勻速圓周運動..

1、勻速圓周運動專題從現(xiàn)行高中知識體系來看，勻速圓周運動上承牛頓運動定律，下接萬有引力，因此在 高一物理中占據(jù)極其重要的地位，同時學(xué)好這一章還將為高二的帶電粒子在磁場中的運動 及高三復(fù)習(xí)中解決圓周運動的綜合問題打下良好的基礎(chǔ)。一、基礎(chǔ)知識1. 勻速圓周運動的基本概念和公式qO -Trr（1 ）線速度大小v，方向沿圓周的切線方向，時刻變化（做勻速圓周運動的物t T體盡管它速度大小不變，但它的速度方向每時每刻都在改變）。勻速圓周運動不是勻速運動。勻速圓周運動不是勻變速運動。勻速圓周運動是一種變加速曲線運動。（2 ）表示轉(zhuǎn)動快慢的物理量2 :T，單位 rad/s 或 rad s 1,恒定不變量;注：在同

2、一個圓中，圓心角n越大，它所對應(yīng)的圓弧s越長，二者成正比。因此可以用弧長與半徑的比值表示角的大小例如弧長是2.4m,半徑是1m,那么n2.4m/1m=2.4我們給n個單位：弧度，用符號rad表示，則上面得到的角n是2.4弧度，記為n=2.4rad 360。圓周角是2 n弧度，平角是 n弧度，直角是 M2弧度.周期與頻率T二*； 轉(zhuǎn)速n單位為轉(zhuǎn)每秒（r/s ）或轉(zhuǎn)每分（r/min）.（ 當(dāng)轉(zhuǎn)速的單位取轉(zhuǎn)每秒時，頻率與轉(zhuǎn)速 含義相同）2 2（3） 向心力F =衛(wèi)=口2，總指向圓心，時刻變化，向心加速度a = = r 2，方rr向與向心力相同；2兀r（4） 線速度與角速度的關(guān)系為v二r , v、T、

3、f的關(guān)系為vr = 2二rf。T所以在 、T、 f中若一個量確定，其余兩個量也就確定了，而v還和r有關(guān)。注:1當(dāng)半徑r相等時，線速度 v與角速度w成正比。2當(dāng)角速度w一定時，線速度 v與半徑r成正比。3當(dāng)線速度一定時，角速度 w與半徑r成反比。典型例題1. 關(guān)于勻速圓周運動，以下說法正確的是：（）A. 勻速圓周運動是線速度不變的運動B. 勻速圓周運動是角速度不變的運動C. 勻速圓周運動是加速度不變的運動D. 勻速圓周運動就是勻速運動2. 伐木工人雙眼緊盯樹梢，根據(jù)樹梢的運動情況判斷大樹正在朝那個方向倒下正確的是:（A開始倒下時，樹梢的角速度比較大，易于判斷B開始倒下時，樹梢的線速度比較大，易于

4、判斷C開始倒下時，樹梢的向心加速度較大，易于判斷D伐木工人的經(jīng)驗缺乏科學(xué)依據(jù)3. 機械手表中的分針與秒針均可視為勻速轉(zhuǎn)動，兩針從重合到第二次重合所經(jīng)歷的時間應(yīng) 為（）A. lmin B.59/60minC.60/59mi n D.61/60mi n4.甲乙兩個做勻速圓周運動的質(zhì)點，它們的角速度之比為 列說法中正確的是（）A它們的半徑之比為 2:9C它們的周期之比為 2;33:1，線速度之比為2:3,那么下它們的半徑之比為它們的周期之比為1:21 : 3二、傳動問題中的1）共軸傳動2）皮帶傳動3）齒輪傳動v、w、T、n與r的關(guān)系1.如圖所示，皮帶不打滑 點,c是01輪中間的一點（1）線速度大小之

