10-11 wjzh 11.7 傅里葉級(jí)數(shù)

1、天津市數(shù)學(xué)競賽定于天津市數(shù)學(xué)競賽定于舉行，舉行，1、集合時(shí)間：、集合時(shí)間：29日（周日）上午日（周日）上午；2、集合地點(diǎn)：、集合地點(diǎn)：教教4；3、帶、帶、；4、如果準(zhǔn)考證信息有誤，集合時(shí)與帶隊(duì)老師說明。、如果準(zhǔn)考證信息有誤，集合時(shí)與帶隊(duì)老師說明。請(qǐng)參賽同學(xué)課下找我領(lǐng)準(zhǔn)考證請(qǐng)參賽同學(xué)課下找我領(lǐng)準(zhǔn)考證!第第11章章無窮級(jí)數(shù)無窮級(jí)數(shù)16學(xué)時(shí)學(xué)時(shí)11.1常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)概念性質(zhì)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)概念性質(zhì)11.2常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法()11.3冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)11.4函數(shù)展為冪級(jí)數(shù)函數(shù)展為冪級(jí)數(shù)11.8一般周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)一般周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)習(xí)題課習(xí)題課5一、三角函數(shù)系的正交性一、三角函數(shù)系的正交性1

2、1.7傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)積化和差積化和差yxyxyxyxyxyxsinsinsincos2sinsincossin2yxyxyxyxyxyxcoscossinsin2coscoscoscos2xxnkxnkd)cos()cos(21定理定理1.1.,1,cosx,sin x,2cos x,2sin x,cos,nx,sinnx證證:1xnxdcos1xnxdsin0 xnxk coscos)(nk xxnxkdcoscos00dsinsinxxnxk同理可證同理可證:),2, 1(nxnkxnk)(cos)(cos21上在,正交正交,上的積分等于上的積分等于0.即其中任意兩個(gè)不同的函數(shù)之積在

3、即其中任意兩個(gè)不同的函數(shù)之積在0dsincosxxnxk)(nk 一一. . 三角函數(shù)系的正交性三角函數(shù)系的正交性三角函數(shù)系三角函數(shù)系上的積分不等于上的積分不等于0.,2d11xxxn dsin2xxn dcos2),2, 1(n,22cos1cos2xnxn22cos1sin2xnxn且有且有但是但是在三角函數(shù)系中兩個(gè)相同的函數(shù)的乘積在在三角函數(shù)系中兩個(gè)相同的函數(shù)的乘積在回顧回顧前面討論了一種特殊的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)前面討論了一種特殊的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)。冪級(jí)數(shù)。優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：它有廣泛的應(yīng)用，如利用冪級(jí)數(shù)求某些級(jí)數(shù)的和；作它有廣泛的應(yīng)用，如利用冪級(jí)數(shù)求某些級(jí)數(shù)的和；作 近似計(jì)算近似計(jì)算；解微分方程解微分

4、方程（最后一章的第（最后一章的第1212節(jié)）等。節(jié)）等。缺缺點(diǎn)點(diǎn)：用冪級(jí)數(shù)表示的函數(shù)總是用冪級(jí)數(shù)表示的函數(shù)總是無窮可微的無窮可微的，條件太苛刻，條件太苛刻， 在一定程度上限制了它的應(yīng)用。在一定程度上限制了它的應(yīng)用。sin ()在許多實(shí)際問題中，經(jīng)常遇到周期現(xiàn)象在許多實(shí)際問題中，經(jīng)常遇到周期現(xiàn)象(周期函數(shù)周期函數(shù))。( )ft振振幅幅角角頻頻率率初初相相2T周周期期 兩個(gè)頻率相同的簡諧波疊加，仍是一個(gè)簡諧波；兩個(gè)頻率相同的簡諧波疊加，仍是一個(gè)簡諧波；頻率不同的簡諧波疊加的結(jié)果不再是簡諧波。頻率不同的簡諧波疊加的結(jié)果不再是簡諧波。 如如 ，其疊加結(jié)果其疊加結(jié)果 是一個(gè)較復(fù)雜的周期波。是一個(gè)較復(fù)雜的

