控制工程基礎(chǔ)課件_王益群_孔祥東_第三版第四章

1、第四章第四章 根軌跡法根軌跡法第四章 根軌跡法4-2常規(guī)根軌跡常規(guī)根軌跡4-3廣義根軌跡廣義根軌跡 4-1 根軌跡的基本概念根軌跡的基本概念4-4增加開環(huán)零極點(diǎn)對根軌跡的影響增加開環(huán)零極點(diǎn)對根軌跡的影響第四章第四章 根軌跡法根軌跡法4-1 根軌跡的基本概念 借助這種方法常?？梢员容^簡便、直觀地分析系統(tǒng)特征根與系統(tǒng)參數(shù)之間的關(guān)系，如果特征根的位置不能令人滿意，很容易根據(jù)根軌跡來確定該怎樣對參數(shù)進(jìn)行調(diào)整，從而指導(dǎo)選擇最佳的參數(shù)，進(jìn)一步還可以分析附加零極點(diǎn)對根軌跡的影響，從而考慮用附加環(huán)節(jié)來改善原有系統(tǒng)的品質(zhì)。根軌跡法已發(fā)展成為經(jīng)典控制理論中最基本的方法之一，與頻率法互為補(bǔ)充，成為控制系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)

2、的有效工具。 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和時間響應(yīng)中瞬態(tài)分量的運(yùn)動模態(tài)都由系統(tǒng)特征方程的根即閉環(huán)極點(diǎn)決定。因此確定特征根在s平面上的位置對于分析系統(tǒng)的性能有重要意義。當(dāng)系統(tǒng)中的某一或某些參量變化時，利用已知的條件(如開環(huán)零、極點(diǎn))，繪制閉環(huán)特征根的軌跡。 第四章第四章 根軌跡法根軌跡法一、根軌跡的基本概念4-1 根軌跡的基本概念 根軌跡根軌跡 是指系統(tǒng)特征根(閉環(huán)極點(diǎn))隨系統(tǒng)參量變化在s平面上運(yùn)動而形成的軌跡。通過根軌跡圖可以看出系統(tǒng)參量變化對系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)分布的影響，以及它們與系統(tǒng)性能的關(guān)系。 下面結(jié)合圖4-1所示的二階系統(tǒng) ，介紹根軌跡的基本概念。 圖4-1 二階系統(tǒng))2()(1assKsG)2()(

3、1assKsG)2()(1assKsG01p系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 ，它有兩個極點(diǎn)， 和 。)2()(1assKsG01pap22系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 ，特征方程為 。 1212)()(KassKsRsC0212Kass第四章第四章 根軌跡法根軌跡法 在a和K1為正值的情況下，此二階系統(tǒng)總是穩(wěn)定的，但系統(tǒng)的特征方程式的根 卻隨參量a和K1的值而變化，從而影響到系統(tǒng)的瞬態(tài)性能。122, 1Kaas4-1 根軌跡的基本概念下面討論a保持常數(shù)，開環(huán)增益K1改變時的情況。當(dāng) 時，s1和s2為互不相等的實(shí)根。而當(dāng) 時， 和 ，即等于系統(tǒng)的兩個開環(huán)極點(diǎn)。210aK 01K01sas22當(dāng) 時，則兩根為實(shí)數(shù)且相

4、等，即 。21aK ass21第四章第四章 根軌跡法根軌跡法4-1 根軌跡的基本概念當(dāng) 時，兩根成為共軛的復(fù)數(shù)根，其實(shí)部為 ，這時根軌跡與實(shí)軸垂直并相交于 點(diǎn)。12Kaa)0 j,( aK1由0向變化時的根軌跡，如圖4-2所示。箭頭表示K1增大方向。 圖4-2 二階系統(tǒng)的根軌跡圖由圖可見： 1) 此二階系統(tǒng)的根軌跡有兩條， 時分別從開環(huán)極點(diǎn) 01K01p和 ap22出發(fā)。 第四章第四章 根軌跡法根軌跡法4-1 根軌跡的基本概念2) 當(dāng)K1從0向a2增加時，兩個根s1和s2沿相反的方向朝著 )0 j,( a點(diǎn)移動，這時s1和s2都位于負(fù)實(shí)軸上，對應(yīng)于系統(tǒng)的過阻尼狀況。 3) 當(dāng)增益K1增加到 2

