利用CAI演繹微分中值定理間的聯(lián)系

1、利用cai演繹微分中值定理間的聯(lián)系 利用cai演繹微分中值定理間的聯(lián)系微分中值定理通常包含羅爾定理、拉格朗日定理和柯西定理，是微積分學(xué)中重要的基本定理。這些微分中值定理揭示了函數(shù)的差商及其導(dǎo)數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系,是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的理論基礎(chǔ)。利用微分中值定理，可以研究函數(shù)及曲線的某些性態(tài)，并可以由此解決一些實(shí)際問(wèn)題1。在微分中值定理的教學(xué)中，需要通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生觀察定理的幾何表示，了解微分中值定理之間的聯(lián)系，理解定理的條件及結(jié)論，啟發(fā)學(xué)生構(gòu)造輔助函數(shù)證明拉格朗日定理和柯西定理，并能合理地應(yīng)用定理解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。1教學(xué)內(nèi)容的安排1.1微分中值定理之間的聯(lián)系通常在說(shuō)明微分中值定理之間的聯(lián)系時(shí)，會(huì)指出羅爾定理是

2、拉格朗日定理的特殊情形，拉格朗日定理是柯西定理的特殊情形，并說(shuō)明這三個(gè)定理實(shí)際上描述的是在不同坐標(biāo)系中的同一幾何現(xiàn)象。但在用幾何圖示說(shuō)明羅爾定理與拉格朗日定理的聯(lián)系時(shí)，如果只是通過(guò)圖1、圖2這樣的圖形來(lái)解釋它們的聯(lián)系，就容易發(fā)現(xiàn)在圖中的坐標(biāo)系沒(méi)變化，而是曲線發(fā)生了變化。這樣表示的圖形并不能很好地貼近教學(xué)內(nèi)容，不能很好地引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察幾何現(xiàn)象來(lái)得到想要說(shuō)明的結(jié)論。如果換一種方式，借助卡瓦列里定理2，將曲線不變，在平面上分別建立不同的直角坐標(biāo)系，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察三個(gè)微分中值定理的幾何圖示（見(jiàn)圖2、圖3、圖4），就能得出這三個(gè)定理可以看作是平面中的同一個(gè)幾何現(xiàn)象，在建立的不同平面直角坐標(biāo)系中，用不

3、同的條件和結(jié)論描述的定理。http:/www.lwlm.com圖1羅爾定理圖2拉格朗日定理圖3羅爾定理（2）圖4柯西定理1.2微分中值定理的證明同濟(jì)六版的高等數(shù)學(xué)在微分中值定理這一部分的內(nèi)容中，依次介紹費(fèi)馬引理、羅爾定理、拉格朗日定理和柯西定理。在證明費(fèi)馬引理之后，利用費(fèi)馬引理證明羅爾定理，利用羅爾定理來(lái)證明拉格朗日定理和柯西定理。微分中值定理的證明有很多方法3。在基于學(xué)生能掌握的基礎(chǔ)知識(shí)、結(jié)合教材內(nèi)容展開(kāi)的教學(xué)過(guò)程中，很多中值定理的證明方法及思路并不適合在教學(xué)中應(yīng)用，但可以在課后作為學(xué)生理解教學(xué)內(nèi)容的參考和借鑒。一般還是采用教材提供的內(nèi)容構(gòu)架和證明方法引導(dǎo)學(xué)生去觀察和思考。可以利用cai手段

4、，突出地表現(xiàn)函數(shù)動(dòng)態(tài)變化的過(guò)程，將函數(shù)的性態(tài)、定理之間的聯(lián)系及定理的證明思路演繹得更清楚。2教學(xué)過(guò)程的分析與課件的制作結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況及教材的安排，可以采用這樣的教學(xué)過(guò)程：首先演繹卡瓦列里定理，引導(dǎo)學(xué)生觀察幾何現(xiàn)象的特點(diǎn)；然后分別建立不同的平面直角坐標(biāo)系，描述觀察到的幾何現(xiàn)象來(lái)得到羅爾定理、拉格朗日定理和柯西定理；接著在分析羅爾定理的證明思路時(shí)引入費(fèi)馬引理；在證明羅爾定理后，通過(guò)幾何動(dòng)態(tài)過(guò)程啟發(fā)學(xué)生構(gòu)造輔助函數(shù)來(lái)證明拉格朗日定理和柯西定理。在教學(xué)過(guò)程中，需要重點(diǎn)演示的內(nèi)容就是三個(gè)微分中值定理間的聯(lián)系、羅爾定理的證明思路及如何構(gòu)造輔助函數(shù)來(lái)證明拉格朗日定理。通過(guò)合理地使用多媒體課件引導(dǎo)學(xué)生分析

5、與思考，能達(dá)到較好的教學(xué)效果。制作多媒體課件的軟件和方法有很多4，可以采用常用的powerpoint組件來(lái)制作相應(yīng)的教學(xué)課件。2.1演繹卡瓦列里定理卡瓦列里定理是幾何形式的微分中值定理：曲線段上必有一點(diǎn)的切線平行于曲線的弦2。制作課件的目的就是通過(guò)演示動(dòng)態(tài)的幾何變化過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生觀察到平行于弦的切線的存在性。在制作課件時(shí)，可以利用直線的平移法來(lái)演示。在一張空白的ppt頁(yè)面上，繪制一段光滑的曲線弧，用直線段連接兩個(gè)端點(diǎn)得到曲線弧的弦。作兩條平行于弦的直線段，將兩條直線段重合于弦上。選定其中的一條直線段，選擇“自定義動(dòng)畫(huà)添加效果動(dòng)作路徑繪制自定義路徑直線”，指定路徑將直線段由弦開(kāi)始平行移動(dòng)至與曲線

