一種難找的珍珠魅力無(wú)窮的完全數(shù)

1、一種難找的珍珠魅力無(wú)窮的完全數(shù)公元前 3 世紀(jì)時(shí)，古希臘數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)字情有獨(dú)鐘。他們?cè)趯?duì)數(shù)的因數(shù)分解中，發(fā)現(xiàn)了一些奇妙的性質(zhì)，如有的數(shù)的真因數(shù)之和彼此相等，于是誕生了親和數(shù)；而有的真因數(shù)之和居然等于自身，于是發(fā)現(xiàn)了完全數(shù)。6 是人們最先認(rèn)識(shí)的完全數(shù)。發(fā)現(xiàn)完全數(shù)研究數(shù)字的先師畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)6 的真因數(shù) 1、2、 3 之和還等于 6，他十分感興趣地說(shuō)：“6象征著完滿的婚姻以及健康和美麗，因?yàn)樗牟糠质峭暾?，并且其和等于自身?！惫畔ＥD哲學(xué)家柏拉圖在他的共和國(guó)一書(shū)中提出了完全數(shù)的概念。約公元前 300 年，幾何大師歐幾里得在他的巨著 幾何原本第九章最后一個(gè)命題首次給出了尋找完全數(shù)的方法，被譽(yù)為歐幾里得

2、定理： “如果 2n1 是一個(gè)素?cái)?shù)， 那么自然數(shù) 2n-1 一定是一個(gè)完全數(shù)?！辈⒔o出了證明。公元 1 世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派成員、古希臘著名數(shù)學(xué)家尼可馬修斯在他的數(shù)論專(zhuān)著算術(shù)入門(mén)一書(shū)中，正確地給出了6、28、496、8128 這四個(gè)完全數(shù)，并且通俗地復(fù)述了歐幾里得尋找完全數(shù)的定理及其證明。他還將自然數(shù)劃分為三類(lèi)：富裕數(shù)、不足數(shù)和完全數(shù)，其意義分別是小于、大于和等于所有真因數(shù)之和。第 1頁(yè)千年跨一步完全數(shù)在古希臘誕生后，吸引著眾多數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛(ài)好者像淘金般去尋找?？墒?，一代又一代人付出了無(wú)數(shù)的心血，第五個(gè)完全數(shù)沒(méi)人找到。后來(lái)，由于歐洲不斷進(jìn)行戰(zhàn)爭(zhēng)，希臘、羅馬科學(xué)逐漸衰退，一些優(yōu)秀的科學(xué)家?guī)е麄?/p>

3、的成果和智慧紛紛逃往阿拉伯、印度、意大利等國(guó)，從此，希臘、羅馬文明一蹶不振。直到 1202 年才出現(xiàn)一線曙光。意大利的斐波那契，青年時(shí)隨父游歷古代文明的希臘、埃及、阿拉伯等地區(qū)，學(xué)到了不少數(shù)學(xué)知識(shí)。他才華橫溢，回國(guó)后潛心研究所搜集的數(shù)學(xué)，寫(xiě)出了名著算盤(pán)書(shū) ，成為 13 世紀(jì)在歐洲傳播東方文化和系統(tǒng)將東方數(shù)學(xué)介紹到西方的第一個(gè)人，并且成為西方文藝復(fù)興前夜的數(shù)學(xué)啟明星。斐波那契沒(méi)有放過(guò)完全數(shù)的研究，他經(jīng)過(guò)推算宣布找到了一個(gè)尋找完全數(shù)的有效法則，可惜沒(méi)有人共鳴，成為過(guò)眼煙云。光陰似箭， 1460 年，還當(dāng)人們迷惘之際，有人偶然發(fā)現(xiàn)在一位無(wú)名氏的手稿中，竟神秘地給出了第五個(gè)完全數(shù)33550336。這比

