行列式的計算技巧與方法總結(同名4612)

1、行列式的幾種常見計算技巧和方法2.1定義法適用于任何類型行列式的計算，但當階數(shù)較多、數(shù)字較大時，計 算量大，有一定的局限性.0 0 10 2 03 0 00 0 00計算行列式0解析：這是一個四級行列式，在展開式中應該有 424項，但由于出現(xiàn)很多的零，所以不等于零的項數(shù)就大大減少具體的說，展開式中的項的一般形式是aijla2j2 a3j3a4j4 .顯然，如果ji 4，那么a“0，從而這個項就等于零因此只須考慮ji 4的項，同理只須考慮j23, j32, j41的這些項，這就是說，行列式中不為零的項只有ai4a23a32a4143216，所以此項取正號故14321a14a23a32a4124.

2、0 =002.2利用行列式的性質(zhì)即把已知行列式通過行列式的性質(zhì)化為上三角形或下三角形該方法適用于低階行列式.化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分別如下：a11a12a130a22a2300a33000a1100a21a220a31a32a33aina2na3naiia22a nn ,ann000aiia22ann 例2計算行列式Dn 11a1a21aibia2anan1aia2an bnan1 an2 an3ann解析：觀察行列式的特點，主對角線下方的元素與第一行元素對應相同，故用第一行的1倍加到下面各行便可使主對角線下方的元素全部變?yōu)榱慵矗夯癁樯先切?解：將該行列式第一行的1倍分別加

3、到第2,3（ n 1）行上去,可得1a-ia2K0b100M M M OanMbnb|b2 K bn 連加法這類行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列） 后，使該行（或列）元素均相等或出現(xiàn)較多零，從而簡化行列式的計 算這類計算行列式的方法稱為連加法.例3計算行列式Dnx1mx2x1x2mX2XnXnXn m解:DnnXii 1nX2Xi mx2mi 1ximi 1X2XnXnXnmXiX2x2mXnXnXnm1X2nXi1m0m00i 11 X2Xn0n 1nmXimi 1m滾動消去法當行列式每兩行的值比較接近時，可采用讓鄰行中的某一行減或者加上另一行的若干倍，這種方法叫滾動消去法

4、.123n 1n212n 2 n 1例4計算行列式Dn321n 3 n 2n 2nn 1n 22 1解：從最后一行開始每行減去上一行，有123n 1n123n 1n1111120002Dn11111220021111111111224逐行相加減對于有些行列式,雖然前n行的和全相同,但卻為零用連加法明00an0n1 n 1 a1a2ann1 n 1 a1a2an.顯不行，這是我們可以嘗試用逐行相加減的方法.a10a1a20a20000例5計算行列式D00a300000anar11111解：將第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此類推，得:a1000 a2000a3D0 0 02.3降階法將

5、高階行列式化為低階行列式再求解.按某一行（或列）展開x10000x100例6 解行列式Dn00x00000x1anan 1an 2a2a1解：按最后一行展開，得Dnn 1n 2a1xa2xan 1xan2.3.2按拉普拉斯公式展開拉普拉斯定理如下：設在行列式 D中任意選定了 k1 k n-1個行.由這k行元素所組成的一切k級子式與它們的代數(shù)余子式的乘積的和等于行列式D.即DM 1A1 M 2A 2MnAn，其中A i是子式Mi對應的代數(shù)余子式.AnnCnn0BnnAnn ? Bnn ,Ann0CnnBnnAnn?Bnn.例7解行列式D n解：從第三行開始，每行都減去上一行；再從第三列開始，每列

6、都加到第二列，得Dnab2.4升階法就是把n階行列式增加一行一列變成n+1階行列式，再通過性質(zhì)化簡算出結果，這種計算行列式的方法叫做升階法或加邊法升階法 的最大特點就是要找每行或每列相同的因子，那么升階之后，就可以利 用行列式的性質(zhì)把絕大多數(shù)元素化為 0，這樣就達到簡化計算的效果.其中，添加行與列的方式一般有五種：首行首列，首行末列，末 行首列，末行末列以及一般行列的位置.011101例8解行列式D=1101111111 11 11 10 11 0解：使行列式D變成n 1階行列式，即1 1 10 0 10 1 0D1 11 11 10 11 0再將第一行的 1倍加到其他各行，得:111110D

7、=101100100從第二列開始，每列乘以1 10 00 01 00 11加到第一列，得:(n 1)110 1 00 0 1D000000n 11 n 1 .1 10 00 01 00 12.5數(shù)學歸納法有些行列式，可通過計算低階行列式的值發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，然后提出數(shù)學假設，再利用數(shù)學歸納法去證明.對于高階行列式的證明問題, 歸納法是常用的方法.例9計算行列式Dncos1012 cos1012 cos2 cos112 cos解：用數(shù)學歸納法證明1 時，D1 cos猜想,2 時，D2Dn cosncos112cos2cos2cos2由上可知，當n2時，結論成立.假設當n k時,結論成立.即：Dkcos

