10-11 wjzh 11.7 傅里葉級數(shù)

1、天津市數(shù)學(xué)競賽定于天津市數(shù)學(xué)競賽定于舉行，舉行，1、集合時間：、集合時間：29日（周日）上午日（周日）上午；2、集合地點：、集合地點：教教4；3、帶、帶、；4、如果準考證信息有誤，集合時與帶隊老師說明。、如果準考證信息有誤，集合時與帶隊老師說明。請參賽同學(xué)課下找我領(lǐng)準考證請參賽同學(xué)課下找我領(lǐng)準考證!第第11章章無窮級數(shù)無窮級數(shù)16學(xué)時學(xué)時11.1常數(shù)項級數(shù)概念性質(zhì)常數(shù)項級數(shù)概念性質(zhì)11.2常數(shù)項級數(shù)審斂法常數(shù)項級數(shù)審斂法()11.3冪級數(shù)冪級數(shù)11.4函數(shù)展為冪級數(shù)函數(shù)展為冪級數(shù)11.8一般周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)一般周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)習題課習題課5一、三角函數(shù)系的正交性一、三角函數(shù)系的正交性1

2、1.7傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)積化和差積化和差yxyxyxyxyxyxsinsinsincos2sinsincossin2yxyxyxyxyxyxcoscossinsin2coscoscoscos2xxnkxnkd)cos()cos(21定理定理1.1.,1,cosx,sin x,2cos x,2sin x,cos,nx,sinnx證證:1xnxdcos1xnxdsin0 xnxk coscos)(nk xxnxkdcoscos00dsinsinxxnxk同理可證同理可證:),2, 1(nxnkxnk)(cos)(cos21上在,正交正交,上的積分等于上的積分等于0.即其中任意兩個不同的函數(shù)之積在

3、即其中任意兩個不同的函數(shù)之積在0dsincosxxnxk)(nk 一一. . 三角函數(shù)系的正交性三角函數(shù)系的正交性三角函數(shù)系三角函數(shù)系上的積分不等于上的積分不等于0.,2d11xxxn dsin2xxn dcos2),2, 1(n,22cos1cos2xnxn22cos1sin2xnxn且有且有但是但是在三角函數(shù)系中兩個相同的函數(shù)的乘積在在三角函數(shù)系中兩個相同的函數(shù)的乘積在回顧回顧前面討論了一種特殊的函數(shù)項級數(shù)前面討論了一種特殊的函數(shù)項級數(shù)冪級數(shù)。冪級數(shù)。優(yōu)點：優(yōu)點：它有廣泛的應(yīng)用，如利用冪級數(shù)求某些級數(shù)的和；作它有廣泛的應(yīng)用，如利用冪級數(shù)求某些級數(shù)的和；作 近似計算近似計算；解微分方程解微分

4、方程（最后一章的第（最后一章的第1212節(jié)）等。節(jié)）等。缺缺點點：用冪級數(shù)表示的函數(shù)總是用冪級數(shù)表示的函數(shù)總是無窮可微的無窮可微的，條件太苛刻，條件太苛刻， 在一定程度上限制了它的應(yīng)用。在一定程度上限制了它的應(yīng)用。sin ()在許多實際問題中，經(jīng)常遇到周期現(xiàn)象在許多實際問題中，經(jīng)常遇到周期現(xiàn)象(周期函數(shù)周期函數(shù))。( )ft振振幅幅角角頻頻率率初初相相2T周周期期 兩個頻率相同的簡諧波疊加，仍是一個簡諧波；兩個頻率相同的簡諧波疊加，仍是一個簡諧波；頻率不同的簡諧波疊加的結(jié)果不再是簡諧波。頻率不同的簡諧波疊加的結(jié)果不再是簡諧波。 如如 ，其疊加結(jié)果其疊加結(jié)果 是一個較復(fù)雜的周期波。是一個較復(fù)雜的

5、周期波。ttfttf33121sin)(,sin)(tttftf33121sinsin)()(問：一個較復(fù)雜的周期波能否分解成若干個簡諧波的和？問：一個較復(fù)雜的周期波能否分解成若干個簡諧波的和？物理背景物理背景下面簡單演示：不同頻率的正弦波逐個疊加下面簡單演示：不同頻率的正弦波逐個疊加 At 最簡單的周期波就是最簡單的周期波就是簡諧波簡諧波，通常以，通常以正弦函數(shù)正弦函數(shù)表示，即表示，即4sin , t tusin4 )3sin31(sin4ttu 4 1sin3 ,3t 4 1sin5 ,5t 4 1sin7 ,7t )5sin513sin31(sin4tttu )7sin715sin513

