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1、第二章 平面向量21平面向量的實際背景及基本概念教學(xué)目標(biāo):1.了解向量的實際背景,會用字母表示向量,理解向量的幾何表示;2理解零向量、單位向量、平行向量、共線向量、相等向量、相反向量等概念3通過師生互動、交流與學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生探求新知識的學(xué)習(xí)品質(zhì).問題導(dǎo)入:問題1:湖面上有3個景點O,A,B,如圖所示.一游艇將游客從景點O送至景點A,半小時后,游艇再將游客送至景點B,從景點O到景點A有一個位移,從景點A到景點B也有一個位移.位移與距離這兩個量有什么不同? O B A問題2:下列物理量中,那些量分別與位移和距離這兩個量類似:(1)物體在重力作用下發(fā)生位移,重力所做的功;(2)物體所受重力(3)物體
2、的質(zhì)量為a千克;(4)1月1日的4級偏南風(fēng)的風(fēng)速。問題3:物理中,速度,力用什么表示?1向量的概念及表示(1) 向量的定義:(2) 向量的表示:(3) 向量的大小及表示 (4) 零向量:(5) 單位向量:思考:平面直角坐標(biāo)系內(nèi),起點在原點的單位向量,它們終點的軌跡是什么圖形?問題4:在平行四邊形ABCD中,向量與CD,AB與DC有什么關(guān)系?2、向量的關(guān)系(1) 平行向量(2) 相等向量(3) 相反向量問題5:1.向量能否平移?2. 要確定一個向量必須確定什么?要確定一個有向線段必須確定什么?兩者有何區(qū)別?基礎(chǔ)訓(xùn)練:例1下列命題中真命題是( )A任何兩個非零向量的單位向量都是相等的向量B任何兩個
3、非零向量的單位向量是相等向量或互為相反向量C一個非零向量的單位向量有兩個,它們互為相反向量D任何非零向量的單位向量的模相等例2判斷下列命題中正確的是( )(1) 已知,那么向量,的方向相同或相反(2) 已知向量與向量CD是共線向量,那么四點A,B,C,D必在同一直線上;(3) 任何兩個向量必可比較大小例3已知O為正六邊形ABCDEF的中心,如圖,所標(biāo)出的向量中:(1) 試找出與FE共線的向量;(2) 確定與FE相等的向量;(3) OA與BC向量相等么?例4如圖,在45的方格紙中有一個向量AB,分別以圖中的格點為起點和終點作向量,其中與AB相等的向量有多少個?與AB長度相等的共線向量有多少個?(
4、AB除外)感悟反思:(1)向量是既有大小又有方向的量,向量有兩個要素:方向和長度,稱為自由向量;有向線段具有三個要素:起點,方向和長度;(2)數(shù)量(標(biāo)量)與向量的區(qū)別與聯(lián)系:向量不同于數(shù)量。數(shù)量是只有大小的量,而向量是既有大小又有方向的量;數(shù)量可以比較大小,而向量不能比較大小,只有它的??梢员容^大??;記號“”是沒有意義的,而|才有意義。2 .2 平面向量的線性運算22.1向量的加法及其幾何意義教學(xué)目標(biāo):1 通過實際例子,掌握向量的加法運算,并理解向量加法的平行四邊形法則和三角形法則則其幾何意義。2 靈活運用平行四邊形法則和三角形法則進行向量求和運算。3 通過本節(jié)學(xué)習(xí),培養(yǎng)多角度思考問題的習(xí)慣,
5、提高探索問題的能力。問題導(dǎo)入:問題1:利用向量的表示,從景點O到景點A的位移為OA,從景點A到景點B的位移為AB,那么經(jīng)過這兩次位移后游艇的合位移是OB,向量OA,AB,OB三者之間有何關(guān)系? O BA問題2:一架飛機向北飛行200千米后,改變航向向東飛行200千米,飛機飛行的路程和位移分別是多少?問題3:數(shù)的加法運算有那些性質(zhì)?向量的加法也有類似的性質(zhì)么?你能驗證么?1 向量加法的性質(zhì):驗證下面的性質(zhì):(1) a0 = 0 a(2) a (a)= (a) a = 0(3) 加法滿足交換率: a b = b a(4) 加法滿足結(jié)合率: ( a b) c = a (b c )問題4:通過對 a
6、b = b a 的驗證能得到什么結(jié)論 ?問題5:如果平面內(nèi)有n個向量依次首尾連接組成一條封閉折線,那么這n個向量的和是多少?基礎(chǔ)訓(xùn)練例1O為正六邊形ABCDEF的中心,作出下列向量:(1) OA OC (2)BC FE (3) OA FE例2在長江南岸某渡口處,江水以12.5km/h的速度向東流,渡船的速度為25km/h.渡船要垂直地度過長江,其航向應(yīng)如何確定?變式:若渡船以25km/h的速度按垂直于河岸的航向航行,那么受水流影響,渡船的實際航向如何?例3下列各式正確的是 ( )A若a,b同向,則有| a | | b | = | ab |Ba b 與| a | | b |表示的意義相同C若a,
