第8章 靜電場2

1、8.3 真空中的高斯定理真空中的高斯定理( )pNE pS N 電場線條數(shù)電場線條數(shù)S 垂直于場強方向上的面元垂直于場強方向上的面元電場線性質(zhì)電場線性質(zhì):1. 電場線始于電場線始于“+” 止于止于“-”(或或 遠處遠處)不中不中斷斷2. 任意兩條電場線不相交任意兩條電場線不相交.3. 電場線不形成閉合曲線電場線不形成閉合曲線 電場線疏密程度反映了場強大小電場線疏密程度反映了場強大小,曲線上每一曲線上每一點的切線方向是該點的場強方向點的切線方向是該點的場強方向.一一. 電場線電場線+qq2+ + + + + + + + + + + + 二二 電場強度通量電場強度通量. . e e1.1.dS的電

2、通量為的電通量為ecosedEdSEdS面元面元dS的電場通量在數(shù)值上等于穿過面元的電場通量在數(shù)值上等于穿過面元dS的電場線條數(shù)的電場線條數(shù)2. 2. 計算通過有限大曲面計算通過有限大曲面S S 的電通量的電通量 e eesEdSne是是的法向單位矢量的法向單位矢量3. 3. 閉合曲面閉合曲面 S S 的電的電通量通量. .如圖所示如圖所示: :esE dSA A點點 90 90 90 0 0 e e為負為負( (進進) )neEBEneAdSS SneE規(guī)定：規(guī)定：dSdNEsd高斯定理高斯定理(Gauss 17771855) 德國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和天文學(xué)家 三三 高斯定理高斯定理表述表述

3、: : 真空靜電場中任意閉合曲面真空靜電場中任意閉合曲面 S 的電場通量的電場通量 e e, ,等于該曲面等于該曲面所包圍的電荷的代數(shù)和所包圍的電荷的代數(shù)和 iq除以除以 0 0, ,與閉合曲面外電荷無關(guān)與閉合曲面外電荷無關(guān)01eisEdsqS S內(nèi)內(nèi)證明證明: :0q如圖如圖 , ,以點電荷的中心作半徑為以點電荷的中心作半徑為 r 的球面的球面. .204eqdE dSdSr204eessqddsr022044qrrq 1.1.包圍點電荷包圍點電荷 q 的同心球面的同心球面 S 的電場通量等于的電場通量等于+ +qneErsd2. 2. 包圍點電荷包圍點電荷 q 的任意閉合曲面的電通量為的任

4、意閉合曲面的電通量為0q由于上述結(jié)論與球面半徑由于上述結(jié)論與球面半徑r無關(guān)無關(guān), ,說明對以點電荷說明對以點電荷 q 為中為中心的任意球面而言，通過它們的電通量都一樣。心的任意球面而言，通過它們的電通量都一樣。對兩個無限接近的球面對兩個無限接近的球面，通過它們的電通量都相同。通過它們的電通量都相同。說明說明電場線在無電荷處連續(xù)電場線在無電荷處連續(xù)所以通過所以通過S S的電場線數(shù)量的電場線數(shù)量SeqSdE0以以q為球心在任意為球心在任意S S閉合曲面內(nèi)外閉合曲面內(nèi)外 取同心球面取同心球面S S和和S SSSqS 通過通過S S和和S S的電場線數(shù)量相同為的電場線數(shù)量相同為0q3. 不包圍點電荷任

5、意閉合曲面不包圍點電荷任意閉合曲面 S 的電通量為零的電通量為零.qS電場線在無電荷處連續(xù)電場線在無電荷處連續(xù)進入與穿出進入與穿出S面的電場線數(shù)量相同面的電場線數(shù)量相同0eSEdS 4. 多個點電荷電通量等于它們單獨存在多個點電荷電通量等于它們單獨存在時的電場通量的代數(shù)和時的電場通量的代數(shù)和.01iEdSq (S內(nèi))由場疊加原理和上述由場疊加原理和上述2，3結(jié)論可得結(jié)論可得1212(.).enssnsssE dSEEEdSEdSEdSEdS 1S2S3Sqq1e10dSqES e20 e30q 在點電荷在點電荷 和和 的靜電場中，做如下的三的靜電場中，做如下的三個閉合面?zhèn)€閉合面 求通過各閉合面

6、的電通量求通過各閉合面的電通量 . .123,SSSq q es穿過高斯面穿過高斯面 的的 有否變化？有否變化？2q2qABs1qP*討論討論 將將 從從 移到移到2qABP點點 電場強度是否變化？電場強度是否變化？ 靜電場高斯定理的微分形式靜電場高斯定理的微分形式電荷連續(xù)分布情況下高斯定理可寫為電荷連續(xù)分布情況下高斯定理可寫為: :dVESdEVs可得可得 : :01VEdVdV 01E據(jù):奧高公式（-Gauss） E 稱稱 E的散度的散度靜電場是有源場靜電場是有源場結(jié)論：dVSdEVs01利用高斯定理求靜電場的分布利用高斯定理求靜電場的分布例例 均勻帶電無限長細棒電荷線密度為均勻帶電無限長