6、sin31(sin4ttttu )9sin917sin715sin513sin31(sin4tttttu )7sin715sin513sin31(sin4)( tttttuotu11非正弦型周期函數(shù)：巨形波非正弦型周期函數(shù)：巨形波 tttu0, 10, 1)(當當當當如何深入地研究如何深入地研究非正弦型周期函數(shù)非正弦型周期函數(shù)呢？聯(lián)系到前面呢？聯(lián)系到前面介紹過的用函數(shù)的冪級數(shù)展開式表示和討論函數(shù)，我介紹過的用函數(shù)的冪級數(shù)展開式表示和討論函數(shù)，我們也想將們也想將周期函數(shù)周期函數(shù)展開成展開成簡單的周期函數(shù)簡單的周期函數(shù)如如正弦函數(shù)正弦函數(shù)組成的級數(shù)組成的級數(shù)在實際問題中，在實際問題中，把一個比較復(fù)

7、雜的周期運動看成把一個比較復(fù)雜的周期運動看成一系列不同頻率的簡諧振動的疊加一系列不同頻率的簡諧振動的疊加 10)sin(nnntnAAy 02a xtAbAaAanAAnnnnnnnn,cos,sin,2,), 2 , 1(,000是常數(shù)其中01(nnAA cosn sinn t cosnAn t sin)n sin)nbnx 1(cosnnx na本節(jié)主要討論兩個問題本節(jié)主要討論兩個問題一個周期函數(shù)一個周期函數(shù)f(t),在什么條件下可以展成三角級數(shù)在什么條件下可以展成三角級數(shù)?2)如果如果f(t)能展成三角級數(shù)能展成三角級數(shù),三角級數(shù)中各個系數(shù)如何確定三角級數(shù)中各個系數(shù)如何確定?設(shè)設(shè)f(x)

8、是周期為是周期為2 的周期函數(shù)的周期函數(shù),且且)sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn右端級數(shù)可逐項積分右端級數(shù)可逐項積分,則有則有), 1,0(dcos)(1nxnxxfan),2, 1(dsin)(1nxnxxfbn函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)定理定理2.2.設(shè)設(shè)f(x)是周期為是周期為2 的周期函數(shù)的周期函數(shù),且且)sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn右端級數(shù)可逐項積分右端級數(shù)可逐項積分,則有則有), 1,0(dcos)(1nxnxxfan),2, 1(dsin)(1nxnxxfbn證證:由定理條件由定理條件,10dsindcosd2)(nnnxxnbx

9、xnaxadxxf0a,對對在在逐項積分逐項積分,得得xxkaxxkxfdcos2dcos)(01nxxnxkandcoscosxxnxkbndsincosxxkakdcos2kaxxkxfakdcos)(1),2, 1(k(利用正交性),2, 1(dsin)(1kxxkxfbkxxfad)(10類似地,用sinkx乘式兩邊,再逐項積分可得葉系數(shù)為系數(shù)的三角級數(shù)葉系數(shù)為系數(shù)的三角級數(shù)稱為稱為的的傅傅里里葉系數(shù)葉系數(shù); 01( )cossin2nnnaf xanx bnx 1( )cosd(1 ,2,)naf xnxxn 由公式由公式確定的確定的nnba ,以以)(xf)(xf1( )sind(

10、1 , 2 ,)nbf xnxxn 的傅的傅里里的的傅傅里里葉級數(shù)葉級數(shù).稱為函數(shù)稱為函數(shù))(xf01( )daf xx 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) 10)sincos(2nnnnxbnxaa問題問題: : 10)sincos(2?)(nnnnxbnxaaxf條件條件以上我們是在以上我們是在f(x)可以展開成三角級數(shù)并可以可以展開成三角級數(shù)并可以逐項積分的前提下討論問題的，下面我們撇開這個逐項積分的前提下討論問題的，下面我們撇開這個前提前提)(2xf為為周周期期的的函函數(shù)數(shù)對對一一般般的的以以 只要公式中的積分都存在，就可以定出系數(shù)只要公式中的積分都存在，就可以定出系數(shù)), 2 , 1 , 0( n

