連續(xù)體力學課件

1、 第一章 連續(xù)體力學（Mechanics of continuous medium) 引 言 連續(xù)體力學又稱連續(xù)介質力學，包括固體的彈性力學和流體力學。連續(xù)體的共同特點是其內部質點之間可以有相對運動。處理連續(xù)體的辦法是不再把它看成一個個離散的質點，而是取“質元”，即有質量的體積元。連續(xù)介質假設 如果我們將流體的最小體積單位假設為具有如下特征的流體微團：宏觀上充分小，微觀上足夠大，則可以將流體看成是由連綿一片的、彼此之間沒有空隙的流體微團組成的連續(xù)介質，這就是連續(xù)介質假設。 一旦滿足連續(xù)介質假設，就可以把流體的一切物理性質如密度、壓強、溫度及宏觀運動速度等表達為空間和時間的連續(xù)可微函數(shù)，便于用數(shù)

2、學分析工具來解決問題。本章主要研究液體的表面性質、液體的流動性質和黏滯性質，這些性質無疑對農業(yè)和生物學是非常重要的。1.2 靜止液體的力學性質靜止液體的力學性質液體中壓強與面元S的取向無關，即各向同性（ isotropy）nzyxpppp一、液體的壓強壓強（液體的正應力）：經過某點的任一假想面元上正壓力與該面元面積之比在面元趨近于零時的極限。S0fpSlim fpS 對于液體中的任一點，來自對于液體中的任一點，來自任何方向任何方向的壓強均的壓強均相同相同。液體壓強隨高度的變化ghppA0hA等高的地方壓強等高的地方壓強相等相等BApp液體壓強的各向同性（ isotropy）等高各點壓強相等 在

3、流體中取一柱狀體元，在水平方向應用平衡方程 表明：流體內等高各點壓強相等, 即等壓面與豎直方向垂直PASPBSABBABAppSpSp ,xzydypS（p+dp）Sw()0,dpp SpdpSg Sdydpgdygdy ghppghyygppdygdpyypp211212,)(,2121如有自由表面，令如有自由表面，令p2=p0，p1=p，則，則 p = p0+gh , 設設,g與與y無關，無關，壓強沿豎直方向的分布 取一高為dy的柱狀體元，在豎直方向 應用平衡條件：例題1、在密度為 的液體中豎直放置一個長為a，寬為b的長方形平板，板的上邊與水面相齊，求此板面所受液體壓力的大小（不考慮大氣壓

4、的影響）例2：已知壩長L=1088m，水深H=5m，不計大氣壓，求水對壩的水平推力 解：如圖所示，取長為L,寬為dl的狹長面元，該面元受力dF=ghLdl，方向垂直該面元 dF在水平方向的分力：gLhdhghLdldF sindFdFdFdldhHh0NgLHhdhgLFH723212210103 .13510888 . 9100 . 1 壩受水平推力壩受水平推力二、液體的表面張力（二、液體的表面張力（surface tension)雨后初晴的禮物液體的表面張力的成因解釋1、分子力當分子間距離略大于平衡距離r0時，分子力表現(xiàn)為引力( m)2、液體表面狀況液體內部液體表面層汽化層表面層液體分子間

5、距比液體內部分子間距大，分子之間呈現(xiàn)引力810液體表面張力服從以下基本規(guī)律:lf稱表面張力系數(shù)( coefficient of surface tension), 其單位是1mN存在于液體表面；由分子間的吸引存在于液體表面；由分子間的吸引力引起的；使液體表面具有自發(fā)收力引起的；使液體表面具有自發(fā)收縮趨勢的力稱液體的表面張力；方縮趨勢的力稱液體的表面張力；方向沿著液面的切線方向。向沿著液面的切線方向。定義fl討論1. 表面張力系數(shù)的物理意義(physical significance ) 力的屬性力的屬性(property of force) )能的屬性能的屬性(property of ener

