掌握幾種極限的定義中03357PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1掌握幾種極限的定義中掌握幾種極限的定義中03357重點(diǎn)：掌握幾種極限的掌握幾種極限的定義中，定義中，第二、三句話的區(qū)別與意義第二、三句話的區(qū)別與意義第1頁(yè)/共42頁(yè).sin時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx播放播放第2頁(yè)/共42頁(yè)問問題題: :函函數(shù)數(shù))(xfy 在在 x的的過過程程中中, 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)函函數(shù)數(shù)值值)(xf無無限限趨趨近近于于確確定定值值 A.;)()(任意小任意小表示表示AxfAxf .的過程的過程表示表示 xXx. 0sin)(,無限接近于無限接近于無限增大時(shí)無限增大時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxfx 通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:問題問題: 如何用數(shù)學(xué)

2、語言刻劃函數(shù)如何用數(shù)學(xué)語言刻劃函數(shù)“無限接近無限接近”.第3頁(yè)/共42頁(yè)定義定義 1 1 如果對(duì)于任意給定的正數(shù)如果對(duì)于任意給定的正數(shù) ( (不論它多么小不論它多么小),),總存在著正數(shù)總存在著正數(shù)X, ,使得對(duì)于適合不等式使得對(duì)于適合不等式Xx 的一切的一切x, ,所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值)(xf都滿足不等式都滿足不等式 Axf)(, ,那末常數(shù)那末常數(shù)A就叫函數(shù)就叫函數(shù))(xf當(dāng)當(dāng) x時(shí)的極限時(shí)的極限, ,記作記作)()()(lim xAxfAxfx當(dāng)當(dāng)或或定義定義)( X .)(, 0, 0 AxfXxX有有當(dāng)當(dāng) Axfx)(lim1、定義：、定義：第4頁(yè)/共42頁(yè):.10情形情形x

3、.)(, 0, 0 AxfXxX有有當(dāng)當(dāng):.20情情形形 xAxfx )(lim.)(, 0, 0 AxfXxX有有當(dāng)當(dāng)Axfx )(lim2、另兩種情形、另兩種情形: Axfx)(lim:定定理理.)(lim)(limAxfAxfxx 且且第5頁(yè)/共42頁(yè)xxysin 3、幾何解釋、幾何解釋: X X.2,)(,的帶形區(qū)域內(nèi)的帶形區(qū)域內(nèi)寬為寬為為中心線為中心線直線直線圖形完全落在以圖形完全落在以函數(shù)函數(shù)時(shí)時(shí)或或當(dāng)當(dāng) AyxfyXxXxA第6頁(yè)/共42頁(yè)xxysin 例例1. 0sinlim xxx證明證明證證xxxxsin0sin x1 X1 , , 0 X取取Xx 當(dāng)當(dāng). 0sinlim

4、xxx故故.)(,)(lim:的圖形的水平漸近線的圖形的水平漸近線是函數(shù)是函數(shù)則直線則直線如果如果定義定義xfycycxfx 1 11 第7頁(yè)/共42頁(yè)第8頁(yè)/共42頁(yè)問問題題: :函函數(shù)數(shù))(xfy 在在0 xx 的的過過程程中中,對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)函函數(shù)數(shù)值值)(xf無無限限趨趨近近于于確確定定值值 A.;)()(任意小任意小表示表示AxfAxf .000的過程的過程表示表示xxxx x0 x 0 x 0 x ,0鄰域鄰域的去心的去心點(diǎn)點(diǎn) x.0程度程度接近接近體現(xiàn)體現(xiàn)xx 第9頁(yè)/共42頁(yè)定義定義 2 2 如果對(duì)于任意給定的正數(shù)如果對(duì)于任意給定的正數(shù) ( (不論它多不論它多么小么小),),總存在正

5、數(shù)總存在正數(shù) , ,使得對(duì)于適合不等式使得對(duì)于適合不等式 00 xx的一切的一切x, ,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值對(duì)應(yīng)的函數(shù)值)(xf都都滿足不等式滿足不等式 Axf)(, ,那末常數(shù)那末常數(shù)A就叫函數(shù)就叫函數(shù))(xf當(dāng)當(dāng)0 xx 時(shí)的極限時(shí)的極限, ,記作記作)()()(lim00 xxAxfAxfxx 當(dāng)當(dāng)或或定義定義 .)(,0, 0, 00 Axfxx恒有恒有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng)1、定義：、定義：第10頁(yè)/共42頁(yè)2、幾何解釋、幾何解釋:)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo.2,)(,0的帶形區(qū)域內(nèi)的帶形區(qū)域內(nèi)寬為寬為為中心線為中心線線線圖形完全落在以直圖形完全落在以直函數(shù)函數(shù)域時(shí)域時(shí)鄰鄰的去心的去心

