圓心角、弧、弦、弦心距之間關系

1、24.1.224.1.2圓的對稱性圓的對稱性圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系同圓重合的兩個圓重合的兩個圓OOO等圓半徑相等的兩個圓半徑相等的兩個圓同圓或等圓的半徑相等同圓或等圓的半徑相等圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系弧弧弦弦ABCD等弧等弧在同圓或等中，能夠互相重合的兩條弧叫做等弧在同圓或等中，能夠互相重合的兩條弧叫做等弧如圖：以圓心如圖：以圓心O O為頂點作一個為頂點作一個角，這個角的兩邊與圓角，這個角的兩邊與圓O O相交，相交，如果設這個角是如果設這個角是，那，那么么OAOA、OBOB分別與分別與O O相交于點相交于點與點與點 頂點在圓心的角稱為頂點在圓心的角稱為圓心角圓心角，把以點和點

2、，把以點和點B的端點的弧的端點的弧AB稱為圓心角稱為圓心角所對的所對的弧弧，把象這樣的以圓心到弦的距，把象這樣的以圓心到弦的距離稱為弦的弦的離稱為弦的弦的弦心距弦心距(OBAM練習：判別下列各圖中的角是不是圓心角， 并說明理由。OOOO圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系在等圓中ABOABO 這兩個這兩個相等的圓心角相等的圓心角所對的所對的弦弦分別是哪兩條？分別是哪兩條？它們它們相等相等嗎？嗎？ 這兩個這兩個相等的圓心角相等的圓心角所對的所對的弧弧分別是哪兩條？分別是哪兩條？它們它們相等相等嗎？嗎？用尺量一量！用尺量一量！兩位同學先作一個度數相同的圓心角！兩位同學先作一個度數相同的圓心角！用什么方

3、法驗證的用什么方法驗證的?疊合法疊合法根據旋轉的性質，將圓心角根據旋轉的性質，將圓心角AOB繞圓心繞圓心O旋轉到旋轉到AOB的位的位置時，置時， AOBAOB，射線，射線 OA與與OA重合，重合，OB與與OB重重合而同圓的半徑相等，合而同圓的半徑相等，OA=OA，OB=OB，點點 A與與 A重重合，合，B與與B重合重合OAB探究探究OABABAB二、二、.ABA B 重合，重合，AB與與AB重合重合 如圖，將圓心角如圖，將圓心角AOB繞圓心繞圓心O旋轉到旋轉到AOB的位置，你的位置，你能發(fā)現哪些等量關系？為什么？能發(fā)現哪些等量關系？為什么？與與圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系ABOABO相等的

4、圓心角相等的圓心角所對的弧相等所對的弧相等，所對的弦相等所對的弦相等，所對的弦心距相等所對的弦心距相等前提條件前提條件OAABBDD三、鞏固應用、變式練習三、鞏固應用、變式練習1 、 判斷題，下列說法正確嗎？為什么？判斷題，下列說法正確嗎？為什么？AOBBA（2）在）在 O和和 O中，如果中，如果 AB=AB,那么那么AB=AB.（不對）（不對）（不對）（不對）（1）如圖：因為）如圖：因為AOB=AOB， 所以所以AB=AB.圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系(1)定理：定理：在同圓中在同圓中，相等的圓心角所對的弦，相等的圓心角所對的弦 相等，所對的弧相等，所對的

5、弦心距相等。相等，所對的弧相等，所對的弦心距相等。 思考定理的條件和結論分別是什么？并回答：思考定理的條件和結論分別是什么？并回答：條件：條件：結論：結論：在等圓或同圓中在等圓或同圓中圓心角相等圓心角相等圓心角所對弧相等圓心角所對弧相等圓心角所對弦相等圓心角所對弦相等圓心角所對的弦心距相等圓心角所對的弦心距相等演示猜想：猜想：把圓心角相等與三個結論的任何一個把圓心角相等與三個結論的任何一個 交換位置，有怎樣的結果？交換位置，有怎樣的結果？圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系ABCDO在自己的圓內作兩條長度相同的弦，量在自己的圓內作兩條長度相同的弦，量一量它們所對的圓心角一量它們所對的圓心角圓心角、