6、gy) 作用在液體表面單位長作用在液體表面單位長度直線上的表面張力度直線上的表面張力增加單位液體表面積時所增加的表面能增加單位液體表面積時所增加的表面能fl如圖所示，鐵絲框上掛有液膜，如圖所示，鐵絲框上掛有液膜，表面張力系數(shù)為表面張力系數(shù)為 ，將，將AB邊邊無摩無摩擦擦、勻速勻速、等溫等溫地右移地右移dx，在，在AB邊上加的力為：邊上加的力為： ，框架上，框架上所形成的液膜有前、后兩個液面，所形成的液膜有前、后兩個液面，所以在上式中應有因子所以在上式中應有因子2 2。則在這。則在這個過程中外力個過程中外力F 所做的功為所做的功為: :其中其中dS S = 2ldx ,是是AB 向右移動過程中液

7、面面積的增向右移動過程中液面面積的增量。外力克服分子間引力做功，表面能增加，若用量。外力克服分子間引力做功，表面能增加，若用dE表示表面能增量，則：表示表面能增量，則：dSdWdEdSdWdSdE表面張力系數(shù)在數(shù)值上等于增加單位液體表面積時，外力所表面張力系數(shù)在數(shù)值上等于增加單位液體表面積時，外力所需做的功，或增加單位液體表面積時，表面能的增加。需做的功，或增加單位液體表面積時，表面能的增加。能的屬性能的屬性f BAB A FddSldxFdxdW2lF2 把一個半徑為把一個半徑為5cm的金屬細圓環(huán)從液體中拉出，圓的金屬細圓環(huán)從液體中拉出，圓環(huán)所在平面與液體表面平行。已知，剛拉出圓環(huán)時需用力環(huán)

8、所在平面與液體表面平行。已知，剛拉出圓環(huán)時需用力28.310-3N。若忽略圓環(huán)的重力，該液體的表面張力系數(shù)為。若忽略圓環(huán)的重力，該液體的表面張力系數(shù)為多少多少?解：解： 作用在圓環(huán)上的液體表面張力為作用在圓環(huán)上的液體表面張力為 R22fN/m103 .283 f由由題題N/m105410541032810328R43233 . 將一個半徑為 R 的球型液珠分散成 8 個半徑相同的小液滴需作功多少？ （設表面張力系數(shù)為）【解】【解】3344833Rr12rRdWdS2222(8 44)4(8)dWdSrRrR2R4dW 3. 影響表面張力系數(shù)的因素(Factors )2. 測量測量表面張力系數(shù)的

9、實驗方法 拉脫法 液滴法液體種類液體種類(varieties of liquid)溫度溫度(temperature) 溫度越高，表面張力系數(shù)越小溫度越高，表面張力系數(shù)越小表面活性物質表面活性物質(surface activator) 討論表面活性劑的作用表面活性劑的作用I. 潤濕作用潤濕作用可濕性粉劑中原藥多為有機化合物，具有憎水性，只有在表面活性劑存在可濕性粉劑中原藥多為有機化合物，具有憎水性，只有在表面活性劑存在的條件下，降低水的表面張力，藥粒才有可能被水所潤濕，形成水懸液；的條件下，降低水的表面張力，藥粒才有可能被水所潤濕，形成水懸液；在粒劑及供噴粉用的粉劑中，有的也含有一定量的表面活性

10、劑，其目的是在粒劑及供噴粉用的粉劑中，有的也含有一定量的表面活性劑，其目的是為了提高藥劑在受藥表面的為了提高藥劑在受藥表面的附著性和沉積量附著性和沉積量，提高有效成分在有水分條件，提高有效成分在有水分條件下的釋放速度和擴展面積，提高防病、治病效果。下的釋放速度和擴展面積，提高防病、治病效果。 II. 起泡作用起泡作用起泡原理：起泡原理： 內因：表面張力降低易于生成氣泡內因：表面張力降低易于生成氣泡-可降低生成氣泡的表面功；可消弱氣泡可降低生成氣泡的表面功；可消弱氣泡集并的趨勢；可使附加壓力減小。集并的趨勢；可使附加壓力減小。 外因：表面活性劑在表面的外因：表面活性劑在表面的“定向排列定向排列”