6、在在當(dāng)當(dāng) Ayxfyxx注意注意：;)(. 10是是否否有有定定義義無無關(guān)關(guān)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)極極限限與與xxf. 2有有關(guān)關(guān)與與任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù) .,越越小小越越好好后后找找到到一一個(gè)個(gè)顯顯然然 第11頁(yè)/共42頁(yè)例例2).( ,lim0為常數(shù)為常數(shù)證明證明CCCxx 證證Axf )(CC ,成立成立 , 0 任任給給0 .lim0CCxx , 0 任任取取,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx例例3.lim00 xxxx 證明證明證證,)(0 xxAxf , 0 任任給給, 取取,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx0)(xxAxf ,成立成立 .lim00 xxxx 第12頁(yè)/共42頁(yè)例例4. 211lim21

7、xxx證明證明證證211)(2 xxAxf, 0 任任給給, 只只要要取取,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn)x=1處沒有定義處沒有定義.1 x,)( Axf要要使使,2112 xx就有就有. 211lim21 xxx第13頁(yè)/共42頁(yè)例例5.lim00 xxxx 證證0)(xxAxf , 0 任任給給,min00 xx取取,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx00 xxxx ,)( Axf要要使使,0 xx就有就有,00 xxx .00且且不不取取負(fù)負(fù)值值只只要要 xxx.lim,0:000 xxxxx 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)證明證明第14頁(yè)/共42頁(yè)3.單側(cè)極限單側(cè)極限:例如例如,. 1)(lim0, 10,1)(02

8、xfxxxxxfx證明證明設(shè)設(shè)兩種情況分別討論兩種情況分別討論和和分分00 xx,0 xx從左側(cè)無限趨近從左側(cè)無限趨近; 00 xx記作記作,0 xx從右側(cè)無限趨近從右側(cè)無限趨近; 00 xx記作記作yox1xy 112 xy第15頁(yè)/共42頁(yè)左極限左極限.)(, 0, 000 Axfxxx恒有恒有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng)右極限右極限.)(, 0, 000 Axfxxx恒有恒有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng)000:000 xxxxxxxxx注意注意.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或記作記作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或記作記作第16頁(yè)/共42頁(yè).)0()0()(lim:000

9、AxfxfAxfxx 定理定理.lim0不存在不存在驗(yàn)證驗(yàn)證xxxyx11 oxxxxxx 00limlim左右極限存在但不相等左右極限存在但不相等,.)(lim0不存在不存在xfx例例6證證1)1(lim0 xxxxxxx00limlim 11lim0 x第17頁(yè)/共42頁(yè)1.有界性有界性定理定理 若在某個(gè)過程下若在某個(gè)過程下, ,)(xf有極限有極限, ,則存在則存在過程的一個(gè)時(shí)刻過程的一個(gè)時(shí)刻, ,在此時(shí)刻以后在此時(shí)刻以后)(xf有界有界. .2.唯一性唯一性定理定理 若若)(limxf存在存在,則極限唯一則極限唯一.第18頁(yè)/共42頁(yè)推論推論).()(),(, 0,)(lim,)(li

10、m0000 xgxfxUxBABxgAxfxxxx 有有則則且且設(shè)設(shè)3.不等式性質(zhì)不等式性質(zhì)定理定理( (保序性保序性) ).),()(),(, 0.)(lim,)(lim0000BAxgxfxUxBxgAxfxxxx 則則有有若若設(shè)設(shè)第19頁(yè)/共42頁(yè)).0)(0)(,),(, 0),0(0,)(lim000 xfxfxUxAAAxfxx或或時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)則則或或且且若若定理定理( (保號(hào)性保號(hào)性) ).0(0),0)(0)(,),(, 0,)(lim000 AAxfxfxUxAxfxx或或則則或或時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)且且若若推論推論第20頁(yè)/共42頁(yè)4.子列收斂性子列收斂性(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限

