2.1二元函數(shù)的連續(xù)性ppt課件

1、16.3 二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性 一一. 二元函數(shù)的連續(xù)相對連續(xù)概念二元函數(shù)的連續(xù)相對連續(xù)概念 復(fù)習(xí)一元函數(shù)連續(xù)概念 ( ),lim( )( )xaf xxaf xf a在點(diǎn)處連續(xù)0,0,( , ),:( )( )xU af xf a 有與一元函數(shù)連續(xù)類似地，從幾何直觀，引入二元函數(shù)連續(xù)1. 連續(xù)的定義連續(xù)的定義的可去間斷點(diǎn)。 :證明( , )(0,0) lim( , )x yy mxf x y22( , )(0,0) limx yy mxxyxy21mm(0,0)f ( , )(0, 0).f x yymx在沿著直線是連續(xù)的例2 討論函數(shù)222222,0( , )0,0 xyxyx

2、yf x yxy在(0,0)的連續(xù)性解解取ykx2200limxyxyxy22220limxy kxkxxk x21kk其值隨k的不同而變化， 極限不存在故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)6.:由上節(jié)例證明( , )(0,0)x y當(dāng)點(diǎn)沿著任何直線趨于原點(diǎn)時(shí),( , )f x y0(0,0),f(0,0)f 在點(diǎn)沿任何方向都連續(xù),( , )(0,0)lim( , )x yf x y但不存在,(0,0)f 在點(diǎn)不全面連續(xù)例4 討論函數(shù)3322, ( , )(0,0)( , )0,( , )(0,0)xyx yf x yxyx y在(0,0)處的連續(xù)性解 取cos ,xsiny( , )(0,0)f x

3、yf33(sincos)2( , )(0,0)2f x yf故函數(shù)在(0,0)處連續(xù).( , )(0,0)lim( , )(0,0),x yf x yf0,2當(dāng) 時(shí)220 xy函數(shù)的增量函數(shù)的增量 000. (,), (3, ),P x yP x yD定設(shè)義00,xxxyyy 記0,P稱為自變量在 的增量 則0000(1). (,)( , )(,)ff xyf x yf xy 0000(,)(,)f xx yyf xy 0fP稱為函數(shù) 在點(diǎn) 的全增量.0(2). ,yy固定000000(,)(,)(,)xf x yf xx yf x y0fPx稱為函數(shù) 在點(diǎn) 關(guān)于 的偏增量.000000(3)

4、. (,)(,)(,)yf xyf xyyf xy 0fPy稱為函數(shù) 在點(diǎn) 關(guān)于 的偏增量.000,0,0 ( , )( )lim(,)0 xyx yDf PPf xy .在1點(diǎn)題連命續(xù)00( ,2)f x yxx.一元點(diǎn)命函數(shù)題連續(xù)000lim(,)0.xxf xy 00(3, )f x yyy命.一元函題數(shù)點(diǎn)連續(xù)000lim(,)0.yyf x y 000( , )(,)f x yP x y.在點(diǎn)命題4連續(xù)00( ,)f x yxx點(diǎn)連續(xù)00(, )f xyyy點(diǎn)連續(xù)命題4的逆命題不真.3見例,x yf自變量有微小變動(dòng)時(shí) 因變量 變動(dòng)也很小2. 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 與一元函數(shù)的連

5、續(xù)性質(zhì)一樣，我們有 也全面連續(xù)。 :證明0fQ 在點(diǎn)連續(xù),000,0,uuvv當(dāng)時(shí),有:00( , ),f u vf u v0P又與在點(diǎn) 連續(xù),000,0,xxyy對上述當(dāng)時(shí),有:000( , )(,)uux yxy000( , )(,)vvx yxy0000,:( , ),( , )(,),(,)fx yx yfxyxy從而 有00( , ),f u vf u v000( , ),( , )(,)fx yx yP xy在連續(xù).二. 二元初等函數(shù)及其連續(xù)性 多元初等函數(shù)：由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)一切多元初等函數(shù)在

6、其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域事實(shí)上，連續(xù)的一元函數(shù)也都是連續(xù)的多元 由多元函數(shù)連續(xù)的運(yùn)算法則，以及基本初等 函數(shù)的連續(xù)性，即得。 例例5 50011lim.xyxyxy 求解解001 1lim(11)xyxyxyxy 原式001lim11xyxy 1.200000lim( )( )( )( )lim( )().PPPPf Pf PPf Pf PPf Pf P一般地，求時(shí)，如果是初等函數(shù)，且是的定義域的內(nèi)點(diǎn)，則在點(diǎn)處連續(xù)，于是 6. 討論下列例函數(shù)的連續(xù)性sin, 01). ( , ); 0, 0 xyyyf x yy:解0,y 當(dāng)時(shí)sin( , )xyf x y