11、可阻礙氣泡集并，利于泡的穩(wěn)定?？勺璧K氣泡集并，利于泡的穩(wěn)定。III. 增溶作用增溶作用 加入表面活性劑能促使原來難溶于水的液體（如加入表面活性劑能促使原來難溶于水的液體（如苯等非極性的苯等非極性的C-H化合物）在另一液體（如水）化合物）在另一液體（如水）中易于溶解的現(xiàn)象稱為表面活性劑的增溶作用。中易于溶解的現(xiàn)象稱為表面活性劑的增溶作用。 增溶原理：膠束的作用增溶原理：膠束的作用-根據(jù)根據(jù)“性質相近相溶原性質相近相溶原理理”，非極性的溶質（如苯等非極性的，非極性的溶質（如苯等非極性的C-H化合化合物）較易溶于膠束內部的非極性的憎水基（物）較易溶于膠束內部的非極性的憎水基（ C-H化合物）集中的地

12、方?；衔铮┘械牡胤健Ｔ谒巹┲?，一些揮發(fā)油脂溶性纖維素等許多難溶性藥物利用表面活性劑的在藥劑中，一些揮發(fā)油脂溶性纖維素等許多難溶性藥物利用表面活性劑的增溶作用可形成透明溶液及增加濃度；在醫(yī)藥行業(yè)中可作為殺菌劑和消毒增溶作用可形成透明溶液及增加濃度；在醫(yī)藥行業(yè)中可作為殺菌劑和消毒劑使用，其殺菌和消毒作用歸結于它們與細菌生物膜蛋白質的強烈相互作劑使用，其殺菌和消毒作用歸結于它們與細菌生物膜蛋白質的強烈相互作用使之變性或失去功能，用使之變性或失去功能，IV. 乳化作用乳化作用 一種液體在另一種液體中分散的現(xiàn)象稱為一種液體在另一種液體中分散的現(xiàn)象稱為“乳化乳化”。表面活性物質是主要的乳化劑。表面活性

13、物質是主要的乳化劑。其乳化作用的原理與起泡原理類似：其乳化作用的原理與起泡原理類似：表面張表面張力降低消弱液滴集并的趨勢；力降低消弱液滴集并的趨勢；“定向排列定向排列”形成的保護膜可阻止液滴集并形成的保護膜可阻止液滴集并。在化妝品行業(yè)中，乳化劑是乳霜、乳液、潔面、在化妝品行業(yè)中，乳化劑是乳霜、乳液、潔面、卸妝等護膚產品中不可或缺的成分。卸妝等護膚產品中不可或缺的成分。表面張力的例子 a. 水面上的爬蟲能不落入水中b.把一根縫衣針放在一張薄餐巾紙上，用紙托 住縫衣針輕輕地放在水面上，紙被水浸透后 沉入水底，而縫衣針會浮在水面上。 c.在杯中裝滿水(注意杯口的外沿必須干燥)，放在 桌上。將干凈的分

14、幣輕輕地從水面投下，要求盡 量減少水面的擾動。隨著投入的分幣數(shù)增多，水 面會明顯超出杯口，但水不溢出來。d.雨傘的傘面織物都有細小的孔，下雨天 用撐開的 傘遮雨，雨水不會從小孔中漏下來三、拉普拉斯公式三、拉普拉斯公式（Laplace formula） 由于表面張力的存在,彎曲液面內外(inside and outside)的壓強不等,其壓強差服從拉普拉斯公式:R2ppoutin pinpoutR1.液面彎曲液面彎曲1)1)凸液面時，如圖凸液面時，如圖 周界周界上表面張力沿切線方向，合上表面張力沿切線方向，合力指向液面內，力指向液面內， 好象緊好象緊 壓在液體上，使液體受一附壓在液體上，使液體受

15、一附加壓強加壓強 ，由力平衡條件，由力平衡條件，液面下液體的壓強：液面下液體的壓強：ssspsppp0sp為正為正S0PsPPff拉普拉斯方程的推導:：附加壓強的產生：附加壓強的產生2）凹液面時，如圖液面時，如圖 周周界上表面張力的合力指向界上表面張力的合力指向外部，外部， 如好象被拉出，如好象被拉出，液面內部壓強小于外部壓液面內部壓強小于外部壓強，液面下壓強：強，液面下壓強：sssppp0總之：附加壓強使彎曲液面內外壓強不等，與液面總之：附加壓強使彎曲液面內外壓強不等，與液面曲率中心同側的壓強恒小于另一側，附加壓強方向曲率中心同側的壓強恒小于另一側，附加壓強方向恒指向曲率中心恒指向曲率中心S