11、與數(shù)列極限的關(guān)系) .)(),(,),(),(,)(.),(),(21000時(shí)的子列時(shí)的子列當(dāng)當(dāng)為函數(shù)為函數(shù)即即則稱數(shù)列則稱數(shù)列時(shí)時(shí)使得使得有數(shù)列有數(shù)列中中或或可以是可以是設(shè)在過程設(shè)在過程axxfxfxfxfxfaxnaxxxxaaxnnnn 定義定義.)(lim,)()(,)(limAxfaxxfxfAxfnnnax 則有則有時(shí)的一個(gè)子列時(shí)的一個(gè)子列當(dāng)當(dāng)是是數(shù)列數(shù)列若若定理定理第21頁(yè)/共42頁(yè)證證.)(,0, 0, 00 Axfxx恒有恒有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng)Axfxx )(lim0.0, 0, 00 xxNnNn恒有恒有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng)對(duì)上述對(duì)上述,)( Axfn從而有從而有.)(limAxfnn

12、故故,lim00 xxxxnnn 且且又又第22頁(yè)/共42頁(yè)例如例如,xxysin 1sinlim0 xxx, 11sinlim nnn, 11sinlim nnn11sin1lim22 nnnnn函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極限都存在限都存在, ,且相等且相等. .第23頁(yè)/共42頁(yè)xy1sin 例例7.1sinlim0不存在不存在證明證明xx證證 ,1 nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且 ,2141 nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且第24頁(yè)/共42頁(yè) nxnnnsin

13、lim1sinlim 而而, 1 214sinlim1sinlim nxnnn而而1lim n二者不相等二者不相等,.1sinlim0不存在不存在故故xx, 0 第25頁(yè)/共42頁(yè)函數(shù)極限的統(tǒng)一定義函數(shù)極限的統(tǒng)一定義;)(limAnfn ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx ;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx .)(, 0)(lim AxfAxf恒有恒有從此時(shí)刻以后從此時(shí)刻以后時(shí)刻時(shí)刻(見下表見下表)第26頁(yè)/共42頁(yè)過過 程程時(shí)時(shí) 刻刻從此時(shí)刻以后從此時(shí)刻以后 n x x xNNn Nx Nx Nx )(xf Axf)(0

14、 xx 00 xx 0 xx 0 xx 00 xx00 xx過過 程程時(shí)時(shí) 刻刻從此時(shí)刻以后從此時(shí)刻以后 )(xf Axf)(第27頁(yè)/共42頁(yè)思考思考題題試試問問函函數(shù)數(shù) 0,50,100,1sin)(2xxxxxxxf在在0 x處處的的左左、右右極極限限是是否否存存在在？當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí)，)(xf的的極極限限是是否否存存在在？第28頁(yè)/共42頁(yè)思考題解答思考題解答 )(lim0 xfx, 5)5(lim20 xx左極限存在左極限存在, )(lim0 xfx, 01sinlim0 xxx右極限存在右極限存在, )(lim0 xfx)(lim0 xfx )(lim0 xfx不存在不存在.第29頁(yè)

15、/共42頁(yè).01. 01_131222 yzxzxxyx，必有，必有時(shí)，只要時(shí)，只要取取，問當(dāng)，問當(dāng)時(shí)，時(shí)，、當(dāng)、當(dāng).001. 0420_4212 yxxyx，必有，必有只要只要時(shí)，時(shí)，取取，問當(dāng)，問當(dāng)時(shí)，時(shí)，、當(dāng)、當(dāng) 證明：證明：二、用函數(shù)極限的定義二、用函數(shù)極限的定義一、填空題一、填空題:0sinlim221241lim1221 xxxxxx、練練 習(xí)習(xí) 題題第30頁(yè)/共42頁(yè).)(:0極限各自存在并且相等極限各自存在并且相等必要條件是左極限、右必要條件是左極限、右時(shí)極限存在的充分時(shí)極限存在的充分當(dāng)當(dāng)函數(shù)函數(shù)三、試證三、試證xxxf?0)(存存在在時(shí)時(shí)的的極極限限是是否否在在四四、討討論論

16、：函函數(shù)數(shù) xxxx 第31頁(yè)/共42頁(yè)一一、1 1、0 0. .0 00 00 02 2； 2 2、397. .四四、不不存存在在. .練習(xí)題答練習(xí)題答案案第32頁(yè)/共42頁(yè).sin時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限第33頁(yè)/共42頁(yè).sin時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限第34頁(yè)/共42頁(yè).sin時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限第35頁(yè)/共42頁(yè).sin時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限第36頁(yè)/共42頁(yè).sin時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察函