5、1aK 時，兩個特征根s1和s2會合于 ass21處，對應(yīng)于臨界阻尼狀態(tài)。 21aK 4) K1進(jìn)一步增加到 兩個根s1和s2離開實(shí)軸，變?yōu)楣捕髲?fù)數(shù)根， 其實(shí)部保持為常數(shù) a，對應(yīng)于欠阻尼狀態(tài)， 系統(tǒng)的階躍響應(yīng)將出現(xiàn) 衰減振蕩。K1的數(shù)值愈大，振蕩頻率愈高，但由于s1和s2的負(fù)實(shí)部為 常數(shù)不變，系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間變化不大。 第四章第四章 根軌跡法根軌跡法4-1 根軌跡的基本概念一般而言，繪制根軌跡時選擇的可變參量可以是系統(tǒng)的任意參量。但是，在實(shí)際中最常用的可變參量是系統(tǒng)的增益K1。以系統(tǒng)增益K1為可變參量繪制的根軌跡稱為常規(guī)根軌跡常規(guī)根軌跡。上述二階系統(tǒng)的特征根是直接對特征方程求解得到的，但對高階

6、系統(tǒng)的特征方程直接求解往往十分困難。為此，伊萬斯提出了繪制根軌跡的基本規(guī)則，利用這些基本規(guī)則，根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)零、極點(diǎn)在s平面上的分布，就能較方便地畫出閉環(huán)特征根的軌跡。綜上所述，根軌跡根軌跡是指系統(tǒng)特征根(閉環(huán)極點(diǎn))隨系統(tǒng)參量變化在s平面上運(yùn)動而形成的軌跡。通過根軌跡圖可以看出系統(tǒng)參量變化對系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)分布的影響，以及它們與系統(tǒng)性能的關(guān)系。第四章第四章 根軌跡法根軌跡法4-2 常規(guī)根軌跡一、繪制根軌跡的相角條件和幅值條件圖4-3 反饋控制系統(tǒng)設(shè)系統(tǒng)方框圖如圖4-3所示，其特征方程為 0)()(1sHsG或1)()(sHsG 。 G(s)H(s)是復(fù)變量s的函數(shù)，根據(jù)等式兩邊幅值和相角應(yīng)分別相

7、等的條件，有1)()(sHsG, 2, 1 , 0q) 12(180)()(qsHsG和 以上兩式是滿足特征方程的幅值條件和相角條件，是繪制根軌跡的重要依據(jù)。在s平面的任一點(diǎn)，凡能滿足上述幅值條件和相角條件的，就是系統(tǒng)的特征根，就必定在根軌跡上。第四章第四章 根軌跡法根軌跡法4-2 常規(guī)根軌跡系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)通?？梢詫懗蓛煞N因子式niimjjpszsKsHsG111)()()()(niimjjsTsKsHsG11) 1() 1()()(式中 K1開環(huán)傳遞函數(shù)寫成零、極點(diǎn)形式時的增益(又稱根軌跡增益)； zj、pi開環(huán)零、極點(diǎn)； K開環(huán)傳遞函數(shù)寫成時間常數(shù)形式時的增益(又稱開環(huán)增益)； j、Ti

8、分子和分母中的時間常數(shù)。第四章第四章 根軌跡法根軌跡法4-2 常規(guī)根軌跡由上兩式不難看出niimjjpzKK111)()(jjz1mj, 2, 1iiTp1ni, 2, 1在實(shí)際的物理系統(tǒng)中，如不考慮開環(huán)傳遞函數(shù)中位于無窮遠(yuǎn)處的零、極點(diǎn)， 則有 mn ，即開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)數(shù)(分母階次)大于或等于零點(diǎn)數(shù)(分子階次)。 第四章第四章 根軌跡法根軌跡法4-2 常規(guī)根軌跡另外一種形式的幅值條件和相角條件 1|111niimjjpszsKmjjniizspsK111|或 ) 12(180)()(11qpszsniimjj, 2, 1, 0q 在s平面上滿足相角條件的點(diǎn)所構(gòu)成的圖形就是閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。