5、比 va:vb:vc. _ 角速度大小之比a- b- c.o2通過皮帶傳動做勻速圓周運動,01、.Ra=2Rb=2Rc.求：,a、b分別是兩輪邊緣上的一a唸o22. 小明同學(xué)在學(xué)習(xí)了圓周運動的知識后，設(shè)計了一個課題，名稱為：快速測量自行車的騎 行速度。他的設(shè)想是：通過計算踏腳板轉(zhuǎn)動的角速度，推算自行車的騎行速度。經(jīng)過騎行， 他得到如下的數(shù)據(jù)：在時間t內(nèi)踏腳板轉(zhuǎn)動的圈數(shù)為 N，那么腳踏板轉(zhuǎn)動的角速度=;要推算自行車的騎行速度，還需要測量的物理量有 ；自行車騎行速度的計算公式 v=。二、圓周運動中的多解問題1. 如下圖所示，直徑為d的紙制圓筒以角速度 3繞垂直紙面的軸 O勻速運動（圖示為截面）。

6、從槍口發(fā)射的子彈沿直徑穿過圓筒。若子彈在圓筒旋轉(zhuǎn)不到半周時，在圓周上留下a、b兩個彈孔，已知aO與bO夾角為0,求子彈的速度。2. 如右上圖所示，半徑為 R的圓盤繞垂直于盤面的中心軸勻速轉(zhuǎn)動，其正上方h處沿OB方向水平拋出一小球，要使球與盤只碰一次，且落點為B，求圓盤的初速度及轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動的角速度w的大小。2. 質(zhì)點做勻速圓周運動的條件（1）具有一定的速度；（2）受到的合力（向心力）大小不變且方向始終與速度方向垂直。合力（向心力）與 速度始終在一個確定不變的平面內(nèi)且一定指向圓心。3. 向心力有關(guān)說明向心力是一種效果力。任何一個力或者幾個力的合力，或者某一個力的某個分力，只 要其效果是使物體做圓周運

7、動的，都可以認(rèn)為是向心力。做勻速圓周運動的物體，向心力 就是物體所受的合力，總是指向圓心；做變速圓周運動的物體，向心力只是物體所受合外 力在沿著半徑方向上的一個分力，合外力的另一個分力沿著圓周的切線，使速度大小改變， 所以向心力不一定是物體所受的合外力。（二）解決圓周運動問題的步驟1. 確定研究對象；2. 確定圓心、半徑、向心加速度方向；3. 進行受力分析，將各力分解到沿半徑方向和垂直于半徑方向；4. 根據(jù)向心力公式，列牛頓第二定律方程求解。基本規(guī)律：徑向合外力提供向心力F合 F向）三）常見問題及處理要點1. 皮帶傳動問題例1：如圖1所示，為一皮帶傳動裝置，右輪的半徑為r，a是它邊緣上的一點，

8、左側(cè)是一輪軸，大輪的半徑為4r，小輪的半徑為 2r，b點在小輪上，到小輪中心的距離為 r， c點和d點分別位于小輪和大輪的邊緣上，若在傳動過程中，皮帶不打滑，則（）A. a點與b點的線速度大小相等B. a點與b點的角速度大小相等C. a點與c點的線速度大小相等D. a點與d點的向心加速度大小相等圖1解析：皮帶不打滑，故a、c兩點線速度相等，選 C; c點、b點在同一輪軸上角速度相 等，半徑不同，由 v =， b點與c點線速度不相等，故 a與b線速度不等，A錯；同樣 可判定a與c角速度不同，即a與b角速度不同，B錯；設(shè)a點的線速度為V,則a點向心2加速度 aa =，由 vc = 2，vd = 4

9、r ，所以 vd = 2vc = 2va，故 aa =ad，D 正確。r本題正確答案C、D。點評：處理皮帶問題的要點為：皮帶(鏈條)上各點以及兩輪邊緣上各點的線速度大 小相等，同一輪上各點的角速度相同。2. 水平面內(nèi)的圓周運動轉(zhuǎn)盤：物體在轉(zhuǎn)盤上隨轉(zhuǎn)盤一起做勻速圓周運動，物體與轉(zhuǎn)盤間分無繩和有繩兩種情況。無繩時由靜摩擦力提供向心力；有繩要考慮臨界條件。例1:如圖2所示，水平轉(zhuǎn)盤上放有質(zhì)量為 m的物體，當(dāng)物塊到轉(zhuǎn)軸的距離為 r時，連 接物塊和轉(zhuǎn)軸的繩剛好被拉直(繩上張力為零)。物體和轉(zhuǎn)盤間的最大靜摩擦力是其正壓 力的倍。求：(1) 當(dāng)轉(zhuǎn)盤的角速度(2) 當(dāng)轉(zhuǎn)盤的角速度眩：時，細(xì)繩的拉力Ft。2時，