7、b不共線,則有| a b | | a | | b |D| a | | a b |感悟反思:向量的加法運算有三角形法則和平行四邊形法則,這兩種運算是等價的。三角形法則要求參加運算的向量是依次“首尾相連”,平行四邊形法則要求“共起點”.在實際運算中,可根據(jù)具體情況靈活選用.2.2.2 向量減法運算及其幾何意義教學(xué)目標(biāo):1.理解向量減法的含義,會做兩個向量的差. 2.過知識發(fā)生發(fā)展過程教學(xué)使學(xué)生感受和領(lǐng)悟,數(shù)學(xué)發(fā)展的過程及其思想.問題導(dǎo)入問題1.向量的加法運算法則是什么?問題1.數(shù)的減法運算是如何定義的?向量減法概念如圖已知向量不共線,求做向量.問題3:若知向量是共線向量,求作向量,由例1得到如果兩
8、個向量有相同的起點,則它們的差向量的作圖方法是: .問題4:若,則成立,向量是否有成立?你能證明嗎?基礎(chǔ)訓(xùn)練例1. 如圖,是平行四邊形的對角線的交點,若,試證明.例2.求證:當(dāng)兩個向量不共線時:感悟反思1.向量減法是向量加法的逆運算.2.向量減法的性質(zhì): 即,可把向量減法運算轉(zhuǎn)化為向量加法的運算.由于向量加減法都是用幾何法(作圖)來定義的,不管是三角形法則還是平行四邊形法則與幾何意義密不可分,因此,解決向量加法,減法問題,數(shù)形結(jié)合必不可少.2.2.3向量數(shù)乘運算及其幾何意義學(xué)習(xí)目標(biāo)1、掌握向量數(shù)乘運算,并理解其幾何意義。2、了解兩個向量共線的含義。3、理解和應(yīng)用向量數(shù)乘的運算律。問題導(dǎo)入問題1
9、質(zhì)點從O出發(fā)做勻速直線運動,若經(jīng)過1s的位移對應(yīng)的向量用a表示,那么在同方向上經(jīng)過3s的位移所對應(yīng)的向量可用3a來表示。這里,3a是何種運算的結(jié)果?向量數(shù)乘的定義:向量的數(shù)乘滿足的運算律: 問題2 如圖D、E分別為三角形ABC的邊AB,AC的中點,求證:BC與DE共線,并將DE用BC線性表示。向量共線定理:證明:基礎(chǔ)訓(xùn)練1 已知向量a和向量b,求作向量-2.5a和向量2a-3b。2 計算:(1)3(a-b)-2(a+2b)(2)2(2a+6b-3c)-3(-3a+4b-2c)思考:向量數(shù)乘與實數(shù)乘法有哪些相同點和不同點?3 如圖三角形OAB中,C為直線AB上一點,AC= CB( =-1)求證:
10、OC= 。思考:兩個不共線向量可以表示平面內(nèi)的任一向量嗎?23 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示23.1 平面向量的基本定理學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解平面向量的基本定理及其意義;2.運用平面向量的基本定理解決相關(guān)問題. 問題情境問題1 ABCD的對角線AC和BD交于點M,試用基底a,b表示。問題2 平面內(nèi)任一向量是否可以用兩個不共線的向量來表示?問題3 相關(guān)的舊知是什么?(平面向量的共線定理)1 由作圖可得2 探索:對于向量,是否是惟一的一組?3 平面向量基本定理:如果是同一平面內(nèi)的兩個不共線的向量,那么對于這一平面內(nèi)的任一向量,有且只有一對實數(shù),使。4基底,不共線向量的夾角,垂直向量1)兩個非零向量夾角:
11、 ,叫做向量與的夾角.注:當(dāng)時,與同向;當(dāng)時,與反向;當(dāng)時,與垂直,記.基礎(chǔ)訓(xùn)練1 。 已知三角形OAB中,點C和點B關(guān)于A對稱,D是OB上靠近B的三等分點,設(shè),用表示.2 設(shè)是平面內(nèi)的一組基底,如果求證:A、B、D三點共線。3設(shè)是兩個不共線的非零向量,記,那么當(dāng)實數(shù)t為何值時,A,B,C三點共線?感悟反思4 平面向量基本定理5 平面向量基本定理與向量共線定理的比較。6 三點共線的證明方法。23.2 平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示學(xué)習(xí)目標(biāo)1、理解平面向量的正交分解。2、聯(lián)系直角坐標(biāo)系,研究向量正交分解的坐標(biāo)運算。問題情境1、平面向量的正交分解2、向量的坐標(biāo)表示在平面直角坐標(biāo)系中,分別取與x軸、y