9、因此，相角條件是決定閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡的充分必要條件，而幅值條件主要是用來確定根軌跡上各點(diǎn)對應(yīng)的K1值。第四章第四章 根軌跡法根軌跡法4-2 常規(guī)根軌跡二、繪制根軌跡的基本規(guī)則規(guī)則一規(guī)則一 根軌跡的各條分支是連續(xù)的，而且對稱于實(shí)軸。實(shí)際系統(tǒng)的參數(shù)都是實(shí)數(shù)，因而特征方程是系數(shù)為實(shí)數(shù)的代數(shù)方程。當(dāng)系數(shù)連續(xù)變化時，方程的根也連續(xù)變化。所以特征方程的根軌跡是連續(xù)的。此外，由于特征根或?yàn)閷?shí)數(shù)，或?yàn)楣曹棌?fù)數(shù)，因此根軌跡必然對稱于實(shí)軸。根據(jù)幅值條件mjjniizspsK111|niimjjpszsK111|1規(guī)則二規(guī)則二 當(dāng) 01K時，根軌跡的各分支從開環(huán)極點(diǎn)出發(fā)；當(dāng) 時， 根軌跡的m條分支趨向開環(huán)零點(diǎn)，另外

10、mn 條分支趨向無窮遠(yuǎn)處。1K第四章第四章 根軌跡法根軌跡法4-2 常規(guī)根軌跡規(guī)則三規(guī)則三 在s平面實(shí)軸的線段上存在根軌跡的條件是，在這些線段右邊的開環(huán)零點(diǎn)和開環(huán)極點(diǎn)的數(shù)目之和為奇數(shù) 。利用相角條件可以證明這個規(guī)則，現(xiàn)舉例說明。圖4-4 實(shí)軸上根軌跡的確定設(shè)系統(tǒng)開環(huán)零、極點(diǎn)分布如圖4-4所示。現(xiàn)要判斷p2和z2之間的實(shí)軸線段上是否存在根軌跡。為此可取此線段上的任一點(diǎn)sd為試驗(yàn)點(diǎn)。 在sd點(diǎn)右邊實(shí)軸上的每個開環(huán)零或極點(diǎn)指向該點(diǎn)的相量的相角為180；而在點(diǎn)sd左邊實(shí)軸上的每個開環(huán)零或極點(diǎn)提供的相角為0。一對共軛極點(diǎn)或零點(diǎn)提供的相角相互抵消，其和為零。 第四章第四章 根軌跡法根軌跡法由相角條件可知，

11、只有在右邊開環(huán)零極點(diǎn)的總數(shù)為奇數(shù)的實(shí)軸線段上，才能有根軌跡存在。除此之外，實(shí)軸上其他線段上的點(diǎn)均不能滿足相角條件。4-2 常規(guī)根軌跡例例4-1 設(shè)控制系統(tǒng)的框圖如圖4-5a所示，要求繪制系統(tǒng)的根軌跡。圖4-5 系統(tǒng)框圖及根軌跡a) 系統(tǒng)框圖 b) 根軌跡 a)解解 由規(guī)則二可知，系統(tǒng)有三個開環(huán)極點(diǎn)，所以有三條根軌跡分支。系統(tǒng)的根軌跡在 01K時分別從三個開環(huán)極點(diǎn) 430321ppp，出發(fā)，當(dāng) 1K時根軌跡的兩條分支趨向開環(huán)零點(diǎn)(Z1= -1,Z2= -2) ，另一條趨向無窮遠(yuǎn)處。 第四章第四章 根軌跡法根軌跡法4-2 常規(guī)根軌跡 b) 由規(guī)則三可知，在實(shí)軸上的0至 -1線段、 -2至 -3線段