10、細(xì)繩的拉力Ft 2。 2r圖2解析:設(shè)轉(zhuǎn)動過程中物體與盤間恰好達(dá)到最大靜摩擦力時轉(zhuǎn)動的角速度為0，則(1)因為：g 一，0，所以物體所需向心力小于物與盤間的最大摩擦力，則物2r0,即卩 FT1 =0。與盤產(chǎn)生的摩擦力還未達(dá)到最大靜摩擦力，細(xì)繩的拉力仍為(2)因為. 30，所以物體所需向心力大于物與盤間的最大靜摩擦力，則細(xì)繩將對物體施加拉力 FT2，由牛頓第二定律得 FT2 * mg二m；r，解得FT2二一。2點評：當(dāng)轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動角速度;.-?0時，物體有繩相連和無繩連接是一樣的，此時物體做 圓周運動的向心力是由物體與圓臺間的靜摩擦力提供的,體相對圓臺運動的臨界值，這個最大角速度，0與物體的質(zhì)量無關(guān)

11、，僅取決于J和r。這一結(jié)論同樣適用于汽車在平路上轉(zhuǎn)彎。圓錐擺：圓錐擺是運動軌跡在水平面內(nèi)的一種典型的勻速圓周運動。其特點是由物體 所受的重力與彈力的合力充當(dāng)向心力，向心力的方向水平。也可以說是其中彈力的水平分 力提供向心力（彈力的豎直分力和重力互為平衡力）。例2:小球在半徑為 R的光滑半球內(nèi)做水平面內(nèi)的勻速圓周運動，試分析圖3中的r （小球與半球球心連線跟豎直方向的夾角）與線速度v、周期T的關(guān)系。（小球的半徑遠(yuǎn)小于 R）。GF圖3解析：小球做勻速圓周運動的圓心在和小球等高的水平面上（不在半球的球心），向 心力F是重力G和支持力Fn的合力，所以重力和支持力的合力方向必然水平。如圖3所一若mv24

12、兀2示有 mg tanmRsin2Rsi n。T I R COsS由此可得 v = gRtansin日,T =2兀 f g可見，d越大（即軌跡所在平面越高），v越大，T越小。點評：本題的分析方法和結(jié)論同樣適用于火車轉(zhuǎn)彎、飛機在水平面內(nèi)做勻速圓周飛行 等在水平面內(nèi)的勻速圓周運動的問題。共同點是由重力和彈力的合力提供向心力，向心力 方向水平。3. 豎直面內(nèi)的圓周運動4）。豎直面內(nèi)圓周運動最高點處的受力特點及題型分類（圖F：hG圖4這類問題的特點是：由于機械能守恒，物體做圓周運動的速率時刻在改變，所以物體 在最高點處的速率最小，在最低點處的速率最大。物體在最低點處向心力向上，而重力向 下，所以彈力必

13、然向上且大于重力；而在最高點處，向心力向下，重力也向下，所以彈力 的方向就不能確定了，要分三種情況進行討論。2 （1）彈力只可能向下，如繩拉球。這種情況下有 F mg二mg ,即v - gR , R否則不能通過最高點;2(2) 彈力只可能向上，如車過橋。在這種情況下有 mg _F二mV mg , v /%禮V0AFnimig圖6點評：圓周運動與能量問題常聯(lián)系在一起，在解這類問題時，除要對物體受力分析， 運用圓周運動知識外，還要正確運用能量關(guān)系（動能定理、機械能守恒定律）。連接問題的題型例5:如圖7所示，一根輕質(zhì)細(xì)桿的兩端分別固定著 A、B兩個質(zhì)量均為 m的小球， 點是一光滑水平軸，已知 AO

