函數(shù)的單調(diào)性

1、函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)設(shè)計太原市小店區(qū)一中 戎艷【教材分析】函數(shù)單調(diào)性是高中數(shù)學(xué)新教材必修一第二章第三節(jié)的內(nèi)容。在此之前，學(xué)生已學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念、定義域、值域及表示法，這為過渡到本節(jié)的學(xué)習(xí)起著鋪墊作用。本節(jié)內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)中相當(dāng)重要的一個基礎(chǔ)知識點(diǎn)，是研究和討論初等函數(shù)有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)。掌握本節(jié)內(nèi)容不僅為今后的函數(shù)學(xué)習(xí)打下理論基礎(chǔ)，還有利于培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力，及分析問題和解決問題的能力?！窘虒W(xué)目標(biāo)】知識與技能：1通過生活中的例子幫助學(xué)生理解函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)函數(shù)的意義。2學(xué)會判斷和證明簡單函數(shù)的單調(diào)性。過程與方法：1通過探究與活動，使學(xué)生明白考慮問題要細(xì)致，說理要明確。2培養(yǎng)從概念出發(fā)，進(jìn)一步研究其

2、性質(zhì)的意識及能力。情感與態(tài)度：1通過本節(jié)課的教學(xué)，使學(xué)生能理性的描述生活中的增長、遞減的現(xiàn)象。2體會感悟數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想。3通過生活實(shí)例感受函數(shù)單調(diào)性的意義，培養(yǎng)學(xué)生的識圖能力和數(shù)形語言轉(zhuǎn)化的能力?！局攸c(diǎn)難點(diǎn)】重點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的概念，判斷和證明簡單函數(shù)的單調(diào)性。難點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性概念（數(shù)學(xué)符號語言）的認(rèn)知，應(yīng)用定義證明單調(diào)性的代數(shù)推理論證。關(guān)鍵：增函數(shù)與減函數(shù)的概念的理解。授課類型：新授課課時安排：1課時教 具：多媒體、實(shí)物投影儀【教法分析】為了實(shí)現(xiàn)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，在教法上我采取了：1通過學(xué)生熟悉的實(shí)際生活問題引入課題，為概念學(xué)習(xí)創(chuàng)設(shè)情境，拉近數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的距離，激發(fā)學(xué)生求知欲，調(diào)動學(xué)生主

3、體參與的積極性。2在形成概念的過程中，緊扣概念中的關(guān)鍵語句，通過學(xué)生的主體參與，正確地形成概念。3在鼓勵學(xué)生主體參與的同時，不可忽視教師的主導(dǎo)作用，要教會學(xué)生清晰的思維、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评?，并順利地完成書面表達(dá)?！緦W(xué)法分析】在教學(xué)過程中，教師設(shè)置問題情景讓學(xué)生想辦法解決；通過教師的啟發(fā)點(diǎn)撥，學(xué)生的不斷探索，最終把解決問題的核心歸結(jié)到判斷函數(shù)的單調(diào)性。然后通過對函數(shù)單調(diào)性的概念的學(xué)習(xí)理解，最終把問題解決。整個過程學(xué)生主動參與、積極思考、探索嘗試的動態(tài)活動之中；同時讓學(xué)生體驗(yàn)到了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂，培養(yǎng)了學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力和以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度研究問題的習(xí)慣。【教學(xué)過程設(shè)計】一、復(fù)習(xí)引入：我們在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些

4、基本函數(shù)圖象的畫法.為了研究函數(shù)的性質(zhì)，我們按照列表、描點(diǎn)、連線等步驟先分別畫函數(shù)的圖象. 1問題1：觀察學(xué)生繪制的函數(shù)的圖象（實(shí)際教學(xué)中可根據(jù)學(xué)生回答的情況而定），指出圖象的變化的趨勢。觀察得到：隨著x值的增大，函數(shù)圖象有的呈上升趨勢，有的呈下降趨勢，有的在一個區(qū)間內(nèi)呈上升趨勢，在另一區(qū)間內(nèi)呈下降趨勢。2問題2：對“圖象呈逐漸上升趨勢”這句話初中是怎樣描述的？例如：初中研究時，我們知道，當(dāng)x0時，函數(shù)值y隨x的增大而增大?；貞洺踔袑瘮?shù)單調(diào)性的解釋：圖象呈逐漸上升趨勢數(shù)值y隨x的增大而增大；圖象呈逐漸下降趨勢數(shù)值y隨x的增大而減小。函數(shù)這種性質(zhì)稱為函數(shù)的單調(diào)性。設(shè)計意圖：學(xué)生在函數(shù)單調(diào)性這一