5、周期波。ttfttf33121sin)(,sin)(tttftf33121sinsin)()(問：一個(gè)較復(fù)雜的周期波能否分解成若干個(gè)簡諧波的和？問：一個(gè)較復(fù)雜的周期波能否分解成若干個(gè)簡諧波的和？物理背景物理背景下面簡單演示：不同頻率的正弦波逐個(gè)疊加下面簡單演示：不同頻率的正弦波逐個(gè)疊加 At 最簡單的周期波就是最簡單的周期波就是簡諧波簡諧波，通常以，通常以正弦函數(shù)正弦函數(shù)表示，即表示，即4sin , t tusin4 )3sin31(sin4ttu 4 1sin3 ,3t 4 1sin5 ,5t 4 1sin7 ,7t )5sin513sin31(sin4tttu )7sin715sin513

6、sin31(sin4ttttu )9sin917sin715sin513sin31(sin4tttttu )7sin715sin513sin31(sin4)( tttttuotu11非正弦型周期函數(shù)：巨形波非正弦型周期函數(shù)：巨形波 tttu0, 10, 1)(當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)如何深入地研究如何深入地研究非正弦型周期函數(shù)非正弦型周期函數(shù)呢？聯(lián)系到前面呢？聯(lián)系到前面介紹過的用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式表示和討論函數(shù)，我介紹過的用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式表示和討論函數(shù)，我們也想將們也想將周期函數(shù)周期函數(shù)展開成展開成簡單的周期函數(shù)簡單的周期函數(shù)如如正弦函數(shù)正弦函數(shù)組成的級(jí)數(shù)組成的級(jí)數(shù)在實(shí)際問題中，在實(shí)際問題中，把一個(gè)比較復(fù)

7、雜的周期運(yùn)動(dòng)看成把一個(gè)比較復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng)看成一系列不同頻率的簡諧振動(dòng)的疊加一系列不同頻率的簡諧振動(dòng)的疊加 10)sin(nnntnAAy 02a xtAbAaAanAAnnnnnnnn,cos,sin,2,), 2 , 1(,000是常數(shù)其中01(nnAA cosn sinn t cosnAn t sin)n sin)nbnx 1(cosnnx na本節(jié)主要討論兩個(gè)問題本節(jié)主要討論兩個(gè)問題一個(gè)周期函數(shù)一個(gè)周期函數(shù)f(t),在什么條件下可以展成三角級(jí)數(shù)在什么條件下可以展成三角級(jí)數(shù)?2)如果如果f(t)能展成三角級(jí)數(shù)能展成三角級(jí)數(shù),三角級(jí)數(shù)中各個(gè)系數(shù)如何確定三角級(jí)數(shù)中各個(gè)系數(shù)如何確定?設(shè)設(shè)f(x)

8、是周期為是周期為2 的周期函數(shù)的周期函數(shù),且且)sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn右端級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)積分右端級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)積分,則有則有), 1,0(dcos)(1nxnxxfan),2, 1(dsin)(1nxnxxfbn函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)定理定理2.2.設(shè)設(shè)f(x)是周期為是周期為2 的周期函數(shù)的周期函數(shù),且且)sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn右端級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)積分右端級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)積分,則有則有), 1,0(dcos)(1nxnxxfan),2, 1(dsin)(1nxnxxfbn證證:由定理?xiàng)l件由定理?xiàng)l件,10dsindcosd2)(nnnxxnbx