7、y連續(xù)0,y 當(dāng)時(shí)00,( , ),0 xf x yxR 研究在點(diǎn)的連續(xù)性.0( ). 0,ix 如果則0( , ),0 0lim( , )x yxyf x y0( , ),0 0sinlimx yxyxyy0,x0( , ),0 0lim( , )x yxyf x y0( , ),0 0lim0 x yxy0,0( , ),0lim( , ),x yxf x y故不存在初等函數(shù)0( ). 0,iix 如果此時(shí)( , )(0,0)f x yf0 sin, 0 0, 0 xyyyy, 0 0, 0 xyy,x( , )0,0lim( , )(0,0)x yf x yf0,( , )0,0f x

8、y即在連續(xù).綜上所述,00( , ),00)f x yxx 在點(diǎn)間斷(;其余點(diǎn)連續(xù).0( , ),0f x yx在不連續(xù)222222, 0(2). ( , ) (0). 0, 0pxxyxyf x ypxy:解00( ). (,)0,0,ixy當(dāng)時(shí)00( , )(,)f x yxy在連續(xù)初等函數(shù)00( ). (,)0,0,iixy當(dāng)時(shí)cos ,sin ,xryr令則( , )0,00,x yr ( , )(0,0)f x yf而2cosprr21cospr210p 當(dāng)時(shí),1,2p 即時(shí)211( , )(0,0)pf x yfr( , )0,0,lim( , )(0,0),x yf x yf因此

9、(0,0)f在連續(xù).210,p 當(dāng)時(shí)1,2p 即時(shí)0,選取0,0,yx即射線 ( , )(0,0)f x yf則21cospr211pr11, 2p 1, 2p( , )0,0lim( , )(0,0),x yf x yf(0,0).f即 在不連續(xù),綜上所述(0,0),在點(diǎn)1;2pf當(dāng)時(shí), 連續(xù)1,;2pf當(dāng)時(shí)不連續(xù).f而其它點(diǎn) 皆連續(xù)三三. 一致連續(xù)性一致連續(xù)性 復(fù)習(xí) zfD在區(qū)域 上連續(xù)00,0,0,:PDPDP P 只要有0( )()f Pf P: zfD在區(qū)定域義上一致連續(xù)000,0,:P PDP P只要有0( )()f Pf P四. 有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 1. 有界性與最值性有

10、界性與最值性 :.fD先證 在證上有界明,若不然 則,n 正整數(shù),nPD必: , 1,2,nf Pnn使lim,nnf P ,nPD ,nP為有界點(diǎn)列 由魏爾斯托拉斯定理, ,knnPP存在收斂子列0lim.knkPP設(shè),D由 為閉域0,PD從而,fD又在 上連續(xù)0P在 連續(xù), 于是,有:0limknkf Pf P,矛盾fD 是 上的有界函數(shù).fD再證, 在 上能取到最大,最小值. inf(), sup().mf DMf D設(shè), , ( )QDf QM即證使:, ()QDf Qm同理證使:, ( ),PDf PM 反證 設(shè)有:( )0.Mf P1( ),( )F PMf P記FD則 在 上連續(xù)

11、,FD由前面的證明知, 在 上有界,sup(), ( ),Mf Df PM而且0, ()PDMf PM 即使:10, nPDn取使:1 (), (1,2,)nMf PMnn, lim(),nnf PM于是lim()nnF P ,FD與 在 上有界矛盾fD故 在 上能取到最大值./2. 一致連續(xù)性 ,):(用聚點(diǎn)定理來證證反證明fD設(shè) 在 上連續(xù)而不一致連續(xù), 0,0則0,P QDP Qf Pf Q 0且但是1,n取,nnP QD1,nnP Qn且 ,nnf Pf Q0但是1,2,n ,D 為有界閉域 ,knnDPP 中點(diǎn)列存在收斂子列0lim,knkPPD設(shè),kknnnQPQ在中取出與下標(biāo)相同

12、的子列則0,kknnPQ1kn k 0,limlimkknnkkQP0P,D0,:fP由 在 連續(xù) 得limkknnkf Pf Q00f Pf P00,kknnf Pf Q0與.矛盾.fD故 在 上一致連續(xù)3. 介值性與零點(diǎn)定理 oxyD2P1P:證明12,P PD不妨設(shè)為 的內(nèi)點(diǎn),D為區(qū)域 則可用有限段都12,DPP在 中的折線連結(jié) 和如果有某一個(gè)連結(jié)點(diǎn)所對應(yīng)0,的函數(shù)值為,則定理得證oxyD2P1P,否則,必存在某直線段12fMM在它的兩端點(diǎn)與的函數(shù)值異號(hào),120,0,f Mf M設(shè)111222( ,),(,),M x yMx y其中12:M M則直線段的方程為121121(),(),xxt xxyyt yy01,t 12,:M Mf在直線段上可表示