高等代數(shù)選講第五講 線性變換

1、1第五講第五講 線性變換線性變換2設設V為數(shù)域為數(shù)域P上的線性空間，若變換上的線性空間，若變換:VV 滿足滿足：,VkP kk 則稱為線性空間則稱為線性空間V上的上的線性變換線性變換. 3幾個特殊線性變換幾個特殊線性變換 由數(shù)k決定的數(shù)乘變換： :,K VVkV單位變換(恒等變換)：:,E VVV 零變換：0:,0,VVV 41、 為為V的線性變換，則的線性變換，則 (0)0,()( ). 2、線性變換保持線性組合及關系式不變，即線性變換保持線性組合及關系式不變，即 若若 1122,rrkkk 則則 1122()()()().rrkkk 3、線性變換把線性相關的向量組變成線性相關的線性變換把線

2、性相關的向量組變成線性相關的向量組向量組. 5線性相關的向量組. 如零變換. 事實上，線性變換可能把線性無關的向量組變成3的逆不成立，即 12,r 線性相關，未必線性相關.12,r 6設為線性空間設為線性空間V的兩個線性變換，定義它們的兩個線性變換，定義它們, 的的乘積乘積 為：為： ,V 則則 也是也是V的線性變換的線性變換.（1）滿足結合律：滿足結合律： （2），E為單位變換為單位變換 EE （3）交換律一般不成立，即一般地，交換律一般不成立，即一般地，7例例1 1 線性空間中，線性變換線性空間中，線性變換 R x D fxfx 0,xDJfxDf t dtfx 00 xJDfxJfxft

3、 dtfxf .DJJD 0 xJfxf t dt 即即.DJE 8(),XAX 例例2 2 設設A、B為兩個取定的矩陣，定義變換為兩個取定的矩陣，定義變換n nP 則皆為的線性變換，且對有則皆為的線性變換，且對有, n nP ,n nXP ()()( ()()(),XXXBA XBAXB ()()( ()()().XXAXAX BAXB (),XXB n nXP . 9則則 也是也是V的線性變換的線性變換. 設為線性空間設為線性空間V的兩個線性變換，定義它們的兩個線性變換，定義它們, ,V 的的和和 為：為： 10（3） 0為零變換為零變換.00,（4）乘法對加法滿足左、右分配律：乘法對加法

4、滿足左、右分配律： （1）滿足交換律：）滿足交換律： （2）滿足結合律：）滿足結合律： 11E 則稱則稱為可逆變換，稱為的逆變換，記作為可逆變換，稱為的逆變換，記作 1. 設為線性空間設為線性空間V的線性變換，若有的線性變換，若有V的變換使的變換使 性質性質 可逆變換可逆變換 的逆變換也是的逆變換也是V的線性變換的線性變換. 1 12設為數(shù)域設為數(shù)域P上線性空間上線性空間V的一組基，的一組基， 12,n 為為V的線性變換的線性變換. 基向量的象可以被基線性表出基向量的象可以被基線性表出,設設11 121 2112 122 221122()()()nnnnnnnnn n 1 12 213用矩陣表

5、示即為用矩陣表示即為 121212,nnnA 其中其中 111212122212,nnnnnnA 矩陣矩陣A稱為稱為線性變換在基下的矩陣線性變換在基下的矩陣. 12,n 142. 2. 單位變換在任意一組基下的矩陣皆為單位矩陣；單位變換在任意一組基下的矩陣皆為單位矩陣； 零變換在任意一組基下的矩陣皆為零矩陣；零變換在任意一組基下的矩陣皆為零矩陣； 1. 1. A的第的第i列是列是 在基下的坐標，在基下的坐標，12,n ()i 它是唯一的它是唯一的. 故在取定一組基下的矩陣是唯一的故在取定一組基下的矩陣是唯一的. 數(shù)乘變換在任意一組基下的矩陣皆為數(shù)量矩陣；數(shù)乘變換在任意一組基下的矩陣皆為數(shù)量矩陣

6、； 15例例1 設線性空間設線性空間 的線性變換為的線性變換為 3P1231212(,)(,)x xxx xxx 求在標準基下的矩陣求在標準基下的矩陣. 123, 解：解： 3()(0,0,1)(0,0,0) 1()(1,0,0)(1,0,1) 2()(0,1,0)(0,1,1) 1231231 0 0(,)(,) 0 1 01 1 0 16 設設 為數(shù)域為數(shù)域P上線性空間上線性空間V的一組的一組12,n 的唯一一個矩陣對應，且具有以下性質：的唯一一個矩陣對應，且具有以下性質：基，在這組基下，基，在這組基下，V的每一個線性變換都與的每一個線性變換都與 中中n nP (1) 線性變換的和對應于矩陣的和；線性變換的和對應于矩陣的和； (2) 線性變換的乘積對應于矩陣的乘積；線性變換的乘積對應于矩陣的乘積；(3