12、、以及 -4至 -線段上存在根軌跡。此系統(tǒng)的根軌跡如圖4-5b所示。規(guī)則四規(guī)則四 根軌跡中 條趨向無窮遠(yuǎn)處分支的漸近線相角為mn mnq) 12(180a, 2, 1, 0q， 第四章第四章 根軌跡法根軌跡法4-2 常規(guī)根軌跡可以認(rèn)為，從有限開環(huán)零、極點(diǎn)到位于無窮遠(yuǎn)處一點(diǎn)的相量的相角基本相等，以 表示。因此相角條件可改寫為a) 12(180)()()(aqmnsHsG由此可得規(guī)則四。顯然，漸近線的數(shù)目等于趨向于無窮遠(yuǎn)根軌跡的分支數(shù)，即為 。 mn 規(guī)則五規(guī)則五 伸向無窮遠(yuǎn)處根軌跡的漸近線與實(shí)軸交于一點(diǎn)，其坐標(biāo)為(a，j0)，而mnzpmjjnii11a第四章第四章 根軌跡法根軌跡法4-2 常規(guī)

13、根軌跡由規(guī)則一可知，漸近線必然對稱于實(shí)軸。同時可以證明，諸條漸近線在實(shí)軸上交于一點(diǎn)。下面簡要證明。 11111111111)()(mnmjjniimnniinniinmjjmmjjmszpsKpspszszsKsHsG利用多項(xiàng)式乘法和除法，可得在 的條件下，當(dāng) 時，有 條根軌跡分支趨向無窮遠(yuǎn)處，即 。這時可以只考慮高次項(xiàng)，將上式近似寫為mn 1Kmn s1111)()(mnmjjniimnsszpsKsHsG第四章第四章 根軌跡法根軌跡法4-2 常規(guī)根軌跡對于無窮遠(yuǎn)處的根軌跡漸近線上的點(diǎn)而言，有限的開環(huán)零、極點(diǎn)的區(qū)別是可以忽略的。因此上述系統(tǒng)等效于一個具有m個開環(huán)零點(diǎn)和n個開環(huán)極點(diǎn)，并且所有零

14、極點(diǎn)都聚集在a點(diǎn)的系統(tǒng)。此系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)P(s)可用下式表示1a1a1)()()(mnmnmnsmnsKsKsP不難看出，此系統(tǒng)的根軌跡有 n-m 條分支，它們都是由(a，j0)出發(fā)的射線，其相角為mnq) 12(180a第四章第四章 根軌跡法根軌跡法4-2 常規(guī)根軌跡如果選擇mjjniizpmn11a)(mnzpmjjnii11a即 由于G(s)H(s)和P(s)分母中前兩項(xiàng)高階項(xiàng)完全相同，因而當(dāng) s時， G(s)H(s)就能近似地用P(s)來表征，方程 0)()(1sHsG的 mn 條根軌跡分支便會趨向于方程 0)(1sP的根軌跡，即后者是前者的漸近線。 第四章第四章 根軌跡法根軌跡法

15、4-2 常規(guī)根軌跡例例4-2 繪制開環(huán)傳遞函數(shù)為 )2)(1()()(1sssKsHsG的單位反饋系統(tǒng)的根軌跡。 解解 此系統(tǒng)無開環(huán)零點(diǎn)，有三個開環(huán)極點(diǎn)，分別為 01p12p23p， 和 。 基于上述規(guī)則可知，系統(tǒng)根軌跡的三條分支，當(dāng) 01K時分別從開環(huán)極點(diǎn)p1、p2和p3出發(fā)， 1K時趨向無窮遠(yuǎn)處，其漸近線的相角為 180,603) 12(180aq1, 0q其中 圖4-6 根軌跡第四章第四章 根軌跡法根軌跡法4-2 常規(guī)根軌跡漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為132111amnzpmjjnii實(shí)軸上的0至 1和 2至 線段上存在根軌跡。系統(tǒng)根軌跡如圖4-6所示。23p由圖可見，根軌跡的三條分支中，一條從

