剛體動力學解法經(jīng)典例題詳解及考試復習總結

1、理論力學考試答疑通知理論力學考試答疑通知答疑時間：答疑時間：1月月16日日上午上午 8：30-11：30 下午下午 14：30-17：30答疑地點：答疑地點：主北主北302答疑教師：答疑教師：上午：上午：程耀、呂敬、梁偉程耀、呂敬、梁偉 下午：下午：王琪、王士敏、趙振王琪、王士敏、趙振2剛體動力學解法剛體動力學解法3質點系相對定點的動量矩定理質點系相對定點的動量矩定理nimt1e)(rA)()(ddAACiAarFML0rar0aACAACA: )3(/: )2(: ) 1 (niCCt1e)(r)(ddiFML質點系相對質心的動量矩定理質點系相對質心的動量矩定理)(AACarm表示質點系的牽

2、連慣性力表示質點系的牽連慣性力（作用在質心（作用在質心C）對對A點的矩點的矩一、動量矩定理一、動量矩定理(e)1d()dnOOitiLMF4二、平面運動剛體慣性力系的簡化二、平面運動剛體慣性力系的簡化簡化條件：簡化條件：剛體有質量對稱面，且其平行于運動平面剛體有質量對稱面，且其平行于運動平面慣性力向質心簡化：慣性力向質心簡化：IRIII11()nnicciciimJ cFFaMM F1IIIIRI,incFFFFMcaimirctcianciacaimirctcianciacacIRFIcM5yx1l2l 1m2mg1mg2mFO例題：例題：若已知：若已知： 求求: 平衡時的位置平衡時的位置m

3、gFmmmlll2121?, 例題：例題：若已知：若已知： , 求求: 平衡時的水平力平衡時的水平力FmgFmmmlll21216yx1l2lg1mg2mFO3m g3l123求求: 平衡時的位置平衡時的位置.1230,01. 設系統(tǒng)有虛位移：3. 設系統(tǒng)有虛位移：2. 設系統(tǒng)有虛位移：2130,03120,072lg1mg2mF解解: 剛體系統(tǒng)動力學問題, 用動靜法。O例題：例題：若已知：若已知： , .求求: 初始靜止初始靜止,求初瞬時兩桿求初瞬時兩桿的角加速度的角加速度.12lll12mmmFmgAB1l(1) 研究整體, 受力分析。xFyF1IF2IF2IM1IM211 11112IM

4、ml222 22112IMm l11 1112IFml22112212IFmll82lg1mg2mF(2) 方程:OAB1l(3) 研究AB桿, 受力分析。xFyF1IF2IF2IM1IM211 11112IMml222 22112IMm l11 1112IFml22112212IFmll()0:oMF121212121()022IIIIllF llMMFFl2lg2mFAB2IF2IMAyFAxF(3) 方程:()0:AMF222202IIlF lMF12, 91l2l1m2m對o點應用動量矩定理:OI例題：例題：若已知：若已知： , I .求求: 初始靜止初始靜止,求沖擊結束瞬求沖擊結束瞬

5、時兩桿的角速度時兩桿的角速度.12lll12mmmAB12解解: (1) 整體沖量分析。oxIoyI22221 11121122 22121132212llmllmlm lI ll10(2) 研究AB桿, 沖量分析。ABAyIAxII2應用動量定理:對桿心應用動量矩定理:2222 2211222Axllm lII221122AxlmlII12,AxI 也可以對空間與A點重合的固定點固定點 A應用動量矩定理:22221122 22212212llmlm lI l22 22213m lI l11例：例：已知沖量已知沖量I作用前系統(tǒng)靜止，作用前系統(tǒng)靜止， ，不計，不計摩擦。求沖擊結束時，滑塊摩擦。求