4、起第四個(gè)完全數(shù)8128 大了 4000 多倍?？缍热绱酥螅谟?jì)算落后的古代可想發(fā)現(xiàn)者之艱辛了，但是，手稿里沒(méi)有說(shuō)明他用什么方法得到的，又沒(méi)有公布自己的姓名，這更使人迷惑不解了。發(fā)現(xiàn)非一帆風(fēng)順第 2頁(yè)在無(wú)名氏成果鼓勵(lì)下，15 至 19 世紀(jì)是研究完全數(shù)不平凡的日子，其中17 世紀(jì)出現(xiàn)了小高潮。16 世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家塔塔利亞小時(shí)曾被法國(guó)入侵者用刀砍傷舌頭，落下了口吃的疾患，后來(lái)靠自學(xué)成為一位著名數(shù)學(xué)家。他研究發(fā)現(xiàn)： 當(dāng) n 2 和 n=3 至 39 的奇數(shù)時(shí)， 2n-1(2n-1)是完全數(shù)。17 世紀(jì)“神數(shù)術(shù)”大師龐格斯在一本洋洋700 頁(yè)的巨著數(shù)的玄學(xué)中，一口氣列出了28 個(gè)所謂“完全數(shù)”，他

5、是在塔塔利亞給出的20 個(gè)的基礎(chǔ)上補(bǔ)充了8 個(gè)。可惜兩人都沒(méi)有給出證明和運(yùn)算過(guò)程，后人發(fā)現(xiàn)其中有許多是錯(cuò)誤的。1603 年，數(shù)學(xué)家克特迪歷盡艱辛，終于證明了無(wú)名氏手稿中第五個(gè)完全數(shù)是正確的，同時(shí)他還正確地發(fā)現(xiàn)了第六個(gè)和第七個(gè)完全數(shù)216(217-1) 和 218(219-1) ，但他又錯(cuò)誤地認(rèn)為222(223-1) 、228（ 229-1 ）和 236（237-1 ）也是完全數(shù)。這三個(gè)數(shù)后來(lái)被大數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬和歐拉否定了。1644 年，法國(guó)神甫兼大數(shù)學(xué)家梅森指出，龐格斯給出的28個(gè)“完全數(shù)”中，只有 8 個(gè)是正確的，即當(dāng) n2，3，5，7，13，17， 19， 31 時(shí)， 2n-1(2n-1)

6、是完全數(shù)，同時(shí)又增加了 n 67， 127 和 257。在未證明的情況下他武斷地說(shuō)：當(dāng)n257 時(shí)，只有這11 個(gè)完全數(shù)。這就是著名的“梅森猜測(cè)”?！懊飞聹y(cè)”吸引了許多人的研究，哥德巴赫認(rèn)為是對(duì)的；第 3頁(yè)微積分發(fā)現(xiàn)者之一的德國(guó)萊布尼茲也認(rèn)為是對(duì)的。他們低估了完全數(shù)的難度。1730 年，被稱(chēng)為世界四大數(shù)學(xué)家雄獅之一的歐拉，時(shí)年23 歲，正值風(fēng)華茂盛。他出手不凡，給出了一個(gè)出色的定理：“每一個(gè)偶完全數(shù)都是形如2n-1(2n-1)的自然數(shù)，其中n 是素?cái)?shù)， 2n-1 也是素?cái)?shù)”，并給出了他一直沒(méi)有發(fā)表的證明。這是歐幾里得定理的逆定理。有了歐幾里得與歐拉兩個(gè)互逆定理，公式 2n-1(2n-1)成為

7、判斷一個(gè)偶數(shù)是不是完全數(shù)的充要條件了。歐拉研究“梅森猜測(cè)”后指出：“我冒險(xiǎn)斷言：每一個(gè)小于50 的素?cái)?shù)，甚至小于100 的素?cái)?shù)使 2n-1(2n-1)是完全數(shù)的僅有 n 取 2，3，5，7，13，17，19，31，41，47，我從一個(gè)優(yōu)美的定理出發(fā)得到了這些結(jié)果，我自信它們具有真實(shí)性。”1772 年，歐拉因過(guò)度拼命研究雙目已經(jīng)失明了，但他仍未停止研究，他在致瑞士數(shù)學(xué)家丹尼爾的一封信中說(shuō)：“我已經(jīng)心算證明n31 時(shí)， 230(231-1) 是第 8 個(gè)完全數(shù)。”同時(shí)，他發(fā)現(xiàn)他過(guò)去認(rèn)為n=41 和 n47 時(shí)是完全數(shù)是錯(cuò)誤的。歐拉定理和他發(fā)現(xiàn)的第8 個(gè)完全數(shù)的方法，使完全數(shù)的研究發(fā)生了深刻變化，