9、xnaxadxxf0a,對(duì)對(duì)在在逐項(xiàng)積分逐項(xiàng)積分,得得xxkaxxkxfdcos2dcos)(01nxxnxkandcoscosxxnxkbndsincosxxkakdcos2kaxxkxfakdcos)(1),2, 1(k(利用正交性),2, 1(dsin)(1kxxkxfbkxxfad)(10類似地,用sinkx乘式兩邊,再逐項(xiàng)積分可得葉系數(shù)為系數(shù)的三角級(jí)數(shù)葉系數(shù)為系數(shù)的三角級(jí)數(shù)稱為稱為的的傅傅里里葉系數(shù)葉系數(shù); 01( )cossin2nnnaf xanx bnx 1( )cosd(1 ,2,)naf xnxxn 由公式由公式確定的確定的nnba ,以以)(xf)(xf1( )sind(

10、1 , 2 ,)nbf xnxxn 的傅的傅里里的的傅傅里里葉級(jí)數(shù)葉級(jí)數(shù).稱為函數(shù)稱為函數(shù))(xf01( )daf xx 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù) 10)sincos(2nnnnxbnxaa問題問題: : 10)sincos(2?)(nnnnxbnxaaxf條件條件以上我們是在以上我們是在f(x)可以展開成三角級(jí)數(shù)并可以可以展開成三角級(jí)數(shù)并可以逐項(xiàng)積分的前提下討論問題的，下面我們撇開這個(gè)逐項(xiàng)積分的前提下討論問題的，下面我們撇開這個(gè)前提前提)(2xf為為周周期期的的函函數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)一一般般的的以以 只要公式中的積分都存在，就可以定出系數(shù)只要公式中的積分都存在，就可以定出系數(shù)), 2 , 1 , 0( n

11、an), 2 , 1( nbn并可寫出并可寫出f(x)的的傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)01(cossin)2nnnaanxbnx 至于這個(gè)級(jí)數(shù)是否收斂，如收斂是否收斂到至于這個(gè)級(jí)數(shù)是否收斂，如收斂是否收斂到f(x)的問題的問題，有以下定理，有以下定理收斂于收斂于()();2f xf x 注意注意: :函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)的條件比展開成函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)的條件比展開成冪級(jí)數(shù)的條件低的多冪級(jí)數(shù)的條件低的多. .級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的和和函函數(shù)數(shù)的的為為周周期期的的函函數(shù)數(shù)是是以以設(shè)設(shè) Fxfxs)(2)( f( x)在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為 2|20)(xxxxf 上上的的表表達(dá)達(dá)式式在在寫寫

12、出出,)( xs解解 f(x)如右圖所示如右圖所示滿足收斂定理的條件滿足收斂定理的條件 21212|20)(xxxxxxs 展開步驟展開步驟作圖作圖根據(jù)公式計(jì)算根據(jù)公式計(jì)算Fourier系數(shù)系數(shù)寫出寫出Fourier級(jí)數(shù)展開式級(jí)數(shù)展開式,并注明展開式的成立范圍并注明展開式的成立范圍驗(yàn)證驗(yàn)證f(x)滿足滿足Dirichlet條件條件,并確定并確定f(x)的所有間斷點(diǎn)的所有間斷點(diǎn)結(jié)合圖形進(jìn)行分析、判斷結(jié)合圖形進(jìn)行分析、判斷找出找出f(x)可以展成可以展成Fourier級(jí)數(shù)的區(qū)間級(jí)數(shù)的區(qū)間解解所給函數(shù)滿足收斂定理所給函數(shù)滿足收斂定理(狄利克雷充分條件狄利克雷充分條件).(0, 1, 2,)tkk 2

13、mmEE , 0 otumE mE為函數(shù)的第一類為函數(shù)的第一類間斷點(diǎn)，間斷點(diǎn)，和函數(shù)圖象為和函數(shù)圖象為otumE mE(0, 1, 2,)tkk 當(dāng)當(dāng)其傅里葉級(jí)數(shù)收斂到其傅里葉級(jí)數(shù)收斂到u(t)時(shí)，時(shí)，函數(shù)連續(xù)，函數(shù)連續(xù)，函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)收斂到：函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)收斂到： ntdttuancos)(10011()coscosmmEntdtEntdt 0 (1,2,)n ntdttubnsin)(1 00sin1sin)(1ntdtEntdtEmm)cos1(2 nnEm4,1,3,5,0,2,4,6,mEnnn 所求函數(shù)的傅氏展開式為所求函數(shù)的傅氏展開式為 1)12sin()12(4)(nmtn