8、k.現(xiàn)證當n1時，結論也成立.當 n k 1 時，Dk 1cos1012cos1012cos2 cos112cos將Dk 1按最后一行展開，得,k 1 k 1 ,1 ?2coscos1012cos1012cos2cos2 cos Dkcos1012cos1012cosD k 1.從而由數(shù)學歸納法可知，對一切的自因為Dk 1cos k1cos kcoskcos所以Dk 12cosDkDk 12 coscoskcosk cossin ksincoskcossin k sincos k1 .1時也成立,Dkcosk ，sin k sin ，這就證明了當n k然數(shù)，結論都成立.即：Dncosn2.6遞

9、推法技巧分析：若n階行列式D滿足關系式aDn bD n 1 eDn 20 .則作特征方程ax2 bx e 0. 若0，則特征方程有兩個不等根，則 Dn Ax：1 Bx；1 若0，則特征方程有重根xi X2，則DnA nB x： 1在中，A，B均為待定系數(shù)，可令n 1, n 2求出.95000004950000例10計算行列式Dn049500000004950000049解：按第一列展開，得D n9Dn 120 Dn 2 .即D n 9D n 120 D n 20 .作特征方程x2 9x 200.解得X14, X25.則n 1n 1Dn A?4B?5.當 n 1 時，9 A B ；當 n 2 時

10、，61 4A 5B.解得A 16, B 25 ,所以Dn 5n 14n 1.3、行列式的幾種特殊計算技巧和方法3.1拆行（列）法概念及計算方法拆行（列）法（或稱分裂行列式法），就是將所給的行列式拆成兩 個或若干個行列式之和，然后再求行列式的值拆行（列）法有兩種 情況，一是行列式中有某行（列）是兩項之和，可直接利用性質(zhì)拆項； 二是所給行列式中行（列）沒有兩項之和，這時需保持行列式之值不 變，使其化為兩項和.例題解析1a1a200011 a2a300例11計算行列式Dn011a3000001an 1an00011 an解：把第一列的元素看成兩項的和進行拆列，得Dna100a10a2a21a2a21

11、a2a21a3a3a3a3a3a3上面第一個行列式的值為1,Dn 1a1an1所以1 a21a3a3an11 aQn 1.這個式子在對于任何都成立,anan000anananan因此有anana2 Dn 21aa a?n 1a1a2ani i1 aj .j 13.2構造法概念及計算方法有些行列式通過直接求解比較麻煩，這時可同時構造一個容易求 解的行列式，從而求出原行列式的值.3.2.2例題解析111X1X2Xn222例12求行列式DnX1X2Xnn 2n 2n 2X1X2XnnnnX1X2Xn解：雖然Dn不是范德蒙德行列式，但可以考慮構造 n 1階的范德蒙德 行列式來間接求出Dn的值.構造n

12、1階的范德蒙德行列式，得1111X1X2XnX2222X1X2XnXXn 2n 2n 2n 2X1X2XnXn 1n 1n 1n 1X1X2XnXnnnnX1X2XnX將f x按第n 1列展開，得f X A,n 1A2,n 1XAn,n 1 Xn1,n 1X ，n 1其中，X的系數(shù)為An,n 1DnDn.又根據(jù)范德蒙德行列式的結果知f X XX1X2XnXinXj由上式可求得Xn 1的系數(shù)為XiX2XnXiXj故有Dn X1X2Xn1 j iXinXj3.3特征值法概念及計算方法1，2，n是n級矩陣A的全部特征值,則有公式A的行列故只要能求出矩陣A的全部特征值，那么就可以計算出式.例題解析A可

13、逆當且例13若1，2， n是n級矩陣A的全部特征值，證明:僅當它的特征值全不為零.證明：因為A 1 2 n，則即A可逆當且僅當它的特征值全不為零.4、幾類特殊的行列式的巧妙計算技巧和方法4.1三角形行列式概念形如31a12a13a1 na11a22a23a2na21a22a33a3na31a32a33annan1an2an3ann這樣的行列式,形狀像個三角形，故稱為“三角形”行列式.計算方法由行列式的定義可知，a11a120a?20000a110a21 a22a31 a32an1 an2a13a1 na23a2na33a3na11a22ann0ann0000a330a11a22annan3an