6、弧、弦、弦心距之間的關系ABOABO 兩位同學作一條長度相同的弦，看一兩位同學作一條長度相同的弦，看一看它們所對的圓心角是否相同看它們所對的圓心角是否相同(2) 推論：推論：在同圓或等圓中在同圓或等圓中,如果兩個圓心角、兩條弧、如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等。那么它們所對應的其余各組量都分別相等。OAABBDD在同圓或等圓中在同圓或等圓中，相等的，相等的弧所對的圓心角弧所對的圓心角_， 所對的弦所對的弦_；在同圓或等圓中在同圓或等圓中，相等的弦所對的圓心角，相等的弦所對的圓心角_，所對的弧

7、，所對的弧_弧、弦與圓心角的關系定理弧、弦與圓心角的關系定理在同圓或等圓中，在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等，所對的弦心距相等。所對的弦也相等，所對的弦心距相等。相等相等相等相等相等相等相等相等同圓或等圓中，同圓或等圓中，兩個圓心角、兩兩個圓心角、兩條弧、兩條弦條弧、兩條弦、兩條弦的弦心距中兩條弦的弦心距中有一組量相等，有一組量相等，它們所對應的其它們所對應的其余各組量也相余各組量也相等等三、定理三、定理推推論論 在在同圓同圓或或等圓等圓中中, ,如果如果兩個圓心角兩個圓心角, , 兩條弧兩條弧, ,兩條弦兩條弦, ,兩條弦心距兩條弦心距中中,

8、 , 有一組量相等有一組量相等, ,那么它們所對應的那么它們所對應的 其余各組量都分別相等其余各組量都分別相等. .OABDABD如由條件如由條件:AB=AB AB=AB OD=OD可推出可推出AOB=AOB一一.判斷下列說法是否正確：判斷下列說法是否正確：1相等的圓心角所對的弧相等。（相等的圓心角所對的弧相等。（ ）2相等的弧所對的弦相等。（相等的弧所對的弦相等。（ ）二二. .如圖，如圖，O O中，中，AB=CD,AB=CD, ，則，則501._2 O OD DC CA AB B12試一試你的能力試一試你的能力50o 如圖，如圖，AB、CD是是 O的兩條弦的兩條弦（1）如果）如果AB=CD

9、，那么，那么_，_（2）如果）如果 ，那么，那么_，_（3）如果）如果AOB=COD，那么，那么_，_（4）如果）如果AB=CD，OEAB于于E，OFCD于于F，OE與與OF相等嗎？相等嗎？為什么？為什么？CABDEFOAOBCOD AB=CDAOBCOD AB=CD四、練習四、練習CD=ABCD=ABCD=AB OEOF證明：證明： OEAB OF CD ABCD AECF OAOC RtAOE Rt COF OEOF 頂點在圓心的圓心角等分成頂點在圓心的圓心角等分成360360份時，每份時，每一份的圓心角是一份的圓心角是1 1的角，整個圓周被等分成的角，整個圓周被等分成360360份，我們

10、把每一份這樣的弧叫做份，我們把每一份這樣的弧叫做1 1的弧的弧。 （同圓中，相等的圓心角所對的弧相等）（同圓中，相等的圓心角所對的弧相等）結論：結論：圓心角的度數和圓心角的度數和它所對的弧的度數相等。它所對的弧的度數相等。1 1弧的概念：弧的概念：證明：證明： AB=AC又又ACB=60， AB=BC=CA. AOBBOCAOC.ABCO五、例題五、例題AC=AB例例1 如圖，在如圖，在 O中，中， ,ACB=60,求證求證AOB=BOC=AOCAC=ABPABCDOMN 例例1：如圖，點如圖，點O是是EPF平分線上的一點，平分線上的一點，以以O為圓心的圓和角的兩邊分別交于點為圓心的圓和角的兩