12、軸方向相同于兩個_作為基為基底。對于平面內(nèi)的任一個向量,由平面向量基本定理可知,有且只有一對實數(shù)x,y使得_,這樣,平面內(nèi)的任一向量都可由_唯一確定,我們把有序數(shù)對_叫做向量的坐標(biāo),記作=_此式叫做向量的坐標(biāo)表示,其中x叫做在x軸上的坐標(biāo),y叫做在y軸上的坐標(biāo)。3、幾個特殊向量的坐標(biāo)表示4、以原點O為起點作向量,設(shè),則向量,的坐標(biāo)_,就是_;反過來,終點A的坐標(biāo)_也就是_?;A(chǔ)訓(xùn)練1、在平面直角坐標(biāo)系中,已知點A時坐標(biāo)為(2,3),點B的坐標(biāo)為(6,5),則=_,=_。2、已知向量,的方向與x軸的正方向的夾角是30,則的坐標(biāo)為_。3、下列各組向量中,能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底是(
13、)ABCD4、已知向量則與的關(guān)系是( )A不共線 B相等 C同向 D反向感悟反思1、平面直角坐標(biāo)系中,每一人個向量都可以用一對實數(shù)唯一表示。2、若已知向量,的模,的方向與x軸正向的轉(zhuǎn)角為,由三角函數(shù)的定義可知,23.3 平面向量的坐標(biāo)運算學(xué)習(xí)目標(biāo)1、會用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減與數(shù)乘運算。2、培養(yǎng)細(xì)心、耐心的學(xué)習(xí)習(xí)慣,提高分析問題的能力。問題情境問題1 平面直角坐標(biāo)系中,每一個點都可以用一對有序?qū)崝?shù)對(它的坐標(biāo))惟一表示,對于直角坐標(biāo)平面內(nèi)的每一個向量,是否都可以用一對有序?qū)崝?shù)對(它的坐標(biāo))表示惟一表示?問題2 若向量以原點為起點,則如何用坐標(biāo)刻畫向量?若向量不以原點為起點呢?1在平面直角坐
14、標(biāo)系中,分別取與x軸、Y軸方向相同的兩個單位向量作為基底,則對于平面上的一個向量a有且只有 2問題3 的坐標(biāo)嗎?由向量運算的結(jié)合律、分配律及數(shù)乘的運算律可得1 兩個向量的和(差)的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和(差)2 實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo),3 一個向量的坐標(biāo)等于該向量終點的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo)?;A(chǔ)訓(xùn)練1 已知A(-1,3),B(1,-3),C(4,1),D(3,4),求向量OA,OB,AO,CD的坐標(biāo)。思考:四邊形OCDA是平行四邊形嗎?2 已知平行四邊形ABCD的三個頂點A、B、C、D的坐標(biāo)分別是(-2,1)、(-1,3)、(3,4),試求頂點D的坐標(biāo)
15、。3 已知P1(x1,y1),P2(x2,y2),P是直線P1P2上一點,且(l-1),求點P的坐標(biāo)。感悟反思1直角坐標(biāo)平面內(nèi)的每一個向量,都可以用一對有序?qū)崝?shù)對(它的坐標(biāo))表示惟一表示。2向量坐標(biāo)運算的本質(zhì)是向量的線性運算。23.4 平面向量共線的坐標(biāo)表示學(xué)習(xí)目標(biāo)1、在理解向量共線的概念的基礎(chǔ)上,學(xué)習(xí)用坐標(biāo)表示向量共線的條件。2、利用向量共線的坐標(biāo)表示解決有關(guān)問題。問題情境我們知道,對于兩個非零向量,如果有一個實數(shù)l,使,那么。問題1 能否向量形式坐標(biāo)化?即利用坐標(biāo)關(guān)系來刻畫向量共線?問題2 向量a=(1,4),b=(-2,8)是否平行?問題3 設(shè)=(x1,y1), =(x2,y2),x1,
16、y1不同時為零,如果,那么相應(yīng)向量的坐標(biāo)有什么關(guān)系?如果x1y2-x2y1=0,那么向量有什么關(guān)系?問題4數(shù)學(xué)語言表述上述結(jié)論基礎(chǔ)訓(xùn)練1已知向量a=(4,3),b=(6,y),且ab,求實數(shù)y的值。2已知A(0,-2),B(2,2),C(3,4),求證:A、B、C三點共線。3已知a=(1,0),b=(2,1),當(dāng)實數(shù)k為何值時,向量ka-b與a+3b平行?并確定此時它們時同向還是反向?4已知點O,A,B,C的坐標(biāo)分別為(0,0)、(3,4)、(-1,2)、(1,1),是否存在常數(shù)t,使得成立,解釋你所得結(jié)論的幾何意義。感悟反思1 平面向量共線的條件:設(shè)=(x1,y1), =(x2,y2),()