14、n概念aob1b2bnbnb2b1aoC1a1a1CC2a2a2C2CnananCn形如CnananCnC2a2a2C2C1a1aCaobib2bnbnb2b1ao字型行列式.“爪”“爪”字，故稱它們?yōu)檫@樣的行列式，形狀像個422計算方法利用對角線消去行列式中的“橫線”或“豎線”，均可把行列式化成“三角形”行列式.此方法可歸納為：“爪”字對角消豎橫.4.2.3例題解析例14計算行列式a111a2a3，其中 ai 0,i1,2, n.分析:這是一個典型的“爪”an字型行列式，計算時可將行列式的第i(i 2,3,n.)列元素乘以1后都加到第一列上，原行列式可化為三ai角形行列式.Cnanao b1

15、 b2C1a1C2a2C2a2C1a1Cnaob1b2bnbnan概念形如4.3a1111a2a3anan a1“么”i 2 ai字型行列式i 2 ai01 1a2a34.3.1bnb2 d aoanbnacCna?C25a2b2C2&10anCnC1aoao bb2bnanCnC1aC2a2a2C2agCnanbnb2b1ao樣的行列式,字,b2 b1 aoCnanbn形狀像個“么”anCna1ca2C2C2a2因此常稱它們?yōu)椤懊础盋1a1aothb2b1bn字型行列式.利用“么”字的一個撇消去另一個撇，就可以把行列式化為三角 形行列式.此方法可以歸納為：“么”字兩撇相互消.注意：消第一撇的

16、方向是沿著“么”的方向，從后向前，利用an消去Cn，然后再用ani消去Cni，依次類推.1 111b1bn 1bn例題解析例15計算n 1階行列式Dn i1 11解：從最后一行開始后一行加到前一行（即消去第一撇），得Dn 11n1bi 1 nbii 11bn 1 bn1bnn n 1n1 2 ? 1 1bii 1n n 3n1 21bi 14.4“兩線”型行列式ai0bia20b200形如這樣的行列式叫做“兩線型”行列式.000bn 1bn00an442計算方法對于這樣的行列式，可通過直接展開法求解.例題解析ai0bia20b200例16求行列式Dn000bn 1bn00an解：按第一列展開，

17、得a2b20.丄n1bi a20 b200D n 1aibn100bn 100an00bna a?an1 n 1b1b2bn.4.5 “三對角”型行列式4.5.1概念a bab000001a bab0000形如01a bab000這樣的行列式，叫00000a bab000001a b做“三對角型”行列式.計算方法對于這樣的行列式，可直接展開得到兩項遞推關系式，然后變形進行兩次遞推或利用數(shù)學歸納法證明.a b1aba b例17求行列式Dn010000解：按第一列展開,得ab001a babDna b Dn 101a b000000a b Dn 1abDn 例題解析00000ab00

18、00a bab000000abab0001a b000000ab00a b0a bab01a b變形，得D naD n 1D n 1 aD n 2由于 D1 a b, D2 a2 ab b2，從而利用上述遞推公式得Dn aDn 1 b Dn 1 aDn 2b2 Dn 2 aDn 3bn 2 D2 aD1 bn.an1babn1bn4.6 Van derm onde 行列式1111a1a2a3an形如2a12a22a32ann 1n 1n 1n 1aa2a3an列式.4.6.1 概念這樣的行列式，成為n級的范德蒙德行計算方法通過數(shù)學歸納法證明，可得1111a1a2a3an2 a12a22a32a

19、na1 j i 1n 1a1n 1a2n 1a3n 1an4.6.3例題解析11X1X222例18求行列式DnX1X2n 2X1n 2X2nX1nX2aj1Xn2Xnn 2Xnn解：雖然Dn不是范德蒙德行列式，但可以考慮構造 n 1階的范德蒙德行列式來間接求出Dn的值.構造n 1階的范德蒙德行列式，得1111X1X2XnX2222X1X2XnXXn 2n 2n 2n 2X1X2XnXn 1n 1n 1n 1X1X2XnXnnnnX1X2XnX將f x按第n 1列展開，得f X A,n 1A?iXAn,nn 1iXAnn1,n 1X ，其中，Xn1的系數(shù)為An,n11 DnDn.又根據(jù)范德蒙德行

20、列式的結果知f X XX-1X2XnXiXjn由上式可求得Xn 1的系數(shù)為X1X2XnXiXj故有Dn X1X2Xn1 j iXinXj5、行列式的計算方法的綜合運用有些行列式如果只使用一種計算方法不易計算，這時就需要結合多種計算方法，使計算簡便易行下面就列舉幾種行列式計算方法的 綜合應用.5.1降階法和遞推法2100012100例19計算行列式Dn012000002100012分析：乍一看該行列式，并沒有什么規(guī)律但仔細觀察便會發(fā)現(xiàn)，按 第一行展開便可得到n 1階的形式.解：將行列式按第一行展開，得 Dn 2Dn 1 Dn 2 即DnDn 1D n 1Dn2 .DnD n 1D n 1D n 2D2D132 1Dn1 Dn1111Dn n1n 12 n 1.5.2逐行相加減和套用范德