16、0PsPPff附加壓強與外部壓強相同為正，相反為負。附加壓強與外部壓強相同為正，相反為負。、球形液面附加壓強、球形液面附加壓強df如圖球形液面上的一小如圖球形液面上的一小液面，在周界上取一線液面，在周界上取一線元元dl，作用在，作用在dl上的表面上的表面張力張力 力的方向垂直力的方向垂直d dl且與球面相切。將且與球面相切。將d df分解分解為與半徑為與半徑r r垂直和平行的兩個分力垂直和平行的兩個分力dfcoRjjdl/dfdfr/df與與jjsincos/dfdfdfdfdf球球冠冠Rdldfjcosdljsindl由圓對稱性，在圓周界上由圓對稱性，在圓周界上的其他線元上，作用著同的其他線

17、元上，作用著同樣大小的表面張力，這些樣大小的表面張力，這些力的水平分力相互抵消，力的水平分力相互抵消，垂直分力方向相同，合力垂直分力方向相同，合力為：為：RrfRrrdldffr2202,sin2sinsinjjj則由于coRjjdl/dfdfrRrf22附加壓強附加壓強RrRrrfps22222拉普拉斯球公式拉普拉斯球公式球形液面附加壓強與表面張力系數(shù)成正比，與球面半徑球形液面附加壓強與表面張力系數(shù)成正比，與球面半徑R成反比。半徑越小，附加壓強越大；半徑越大，附加壓強成反比。半徑越小，附加壓強越大；半徑越大，附加壓強越?。话霃綗o限大時，附加壓強等于零，這正是水平液面越??；半徑無限大時，附加壓

18、強等于零，這正是水平液面的情況。的情況。RppRpp22凸液面00凹液面：2 /ppR內外2 /ppR內外-?外內PP例例1一個膜厚度很薄的圓形肥皂泡，假定泡內外均一個膜厚度很薄的圓形肥皂泡，假定泡內外均為空氣，泡內外的壓強差為多少？為空氣，泡內外的壓強差為多少？. .球形液膜球形液膜內、外壓強差內、外壓強差 如圖如圖, ,由于球形液膜很薄，內外由于球形液膜很薄，內外膜半徑近似相等，設膜半徑近似相等，設A、B、C 三三點壓強分別為點壓強分別為PA 、PB 、PC ，則，則：R4PPAC 膜內壓強大于膜外壓強，并與半徑成反比。膜內壓強大于膜外壓強，并與半徑成反比。R2PPAB R2PPCB R2

19、PR2PCA RO ACB一個肥皂泡的直徑為圓形水珠的二倍，設肥皂泡的 是水的三倍，求水滴和肥皂泡的內外壓強差之比?！窘狻俊窘狻縋2RP4RR1 122R2 313/ 水水水水水水肥肥肥肥肥肥水水肥肥肥肥水水例例3ABSBSABAPPRRBA 空氣由空氣由 BARR、膜內壓強大于膜外壓強，并膜內壓強大于膜外壓強，并與半徑成反比，與表面張力與半徑成反比，與表面張力系數(shù)成正比。系數(shù)成正比。體積較大的肺泡表面積體積較大的肺泡表面積，表面活性劑的濃度，表面活性劑的濃度，肺泡的表面張力系數(shù)肺泡的表面張力系數(shù)，產生的附加壓強，產生的附加壓強，對，對抗由于半徑增加對附加壓強的減??；體積較小抗由于半徑增加對附

20、加壓強的減??；體積較小的肺泡表面積的肺泡表面積，表面活性劑的濃度，表面活性劑的濃度，肺泡的，肺泡的表面張力系數(shù)表面張力系數(shù)，同理。，同理。 潤濕潤濕: 液體沿固體表面液體沿固體表面延展的現(xiàn)象，稱液體潤延展的現(xiàn)象，稱液體潤濕固體。濕固體。四、潤濕與不潤濕四、潤濕與不潤濕1. 定義定義不潤濕：不潤濕：液體在固體表液體在固體表面上收縮的現(xiàn)象，稱液面上收縮的現(xiàn)象，稱液體不潤濕固體。體不潤濕固體。 潤濕、不潤濕與相互接觸的液體、固體的性質有關。潤濕、不潤濕與相互接觸的液體、固體的性質有關。液滴單獨存在時由于表面張力的作用，表面總是凸起。液滴單獨存在時由于表面張力的作用，表面總是凸起。但是當液體與固體接觸