7、細棒電荷線密度為 ,求其場強分布求其場強分布.通過通過 P 點點作以細棒為軸的同軸圓柱面作以細棒為軸的同軸圓柱面 半徑為半徑為 r, 長為長為 l , seSdE321SssSdESdESdE3300co sssEd SE d s rlEdsEs23設(shè)帶正電荷設(shè)帶正電荷,電荷線密度為電荷線密度為 ,因為場的分布是軸對稱的因為場的分布是軸對稱的該高斯面電通量為該高斯面電通量為:+ + + + + + + + + + + + + + + +S1S2PlS3r iqSdE01(S內(nèi))001lqi據(jù)高斯定理據(jù)高斯定理: :002iiesqlEdsErl rE02 例例. . 均勻帶電無限大平面薄板的電

8、荷面密度均勻帶電無限大平面薄板的電荷面密度 , , 求其場強分布求其場強分布設(shè)設(shè) 0 , 0 , 場是面對稱的場是面對稱的, , 做柱形高斯做柱形高斯面面. . 側(cè)面垂直于帶電面?zhèn)让娲怪庇趲щ娒? . 02E EE012 ESSSSS例例 均勻帶電的球體內(nèi)外的場強分布。均勻帶電的球體內(nèi)外的場強分布。設(shè)球體半徑為設(shè)球體半徑為R，所帶總帶電為，所帶總帶電為Q304QrErR rR 33233001 44433SrQQrE dSErRR rR 204QErr 解：它具有與場源同心的球?qū)ΨQ性。解：它具有與場源同心的球?qū)ΨQ性。 固選取同心的球面為高斯面。固選取同心的球面為高斯面。 E QRr300433

9、3QrrR 例：在半徑為例：在半徑為R1，電荷密度為，電荷密度為的均勻帶電體中挖去一個半徑的均勻帶電體中挖去一個半徑R2的球形空腔，腔中心的球形空腔，腔中心 O2與帶電球中心與帶電球中心 O1 相距為相距為a, (R2+a R1)，求空腔內(nèi)任一點的場強，求空腔內(nèi)任一點的場強解：解： 補償法補償法03rE12EEE空腔內(nèi)為勻強電場空腔內(nèi)為勻強電場21EEE2203rE013aE20033rr空腔空腔1E小球小球2E 8.48.4電勢電勢一一 靜電場力所作的功靜電場力所作的功. . q0 0 由由 A A 點點B B 點，點，q 的電場力的所做的功的電場力的所做的功靜電場力移動單位正電荷對靜電場力

10、移動單位正電荷對 q0 0 做功與路徑無關(guān)，僅與做功與路徑無關(guān)，僅與 q0 0 的始末位置有關(guān)的始末位置有關(guān)或者：或者：場源點電荷場源點電荷 q 的電場強度的線積分與路徑無關(guān)，僅與的電場強度的線積分與路徑無關(guān)，僅與 q0 0 的始末位置有關(guān)的始末位置有關(guān)ABrrl dFWBArrldEq0BArrdlEqcos0BArrdrrqq2004)11(400BArrqq若點電荷系若點電荷系 q1 1, ,q2 2,qn n 激發(fā)場激發(fā)場 q0 0 從從AB電場力作功電場力作功為為所以，所以，靜電力是保守力靜電力是保守力。所以對任意靜電場，靜電場力移動所以對任意靜電場，靜電場力移動 q0 0 做功與路

11、徑無關(guān)做功與路徑無關(guān)，僅與，僅與 q0 0 的始末位置有關(guān)的始末位置有關(guān)以上每一項為點電荷的電場力作功，均與積分路徑無關(guān)以上每一項為點電荷的電場力作功，均與積分路徑無關(guān)BArrldEqW0BArrnldEEEq)(210BABABArrnrrrrldEqldEqldEq02010二二. . 靜電場環(huán)路定理靜電場環(huán)路定理. .在靜電場中在靜電場中, ,場強沿任意閉合路徑的線積分等于零場強沿任意閉合路徑的線積分等于零, ,稱為稱為靜電場的環(huán)路定理靜電場的環(huán)路定理據(jù)矢量的斯托克斯公式據(jù)矢量的斯托克斯公式0E說明靜電場是無旋場（說明靜電場是無旋場（保守場）保守場）結(jié)論結(jié)論: : 靜電場是有源無旋場靜電場是有源無旋場. .012000BAABrrLLLrrqE dlqE dlqE dl0ldELSLSdEldE)(BABArrLrrLldEqldEq2100例有一帶電球殼例有一帶電球殼, ,內(nèi)內(nèi), ,外半徑分別為外半徑分別為 a,b,a,b,電荷體密度電荷體密度 =A/r