6、沖擊結束時，滑塊A的速度和桿的角速度。的速度和桿的角速度。LABmm,221L1m2mABI解：應用沖量定理解：應用沖量定理ABCAvCv INI2m1mIvvCAmm21IvmvmxCA21:應用對固定點（與應用對固定點（與A點重合）的沖量矩定理點重合）的沖量矩定理ILLmLvmC22212122213m LI L121l2l1m2m由前面的例子:OI例題：例題：若已知：若已知： , I .求求: 初始靜止初始靜止,求沖擊結束瞬求沖擊結束瞬時兩桿的角加速度時兩桿的角加速度.12lll12mmmAB12, 131l2lOIAB12用動靜法。2lg1mg2mOAB1lxFyF2IM1IM2IxF

7、1I xF1I yF2IyF211 11112IMml222 22112IMm l11 1112I xFml22112212IxFmll2222112212IyFmll2111112I yFml14題：題：質量為質量為m長為長為L的均質桿的均質桿AB靜止放在靜止放在光滑光滑水平面上，若在桿水平面上，若在桿的的B端垂直于桿作用一水平?jīng)_量端垂直于桿作用一水平?jīng)_量I。求沖擊結束后的瞬時，桿的角。求沖擊結束后的瞬時，桿的角加速度和質心加速度。加速度和質心加速度。ABI CCv(2) 碰撞結束后碰撞結束后, 水平面內(nèi)桿不受力水平面內(nèi)桿不受力: (3) 碰撞結束后碰撞結束后, 桿心將以桿心將以 作勻速直線

8、運動作勻速直線運動, 而桿將以初而桿將以初始角速度始角速度 (常數(shù)常數(shù))勻速轉動勻速轉動.Cv解：解：(1) 先求出碰撞結束的瞬時先求出碰撞結束的瞬時, 桿心的速度桿心的速度 和角速度和角速度 ;Cvoyx0CCCxv tyt00Ca0CmvI210122lmlI15思考題：思考題：質量為質量為m長為長為L的均質桿的均質桿AB靜止放在水平面上，靜止放在水平面上，桿與水平面的桿與水平面的滑動摩擦因數(shù)為滑動摩擦因數(shù)為f，若在桿的，若在桿的B端垂直于桿作端垂直于桿作用一水平?jīng)_量用一水平?jīng)_量I。求沖擊結束后的瞬時，桿的角加速度和。求沖擊結束后的瞬時，桿的角加速度和質心加速度。質心加速度。ABI解：解：

9、(1) 先求出碰撞結束的瞬時先求出碰撞結束的瞬時, 桿上桿上質點的速度分布質點的速度分布;應用沖量定理和沖量矩定理應用沖量定理和沖量矩定理:0CmvI210122lmlI CCvCmIv6mlI16AB CCv碰撞結束的瞬時碰撞結束的瞬時, 桿上質點的速度分布桿上質點的速度分布:AB CCvCmIv6mlIvC 3l17碰撞結束的瞬時碰撞結束的瞬時, 桿上質點的摩擦力分布桿上質點的摩擦力分布:AB CCv 3lvCAB 13fmg23fmg質心運動定理和關于質心的動量矩定理質心運動定理和關于質心的動量矩定理:1233Cxmafmgfmg2121123633llmlfmgfmg18試題試題: 質

10、量各為m的兩個相同的小球(視為質點)用長為L(不計質量)的細桿固連，靜止放在光滑的水平面上，初始時B點的坐標為(0,L/2)，細桿在y軸上，如圖所示。當小球A受到?jīng)_量I(平行于x軸)的作用后，系統(tǒng)在水平面內(nèi)運動。求： (1) 沖擊結束后的瞬時桿AB的角速度 ； (2) 系統(tǒng)在運動過程中桿的內(nèi)力 ；(3) 小球B的運動方程 ； (4) 當桿AB第一次與x軸平行時，小球B運動軌跡的曲率半徑。ABABF( ),( )BBBBxxtyytIoyxBA20cxcyABIvmvIml19IoyxBA(1) 沖擊結束后的瞬時桿AB的角速度:AB由沖量定理和(對質心C)沖量矩定理:2202002022cxcy

