線性代數(shù) 方陣的特征值與方陣向量ppt課件

1、為為n n階方陣，階方陣，為數(shù)，為數(shù)， 為為n n維非零向量，維非零向量，A 假設假設那么那么稱為的特征值，稱為的特征值， 稱為對應于稱為對應于的特征向量的特征向量并不一定獨一；并不一定獨一；, n n階方陣的特征值，就是使齊次線性方程組階方陣的特征值，就是使齊次線性方程組特征向量特征向量 ，特征值問題只針對方陣；，特征值問題只針對方陣；0 0EA x 有非零解的有非零解的值，即滿足值，即滿足的的都是方陣的特征值都是方陣的特征值0EA 0EA 稱以稱以為未知數(shù)的一元為未知數(shù)的一元n n次方程次方程為的特征方程為的特征方程 fEA 稱以稱以為變量的一元為變量的一元n n次多項式次多項式為的特征多

2、項式為的特征多項式n階方陣階方陣A可逆的充要條件是的一切特征值非零可逆的充要條件是的一切特征值非零0,1,2,iin Ln階不可逆方陣的必存在零特征值階不可逆方陣的必存在零特征值000A 00AX 有有非非零零解解注：特征多項式是關于注：特征多項式是關于的的n次多項式，在復數(shù)域范圍內(nèi)次多項式，在復數(shù)域范圍內(nèi)一定存在一定存在n個根，個根， 即即n階方陣階方陣A在復數(shù)域內(nèi)必有在復數(shù)域內(nèi)必有n個特征值。個特征值。121122(2);nnnaaa 12(1);nA 設設n n階方陣的特征值為階方陣的特征值為 ijAa 12,n 那么那么當是的特征值時，的特征多項當是的特征值時，的特征多項12,n 式可

3、分解為式可分解為 fEA 12n 112121nnnnn 令令0, 得得A 121nn 即即12.nA L由于行列式由于行列式它的展開式中，主對角線上元素的乘積它的展開式中，主對角線上元素的乘積 1122nnaaa EA 是其中的一項，由行列式的定義，展開式中的其它項至是其中的一項，由行列式的定義，展開式中的其它項至多含多含n個主對角線上的元素，個主對角線上的元素，含的項只能在主對角線上元素的乘積項中含的項只能在主對角線上元素的乘積項中1nn 與與 11122nnnnEAaaa 故有故有比較，有比較，有121122.nnnaaaLL111212122212nnnnnnaaaaaaaaa 因此，

4、特征多項式中因此，特征多項式中(1)(1)由由求出求出A的一切特征值的一切特征值方陣的主對角線上的元素之和稱為方陣的跡方陣的主對角線上的元素之和稱為方陣的跡. .記為記為 .iiitr Aa n階方陣的特征值，就是使齊次線性方程組階方陣的特征值，就是使齊次線性方程組 0EA x 有非零解的有非零解的值，即滿足值，即滿足的的都是方陣的特征值都是方陣的特征值0EA ( )0fEA 12,n Lt重根對應重根對應t個一樣的特征值個一樣的特征值(2)(2)將求得的將求得的i 代入方程代入方程 0 ,0iEA xEA x 求求的非零解，即為的非零解，即為 對應的特征向量對應的特征向量i 10001000

5、1A 111011002B 例、求以下方陣的特征值與特征向量例、求以下方陣的特征值與特征向量1000100001IA 解解：( (1 1) )1,2,31() 三三重重根根 1231,0,0,0,1,0,0,0,1TTT 線性無關的特征線性無關的特征向量有三個向量有三個 將將 代入代入1i 0,0EA xOx 求求的非零解，即為的非零解，即為 對應的特征向量對應的特征向量i 112233,(0)kkk 特征值特征值1 1所對應的特征向量為所對應的特征向量為111011002B 2111011120002IA 解解：(1)(1)將將 代入代入1 21 ， 0100 ,0010001EA xx 求

6、求 11,0,0T 的非零解，即為的非零解，即為 對應的特征向量對應的特征向量. .i 1,21() 二二重重根根32 特征值特征值1 1所對應的特征向量為所對應的特征向量為 111,(0)kk特征值特征值2 2所對應的特征向量為所對應的特征向量為 22221,1,1,(0)Tkkkn階方陣可逆階方陣可逆的的n個特征值全不為零個特征值全不為零.假設數(shù)假設數(shù)為可逆陣的的特征值，為可逆陣的的特征值，單位陣只需一個特征值為單位陣只需一個特征值為0 對應對應的特征向量，那么的特征向量，那么那么那么 為為 的特征值的特征值, ,k kA0 對應對應kk的特征向量的特征向量那么那么 為為 的特征值的特征值

7、, ,1A A 0 對應對應|A|-1|A|-1的特征向量的特征向量那么那么 為為 的特征值，的特征值，m mA0 對應對應 的特征向量的特征向量m 1 1A 那那么么 0 對應對應-1-1的特征向量的特征向量的特征值，的特征值，為為假設數(shù)假設數(shù)ii為可逆陣的的特征值，為可逆陣的的特征值，01, 均為對應均為對應ii的特征向量的特征向量那么多項式那么多項式f()必為其對應矩陣多項式必為其對應矩陣多項式f(A)的特征值，的特征值，假設數(shù)假設數(shù)為可逆陣的的特征值，為可逆陣的的特征值，0 對應對應的特征向量，的特征向量，0 對應對應f()f()的特征向量。的特征向量。那么恣意非零組合那么恣意非零組合

8、 均為對應于均為對應于ii的特征向量的特征向量. .0011kk 的的m m個特征向量的非零組合也是其特征向量個特征向量的非零組合也是其特征向量12,m L12,m L證明：當證明：當m=2m=2時，時，12, 12, 111222,AA 12, 1122(1)0kk 112211122200 (2)A kkkk 121222(1)(20):0kk 10k 121,m L12,m L11220 (1)mmkkk L 1 111 1(2)00mmmmmA kkkk LL 111111(1)( ):02mmmmmmkk L 0,0(,1)01mimiikkmki L定理：將矩陣定理：將矩陣A A的

9、的s s個不同的特征值所對應的個不同的特征值所對應的s s組各自組各自120sZZZ L線性無關的特征向量合并在一同仍是線性無關的。線性無關的特征向量合并在一同仍是線性無關的。12,s L是是A A的的s s個不同的特征值，個不同的特征值，12,iiim Li 1121121211,isiissimmsm LLLLL111110smsjsjmjjjjkk L令令1.imiijijjZk 0,iZ 若若i 120,iiiiimZ L又又因因0, (1, ;1,)ijskis jm LL定理：設定理：設是是n n階矩陣階矩陣A A的一個的一個t t重特征值，那么其對應的重特征值，那么其對應的0 特征向量中線性無關的最大個數(shù)不超越特征向量中線性無關的最大個數(shù)不超越t.t.證明：略證明：略注：注：n n階矩陣階矩陣A A一切的線性無關的特征向量的個數(shù)不超越一切的線性無關的特征向量的個數(shù)不超越n.n.、假設、假設為可逆陣的特征值，那么為可逆陣的特征值，那么12