向量的概念及表示學(xué)案!!

1、第二章 平面向量21平面向量的實(shí)際背景及基本概念教學(xué)目標(biāo)：1.了解向量的實(shí)際背景，會用字母表示向量，理解向量的幾何表示；2理解零向量、單位向量、平行向量、共線向量、相等向量、相反向量等概念3通過師生互動、交流與學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生探求新知識的學(xué)習(xí)品質(zhì).問題導(dǎo)入：問題1：湖面上有3個景點(diǎn)O，A，B，如圖所示.一游艇將游客從景點(diǎn)O送至景點(diǎn)A，半小時后，游艇再將游客送至景點(diǎn)B，從景點(diǎn)O到景點(diǎn)A有一個位移，從景點(diǎn)A到景點(diǎn)B也有一個位移.位移與距離這兩個量有什么不同？ O B A問題2：下列物理量中，那些量分別與位移和距離這兩個量類似：（1）物體在重力作用下發(fā)生位移，重力所做的功；（2）物體所受重力（3）物體

2、的質(zhì)量為a千克；（4）1月1日的4級偏南風(fēng)的風(fēng)速。問題3：物理中，速度，力用什么表示？1向量的概念及表示（1） 向量的定義：（2） 向量的表示：（3） 向量的大小及表示 （4） 零向量：（5） 單位向量：思考：平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，起點(diǎn)在原點(diǎn)的單位向量，它們終點(diǎn)的軌跡是什么圖形？問題4：在平行四邊形ABCD中，向量與CD，AB與DC有什么關(guān)系？2、向量的關(guān)系（1） 平行向量（2） 相等向量（3） 相反向量問題5：1.向量能否平移？2. 要確定一個向量必須確定什么？要確定一個有向線段必須確定什么？兩者有何區(qū)別？基礎(chǔ)訓(xùn)練：例1下列命題中真命題是（ ）A任何兩個非零向量的單位向量都是相等的向量B任何兩個

3、非零向量的單位向量是相等向量或互為相反向量C一個非零向量的單位向量有兩個，它們互為相反向量D任何非零向量的單位向量的模相等例2判斷下列命題中正確的是（ ）（1） 已知，那么向量，的方向相同或相反（2） 已知向量與向量CD是共線向量，那么四點(diǎn)A，B，C，D必在同一直線上；（3） 任何兩個向量必可比較大小例3已知O為正六邊形ABCDEF的中心，如圖，所標(biāo)出的向量中：（1） 試找出與FE共線的向量；（2） 確定與FE相等的向量；（3） OA與BC向量相等么？例4如圖，在45的方格紙中有一個向量AB，分別以圖中的格點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)作向量，其中與AB相等的向量有多少個？與AB長度相等的共線向量有多少個？（

4、AB除外）感悟反思：（1）向量是既有大小又有方向的量，向量有兩個要素：方向和長度，稱為自由向量；有向線段具有三個要素：起點(diǎn)，方向和長度；（2）數(shù)量（標(biāo)量）與向量的區(qū)別與聯(lián)系：向量不同于數(shù)量。數(shù)量是只有大小的量，而向量是既有大小又有方向的量；數(shù)量可以比較大小，而向量不能比較大小，只有它的?？梢员容^大小；記號“”是沒有意義的，而|才有意義。2 .2 平面向量的線性運(yùn)算22.1向量的加法及其幾何意義教學(xué)目標(biāo)：1 通過實(shí)際例子，掌握向量的加法運(yùn)算，并理解向量加法的平行四邊形法則和三角形法則則其幾何意義。2 靈活運(yùn)用平行四邊形法則和三角形法則進(jìn)行向量求和運(yùn)算。3 通過本節(jié)學(xué)習(xí)，培養(yǎng)多角度思考問題的習(xí)慣，

5、提高探索問題的能力。問題導(dǎo)入：問題1：利用向量的表示，從景點(diǎn)O到景點(diǎn)A的位移為OA，從景點(diǎn)A到景點(diǎn)B的位移為AB，那么經(jīng)過這兩次位移后游艇的合位移是OB，向量OA，AB，OB三者之間有何關(guān)系？ O BA問題2：一架飛機(jī)向北飛行200千米后，改變航向向東飛行200千米，飛機(jī)飛行的路程和位移分別是多少？問題3：數(shù)的加法運(yùn)算有那些性質(zhì)？向量的加法也有類似的性質(zhì)么？你能驗(yàn)證么？1 向量加法的性質(zhì)：驗(yàn)證下面的性質(zhì)：（1） a0 = 0 a（2） a （a）= （a） a = 0（3） 加法滿足交換率： a b = b a（4） 加法滿足結(jié)合率： （ a b） c = a （b c ）問題4：通過對 a