14、=1，OB =21，使細(xì)桿從水平位置由靜止開始轉(zhuǎn)動，當(dāng) B 轉(zhuǎn)到O點正下方時，它對細(xì)桿的拉力大小是多少？解析：對A、B兩球組成的系統(tǒng)應(yīng)用機械能守恒定律得mg2l-mgl1 2mvA22mvB因A、B兩球用輕桿相連，故兩球轉(zhuǎn)動的角速度相等，即ValVb2l設(shè)B球運動到最低點時細(xì)桿對小球的拉力為Ft，由牛頓第二定律得2 mvB2l 解以上各式得Ft =1.8mg，由牛頓第三定律知，B球?qū)?xì)桿的拉力大小等于 1.8mg， 方向豎直向下。說明：桿件模型的最顯著特點是桿上各點的角速度相同。這是與后面解決雙子星問題 的共同點。（四）難點問題選講1. 極值問題例6:如圖8所示，用細(xì)繩一端系著的質(zhì)量為 M =

15、 0.6kg的物體A靜止在水平轉(zhuǎn)盤上， 細(xì)繩另一端通過轉(zhuǎn)盤中心的光滑小孔O吊著質(zhì)量為0.3kg的小球B，A的重心到O點的距離為0.2m。若A與轉(zhuǎn)盤間的最大靜摩擦力為Ff =2N，為使小球B保持靜止，求轉(zhuǎn)盤繞中心O旋轉(zhuǎn)的角速度的取值范圍。（取 g=10m/s2）JiAI l-! 口i iI I I_ _|l J B圖8解析：要使B靜止，A必須相對于轉(zhuǎn)盤靜止一一具有與轉(zhuǎn)盤相同的角速度。A需要的向心力由繩拉力和靜摩擦力合成。角速度取最大值時，A有離心趨勢，靜摩擦力指向圓心 0; 角速度取最小值時， A有向心運動的趨勢，靜摩擦力背離圓心 0。對于 B: FT 二 mg對于 A: Ft Ff = Mr

16、r , Ft - Ff = Mr 2聯(lián)立解得=6.5rad/s,，2 =2.9rad/s所以 2.9rad/s_6.5rad/s點評：在水平面上做圓周運動的物體，當(dāng)角速度變化時，物體有遠(yuǎn)離或向著圓心運動的（半徑有變化）趨勢。這時要根據(jù)物體的受力情況，判斷物體受的某個力是否存在以 及這個力存在時方向朝哪（特別是一些接觸力，如靜摩擦力、繩的拉力等）。2微元問題例7:如圖9所示，露天娛樂場空中列車是由許多完全相同的車廂組成，列車先沿光滑水平軌道行駛，然后滑上一固定的半徑為R的空中圓形光滑軌道，若列車全長為丨（丨2二R），R遠(yuǎn)大于一節(jié)車廂的長度和高度，那么列車在運行到圓環(huán)前的速度至少要多大， 才能使整

17、個列車安全通過固定的圓環(huán)軌道（車廂間的距離不計）？V0圖9v，列車質(zhì)量為m，則軌道上的那部分車的質(zhì)量解析：當(dāng)列車進入軌道后，動能逐漸向勢能轉(zhuǎn)化，車速逐漸減小，當(dāng)車廂占滿環(huán)時的 速度最小。設(shè)運行過程中列車的最小速度為2 Rm1 mv22 RmgRl1 2由機械能守恒定律得 一mv02由圓周運動規(guī)律可知，列車的最小速率v = v gR，聯(lián)立解得 v0 = * gR + 4 gR3. 數(shù)理問題例&如圖10,光滑的水平桌面上釘有兩枚鐵釘A、B,相距l(xiāng) 0.1m，長l =1m的柔軟細(xì)線一端拴在 A 上,另一端拴住一個質(zhì)量為 500g的小球，小球的初始位置在 AB連線 上A的一側(cè)，把細(xì)線拉直，給小球以2m

18、/s的垂直細(xì)線方向的水平速度，使它做圓周運動，由于釘子B的存在，使細(xì)線逐步纏在 A、B上，若細(xì)線能承受的最大拉力FTm =7N，則從開始運動到細(xì)線斷裂的時間為多少？z 圖10解析：小球轉(zhuǎn)動時，由于細(xì)線逐步繞在A、B兩釘上，小球的轉(zhuǎn)動半徑逐漸變小，但小球轉(zhuǎn)動的線速度大小不變。小球交替地繞 A、B做勻速圓周運動，線速度不變，隨著轉(zhuǎn)動半徑的減小， 線中拉力Ft 不斷增大，每轉(zhuǎn)半圈的時間在第一個半圓內(nèi)F T1t不斷減小。2mv，ti在第二個半圓內(nèi)在第三個半圓內(nèi)Imv2I _Iomv2二刁。t2，t3v二（I -1。）二(I 2I)mv2I -(n -)。令乞Fm =7N，得n 一 8.1，即在第在第n