16、 點(diǎn)出發(fā)，隨著K1的增大，沿著負(fù)實(shí)軸趨向無窮遠(yuǎn)處。另外兩條分支分別從 和 出發(fā)，沿著負(fù)實(shí)軸向著b點(diǎn)移動。當(dāng)K1達(dá)到某一數(shù)值(Kb)時，這兩條分支會合于實(shí)軸上的b點(diǎn)。這時特征方程有二重根，系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài)。當(dāng)K1繼續(xù)增大時，這兩條分支離開負(fù)實(shí)軸分別趨近60和 的漸近線，向無窮遠(yuǎn)處延伸。在 時，系統(tǒng)處于欠阻尼狀態(tài)，出現(xiàn)衰減振蕩。而當(dāng) 時，系統(tǒng)成為不穩(wěn)定狀態(tài) 。01p12p60bcKKK1cKK 1第四章第四章 根軌跡法根軌跡法4-2 常規(guī)根軌跡規(guī)則六規(guī)則六 復(fù)平面上根軌跡的分離點(diǎn)必須滿足方程0dd1sK兩條以上根軌跡分支的交點(diǎn)稱為根軌跡的分離點(diǎn)。根軌跡的分離點(diǎn)實(shí)質(zhì)上是特征方程的重根，因而可用求

17、解方程式重根的方法確定它們在s平面上的位置。把開環(huán)傳遞函數(shù)寫為)()()()(1sAsBKsHsG特征方程為 0)()()(1sBKsAsD設(shè)特征方程有重根s1，則有)()()()()(211spsssBKsAsD第四章第四章 根軌跡法根軌跡法4-2 常規(guī)根軌跡式中 p(s)是s的 次多項(xiàng)式2n0)()()()(2)()( )( 2111spssspsssBKsAsD將 代入上式，得)()(1sBsAK0)( )()()( sBsAsBsA即0)()( )()()( dd21sBsBsAsBsAsK需要注意，規(guī)則六中用來確定分離點(diǎn)的條件只是必要條件，而不是充分條件。也就是說，所有的分離點(diǎn)必須滿

18、足規(guī)則六的條件，但是滿足此條件的所有解卻不一定都是分離點(diǎn)。只有位于根軌跡上的那些重根才是實(shí)際的分離點(diǎn)。 第四章第四章 根軌跡法根軌跡法4-2 常規(guī)根軌跡例例4-3 求例4-2中的分離點(diǎn)。即 解解 系統(tǒng)的特征方程為0)2)(1(1)()(11sssKsHsG)23()2)(1(231ssssssK由此可求得0)263(dd21sssK的根為423. 01s577. 12s，因?yàn)榉蛛x點(diǎn)必定位于0至 1之間的線段上，故可確定 為分離點(diǎn)。423. 01s第四章第四章 根軌跡法根軌跡法4-2 常規(guī)根軌跡可以證明，在分離點(diǎn)處根軌跡離開實(shí)軸的相角應(yīng)為180/r，r為接近或離開實(shí)軸的根軌跡分支數(shù)。規(guī)則七規(guī)則七

19、 在開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處根軌跡的出射角為) 12(180pq在開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處根軌跡的入射角為) 12(180zq式中 其他開環(huán)零、極點(diǎn)對出射點(diǎn)或入射點(diǎn)提供的相角，即 pz出(入)射角是指從復(fù)數(shù)極點(diǎn)出發(fā)(趨向復(fù)數(shù)零點(diǎn))的根軌跡的切線角。第四章第四章 根軌跡法根軌跡法4-2 常規(guī)根軌跡圖4-7 根軌跡出射角的確定)(4dps 設(shè)系統(tǒng)開環(huán)零、極點(diǎn)的分布如圖4-7所示。設(shè)sd為距p4很近的根軌跡上的一點(diǎn)，可以認(rèn)為 即為p4處之出射角 。 4p由于sd位于根軌跡上，應(yīng)當(dāng)滿足相角條件，即12345()180 (21)zpppppq 因 即出射角，由上式可化為4pp) 12(180) 12(180pqq第四章第四

