江西省景德鎮(zhèn)市2015-2016學(xué)年高二數(shù)學(xué)選修2-2課件：4.2 定積分基本定理

1、4.2.1 4.2.1 變上限定積分變上限定積分4.2定積分基本定理定積分基本定理4.2.2 4.2.2 微積分的基本公式微積分的基本公式4.2.1 4.2.1 變上限定積分變上限定積分如果如果 x 是區(qū)間是區(qū)間 a, b 上任意一點，定積分上任意一點，定積分 xattfd)(表示曲線表示曲線 y = f (x) 在部分區(qū)間在部分區(qū)間 a, x 上曲邊梯形上曲邊梯形AaxC 的面積，的面積，如圖中陰影部分所示的面積如圖中陰影部分所示的面積. 當(dāng)當(dāng) x 在在區(qū)間區(qū)間 a, b 上變化時上變化時,陰影部分的曲邊梯形面陰影部分的曲邊梯形面積也隨之變化，積也隨之變化， 所以變所以變上限定積分上限定積分

2、 xattfd)(yxy = f (x)axbOACB是上限變量是上限變量 x 的函數(shù)的函數(shù).記作記作 F (x)，即即( )( )d().xaF xf ttaxbF(x) 注意到教材中的積分式,積分上限中的積分變量 ，與被積函數(shù)中自變量用的是同一個字母符號，其實兩者的含義是不同的,為避免混淆,這里改用 為積分變量. 由于定積分的值與積分變量的記號無關(guān),把積分變量改用別的字母表示,不影響積分結(jié)果.xt通常稱積分式通常稱積分式 xattfd)(為為變上限的積分變上限的積分變上限的積分變上限的積分( )( )d().xaF xf ttaxb有下列重要性質(zhì)有下列重要性質(zhì): :定理定理4.4.1 若函

3、數(shù)若函數(shù) f (x) 在區(qū)間在區(qū)間 a, b 上連續(xù)上連續(xù)，則變上限定積分則變上限定積分( )( )dxaF xf tt在區(qū)間在區(qū)間 a, b 上可導(dǎo)上可導(dǎo)， 并且它的導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)，并且它的導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)，即即( )( )d( ).xadF xf ttf xdx定理定理 4.1 告訴我們，告訴我們，( )( )dxaF xf tt 是函數(shù)是函數(shù) f (x) 在區(qū)間在區(qū)間 a, b 上的一個原函數(shù)，上的一個原函數(shù)， 這就肯定了這就肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的，連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的， 所以，所以，定理定理 4.1 也稱為原函數(shù)存在定理也稱為原函數(shù)存在定理.變上限定積分變上限定積分 推論

4、推論 ( (原函數(shù)存在的充分條件原函數(shù)存在的充分條件) ) 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù), , 在該區(qū)間上它的原函數(shù)一定存在在該區(qū)間上它的原函數(shù)一定存在. .例例 1 (1) 21( )e d ,xtxt已知求求 (x).解解根據(jù)定理根據(jù)定理4.4. 1，得，得 221( )e de .xtxxt(2) (2) 求求24111xddtdxt解解2242481112()11()1xdxdtxdxtxx補充例補充例 xttx02,d)sin()( 設(shè)設(shè)求求 (x).解解 (x) xxtt02d)sin(xxxxtt)(d)sin(02 .sin21xx 補充例補充例 0,d)13cos()

5、(xttxF已已知知求求 F (x).解解根據(jù)定理根據(jù)定理 1，得，得 )(xF 0d)13cos(xtt xtt0d)13cos().13cos( x*補充例補充例 2,d13xxtty設(shè)設(shè)解解.ddxy求求xydd xxxtt2d13 xaxxatttt2d1d133 xxaxxatttt2d1d133xxxxttx)(d11203322 .12163xxx 例例2 2求求2030sinlimxxt dtx解解 當(dāng)當(dāng)0 x 時時, ,原式為原式為00型不定式型不定式, ,可用洛必達法則求可用洛必達法則求得得2220033 2000sin(sin)1sin1limlimlim()33xxxx

6、xt dtt dtxxxx4.2.2 4.2.2 微積分的基本公式微積分的基本公式定理定理 如果函數(shù)如果函數(shù) f (x) 在區(qū)間在區(qū)間 a, b 上連續(xù)上連續(xù)，F(xiàn)(x) 是是 f (x) 在區(qū)間在區(qū)間 a, b 上任一原函數(shù)上任一原函數(shù)，).()(d)(aFbFxxfba 那么那么為了今后使用該公式方便起見，把為了今后使用該公式方便起見，把 上上 式右端的式右端的,)()()(baxFaFbF記記作作 這樣這樣 上面公式就寫成如下形式：上面公式就寫成如下形式：.( )( )( )( )bbaaf xxF xF bF ad“NewtonLeibniz“NewtonLeibniz公式公式”例例 3

7、 計算下列定積分計算下列定積分. 解解;d11)1(102xx 30(2)sind .x x xxd11)1(102 10arctanx ;40arctan1arctan 30(2)sindx x 30cosx cos( cos0)3 11122 4.2.3 4.2.3 定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)下面各性質(zhì)中的函數(shù)都假設(shè)是可積的下面各性質(zhì)中的函數(shù)都假設(shè)是可積的.性質(zhì)性質(zhì) 1 ( (1) ) 兩個函數(shù)和的定積分等于它們兩個函數(shù)和的定積分等于它們定積分的和定積分的和，即即 baxxgxfd)()( babaxxgxxf.d)(d)(性質(zhì)性質(zhì)2 2 被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分外面被積函數(shù)的常數(shù)因子

8、可以提到積分外面，即即 baxxkfd)(.d)( baxxfk性質(zhì)性質(zhì) 1 ( (1) ) 可推廣到有限多個函數(shù)代數(shù)和的可推廣到有限多個函數(shù)代數(shù)和的情況，即情況，即 banxxfxfxfd)()()(21.d)(d)(d)(21 banbabaxxfxxfxxf性質(zhì)性質(zhì) 3( (積分對區(qū)間可加性積分對區(qū)間可加性) )如果積分區(qū)間如果積分區(qū)間 a, b 被點被點 c 分成兩個區(qū)間分成兩個區(qū)間 a, c 和和 c, b ，那么那么 baxxfd)(.d)(d)( bccaxxfxxf當(dāng)點當(dāng)點 c 不介于不介于 a 與與 b 之間，之間， 即即 c a b 或或 a b c 時，時，結(jié)論仍正確結(jié)論

9、仍正確.補充例題補充例題 計算下列定積分計算下列定積分. 解解;de1e)1(11xxx .dcos)2(462xx xxxde1e)1(11 )e1(de1111xx 11)e1ln( x; 1e11ln)e1ln( xxdcos)2(462 xx d )2cos1(2146 46462d2cos41d21xxx462sin416421 x.834124 解解把被積函數(shù)化簡把被積函數(shù)化簡. .補例補例 計算計算.dsinsin03xxx xxxdsinsin03 xxxd)sin1(sin02 .d|cos|sin0 xxx xxxxxxd)cos(sindcossin220 xxxxsindsinsindsin220 2232023sin32sin32xx.34)32(32 解解xxfd )(30 xxxxded31103 311034)e(43xx .e1e4332 補充題例補充題例.d )(31,e10,)( 303xxfxxxxfx 計計算算，設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)例例4 4 求定積分求定積分130(sin2)xxedx解解1301130011300(sin2)sin212sin33xxxxedxxdxe dxxd xe d x1310030312cos|312(coscos0)()322(