11、邊分別交于點A、B和和C、D 求證：求證：AB=CD證明：作證明：作OMAB，ONCD，M、N為垂足，為垂足，MPO=NPOOMABONCD OMON ABCD ABCDOMN變式變式1 1：OABCDEFPMN變式變式2：已知：如圖，已知：如圖， O的弦的弦AB，CD相交相交于點于點P，APO=CPO 求證：求證：AB=CDABCDMNO如圖如圖M、N為為AB、CD的中點的中點,且且AB=CD.求證：求證：AMNCNM變式變式3 3：例例2 2、在、在O O中，弦中，弦ABAB所對的所對的劣弧為圓的劣弧為圓的1/31/3，圓的半徑為，圓的半徑為2 2厘米，求厘米，求ABAB的長的長ABOC例

12、例3 3、已知、已知 ABAB和和CDCD為為O O的兩的兩條直徑條直徑, ,弦弦CEAB, ECCEAB, EC弧的度弧的度數等于數等于4040. . 求求BODBOD的度數。的度數。E EA AD DO OB BC C 2 2、已知：如圖，、已知：如圖，O O中，中， ABAB、CDCD交于交于E E，AD=BCAD=BC。求證：求證：AB=CDAB=CD。EODCAB四、課堂練習四、課堂練習1 1、在、在O O中，直徑為中，直徑為1010厘米，厘米，ABAB弧是圓的弧是圓的1/41/4，求弦，求弦ABAB的長。的長。3 3、如圖，、如圖，O O中弦中弦ABAB，CDCD相交于相交于P P

13、，且，且AB=CD.AB=CD.求證：求證：PB=PDPB=PDPABCDO思考題：思考題：已知已知AB和和CD是是 O的兩條弦，的兩條弦，OM和和ON分別是分別是AB和和CD的弦心距，如果的弦心距，如果ABCD，那么那么OM和和ON有什么關系？為什么？有什么關系？為什么？圓中弧、圓心角、弦、弦心距的不等關系圓中弧、圓心角、弦、弦心距的不等關系1、在同圓或等圓中，大弦的弦心距較??；、在同圓或等圓中，大弦的弦心距較??；2、在同圓或等圓中，大弧所對的圓心角、在同圓或等圓中，大弧所對的圓心角 也較大。也較大。二、弦、弦心距之間的不等量關系二、弦、弦心距之間的不等量關系已知已知 O中，弦中，弦ABCD

14、，OMAB，ONCD，垂足分別為，垂足分別為M，N，求證：求證：OMCD，那，那么么OMON。 1 1、一條弦把圓分成、一條弦把圓分成3 3：6 6兩部分，則優(yōu)弧所對兩部分，則優(yōu)弧所對 的圓心角為的圓心角為 . . 2 2、A A、B B、C C為為O O上三點，若上三點，若 、 、 的度數之比為的度數之比為1 1：2 2：3 3， 則則AOB=AOB= ， BOC=BOC= , COA=, COA= . . 3 3、在、在O O中，中，ABAB弧的度數為弧的度數為6060，ABAB弧的長弧的長 是圓周長的是圓周長的 。 4 4、一條弦長恰好等于半徑，則此弦所對的圓、一條弦長恰好等于半徑，則此

15、弦所對的圓 心角是心角是 度。度。三、基礎練習：三、基礎練習：240601201801/660AmBBCABCD6、如圖，弦、如圖，弦AB所對的劣弧所對的劣弧為圓的為圓的 ,則則AOB= . ACB= 31C CO OA AB B5、弦長為、弦長為24cm,這條弦的弦心距為這條弦的弦心距為 cm， 這條這條 弦所對的圓心角是弦所對的圓心角是 度，圓的半徑度，圓的半徑是是 。34120cm3812060三三, 如圖，在如圖，在 O中，中，AC=BD， ,求求2的度數。的度數。你會做嗎你會做嗎?145 解解: AC=BDAC=BD（已知）（已知） AB=CDAB=CD1=2=451=2=45 （在同圓中，相等的弧所對的（在同圓中，相等的弧所對的圓心角相等）圓心角相等） 圖 23.1.5 AC-BC=BD-BCAC-BC=BD-BC （等式的性質）（等式的性質）如圖，如