6、相切。采用同樣的方法演示第二條切線的存在（見(jiàn)圖5）。圖5卡瓦列里定理2.2演繹羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理的聯(lián)系在得到的ppt頁(yè)面中，先后制作相應(yīng)的平面直角坐標(biāo)系（見(jiàn)圖3、圖2、圖4），引導(dǎo)學(xué)生觀察，體會(huì)到幾何曲線不變，變化的只是相應(yīng)的坐標(biāo)系，分別寫(xiě)出相應(yīng)的條件及結(jié)論得到羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理，并指出這三個(gè)定理是對(duì)在不同直角坐標(biāo)系中的同一幾何現(xiàn)象的描述。2.3演繹羅爾定理的證明在啟發(fā)學(xué)生去如何證明羅爾定理過(guò)程中，如圖3放置的坐標(biāo)系畢竟不是常用狀態(tài)。為了更好地引導(dǎo)學(xué)生觀察幾何圖形的特點(diǎn)，需要將圖3中的幾何圖形（包含坐標(biāo)軸）繞直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至坐標(biāo)橫軸水平。在常用坐標(biāo)系的狀態(tài)

7、下引導(dǎo)學(xué)生觀察幾何圖形中切線對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)的特點(diǎn)：曲線的峰點(diǎn)或谷點(diǎn)。在引入費(fèi)馬引理后，利用導(dǎo)數(shù)的定義及導(dǎo)數(shù)存在的充分必要條件證明費(fèi)馬引 理。在課件中，需要演示幾何圖形繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)。powerpoint組件中自帶的旋轉(zhuǎn)功能，是將整個(gè)圖形繞圖形的幾何中心旋轉(zhuǎn)。為了應(yīng)用這個(gè)功能，需要改造圖形結(jié)構(gòu)，把坐標(biāo)原點(diǎn)變?yōu)閳D形的幾何中心，再將不需要的曲線的“填充/透明度”選為100%（目的是使這些曲線在ppt中不顯示出來(lái)，只為需要的幾何圖形提供幾何中心）。只需要將兩條坐標(biāo)軸拷貝粘貼后，與原有的坐標(biāo)軸做成關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的圖形。這樣，就可以使得坐標(biāo)原點(diǎn)變?yōu)檎麄€(gè)圖形的幾何中心，將所有的幾何曲線選定后進(jìn)行“組合”。再將

8、做成的與坐標(biāo)軸對(duì)稱的直線的“填充/透明度”選為100%，在“自定義動(dòng)畫(huà)添加效果強(qiáng)調(diào)陀螺旋”中選擇合理的旋轉(zhuǎn)方向及角度，就可以演示將整個(gè)圖形（包含坐標(biāo)軸）繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到合適的位置，使得坐標(biāo)橫軸水平5，就能在通常狀態(tài)的直角坐標(biāo)系下演示羅爾定理的證明（見(jiàn)圖6）。圖6羅爾定理（旋轉(zhuǎn)）2.4演繹證明拉格朗日定理所需的輔助函數(shù)的構(gòu)造拉格朗日定理的證明思http:/www.lwlm.com路，一般是通過(guò)構(gòu)造輔助函數(shù)，利用羅爾定理來(lái)證明。證明的關(guān)鍵之處是引導(dǎo)學(xué)生尋找在區(qū)間a,b的兩個(gè)端點(diǎn)a,b之處具有相同性態(tài)的函數(shù)。這樣的輔助函數(shù)有很多，通常采用的輔助函數(shù)是y=f(x)-l(x),xa,b6。通過(guò)動(dòng)點(diǎn)分別沿

9、著曲線f(x)和弦ab移動(dòng)來(lái)發(fā)現(xiàn)區(qū)間a,b的兩個(gè)端點(diǎn)a,b處有著共同的特點(diǎn):所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)a，b既在曲線f(x)上，又在曲線的弦ab上（見(jiàn)圖2）。引導(dǎo)學(xué)生觀察到曲線f(x)與弦ab所對(duì)應(yīng)的函數(shù)l(x)在兩個(gè)端點(diǎn)a,b處分別滿足函數(shù)值相等，即：f(a)=l(a),f(b)=l(b)?？梢砸龑?dǎo)學(xué)生猜想：f(a)-l(a)=0,f(b)-l(b)=0。從而構(gòu)造出所需要的輔助函數(shù):y=f(x)-l(x),xa,b，使得能利用構(gòu)造的輔助函數(shù)滿足羅爾定理的條件來(lái)證明拉格朗日定理。在制作ppt課件時(shí)，利用“自定義動(dòng)畫(huà)添加效果動(dòng)作路徑繪制自定義路徑曲線（或直線）”來(lái)繪制與曲線（或直線）重合的軌跡，設(shè)置相應(yīng)的動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)的方式，就可以演示動(dòng)點(diǎn)沿曲線（或直線）移動(dòng)的動(dòng)態(tài)效果。3結(jié)束語(yǔ)通過(guò)利用cai演繹幾何現(xiàn)象來(lái)得到數(shù)學(xué)結(jié)論，能給學(xué)生帶來(lái)直觀的感受，啟發(fā)學(xué)生的抽象思維，能很好地應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”的方法。利用powerpoint 2003組件制作了這樣簡(jiǎn)單的ppt課件，就為枯燥的高數(shù)