20、章 根軌跡法根軌跡法4-2 常規(guī)根軌跡而 為其他開環(huán)零、極點(diǎn)對出射角提供的相角。 1235zp()zpppp 同理，可以證明入射角的公式。規(guī)則八規(guī)則八 根軌跡與虛軸的交點(diǎn)可用 代入特征方程求解，或者利用勞斯判據(jù)確定。js在根軌跡與虛軸的交點(diǎn)處出現(xiàn)虛根，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。因此，可以根據(jù)這一特點(diǎn)確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。例例4-4 求例4-2中的根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。第四章第四章 根軌跡法根軌跡法4-2 常規(guī)根軌跡解解 由例4-3得到的特征方程式，得到023)2)(1(1231KsssKsss令 代入特征方程，得js02 j3j123K對上式實(shí)部和虛部分別求解，可得0321K023， 由此可得，

21、。 即根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為 ，系統(tǒng)的臨界增益 。261K2j61K另外，如果 ，設(shè)Pi為閉環(huán)極點(diǎn)，則有 2 mnniiniipP11)()(第四章第四章 根軌跡法根軌跡法4-2 常規(guī)根軌跡 niiniipP11mjjniiniizKpP1111)()()(或及 上左式揭示了根軌跡的一個重要性質(zhì)：在 的條件下，當(dāng)K1由0變化時，雖然閉環(huán)方程式的n個根都會隨之而變化，但它們之和卻恒等于n個開環(huán)極點(diǎn)之和。如果一部分根軌跡分支隨著K1的增大而向左移動，則另一部分根軌跡分支將隨著K1的增大而向右移動，從而保持閉環(huán)極點(diǎn)之和不變，等于開環(huán)極點(diǎn)之和。這一性質(zhì)可用于估計(jì)根軌跡分支的變化趨向。而對于一些低階系統(tǒng)，

22、如已知部分閉環(huán)極點(diǎn)，則可用上兩式確定其余兩個以下的閉環(huán)極點(diǎn)。 2mn第四章第四章 根軌跡法根軌跡法4-2 常規(guī)根軌跡以上8條是繪制根軌跡的基本規(guī)則。應(yīng)用這些規(guī)則，不必求特征方程的根，只根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)就可以迅速地畫出根軌跡的大致形狀。為便于查找，把上述規(guī)則歸納于表4-1中。例例4-5 設(shè)一反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為)204)(4()()(21ssssKsHsG試?yán)L制K1變化時系統(tǒng)特征方程的根軌跡。圖4-8 例4-5的根軌跡解解 此系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)為 01p42p4 j24, 3p無開環(huán)零點(diǎn) 。開環(huán)極點(diǎn)的分布如圖4-8所示。 ， ， 第四章第四章 根軌跡法根軌跡法4-2 常規(guī)根軌跡據(jù)規(guī)則二可知，

23、根軌跡共有4條分支， 時分別從4個開環(huán)極點(diǎn)出發(fā)， 時趨向無窮遠(yuǎn)處。01K1K由規(guī)則三可知，在實(shí)軸上的 線段上有根軌跡存在。04s據(jù)規(guī)則四和規(guī)則五，可求出4條漸近線的相角和交點(diǎn)315,225,135,454) 12(180aq3, 2, 1, 0q， 2422411amnzpmjjnii第四章第四章 根軌跡法根軌跡法4-2 常規(guī)根軌跡由規(guī)則六可確定根軌跡與實(shí)軸的交點(diǎn)。由系統(tǒng)的特征方程可得)80368()204)(4(23421ssssssssK0)8072244(dd231ssssK令 上式的根為 ， 。顯然， 為根軌跡與實(shí)軸的交點(diǎn)(分離點(diǎn))。根據(jù)相角條件可知，分離角為 。對應(yīng)于分離點(diǎn)的K1值可

24、按下式求得21s45. 2 j23 , 2s2s64)204)(4(221sssssK還有兩個共軛復(fù)數(shù)分離點(diǎn)在 處，分離角為 。45. 2 j2 s18090據(jù)規(guī)則七可求出根軌跡在p3的出射角第四章第四章 根軌跡法根軌跡法4-2 常規(guī)根軌跡90)904 .636 .116() 12(180)()()(0) 12(180432313pqppppppq而p4的出射角為90。最后，由規(guī)則八確定根軌跡的兩條分支與虛軸的交點(diǎn)，此處利用勞斯判據(jù)。系統(tǒng)的特征方程為080368)204)(4(123412KssssKssss利用勞斯判據(jù)寫出s4136K1s3880s226K1s1s0K126820801K第四