6、b = b a 的驗(yàn)證能得到什么結(jié)論 ？問題5：如果平面內(nèi)有n個向量依次首尾連接組成一條封閉折線，那么這n個向量的和是多少？基礎(chǔ)訓(xùn)練例1O為正六邊形ABCDEF的中心，作出下列向量：（1） OA OC （2）BC FE （3） OA FE例2在長江南岸某渡口處，江水以12.5km/h的速度向東流，渡船的速度為25km/h.渡船要垂直地度過長江，其航向應(yīng)如何確定？變式：若渡船以25km/h的速度按垂直于河岸的航向航行，那么受水流影響，渡船的實(shí)際航向如何？例3下列各式正確的是 （ ）A若a，b同向，則有| a | | b | = | ab |Ba b 與| a | | b |表示的意義相同C若a，

7、b不共線，則有| a b | | a | | b |D| a | | a b |感悟反思：向量的加法運(yùn)算有三角形法則和平行四邊形法則，這兩種運(yùn)算是等價的。三角形法則要求參加運(yùn)算的向量是依次“首尾相連”，平行四邊形法則要求“共起點(diǎn)”.在實(shí)際運(yùn)算中，可根據(jù)具體情況靈活選用.2.2.2 向量減法運(yùn)算及其幾何意義教學(xué)目標(biāo):1.理解向量減法的含義,會做兩個向量的差. 2.過知識發(fā)生發(fā)展過程教學(xué)使學(xué)生感受和領(lǐng)悟,數(shù)學(xué)發(fā)展的過程及其思想.問題導(dǎo)入問題1.向量的加法運(yùn)算法則是什么?問題1.數(shù)的減法運(yùn)算是如何定義的?向量減法概念如圖已知向量不共線,求做向量.問題3:若知向量是共線向量,求作向量,由例1得到如果兩

8、個向量有相同的起點(diǎn),則它們的差向量的作圖方法是: .問題4:若,則成立,向量是否有成立?你能證明嗎?基礎(chǔ)訓(xùn)練例1. 如圖,是平行四邊形的對角線的交點(diǎn),若,試證明.例2.求證:當(dāng)兩個向量不共線時:感悟反思1.向量減法是向量加法的逆運(yùn)算.2.向量減法的性質(zhì): 即,可把向量減法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量加法的運(yùn)算.由于向量加減法都是用幾何法(作圖)來定義的,不管是三角形法則還是平行四邊形法則與幾何意義密不可分,因此,解決向量加法,減法問題,數(shù)形結(jié)合必不可少.2.2.3向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義學(xué)習(xí)目標(biāo)1、掌握向量數(shù)乘運(yùn)算，并理解其幾何意義。2、了解兩個向量共線的含義。3、理解和應(yīng)用向量數(shù)乘的運(yùn)算律。問題導(dǎo)入問題1

9、質(zhì)點(diǎn)從O出發(fā)做勻速直線運(yùn)動，若經(jīng)過1s的位移對應(yīng)的向量用a表示，那么在同方向上經(jīng)過3s的位移所對應(yīng)的向量可用3a來表示。這里，3a是何種運(yùn)算的結(jié)果？向量數(shù)乘的定義：向量的數(shù)乘滿足的運(yùn)算律： 問題2 如圖D、E分別為三角形ABC的邊AB，AC的中點(diǎn)，求證：BC與DE共線，并將DE用BC線性表示。向量共線定理：證明：基礎(chǔ)訓(xùn)練1 已知向量a和向量b，求作向量-2.5a和向量2a-3b。2 計算：(1)3(a-b)-2(a+2b)(2)2（2a+6b-3c）-3（-3a+4b-2c）思考：向量數(shù)乘與實(shí)數(shù)乘法有哪些相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？3 如圖三角形OAB中，C為直線AB上一點(diǎn)，AC= CB（ =-1）求證：

10、OC= 。思考：兩個不共線向量可以表示平面內(nèi)的任一向量嗎？23 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示23.1 平面向量的基本定理學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解平面向量的基本定理及其意義;2.運(yùn)用平面向量的基本定理解決相關(guān)問題. 問題情境問題1 ABCD的對角線AC和BD交于點(diǎn)M，試用基底a，b表示。問題2 平面內(nèi)任一向量是否可以用兩個不共線的向量來表示？問題3 相關(guān)的舊知是什么？（平面向量的共線定理）1 由作圖可得2 探索：對于向量，是否是惟一的一組？3 平面向量基本定理：如果是同一平面內(nèi)的兩個不共線的向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實(shí)數(shù)，使。4基底，不共線向量的夾角，垂直向量1）兩個非零向量夾角:

11、 ，叫做向量與的夾角.注：當(dāng)時，與同向；當(dāng)時，與反向；當(dāng)時，與垂直，記.基礎(chǔ)訓(xùn)練1 。 已知三角形OAB中，點(diǎn)C和點(diǎn)B關(guān)于A對稱，D是OB上靠近B的三等分點(diǎn)，設(shè)，用表示.2 設(shè)是平面內(nèi)的一組基底，如果求證：A、B、D三點(diǎn)共線。3設(shè)是兩個不共線的非零向量，記，那么當(dāng)實(shí)數(shù)t為何值時，A，B，C三點(diǎn)共線？感悟反思4 平面向量基本定理5 平面向量基本定理與向量共線定理的比較。6 三點(diǎn)共線的證明方法。23.2 平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示學(xué)習(xí)目標(biāo)1、理解平面向量的正交分解。2、聯(lián)系直角坐標(biāo)系，研究向量正交分解的坐標(biāo)運(yùn)算。問題情境1、平面向量的正交分解2、向量的坐標(biāo)表示在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y

12、軸方向相同于兩個_作為基為基底。對于平面內(nèi)的任一個向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實(shí)數(shù)x，y使得_，這樣，平面內(nèi)的任一向量都可由_唯一確定，我們把有序數(shù)對_叫做向量的坐標(biāo)，記作=_此式叫做向量的坐標(biāo)表示，其中x叫做在x軸上的坐標(biāo)，y叫做在y軸上的坐標(biāo)。3、幾個特殊向量的坐標(biāo)表示4、以原點(diǎn)O為起點(diǎn)作向量，設(shè)，則向量，的坐標(biāo)_，就是_；反過來，終點(diǎn)A的坐標(biāo)_也就是_?；A(chǔ)訓(xùn)練1、在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A時坐標(biāo)為（2，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，5），則=_，=_。2、已知向量,的方向與x軸的正方向的夾角是30，則的坐標(biāo)為_。3、下列各組向量中，能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底是（

13、）ABCD4、已知向量則與的關(guān)系是（ ）A不共線 B相等 C同向 D反向感悟反思1、平面直角坐標(biāo)系中，每一人個向量都可以用一對實(shí)數(shù)唯一表示。2、若已知向量,的模，的方向與x軸正向的轉(zhuǎn)角為，由三角函數(shù)的定義可知，23.3 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算學(xué)習(xí)目標(biāo)1、會用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減與數(shù)乘運(yùn)算。2、培養(yǎng)細(xì)心、耐心的學(xué)習(xí)習(xí)慣，提高分析問題的能力。問題情境問題1 平面直角坐標(biāo)系中，每一個點(diǎn)都可以用一對有序?qū)崝?shù)對（它的坐標(biāo)）惟一表示，對于直角坐標(biāo)平面內(nèi)的每一個向量，是否都可以用一對有序?qū)崝?shù)對（它的坐標(biāo)）表示惟一表示？問題2 若向量以原點(diǎn)為起點(diǎn)，則如何用坐標(biāo)刻畫向量？若向量不以原點(diǎn)為起點(diǎn)呢？1在平面直角坐

14、標(biāo)系中，分別取與x軸、Y軸方向相同的兩個單位向量作為基底，則對于平面上的一個向量a有且只有 2問題3 的坐標(biāo)嗎？由向量運(yùn)算的結(jié)合律、分配律及數(shù)乘的運(yùn)算律可得1 兩個向量的和（差）的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和（差）2 實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)，3 一個向量的坐標(biāo)等于該向量終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。基礎(chǔ)訓(xùn)練1 已知A（-1，3），B（1，-3），C（4，1），D（3，4），求向量OA，OB，AO，CD的坐標(biāo)。思考：四邊形OCDA是平行四邊形嗎？2 已知平行四邊形ABCD的三個頂點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)分別是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），試求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)

15、。3 已知P1（x1，y1），P2（x2，y2），P是直線P1P2上一點(diǎn)，且（l-1），求點(diǎn)P的坐標(biāo)。感悟反思1直角坐標(biāo)平面內(nèi)的每一個向量，都可以用一對有序?qū)崝?shù)對（它的坐標(biāo)）表示惟一表示。2向量坐標(biāo)運(yùn)算的本質(zhì)是向量的線性運(yùn)算。23.4 平面向量共線的坐標(biāo)表示學(xué)習(xí)目標(biāo)1、在理解向量共線的概念的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)用坐標(biāo)表示向量共線的條件。2、利用向量共線的坐標(biāo)表示解決有關(guān)問題。問題情境我們知道，對于兩個非零向量，如果有一個實(shí)數(shù)l，使，那么。問題1 能否向量形式坐標(biāo)化？即利用坐標(biāo)關(guān)系來刻畫向量共線？問題2 向量a=（1，4），b=（-2，8）是否平行？問題3 設(shè)=（x1，y1）， =（x2，y2），x1，

