多元函數(shù)積分學(xué)5

1、8.5 第一類曲線積分第一類曲線積分 ( (對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分) )一、問(wèn)題的提出實(shí)例實(shí)例: :曲線形構(gòu)件的質(zhì)量曲線形構(gòu)件的質(zhì)量oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L. sM 勻質(zhì)之質(zhì)量勻質(zhì)之質(zhì)量分割分割,121insMMM ,),(iiis 取取.),(iiiisM 求和求和.),(1 niiiisM 取極限取極限.),(lim10 niiiisM M的近似值的近似值M的精確值的精確值取近似取近似非勻質(zhì)之質(zhì)量？非勻質(zhì)之質(zhì)量？線密度線密度弧弧長(zhǎng)長(zhǎng)二、第一類曲線積分的概念二、第一類曲線積分的概念,),(,),(,),(,.,.),(,1121 niiiiiiiiiin

2、sfsfisinLMMMLLyxfxoyL并并作作和和作作乘乘積積點(diǎn)點(diǎn)個(gè)個(gè)小小段段上上任任意意取取定定的的一一為為第第又又個(gè)個(gè)小小段段的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度為為設(shè)設(shè)第第個(gè)個(gè)小小段段分分成成把把上上的的點(diǎn)點(diǎn)用用上上有有界界在在函函數(shù)數(shù)面面內(nèi)內(nèi)一一條條光光滑滑曲曲線線弧弧為為設(shè)設(shè)1.定義定義oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L.),(lim),(,),(,),(,010 niiiiLLsfdsyxfdsyxfLyxf即即記作記作線積分線積分第一類曲第一類曲上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分或上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分或在曲線弧在曲線弧則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù)這和的極限存在這和的極限存在時(shí)時(shí)長(zhǎng)度的最大值長(zhǎng)度的

3、最大值如果當(dāng)各小弧段的如果當(dāng)各小弧段的被積函數(shù)被積函數(shù)積分弧段積分弧段積分和式積分和式曲線形構(gòu)件的質(zhì)量曲線形構(gòu)件的質(zhì)量.),( LdsyxM 1). 存在條件：存在條件：.),(,)(),(存存在在對(duì)對(duì)弧弧長(zhǎng)長(zhǎng)的的曲曲線線積積分分時(shí)時(shí)上上連連續(xù)續(xù)光光滑滑曲曲線線弧弧分分段段在在當(dāng)當(dāng) LdsyxfLyxf2). 推廣推廣曲曲線線積積分分為為上上對(duì)對(duì)弧弧長(zhǎng)長(zhǎng)的的在在空空間間曲曲線線弧弧函函數(shù)數(shù) ),(zyxf.),(lim),(10iniiiisfdszyxf 說(shuō)明：說(shuō)明：)(,)().321LLLL 是是分分段段光光滑滑的的或或若若 .),(),(),(2121 LLLLdsyxfdsyxfds

4、yxf.),(),().4 LdsyxfLyxf曲曲線線積積分分記記為為上上對(duì)對(duì)弧弧長(zhǎng)長(zhǎng)的的在在閉閉曲曲線線函函數(shù)數(shù)2. 性質(zhì)性質(zhì) .),(),(),(),()1( LLLdsyxgdsyxfdsyxgyxf).(),(),()2(為常數(shù)為常數(shù)kdsyxfkdsyxkfLL .),(),(),()3(21 LLLdsyxfdsyxfdsyxf).(21LLL BAABdsyxfdsyxf),(),()4(線線走走向向無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)。對(duì)對(duì)弧弧長(zhǎng)長(zhǎng)的的曲曲線線積積分分與與曲曲三、對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的計(jì)算方法定理定理)()()()(),(),(, 0)()(,)(),()(),(),(,),(2222 dtt

5、tttfdsyxfttttttytxLLyxfL則則有有且且上上具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在其其中中的的參參數(shù)數(shù)方方程程為為上上有有定定義義且且連連續(xù)續(xù)在在曲曲線線弧弧設(shè)設(shè)注意注意: :;. 1 一一定定要要小小于于上上限限定定積積分分的的下下限限的的。是是定定義義在在曲曲線線即即而而是是相相互互有有關(guān)關(guān)。不不彼彼此此獨(dú)獨(dú)立立中中Lyxfyxyxf),(,),(. 2特殊情形特殊情形.)(:)1(bxaxyL .)(1)(,),(2dxxxxfdsyxfbaL )(ba dtttttfdsyxfL )()()(),(),(22推廣推廣:)().(),(),(: ttztytx)()()

6、()()(),(),(),(222 dtttttttfdszyxf.)(:)2(dycyxL .)(1),(),(2dyyyyfdsyxfdcL )(dc 四、幾何與物理意義,),()1(的的線線密密度度時(shí)時(shí)表表示示當(dāng)當(dāng)Lyx ;),( LdsyxM ;,1),()2( LdsLyxf弧弧長(zhǎng)長(zhǎng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),),(),()3(處處的的高高時(shí)時(shí)柱柱面面在在點(diǎn)點(diǎn)上上的的表表示示立立于于當(dāng)當(dāng)yxLyxf.),( LdsyxfS柱柱面面面面積積sL),(yxfz 例例1).(,sin,cos:,象象限限第第橢橢圓圓求求 tbytaxLxydsIL解解dttbtatbtaI2220)cos()sin(sinc

7、os dttbtattab222220cossincossin abduubaab222)cossin(2222tbtau 令令.)(3)(22bababaab xyo例例2)20(.,sin,cos:, 的的一一段段其其中中求求kzayaxxyzdsI解解.21222kaka dkaka222sincos 20I Lndsyx)(22 20222222)cos()sin()sincos(dttatatatan解解 2012dtan122 na 例例4.)2, 1()2 , 1(,4:,2一一段段到到從從其其中中求求 xyLydsILxy42 解解dyyyI222)2(1 . 0 解解 102)1(1)1()(dxxxxdsyxL 102)1(dxxx2 11xdxL xdxxdxLL 21 解解 1021022)(1)(1dxxxdxxx 10102241xdxdxxx)12655(121 xyo