25、章第四章 根軌跡法根軌跡法4-2 常規(guī)根軌跡令勞斯表中s1行的首項(xiàng)為零，求得 。根據(jù)表中s2行的系數(shù)寫出輔助方程 2601K02602626212sKs得到 ?？梢?，根軌跡的兩條分支與虛軸交于 處，對應(yīng)的K1值為260。系統(tǒng)完整的根軌跡如圖4-8所示。10j2, 1s10js表4-2中列出了一些已知零極點(diǎn)的系統(tǒng)的根軌跡圖，供讀者參考。第四章第四章 根軌跡法根軌跡法4-3 廣義根軌跡一、參數(shù)根軌跡前面討論系統(tǒng)根軌跡的繪制方法時，都是以增益K1為可變參量。但在實(shí)際中可變參量可以選擇為系統(tǒng)的任何參數(shù)，如開環(huán)零、極點(diǎn)，時間常數(shù)和反饋系數(shù)等。這種選擇除增益K1以外的系統(tǒng)其他參量作為可變參量繪制的根軌跡，

26、稱作參數(shù)根軌跡參數(shù)根軌跡。用參數(shù)根軌跡可以分析系統(tǒng)中的各種參數(shù)，如開環(huán)零、極點(diǎn)位置，時間常數(shù)或反饋系數(shù)等對于系統(tǒng)性能的影響。在4-2中已經(jīng)指出，繪制根軌跡的相角、幅值條件和基本規(guī)則是根據(jù)系統(tǒng)的特征方程得到的，當(dāng)選擇開環(huán)增益K1為可變參量時，特征方程為)()(1)()(1)()(11111sDsNKpszsKsHsGniimjj第四章第四章 根軌跡法根軌跡法4-3 廣義根軌跡式中， 為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。)()(sHsG如果選擇系統(tǒng)其他參量為可變參量時，引入等效傳遞函數(shù)的概念，把系統(tǒng)的特征方程也化為上式的形式，以所選可變參量a代替K1的位置，如式 0)()(1sQsaP則上面介紹的相角、幅值條件

27、和繪制根軌跡的各種規(guī)則都依然有效。例例4-6 設(shè)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為)(1()()(1asssKsHsG試?yán)L制系統(tǒng)以a為參變量的根軌跡。第四章第四章 根軌跡法根軌跡法4-3 廣義根軌跡解解 給定系統(tǒng)的特征方程為0)(1(11asssK或 0) 1() 1(12Ksasss將上式化為0) 1() 1(112Ksssas給定K1值，可以繪制在不同K1值下的以a為變量的根軌跡圖(圖4-9)。由圖可見，當(dāng) 時系統(tǒng)不穩(wěn)定。當(dāng)a增大至一定數(shù)值時，系統(tǒng)變?yōu)榉€(wěn)定。a的臨界值可以用勞斯判據(jù)確定。0a 第四章第四章 根軌跡法根軌跡法4-3 廣義根軌跡s31as2a+1K1s1s0K11(1)1a aKa根據(jù)系

28、統(tǒng)的特征方程 0) 1(123Kassas可以列出勞斯表顯然，系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界條件為 ) 1(1aaK圖4-9 參數(shù)根軌跡第四章第四章 根軌跡法根軌跡法4-3 廣義根軌跡二、多回路系統(tǒng)的根軌跡 前已指出，根軌跡不僅適用于單回路系統(tǒng)，而且適用于多回路系統(tǒng)。現(xiàn)舉例說明。例例4-7 繪制圖4-10所示系統(tǒng)對于參數(shù)a的根軌跡。圖4-10 具有兩個反饋回路的系統(tǒng) 第四章第四章 根軌跡法根軌跡法4-3 廣義根軌跡解解 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為sKassKsssKassKsEsCsG1111)2()2(1)2()()()(系統(tǒng)的特征方程為0)2(11KsaKss上式可改寫為0)2(111KsssKa若取a為可變參