5、概念的學(xué)習(xí)上有三個認(rèn)知基礎(chǔ)：一是生活體驗(yàn)，二是函數(shù)圖象，三是初中對函數(shù)單調(diào)性的認(rèn)識。對照繪制的函數(shù)圖象，讓學(xué)生回憶初中對函數(shù)單調(diào)性的描述的定義，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行概念的符號化建構(gòu)，與學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)銜接緊密，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。二、講解新課： （一）增函數(shù)與減函數(shù)問題3：如何用符號化的數(shù)學(xué)語言來準(zhǔn)確地表述函數(shù)的單調(diào)性呢？問題4：由函數(shù)增函數(shù)的定義，你能給出減函數(shù)的定義嗎？設(shè)計意圖：通過師生雙邊活動及學(xué)生討論，可以讓學(xué)生充分參與用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)符號語言定義函數(shù)單調(diào)性的全過程，讓他們親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念如何從直觀到抽象，從文字到符號，從粗疏到嚴(yán)密。讓他們充分感悟數(shù)學(xué)概念符號化的建構(gòu)原則。問題4則要求學(xué)生結(jié)合圖

6、象給出單調(diào)增函數(shù)的定義，通過類比的方法，由學(xué)生自己得到單調(diào)減函數(shù)的概念，在這個過程中，學(xué)生可以體會數(shù)學(xué)概念是如何擴(kuò)充完善的。（二）理解概念1顧名思義，對“單調(diào)”兩字加深理解漢語大詞典對“單調(diào)”的解釋是：簡單、重復(fù)而沒有變化。2呼應(yīng)引入，解決問題情境中的問題如：的單調(diào)增區(qū)間是；在上是減函數(shù)。3單調(diào)性是函數(shù)的“局部”性質(zhì)如：函數(shù)在和上都是減函數(shù)，能否說在定義域上是減函數(shù)？ 引導(dǎo)學(xué)生討論，從圖象上觀察或用特殊值代入驗(yàn)證否定結(jié)論（如?。?。4.定義的內(nèi)涵與外延：內(nèi)涵是用自變量的大小變化來刻劃函數(shù)值的變化情況；外延一般規(guī)律：自變量的變化與函數(shù)值的變化一致時是單調(diào)遞增，自變量的變化與函數(shù)值的變化相對時是單調(diào)

7、遞減. 幾何特征：在自變量取值區(qū)間上，若單調(diào)函數(shù)的圖象上升，則為增函數(shù)，圖象下降則為減函數(shù).三、講解例題：例1 如圖6是定義在閉區(qū)間-5，5上的函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象說出的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù). 解：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間有-5，-2)，-2，1)，1，3)，3，5，其中在區(qū)間-5，-2)，1，3)上是減函數(shù)，在區(qū)間-2，1)，3，5上是增函數(shù).說明：函數(shù)的單調(diào)性是對某個區(qū)間而言的，對于單獨(dú)的一點(diǎn)，由于它的函數(shù)值是唯一確定的常數(shù)，因而沒有增減變化，所以不存在單調(diào)性問題；另外，中學(xué)階段研究的主要是連續(xù)函數(shù)或分段連續(xù)函數(shù)，對于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)來說，只要在開區(qū)間上單調(diào)，它在