14、nEtu),2, 0;( tt01( )0au t dt 77sin x99sinx傅氏級(jí)數(shù)的部分和逼近傅氏級(jí)數(shù)的部分和逼近f(x)33sinsin4)(xxxf55sin x的情況見右圖的情況見右圖.三、正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)三、正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)求函數(shù)的求函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)展開式級(jí)數(shù)展開式,主要工作是計(jì)算主要工作是計(jì)算Fourier系數(shù)系數(shù),利用函數(shù)的奇偶性可簡化利用函數(shù)的奇偶性可簡化Fourier系數(shù)計(jì)算系數(shù)計(jì)算當(dāng)當(dāng)f(x)是是周期為周期為2奇函數(shù)奇函數(shù)時(shí)時(shí)1( )cos0naf xnxdx (0,1,2,)n 02( )sinnbf xnxdx (1,2,)n 此時(shí)其此時(shí)其Fouri

15、er級(jí)數(shù)展開式是級(jí)數(shù)展開式是只含有正弦項(xiàng)而沒有只含有正弦項(xiàng)而沒有常數(shù)項(xiàng)和余弦項(xiàng)的常數(shù)項(xiàng)和余弦項(xiàng)的正弦級(jí)數(shù)正弦級(jí)數(shù) 1sinnnnxb當(dāng)當(dāng)f(x)是是周期為周期為2偶函數(shù)偶函數(shù)時(shí)時(shí)1( )cosnaf xnxdx (0,1,2,)n 02( )si0nnbf xnxdx (1,2,)n 此時(shí)其此時(shí)其Fourier級(jí)數(shù)展開式是級(jí)數(shù)展開式是只含有常數(shù)項(xiàng)和余弦項(xiàng)而沒只含有常數(shù)項(xiàng)和余弦項(xiàng)而沒有正弦項(xiàng)的有正弦項(xiàng)的余弦級(jí)數(shù)余弦級(jí)數(shù)02( )af x dx 01cos2nnaanx 上的表達(dá)式為上的表達(dá)式為), ,0( ),0 xxf xxx 將將f (x)展成傅展成傅里里葉級(jí)數(shù)葉級(jí)數(shù).設(shè)設(shè)f (x)是周期為

16、是周期為2 的周期函數(shù)的周期函數(shù),它在它在oxy234234 ,0( ),0 xxf xxx 將函數(shù)將函數(shù)展成傅展成傅里里葉級(jí)數(shù)葉級(jí)數(shù).411: ( )coscos3cos5(,2925f xxxxx 解答）解答）設(shè)設(shè)f(x)不是周期函數(shù)不是周期函數(shù),f(x)只定義在只定義在 , ,且滿足收斂定理?xiàng)l件且滿足收斂定理?xiàng)l件在在 , )或或( , 之外補(bǔ)充之外補(bǔ)充f(x)的定義的定義,使使f(x)延拓為以延拓為以2 為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù)F(x),其中其中F(x)=f(x),按上述方式拓展函數(shù)按上述方式拓展函數(shù)定義域定義域的過程稱為把的過程稱為把f(x)作作再把再把F(x)展開為以展開為以

17、2 為周期的傅里葉級(jí)數(shù)為周期的傅里葉級(jí)數(shù),再限制在再限制在,內(nèi)內(nèi),此時(shí)此時(shí)F(x)f(x),再根據(jù)收斂定理再根據(jù)收斂定理,求出求出f(x)收斂到何處收斂到何處.定義在定義在 , 上的函數(shù)上的函數(shù)f (x)的傅氏級(jí)數(shù)展開法的傅氏級(jí)數(shù)展開法則則f(x)也可以展開成傅里葉級(jí)數(shù)也可以展開成傅里葉級(jí)數(shù), )(xxf周期延拓周期延拓)(xF傅傅里里葉展開葉展開( )(, )f x 在在上的傅上的傅里里葉級(jí)數(shù)葉級(jí)數(shù)定義在定義在 , 上的函數(shù)上的函數(shù)f (x)的傅氏級(jí)數(shù)展開法的傅氏級(jí)數(shù)展開法), , )(xxf(2) ,f xk 其它其它收斂定理收斂定理( ),f x 在在收斂到何處收斂到何處需要進(jìn)行周期延拓