16、y1不同時為零，如果，那么相應(yīng)向量的坐標(biāo)有什么關(guān)系？如果x1y2-x2y1=0，那么向量有什么關(guān)系？問題4數(shù)學(xué)語言表述上述結(jié)論基礎(chǔ)訓(xùn)練1已知向量a=（4，3），b=（6，y），且ab，求實(shí)數(shù)y的值。2已知A（0，-2），B（2，2），C（3，4），求證：A、B、C三點(diǎn)共線。3已知a=（1，0），b=（2，1），當(dāng)實(shí)數(shù)k為何值時，向量ka-b與a+3b平行？并確定此時它們時同向還是反向？4已知點(diǎn)O，A，B，C的坐標(biāo)分別為（0，0）、（3，4）、（-1，2）、（1，1），是否存在常數(shù)t，使得成立，解釋你所得結(jié)論的幾何意義。感悟反思1 平面向量共線的條件：設(shè)=（x1，y1）， =（x2，y2），（）

17、，如果，那么 x1y2-x2y1=0。反過來，如果x1y2-x2y1=0，那么。2 如果去掉的條件，結(jié)論是否成立？24平面向量的數(shù)量積2.4.1 平面向量的數(shù)量積學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握平面向量數(shù)量積的意義；體會數(shù)量積與投影的關(guān)系。2.正確使用平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算律。3.理解利用平面向量數(shù)量積，可以處理有關(guān)長度、角度和垂直問題。問題情境：1.問題：向量的運(yùn)算有向量的加法、減法、數(shù)乘，那么向量與向量能否“相乘”呢？2.實(shí)例:一個物體在力的作用下發(fā)生了位移,那么該力對此物體所做的功為多少?力做的功：，是與的夾角.：3概念形成與知識建構(gòu)：平面向量數(shù)量積（或內(nèi)積）的定義： ，記作，即，（）.規(guī)定與任

18、何向量的數(shù)量積為0.注:當(dāng)與同向時，= ；當(dāng)與反向時， ；特別地, 或. 4兩個向量的數(shù)量積與向量同實(shí)數(shù)積有很大區(qū)別:（1）兩個向量的數(shù)量積是一個實(shí)數(shù)，不是向量，符號由cosq的符號所決定（2）兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，書寫時符號“ ”不能省略，也不能用“”代替.（3）在實(shí)數(shù)中，若，且，則；但是在數(shù)量積中，若，且，不能推出.基礎(chǔ)訓(xùn)練例1. 判斷正誤，并簡要說明理由；若，則對任一非零,有；=，則與至少有一個為；對任意向量,都有；與是兩個單位向量，則.評述：這一類型題，要求學(xué)生確實(shí)把握好數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律例2. 已知向量與向量的夾角為,分別在下列條件下求:(1) ； （2）； （3）； (

19、4) .評述：兩個向量的數(shù)量積與它們的夾角有關(guān)，其范圍是0，180，因此，當(dāng)時，有0或180兩種可能.感悟反思通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家掌握平面向量的數(shù)量積的定義、重要性質(zhì)，并能運(yùn)用它們解決相關(guān)的問題2.4.2 平面向量的數(shù)量積學(xué)習(xí)目的：掌握平面向量數(shù)量積運(yùn)算規(guī)律；能利用數(shù)量積的5個重要性質(zhì)及數(shù)量積運(yùn)算規(guī)律解決有關(guān)問題；掌握兩個向量共線、垂直的幾何判斷，會證明兩向量垂直，以及能解決一些簡單問題. 情境引入：1兩個非零向量夾角的概念:2平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義： 3“投影”的概念： 4向量的數(shù)量積的幾何意義：5兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)：6設(shè)向量,和實(shí)數(shù),則向量的數(shù)量積滿足下列運(yùn)算律:（1） ；（2

20、） ；（3） .思考:向量的數(shù)量積滿足結(jié)合律嗎?基礎(chǔ)訓(xùn)練例1.已知、都是非零向量，且與垂直，與垂直，求與的夾角.例2 求證：平行四邊形兩條對角線平方和等于四條邊的平方和. 例3.四邊形中， ，且，試問四邊形是什么圖形?分析：四邊形的形狀由邊角關(guān)系確定，關(guān)鍵是由題設(shè)條件演變、推算該四邊形的邊角量.4已知,與的夾角為，則= ；5已知,且與的夾角為，則 ；感悟反思通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家掌握平面向量數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)律，掌握兩個向量共線、垂直的幾何判斷，能利用數(shù)量積的性質(zhì)解決相關(guān)問題.2.4.2平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示模 夾角第一課時學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算。2.掌握向量垂直的坐標(biāo)表示及夾角的坐標(biāo)表示及平面向量點(diǎn)間的距離公式。問題情境：1知識回顧:(1)兩個非零向量夾角的概念:(2)平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義： (3)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律:2.問題:若兩個向量，如何用，的坐