29、量，不難畫出系統(tǒng)的參數(shù)根軌跡圖，如圖4-11所示。 第四章第四章 根軌跡法根軌跡法4-3 廣義根軌跡 由圖可見，在a為有限值的情況下，系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。選擇適當(dāng)?shù)腶數(shù)值，可以使系統(tǒng)具有較好的相對穩(wěn)定性。請讀者分析系統(tǒng)對于參數(shù)K1的根軌跡的繪制方法。 圖4-11 例4-7的參數(shù)根軌跡 第四章第四章 根軌跡法根軌跡法4-3 廣義根軌跡三、正反饋回路和零度根軌跡在有些系統(tǒng)中，內(nèi)環(huán)是一個正反饋回路。這時，繪制根軌跡的條件和規(guī)則與上述有區(qū)別。設(shè)有局部正反饋系統(tǒng)的方框圖如圖4-12所示。 圖4-12 具有局部正反饋的系統(tǒng)正反饋回路的閉環(huán)傳遞函數(shù)為)()(1)()()(1sHsGsGsRsC相應(yīng)的特征方程為0

30、)()(1sHsG1)()(sHsG或 第四章第四章 根軌跡法根軌跡法4-3 廣義根軌跡不難看出，繪制根軌跡的幅值條件沒有變，但相角條件改變了。根據(jù)式 正反饋回路根軌跡的幅值條件和相角條件可寫為 1)()(sHsG1)()(111niimjjpszsKsHsG11( )( )()()180 (2 )mnjijiG s H sszspq , 2, 1, 0q， 上式表明，對于正反饋回路，相角條件不是 ，而是 。因此，人們通常將這種根軌跡稱為零度根軌跡零度根軌跡。) 12(180q)2(180q第四章第四章 根軌跡法根軌跡法4-3 廣義根軌跡根據(jù) 的相角條件，在繪制正反饋回路的根軌跡時，需對表4-

31、1中的一些規(guī)則作如下修改： )2(180q規(guī)則三規(guī)則三 在實(shí)軸的線段上存在根軌跡的條件是：其右邊的開環(huán)零、極點(diǎn)數(shù)目之和為偶數(shù)。規(guī)則四規(guī)則四 條漸近線的相角為mn 1802amnq, 2, 1, 0q， 規(guī)則七規(guī)則七 根軌跡的出射角為pzp)2(180q入射角為pzz)2(180q除了上述三項(xiàng)規(guī)則修改外，其它規(guī)則均不變。第四章第四章 根軌跡法根軌跡法4-3 廣義根軌跡繪制正反饋回路的根軌跡時應(yīng)當(dāng)按照零度根軌跡的規(guī)則進(jìn)行，而其步驟則與繪制負(fù)反饋回路的根軌跡相類似。 第四章第四章 根軌跡法根軌跡法4-4增加開環(huán)零極點(diǎn)對系統(tǒng)根軌跡的影響 在設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時，通過增加零極點(diǎn)來改變根軌跡的形狀，以達(dá)到改善系統(tǒng)控制性能之目的?，F(xiàn)舉例說明。例例4-8 設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為)()()(1assKsHsG0a， 繪制系統(tǒng)的根軌跡并分別討論：(1) 增加開環(huán)零點(diǎn) ，(2) 增加開環(huán)極點(diǎn) ，其中， ；這兩種情況對系統(tǒng)根軌跡的影響。bs0bbs解解 原系統(tǒng)有2個開環(huán)極點(diǎn)： ， ，無開環(huán)零點(diǎn)數(shù)。與例4-1類似，可以繪制出系統(tǒng)的根軌跡如圖4-13a所示。01pap2增加一個零點(diǎn)后，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)變?yōu)榈谒恼碌谒恼?根軌跡法根軌跡法4-4增加開環(huán)零極點(diǎn)對系統(tǒng)根軌跡的影響)()()()(1assbsKsHsG0a0b， ， 可以看出，在原根軌跡上增加開環(huán)零點(diǎn)，將