11、an), 2 , 1( nbn并可寫出并可寫出f(x)的的傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)01(cossin)2nnnaanxbnx 至于這個級數(shù)是否收斂，如收斂是否收斂到至于這個級數(shù)是否收斂，如收斂是否收斂到f(x)的問題的問題，有以下定理，有以下定理收斂于收斂于()();2f xf x 注意注意: :函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)的條件比展開成函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)的條件比展開成冪級數(shù)的條件低的多冪級數(shù)的條件低的多. .級級數(shù)數(shù)的的和和函函數(shù)數(shù)的的為為周周期期的的函函數(shù)數(shù)是是以以設(shè)設(shè) Fxfxs)(2)( f( x)在一個周期內(nèi)的表達式為在一個周期內(nèi)的表達式為 2|20)(xxxxf 上上的的表表達達式式在在寫寫

12、出出,)( xs解解 f(x)如右圖所示如右圖所示滿足收斂定理的條件滿足收斂定理的條件 21212|20)(xxxxxxs 展開步驟展開步驟作圖作圖根據(jù)公式計算根據(jù)公式計算Fourier系數(shù)系數(shù)寫出寫出Fourier級數(shù)展開式級數(shù)展開式,并注明展開式的成立范圍并注明展開式的成立范圍驗證驗證f(x)滿足滿足Dirichlet條件條件,并確定并確定f(x)的所有間斷點的所有間斷點結(jié)合圖形進行分析、判斷結(jié)合圖形進行分析、判斷找出找出f(x)可以展成可以展成Fourier級數(shù)的區(qū)間級數(shù)的區(qū)間解解所給函數(shù)滿足收斂定理所給函數(shù)滿足收斂定理(狄利克雷充分條件狄利克雷充分條件).(0, 1, 2,)tkk 2

13、mmEE , 0 otumE mE為函數(shù)的第一類為函數(shù)的第一類間斷點，間斷點，和函數(shù)圖象為和函數(shù)圖象為otumE mE(0, 1, 2,)tkk 當當其傅里葉級數(shù)收斂到其傅里葉級數(shù)收斂到u(t)時，時，函數(shù)連續(xù)，函數(shù)連續(xù)，函數(shù)的傅里葉級數(shù)收斂到：函數(shù)的傅里葉級數(shù)收斂到： ntdttuancos)(10011()coscosmmEntdtEntdt 0 (1,2,)n ntdttubnsin)(1 00sin1sin)(1ntdtEntdtEmm)cos1(2 nnEm4,1,3,5,0,2,4,6,mEnnn 所求函數(shù)的傅氏展開式為所求函數(shù)的傅氏展開式為 1)12sin()12(4)(nmtn

14、nEtu),2, 0;( tt01( )0au t dt 77sin x99sinx傅氏級數(shù)的部分和逼近傅氏級數(shù)的部分和逼近f(x)33sinsin4)(xxxf55sin x的情況見右圖的情況見右圖.三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)求函數(shù)的求函數(shù)的Fourier級數(shù)展開式級數(shù)展開式,主要工作是計算主要工作是計算Fourier系數(shù)系數(shù),利用函數(shù)的奇偶性可簡化利用函數(shù)的奇偶性可簡化Fourier系數(shù)計算系數(shù)計算當當f(x)是是周期為周期為2奇函數(shù)奇函數(shù)時時1( )cos0naf xnxdx (0,1,2,)n 02( )sinnbf xnxdx (1,2,)n 此時其此時其Fouri

15、er級數(shù)展開式是級數(shù)展開式是只含有正弦項而沒有只含有正弦項而沒有常數(shù)項和余弦項的常數(shù)項和余弦項的正弦級數(shù)正弦級數(shù) 1sinnnnxb當當f(x)是是周期為周期為2偶函數(shù)偶函數(shù)時時1( )cosnaf xnxdx (0,1,2,)n 02( )si0nnbf xnxdx (1,2,)n 此時其此時其Fourier級數(shù)展開式是級數(shù)展開式是只含有常數(shù)項和余弦項而沒只含有常數(shù)項和余弦項而沒有正弦項的有正弦項的余弦級數(shù)余弦級數(shù)02( )af x dx 01cos2nnaanx 上的表達式為上的表達式為), ,0( ),0 xxf xxx 將將f (x)展成傅展成傅里里葉級數(shù)葉級數(shù).設(shè)設(shè)f (x)是周期為

16、是周期為2 的周期函數(shù)的周期函數(shù),它在它在oxy234234 ,0( ),0 xxf xxx 將函數(shù)將函數(shù)展成傅展成傅里里葉級數(shù)葉級數(shù).411: ( )coscos3cos5(,2925f xxxxx 解答）解答）設(shè)設(shè)f(x)不是周期函數(shù)不是周期函數(shù),f(x)只定義在只定義在 , ,且滿足收斂定理條件且滿足收斂定理條件在在 , )或或( , 之外補充之外補充f(x)的定義的定義,使使f(x)延拓為以延拓為以2 為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù)F(x),其中其中F(x)=f(x),按上述方式拓展函數(shù)按上述方式拓展函數(shù)定義域定義域的過程稱為把的過程稱為把f(x)作作再把再把F(x)展開為以展開為以