17、,如果,那么 x1y2-x2y1=0。反過來,如果x1y2-x2y1=0,那么。2 如果去掉的條件,結(jié)論是否成立?24平面向量的數(shù)量積2.4.1 平面向量的數(shù)量積學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握平面向量數(shù)量積的意義;體會數(shù)量積與投影的關(guān)系。2.正確使用平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運算律。3.理解利用平面向量數(shù)量積,可以處理有關(guān)長度、角度和垂直問題。問題情境:1.問題:向量的運算有向量的加法、減法、數(shù)乘,那么向量與向量能否“相乘”呢?2.實例:一個物體在力的作用下發(fā)生了位移,那么該力對此物體所做的功為多少?力做的功:,是與的夾角.:3概念形成與知識建構(gòu):平面向量數(shù)量積(或內(nèi)積)的定義: ,記作,即,().規(guī)定與任
18、何向量的數(shù)量積為0.注:當(dāng)與同向時,= ;當(dāng)與反向時, ;特別地, 或. 4兩個向量的數(shù)量積與向量同實數(shù)積有很大區(qū)別:(1)兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù),不是向量,符號由cosq的符號所決定(2)兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積,書寫時符號“ ”不能省略,也不能用“”代替.(3)在實數(shù)中,若,且,則;但是在數(shù)量積中,若,且,不能推出.基礎(chǔ)訓(xùn)練例1. 判斷正誤,并簡要說明理由;若,則對任一非零,有;=,則與至少有一個為;對任意向量,都有;與是兩個單位向量,則.評述:這一類型題,要求學(xué)生確實把握好數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運算律例2. 已知向量與向量的夾角為,分別在下列條件下求:(1) ; (2); (3); (
19、4) .評述:兩個向量的數(shù)量積與它們的夾角有關(guān),其范圍是0,180,因此,當(dāng)時,有0或180兩種可能.感悟反思通過本節(jié)學(xué)習(xí),要求大家掌握平面向量的數(shù)量積的定義、重要性質(zhì),并能運用它們解決相關(guān)的問題2.4.2 平面向量的數(shù)量積學(xué)習(xí)目的:掌握平面向量數(shù)量積運算規(guī)律;能利用數(shù)量積的5個重要性質(zhì)及數(shù)量積運算規(guī)律解決有關(guān)問題;掌握兩個向量共線、垂直的幾何判斷,會證明兩向量垂直,以及能解決一些簡單問題. 情境引入:1兩個非零向量夾角的概念:2平面向量數(shù)量積(內(nèi)積)的定義: 3“投影”的概念: 4向量的數(shù)量積的幾何意義:5兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì):6設(shè)向量,和實數(shù),則向量的數(shù)量積滿足下列運算律:(1) ;(2
20、) ;(3) .思考:向量的數(shù)量積滿足結(jié)合律嗎?基礎(chǔ)訓(xùn)練例1.已知、都是非零向量,且與垂直,與垂直,求與的夾角.例2 求證:平行四邊形兩條對角線平方和等于四條邊的平方和. 例3.四邊形中, ,且,試問四邊形是什么圖形?分析:四邊形的形狀由邊角關(guān)系確定,關(guān)鍵是由題設(shè)條件演變、推算該四邊形的邊角量.4已知,與的夾角為,則= ;5已知,且與的夾角為,則 ;感悟反思通過本節(jié)學(xué)習(xí),要求大家掌握平面向量數(shù)量積的運算規(guī)律,掌握兩個向量共線、垂直的幾何判斷,能利用數(shù)量積的性質(zhì)解決相關(guān)問題.2.4.2平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示模 夾角第一課時學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,會進行平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算。2.掌握向量垂直的坐標(biāo)表示及夾角的坐標(biāo)表示及平面向量點間的距離公式。問題情境:1知識回顧:(1)兩個非零向量夾角的概念:(2)平面向量數(shù)量積(內(nèi)積)的定義: (3)平面向量數(shù)量積的運算律:2.問題:若兩個向量,如何用,的坐
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