11、ABmvImvllmIC20(2) 系統(tǒng)在運動過程中桿的內(nèi)力 :ABFoyxBA由于水平面內(nèi)無作用力，故剛體將以不變的速率運動，不計質量的桿 AB 是二力桿。(,)cxcyABvv取小球 B 為研究對象:22BABlaABFBABABmaF212ABABFmlABcxv21(3) 小球B的運動方程 ；( ),( )BBBBxxtyytoyxBAABcxv由于水平面內(nèi)無作用力，故剛體將以不變的速率運動。(,)cxcyABvvC1sin2BCABxxlt1sin2cxABv tlt1cos2BABylt1sin221cos2BABBABIxtltmylt22(4) 當桿AB 第一次與x軸平行時，小

12、球B運動軌跡的曲率半徑:oyxBAABcxvCoyxBAAB22BABla首次至圖示位置：22BBBvxy2BnBva1sin221cos2BABBABIxtltmylt2ABt22cos222ABABABlIlItmm2322BABlatBBav 2BnBva22ntBBBaaa2ABt2222cos222ABABBBBABlIlIvxytmm222sin4cos222ABABABABIltmlIlItmm2l24例：例：半徑為半徑為r，質量為，質量為m的均質圓環(huán)靜止地放在粗糙水平面上，的均質圓環(huán)靜止地放在粗糙水平面上，輪與水平面之間的滑動摩擦系數(shù)為輪與水平面之間的滑動摩擦系數(shù)為f。設在初始

13、時刻。設在初始時刻(t=0)，圓環(huán)，圓環(huán)受到一水平通過環(huán)心的碰撞沖量受到一水平通過環(huán)心的碰撞沖量S的作用，的作用，S位于圓環(huán)的所在平位于圓環(huán)的所在平面內(nèi)。試確定圓環(huán)的運動規(guī)律面內(nèi)。試確定圓環(huán)的運動規(guī)律(即圓環(huán)中心的速度、位移隨時間即圓環(huán)中心的速度、位移隨時間t的變化規(guī)律的變化規(guī)律)，以環(huán)心初始時的位置為坐標原點，以環(huán)心初始時的位置為坐標原點。ov解：解：(1) 碰撞結束的瞬時碰撞結束的瞬時, 環(huán)心的速度環(huán)心的速度和環(huán)的角速度分別為和環(huán)的角速度分別為:0Svm00251. 運動的第一階段(連滾帶滑)fFNmgyxoa20ffmaFNmgmrr F fFf N可解得(積分并代入初始條件)：0vfg

14、tvfgtr (,)v設經(jīng)過 時間，環(huán)達到純滾動：vr1t110fgtfgtvrr01,2vtfg0101,2vvvfgt012vr262. 運動的第二階段(純滾)fFNmgyxoa20ffmaFNmgmrr F ar可得：可解得(積分并代入初始條件)：2ffFr Frmmr0fF010122vvvvr1()tt27如果考慮滾動摩擦阻力，滾動摩擦系數(shù)為如果考慮滾動摩擦阻力，滾動摩擦系數(shù)為。試求經(jīng)過多少時。試求經(jīng)過多少時間后圓環(huán)會停下來。間后圓環(huán)會停下來。 1. 運動的第一階段(連滾帶滑)fFN fMN20ffmaFNmgmrr FM 可解得(積分并代入初始條件)：02vfgtvfmgrmgtm

