均值不等式及其證明

1、精心整理1平均值不等式及其證明平均值不等式是最基本的重要不等式之一， 在不等式理論研究和證明中占有重要 的位置。平均值不等式的證明有許多種方法，這里，我們選了部分具有代表意義的 證明方法，其中用來證明平均值不等式的許多結論，其本身又具有重要的意義，特 別是，在許多競賽的書籍中，都有專門的章節(jié)介紹和討論，如數(shù)學歸納法、變量替換、恒等變形和分析綜合方法等，這些也是證明不等式的常用方法和技巧。1.1平均值不等式般地，假設ai,a2,.,an為n個非負實數(shù)，它們的算術平均值記為幾何平均值記為1Gn =(aia2.an)n =n 現(xiàn).耳。算術平均值與幾何平均值之間有如下的關系。a a2 . anaia2

2、.an ，當且僅當 印=a2=.=an時，等號成立。上述不等式稱為平均值不等式，或簡稱為均值不等式。平均值不等式的表達形式簡單，容易記住，但它的證明和應用非常靈活、廣泛,有多種不同的方法。為使大家理解和掌握，這里我們選擇了其中的幾種典型的證明方法。供大家參考學習。1.2平均值不等式的證明證法一（歸納法）（1）當n =2時，已知結論成立。（2）假設對n=k （正整數(shù)k2）時命題成立，即對a 0,i2,.,k,有精心整理1aia? . akT-2k_ (qa2.an)k。k那么，當n=k時，由于,Gki = ka1a2akak ,ai +a? +. +a” iAk 112厘k+1關于a1,a2,.

3、, ak d是對稱的，任意對調ai與aj(i=j) ,Ak d和Gk d的值不改變，因此不妨設印=min :印，比，比 i , ak 1 = maxa,a?,，比.1 f顯然 ai_Aki _aki，以及(ai-Aki)(ak i -Aki) ： 0 可得A 1 (ai a k 1 _ Ak 1 ) aiak 1 所以 A = kA- _ (k 1)宀 1 - A- _ a1 a? . a- - A1卅 _ k _k_k即 Ak 1 - a2.ak (a1 ak 1 - Ak 1)兩邊乘以 Ak 1，得Ak 1 亠 a2.ak Ak 1(a1 ak 1 - Ak 1)丄 a2.ak (a1ak

4、 1 ) = Gk 1。從而，有Ak 1 一 Gk 1證法二(歸納法)(1)當n =2時，已知結論成立。(2)假設對n=k (正整數(shù)k_2)時命題成立，即對a 0,1,2,., k,有q a： . ak _ kk 時2.色。那么，當n = k 1時，由于從而，有Ak 1亠Gk 1證法三(歸納法)(1)當n =2時，已知結論成立。(2)假設對n=k (正整數(shù)k2)時命題成立，即對a 0,i =1,21.,k,有a a2 . ak - kk a1a2.ak。那么，當n = k 1時，由于證法四(歸納法和變換)精心整理證法五（利用排序不等式）設兩個實數(shù)組印4,an和bi, b2,bn滿足aj _ a

5、2 an; D - b2 bn，則a1b1 a2b2 -. - anbn （同序乘積之和） -aibji - a2bj2 -. - anbjn （亂序乘積之和）-ajbn a2bnj . - and （反序乘積之和）其中ji,j2,., jn是1,2,., n的一個排列，并且等號同時成立的充分必要條件是4 = a2 =. = an或 D = b2 = . = bn 成立。證明：切比雪夫不等式（利用排序不等式證明）楊森不等式（Young）設i . o, 2 o, i 工刊則對xi,x2 0有X1 % 21X1 2X2等號成立的充分必要條件是x x2。琴生不等式（Jenser）設y = f（x）,

6、x（a,b）為上凸（或下凹）函數(shù)，則對任意 xe（a,b）（i =1,2,., n），我們都有1f（X1） 2f（X2）nf（xn）空 f （ 1洛2X2 . n 焉）或n其中 i 0（i -1,2,., n）. - i - 1i 二習題一1.設a,R；=1。求證：對一切正整數(shù)n,有a b2設a,b,cR ,求證：3.設X1,X2,X3為正實數(shù)，證明：4.設 a,b,c，R , a b 1，求證：5.設 x,y,z，R :且 x yz，求證：精心整理6. 設 a, b, c 三 R，滿足 a2 b2 c2 = 1，求證:竺 bC ? _、3cab7. 設a,b,c,d是非負實數(shù)，滿足ab be c