8、可是，人們?nèi)圆荒軓氐捉鉀Q“梅森猜測(cè)”。1876 年，法國(guó)數(shù)學(xué)家魯卡斯創(chuàng)立了一種檢驗(yàn)素?cái)?shù)的新方法，證明 n 127 時(shí)確實(shí)是一個(gè)完全數(shù)，這使“梅森猜測(cè)”之一變成事實(shí)，魯卡斯的新方法給研究完全數(shù)者帶來(lái)生機(jī)，同時(shí)第 4頁(yè)也動(dòng)搖了“梅森猜測(cè)”。因數(shù)學(xué)家借助他的方法發(fā)現(xiàn)猜測(cè)中n 67，n 257 時(shí)不是完全數(shù)。在以后 1883 1931 年的 48 年間，數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)“梅森猜測(cè)”中 n257 范圍內(nèi)漏掉了n 61，89， 107 時(shí)的三個(gè)完全數(shù)。至此，人們前仆后繼，不斷另辟新路徑，創(chuàng)造新方法，用筆算紙錄，耗時(shí)二千多年，共找到12 個(gè)完全數(shù)，即n 2， 3，5，7，13， 17，19，31，61， 89，1

9、07，127 時(shí)， 2n-1(2n-1)是完全數(shù)。笛卡爾曾公開(kāi)預(yù)言：“能找出完全數(shù)是不會(huì)多的，好比人類(lèi)一樣，要找一個(gè)完全人亦非易事?！睔v史證實(shí)了他的預(yù)言。從 1952 年開(kāi)始，人們借助高性能計(jì)算機(jī)發(fā)現(xiàn)完全數(shù)，至 1985年才找到18 個(gè)，多么可憐！等待揭穿之謎迄今為止，發(fā)現(xiàn)的30 個(gè)完全數(shù)，統(tǒng)統(tǒng)都是偶數(shù)，于是，數(shù)學(xué)家提出猜測(cè)：存不存在奇數(shù)完全數(shù)。1633 年 11 月，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾給梅森一封信中，首次開(kāi)創(chuàng)奇數(shù)完全數(shù)的研究，他認(rèn)為每一奇完全數(shù)必具有PQ2的形式，其中 P 是素?cái)?shù)，并聲稱(chēng)不久他會(huì)找到，可不僅直到他死時(shí)未能找到，而且至今，沒(méi)有任何一個(gè)數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)一個(gè)奇完全數(shù)。它成為世界數(shù)論又一大難

10、題。雖然，誰(shuí)也不知道它們是否存在，但經(jīng)過(guò)一代又一代數(shù)學(xué)家第 5頁(yè)研究 算，有一點(diǎn)是明確的。那就是如果存在一個(gè)奇完全數(shù)的 ，那么它一定是非常大的。有多大呢？ 的不 ，當(dāng)代大數(shù)學(xué)家?jiàn)W 1018 以下自然數(shù)，沒(méi)有一個(gè)奇完全數(shù)； 1967 年，塔克曼宣布， 如果奇完全數(shù)存在， 它必 大于 1036， 是一個(gè) 37 位數(shù)； 1972 年，有人 明它必大于 1050； 1982年，有人 明，它必 大于 10120； 種 于捉摸的奇完全數(shù)也 可能有，但它 在太大，以至超出了人 能 用 算機(jī) 算的范 了。 奇完全數(shù)是否存在， 生如此多的估 ，也是數(shù)學(xué)界的一大奇 ！關(guān)于完全數(shù) 有 多待揭之 ，比如：完全數(shù)之 有什么關(guān)系？完全數(shù)是有限 是無(wú) 多個(gè)？存在不存在奇完全數(shù)？人 完全數(shù)的一個(gè)奇妙 象，把一個(gè)完全數(shù)的各位數(shù)字加起來(lái)得到一個(gè)數(shù)，再把 個(gè)數(shù)的各位數(shù)字加起來(lái)，又得到一個(gè)數(shù)， 一直 做下去， 果一定是 1。例如， 于 28，2