17、2 為周期的傅里葉級數(shù)為周期的傅里葉級數(shù),再限制在再限制在,內(nèi)內(nèi),此時此時F(x)f(x),再根據(jù)收斂定理再根據(jù)收斂定理,求出求出f(x)收斂到何處收斂到何處.定義在定義在 , 上的函數(shù)上的函數(shù)f (x)的傅氏級數(shù)展開法的傅氏級數(shù)展開法則則f(x)也可以展開成傅里葉級數(shù)也可以展開成傅里葉級數(shù), )(xxf周期延拓周期延拓)(xF傅傅里里葉展開葉展開( )(, )f x 在在上的傅上的傅里里葉級數(shù)葉級數(shù)定義在定義在 , 上的函數(shù)上的函數(shù)f (x)的傅氏級數(shù)展開法的傅氏級數(shù)展開法), , )(xxf(2) ,f xk 其它其它收斂定理收斂定理( ),f x 在在收斂到何處收斂到何處需要進行周期延拓

18、：令需要進行周期延拓：令411: ( )coscos3cos5,2925f xxxxx 解解答答）)()(,),(),()(xfxFxxFxF時時且且當當22k ,0( ),0 xxf xxx 將函數(shù)將函數(shù)展成傅展成傅里里葉級數(shù)葉級數(shù).oyx利用此展式可求出幾個特殊的級數(shù)的和利用此展式可求出幾個特殊的級數(shù)的和.當當x=0時時,f (0)=0,得得2222) 12(1513118n說明說明:42,421312242設(shè)設(shè),413121122222217151311,6141212222已知已知82122234131211又又21213624822212248222)(,coscoscos)(251

19、9114200525139142fxxxxxf12211215141312116151413121124214121812151311222222222222222222222)()()()(nnnnn此例的應(yīng)用此例的應(yīng)用 2224131211 ,62 22151311 2222614121 ,242 22234131211 .122 82 綜上：綜上：在在0, 上的函數(shù)展成正弦級數(shù)與余弦級數(shù)上的函數(shù)展成正弦級數(shù)與余弦級數(shù),0),(xxf)(xF周期延拓周期延拓F(x)得得G(x)(xFf(x)在在(0, )上展成上展成周期延拓周期延拓F(x)得得G(x)余弦級數(shù)余弦級數(shù)奇延拓奇延拓偶延拓偶延

20、拓xoy正弦級數(shù)正弦級數(shù)f(x)在在(0, )上展成上展成xoy, 0(),(xxf0, 0 x)0,(),(xxf,0(),(xxf)0,(),(xxf偶延拓偶延拓奇延拓奇延拓例例5 5 將函數(shù)將函數(shù)展成（展成（1 1）正弦級數(shù)；（）正弦級數(shù)；（2 2）余弦級數(shù)）余弦級數(shù))0 (1)(xxxf211(2) sinsin 2(2) sin 3sin 4234(0,)xxxxxx 解解 答答oxy2342340)(0)()(),2()() 1 (xxfxxfxFxFxF其中令進行奇延拓( ),(, F xx 得得0,0 x oxy234234,05cos2513cos91cos4121xxxxx

21、解答0022xxfxxfxFxFxF)()()(),()()(其其中中令令進進行行偶偶延延拓拓2k ( ),(, F x x 得得1xyo例例5.將函數(shù))0(1)(xxxf分別展成正弦級數(shù)與余弦級數(shù).解解:先求正弦級數(shù). 去掉端點,將f(x)作奇周期延拓,0dsin)(xnxxf2nb0dsin) 1(2xnxx02cossincos2nnxnnxnnxxnnncoscos1212 knkn2),2, 1(k,1222k,1knb12,1222knkknkk2,221 ),2, 1(k21xxsin)2(x2sin2x3sin32x4sin4)0( x注意注意: 在端點x=0,級數(shù)的和為0,與給定函數(shù)1xyo因此得f(x)=x+1的值不同.再求余弦級數(shù).x1y將)(xf則有o0a0d) 1(2xxna0dcos) 1(2xnxx0222xx202sincossin2nnxnnxnnxx1cos22nn12,) 12(42knkkn2,0),2, 1(k作偶周期延拓,121xxcosx3cos312)0( xx5cos512說明說明:令x=