 0,( X1 + y2)2+ 4y20,從而得出矛盾，故原命題成立.例4解方法一(分析法) x, y0,2 2欲證 log 2(x y + 1) log 2Xlog 2 log 217 2,x2y2+ 117需證 log

12、2 xy ?log 4.由于對(duì)數(shù)的底數(shù)為21,為了證明上式成立，需證22/丄x y + 117 . xy 4由于x, y0,于是為了證明上式成立，只需證明 4x y + 4 17xy，即證 4x y 17xy + 40.即證(4xy 1)( xy4) 0,1即證xyw 4或xy 4.又 x, y0, x+ y= 1,x + y 21 xy 三(亍)=4. o o式成立，這就證明了log 2( x y + 1) log 2 x log 2y log217 2成立.方法二綜合法由條件知2 2log 2( x y +1) log 2X log 勿=log2xy2 一xy +1xyt = xy.,+x

13、+ y 2 1由 x + y = 1,得 xyw(h)= 4,1t *(0,八14-xy +111 u= xy + = t + , t (0 ,xy3 xy t 11，2-=(t + 1 u = t + 在t (0 , 4上是減函數(shù), = 11 =4+4=17417 log 2Ulog 24,x y +1 log 2 xy log 217 2,2 2即 log 2( x y + 1) log 2X log 劌 log 217 2.跟蹤訓(xùn)練4 證明 / sin(2 a +卩)2cos( a +卩)sin a=sin ( a + 3 ) + a 2cos( a+卩)sin a=sin( a + 3

14、 )cosa + cos( a + 3 )sina 2cos( a+3 )sin a=sin( a + 3 )cosa cos( a + 3 )sina=sin( a + 3 ) 一 a = sin 3 ,兩邊同除以sin a得f(n)與組的編號(hào)數(shù)sin 2a + 3 小 ，、si n 32 . S cos a + Scos3 + Seos Y3 .兩不等根 a0sin a + 3 2sin a4 .證明由 tan( a+3) = 2tan a，得 cos a+3=TT即 sin( a+3 )cos a = 2sina cos( a+3 ).要證 3sin 3 = sin(2 a+3 ),即證 3sin(a + 3 ) 一 a = sin( a + 3 ) + a ,即證 3sin(a+3 )cos a cos( a+3 )sin a =si n( a + 3 )cos a