19、個半圓內(nèi)，tn二I -(n- 1)l。v8個半圓內(nèi)線還未斷，n取8,經(jīng)歷的時間為 n（n -1）2t 二tit2 川 7tn -、nI -1 2 3川川-(n -1)Io=nI -vvlo - 8.2s【模擬試題】1. 關(guān)于互成角度（不為零度和180 ）的一個勻速直線運動和一個勻變速直線運動的合運動，下列說法正確的是（）A. 一定是直線運動B. 一定是曲線運動C. 可能是直線，也可能是曲線運動D. 以上答案都不對2. 一架飛機水平勻速飛行，從飛機上每隔1s釋放一個鐵球，先后釋放 4個，若不計空氣阻力，則這4個球（）A. 在空中任何時刻總是排列成拋物線，它們的落地點是等間距的B. 在空中任何時刻

20、總是排列成拋物線，它們的落地點是不等間距的C. 在空中任何時刻總是在飛機的正下方排列成豎直直線，它們的落地點是不等間距的D. 在空中任何時刻總是在飛機的正下方排列成豎直直線，它們的落地點是等間距的3. 圖1中所示為一皮帶傳動裝置，右輪的半徑為r，a是它邊緣上的一點，左側(cè)是一輪軸，大輪的半徑為4r，小輪的半徑為2r、b點在小輪上，到小輪中心的距離為 r。c點和d點 分別位于小輪和大輪的邊緣上。若在傳動過程中，皮帶不打滑。則（）A. a點與b點的線速度大小相等B. a點與b點的角速度大小相等C. a點與c點的線速度大小相等D. a點與d點的周期大小相等d4r圖14. 在抗洪搶險中，戰(zhàn)士駕駛摩托艇救

21、人，假設(shè)江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水 流速度為Vi，摩托艇在靜水中的航速為V2，戰(zhàn)士救人的地點A離岸邊最近處 0的距離為d，如戰(zhàn)士想在最短時間內(nèi)將人送上岸，則摩托艇登陸的地點離0點的距離為（）A.B. 0C. d D.dv2Vi5. 火車軌道在轉(zhuǎn)彎處外軌高于內(nèi)軌，其高度差由轉(zhuǎn)彎半徑與火車速度確定。若在某轉(zhuǎn)彎處規(guī)定行駛速度為 V ,則下列說法中正確的是（） 當(dāng)以V的速度通過此彎路時，火車重力與軌道面支持力的合力提供向心力 當(dāng)以V的速度通過此彎路時，火車重力、軌道面支持力和外軌對輪緣彈力的合力提 供向心力 當(dāng)速度大于V時，輪緣擠壓外軌 當(dāng)速度小于V時，輪緣擠壓外軌A. B.C.D.6. 在

22、做“研究平拋物體的實驗”時，讓小球多次沿同一軌道運動，通過描點法畫小球做平拋運動的軌跡，為了能較準(zhǔn)確地描繪運動軌跡，下面列出了一些操作要求，將你認(rèn)為正 確的選項前面的字母填在橫線上： 。A. 通過調(diào)節(jié)使斜槽的末端保持水平B. 每次釋放小球的位置必須不同C. 每次必須由靜止釋放小球D. 記錄小球位置用的木條（凹槽）每次必須嚴(yán)格地等距離下降E. 小球運動時不應(yīng)與木板上的白紙（或方格紙）相接觸F. 將球的位置記錄在紙上后，取下紙，用直尺將點連成折線7. 試根據(jù)平拋運動原理設(shè)計測量彈射器彈丸出射初速的實驗方法。根據(jù)實驗器材：彈射 器（含彈丸，見圖2所示）：鐵架臺（帶有夾具）；米尺。（1） 在安裝彈射器時應(yīng)注意： ；（2） 實驗中需要測量的量是： ；（3）由于彈射器每次射出的彈丸初速不可能完全相等，在實驗中應(yīng)采取的方法（4）計算公式:廠廠、iXJ圖28. 在一次“飛車過黃河”的表演中，汽車在空中飛經(jīng)最