21、時可能表現(xiàn)出不同的表面現(xiàn)象但是當液體與固體接觸時可能表現(xiàn)出不同的表面現(xiàn)象,由分子力不對稱引起。由分子力不對稱引起。 在液體與固體接觸面的邊界處任取一點，作液在液體與固體接觸面的邊界處任取一點，作液體表面及固體表面的切線，這兩切線通過液體內部體表面及固體表面的切線，這兩切線通過液體內部的夾角稱接觸角的夾角稱接觸角 ，用，用 表示。表示。 2. 接觸角接觸角液液體體潤潤濕濕固固體體；,2 。液液體體完完全全潤潤濕濕固固體體，0 液液體體不不潤潤濕濕固固體體；,2 。液液體體完完全全不不潤潤濕濕固固體體， 五、毛細現(xiàn)象五、毛細現(xiàn)象 (capillarity) 當把管徑很細的管子插入液當把管徑很細的管

22、子插入液體時，管子內外的液面會出體時，管子內外的液面會出現(xiàn)高度差，這種現(xiàn)象稱為現(xiàn)高度差，這種現(xiàn)象稱為毛毛細現(xiàn)象。細現(xiàn)象。毛細現(xiàn)象是由表面張力和潤濕毛細現(xiàn)象是由表面張力和潤濕( (或不潤濕或不潤濕) )現(xiàn)象共同引起的。如果液體表面張力小，現(xiàn)象共同引起的。如果液體表面張力小，潤濕管壁，管內液面較管外高；如果液潤濕管壁，管內液面較管外高；如果液體表面張力大，不潤濕管壁，管內液面體表面張力大，不潤濕管壁，管內液面較管外低。較管外低。 pB = pA + g h = pC =p0, 若管內液面近似為半徑為若管內液面近似為半徑為R的球面，的球面， 附加壓強可表示為：附加壓強可表示為：R2ppp0AS R2

23、hg 聯(lián)立上兩式得：聯(lián)立上兩式得： 毛細管剛插入水中時，毛細管剛插入水中時，管內液面為凹液面，管內液面為凹液面，PC = P0 ,PB P0 , B、C 為等高為等高點，但點，但PB PC ，所以液體，所以液體不能靜止，管內液面將上不能靜止，管內液面將上升，直至升，直至PB =PC 為止，此為止，此時：時：將上式代右式中，將上式代右式中， 得到毛細管內液面得到毛細管內液面上升的高度為：上升的高度為：rg2h cos R2hg 接觸角接觸角 與毛細管內徑與毛細管內徑 r之間的關系為：之間的關系為：Rrcos 如果液體不潤濕毛細管，管內液面要比管外的如果液體不潤濕毛細管，管內液面要比管外的液面低液

24、面低 h，用同樣的方法可以證明，用同樣的方法可以證明 此時此時 h 仍然可仍然可由上式表示。由上式表示。 C B A hrR 已知小管半徑 r，大管半徑R，表面張力系數(shù)，密度，接觸角，求 h?！窘狻俊窘狻緽APghP 00P2RP2rg211grR(/(/cos )(/( /cos )cos() BAPPhg 毛細現(xiàn)象應用v磚塊吸水、毛巾紙巾吸汗、粉筆吸墨水都是常見的毛細現(xiàn)象磚塊吸水、毛巾紙巾吸汗、粉筆吸墨水都是常見的毛細現(xiàn)象. .在這些物體中有許多細小的孔道在這些物體中有許多細小的孔道, ,起著毛細管的作用起著毛細管的作用. . v有些情況下毛細現(xiàn)象是有害的有些情況下毛細現(xiàn)象是有害的. .例如例如, ,建筑房屋的時候建筑房屋的時候, ,在砸在砸實的地基中毛細管又多又細實的地基中毛細管又多又細, ,它們會把土壤中的水分引上來它們會把土壤中的水分引上來, ,使得室內潮濕使得室內潮濕. .建房時在地基上面鋪油氈建房時在地基上面鋪油氈, ,就是為了防止毛細就是為了防止毛細現(xiàn)象造成的潮濕現(xiàn)象造成的潮濕. . v水沿毛細管上升的現(xiàn)象水