8、閉區(qū)間上也就單調(diào)，因此，在考慮它的單調(diào)區(qū)間時，包括不包括端點(diǎn)都可以；還要注意，對于在某些點(diǎn)上不連續(xù)的函數(shù)，單調(diào)區(qū)間不包括不連續(xù)點(diǎn).例2 證明函數(shù)在R上是增函數(shù).證明：設(shè)是R上的任意兩個實(shí)數(shù)，且，則=(3+2)-(3+2)=3(), 由得0 ,于是0,即 .在R上是增函數(shù).例3 證明函數(shù)在(0,+)上是減函數(shù).證明：設(shè),是(0,+)上的任意兩個實(shí)數(shù)，且0,又由0 ,于是0,即 在(0,+ )上是減函數(shù).小結(jié)：證明函數(shù)單調(diào)性的步驟 （1） 取值 （2） 作差變形 （3） 定號 （4） 判斷設(shè)計意圖：課本例題給出用定義證明函數(shù)單調(diào)性的格式。四、練習(xí)：1課本P56復(fù)習(xí)題8答案：的單調(diào)區(qū)間有-,-， -

9、,，, ；在區(qū)間-,-，上是減函數(shù)，在區(qū)間-，上是增函數(shù).說明：要了解函數(shù)在某一區(qū)間是否具有單調(diào)性，從圖象上進(jìn)行觀察是一種常用而又較為粗略的方法，嚴(yán)格地說，它需要根據(jù)增（減）函數(shù)的定義進(jìn)行證明，下面舉例說明.2判斷函數(shù)在R上是增函數(shù)還是減函數(shù)？并證明你的結(jié)論.解：設(shè),R，且，=(-3+2)-(-3+2)=3(-), 又0,即 .在R上是減函數(shù).3判斷函數(shù)=在(-,0)上是增函數(shù)還是減函數(shù)并證明你的結(jié)論.解：設(shè),(-，0)，且0,又由0 ,于是0,即 .= 在(0,+ )上是減函數(shù).思考：能否說函數(shù)= 在(-，+)上是減函數(shù)？答：不能. 因?yàn)?0不屬于= 的定義域.說明：通過觀察圖象，對函數(shù)是否

10、具有某種性質(zhì)，作出猜想，然后通過推理的辦法，證明這種猜想的正確性，是發(fā)現(xiàn)和解決問題的一種常用數(shù)學(xué)方法.思考：一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)在其定義域內(nèi)函數(shù)何時增加，何時減少？（讓學(xué)生課后總結(jié)整理）五、小結(jié) 討論函數(shù)的單調(diào)性必須在定義域內(nèi)進(jìn)行,即函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是其定義域的子集,因此討論函數(shù)的單調(diào)性,必須先確定函數(shù)的定義域;根據(jù)定義證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟是：設(shè),是給定區(qū)間內(nèi)的任意兩個值，且；作差，并將此差式變形（要注意變形的程度）；判斷的正負(fù)（要注意說理的充分性）；根據(jù)的符號確定其增減性.六、課后作業(yè)：課本第39習(xí)題A組： 1,2，3，5 B組 1【教學(xué)反思】1給出生活實(shí)例和函數(shù)單調(diào)性的圖形語言

11、，調(diào)動學(xué)生的參與意識，通過直觀圖形得出結(jié)論，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。問題是數(shù)學(xué)的心臟，問題是學(xué)生思維的開始，問題是學(xué)生興趣的開始。這里，通過問題，引發(fā)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的好奇心。2給出函數(shù)單調(diào)性的數(shù)學(xué)語言。通過教師指圖說明，分析定義，提問等辦法，使學(xué)生把定義與直觀圖象結(jié)合起來，加深對概念的理解，滲透數(shù)形結(jié)合分析問題的數(shù)學(xué)思想方法。3教師教學(xué)時要注意解題的規(guī)范板演，便于學(xué)生掌握其程序化操作，在這個過程中培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。但有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，不能單純的模仿與記憶，數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟和學(xué)習(xí)過程更是如此利用學(xué)生自己提出的問題，讓學(xué)生在解題過程中親身經(jīng)歷和實(shí)踐體驗(yàn)，師生互動學(xué)習(xí)，生生合作交流，共同探究。4通過安排基本練習(xí)題，使學(xué)生在完成必修教材基本學(xué)習(xí)任務(wù)的同時，拓展自主發(fā)展的空間，讓每一個學(xué)生都得到符合自身實(shí)踐的感悟，使不同層次的學(xué)生都可以獲得成