18、：令需要進(jìn)行周期延拓：令411: ( )coscos3cos5,2925f xxxxx 解解答答）)()(,),(),()(xfxFxxFxF時(shí)時(shí)且且當(dāng)當(dāng)22k ,0( ),0 xxf xxx 將函數(shù)將函數(shù)展成傅展成傅里里葉級(jí)數(shù)葉級(jí)數(shù).oyx利用此展式可求出幾個(gè)特殊的級(jí)數(shù)的和利用此展式可求出幾個(gè)特殊的級(jí)數(shù)的和.當(dāng)當(dāng)x=0時(shí)時(shí),f (0)=0,得得2222) 12(1513118n說明說明:42,421312242設(shè)設(shè),413121122222217151311,6141212222已知已知82122234131211又又21213624822212248222)(,coscoscos)(251

19、9114200525139142fxxxxxf12211215141312116151413121124214121812151311222222222222222222222)()()()(nnnnn此例的應(yīng)用此例的應(yīng)用 2224131211 ,62 22151311 2222614121 ,242 22234131211 .122 82 綜上：綜上：在在0, 上的函數(shù)展成正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)上的函數(shù)展成正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù),0),(xxf)(xF周期延拓周期延拓F(x)得得G(x)(xFf(x)在在(0, )上展成上展成周期延拓周期延拓F(x)得得G(x)余弦級(jí)數(shù)余弦級(jí)數(shù)奇延拓奇延拓偶延拓偶延

20、拓xoy正弦級(jí)數(shù)正弦級(jí)數(shù)f(x)在在(0, )上展成上展成xoy, 0(),(xxf0, 0 x)0,(),(xxf,0(),(xxf)0,(),(xxf偶延拓偶延拓奇延拓奇延拓例例5 5 將函數(shù)將函數(shù)展成（展成（1 1）正弦級(jí)數(shù)；（）正弦級(jí)數(shù)；（2 2）余弦級(jí)數(shù)）余弦級(jí)數(shù))0 (1)(xxxf211(2) sinsin 2(2) sin 3sin 4234(0,)xxxxxx 解解 答答oxy2342340)(0)()(),2()() 1 (xxfxxfxFxFxF其中令進(jìn)行奇延拓( ),(, F xx 得得0,0 x oxy234234,05cos2513cos91cos4121xxxxx

21、解答0022xxfxxfxFxFxF)()()(),()()(其其中中令令進(jìn)進(jìn)行行偶偶延延拓拓2k ( ),(, F x x 得得1xyo例例5.將函數(shù))0(1)(xxxf分別展成正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù).解解:先求正弦級(jí)數(shù). 去掉端點(diǎn),將f(x)作奇周期延拓,0dsin)(xnxxf2nb0dsin) 1(2xnxx02cossincos2nnxnnxnnxxnnncoscos1212 knkn2),2, 1(k,1222k,1knb12,1222knkknkk2,221 ),2, 1(k21xxsin)2(x2sin2x3sin32x4sin4)0( x注意注意: 在端點(diǎn)x=0,級(jí)數(shù)的和為0,與給定函數(shù)1xyo因此得f(x)=x+1的值不同.再求余弦級(jí)數(shù).x1y將)(xf則有o0a0d) 1(2xxna0dcos) 1(2xnxx0222xx202sincossin2nnxnnxnnxx1cos22nn12,) 12(42knkkn2,0),2, 1(k作偶周期延拓,121xxcosx3cos312)0( xx5cos512說明說明:令x=