15、r vr設經(jīng)過 時間，環(huán)純滾動：1t111,tvfFNmgyxoMa282. 運動的第二階段(純滾)MNfFNmgyxoMa20ffmaFNmgmrr FM 22gr ar2gar 積分并代入初始條件：11112()2()2gvttvrgttr 滾動停止：00v2t29例：例：半徑為半徑為r，質量為，質量為m的均質圓環(huán)靜止地放在粗糙水平面上，的均質圓環(huán)靜止地放在粗糙水平面上，輪與水平面之間的滑動摩擦系數(shù)為輪與水平面之間的滑動摩擦系數(shù)為f。設在初始時刻。設在初始時刻(t=0)，圓環(huán)，圓環(huán)的初始速度和角速度分別為的初始速度和角速度分別為 。試確定圓環(huán)的運動規(guī)律。試確定圓環(huán)的運動規(guī)律(即即圓環(huán)中心的

16、速度、位移隨時間圓環(huán)中心的速度、位移隨時間t的變化規(guī)律的變化規(guī)律)，以環(huán)心初始時的位，以環(huán)心初始時的位置為坐標原點置為坐標原點。00,vov01. 運動的第一階段(連滾帶滑)fFf N可解得(積分并代入初始條件)：fFNmg20ffmvFNmgmrr F 00vfgtvfgtr 3000vfgtvfgtr ov0設經(jīng)過 時間，環(huán)達到純滾動：1tvr 1100fgtfgtvrrr 0012vrtfg001012vrvvfgt00112vrvrr 2. 運動的第二階段(純滾)如果:00vr則:10v 31O gIlC如圖所示, 質量為m的剛體可繞水平軸O定軸轉動, 其質心C到軸O的距離為d , 相

17、對質心的轉動慣量為 , 該剛體的質量對稱面在圖示平面內(nèi). 初始時剛體靜止于平衡位置, 在距離轉軸 處作用一水平?jīng)_量I . 若取OC與鉛垂線夾角為廣義坐標, 試給出該剛體的運動微分方程和初始條件. 213mdl答: 運動微分方程為:_ 初始條件為:_ 21sin3mdmgd 20103mdIl00230:0,Iltmd32例：例：如圖所示, 均質實心薄圓盤 A質量為m, 細鐵環(huán)B質量為m, 半徑均為r, 二者用不計質量不計質量的細桿AB連接, 沿傾角為的斜面純滾動. 初始時系統(tǒng)靜止, 求桿AB沿斜面下滑距離S時桿的速度大小v, 圓盤A的角加速度 ,以及斜面作用在 A上的摩擦力 和法向約束力 .A

18、SFNF例：例：如圖所示, 均質實心薄圓盤 A質量為m, 細鐵環(huán)B質量為m, 半徑均為r, 二者用質量為質量為m 的細桿AB連接, 沿傾角為的斜面純滾動. 初始時系統(tǒng)靜止, 求桿AB沿斜面下滑距離S時桿的速度大小v, 圓盤A的角加速度 ,以及斜面作用在 A上的摩擦力 和法向約束力 .ASFNF1. 整體用動能定理求速度 v .2. 對整體用動能定理的微分形式(或對動能定理求導)求盤心加速度 a .3. 對盤A的盤心用動量矩定理求速度 .SF334. 如不計桿質量，則桿是二力桿：ACmgABFsFNF4. 如計桿質量，則盤受力：ACmgsFNFyFxF計桿質量，用動靜法，加慣性力，整體對D點取矩

19、：34題題8-14：求 M 及 N .NaCCa求N：加慣性力，“桿AB+滑塊”對A點取矩。求M：加慣性力，整體對O點取矩。200/ (cos30 )ABABOAAB35題題8-15：求 M 及 O 出約束力.運動已知，利用點的復合運動求加速度。rvevavaaracaneatea36本學期理論力學總結一、靜力學1. 力系簡化理論(力線平移定理)；2. 平衡問題的解法，平衡方程的獨立性；3. 摩擦問題(靜滑動摩擦、滾動摩擦)的處理；4. 約束的分類，各類約束所對應的約束力；5. 桁架問題的解法；6. 用虛位移原理求解平衡問題。37二、動力學1. 質點動力學方程(Newton第二定律)；2. 剛

20、體的平面運動分析；3. 剛體動力學方程的建立(質心運動+繞質心轉動)；4. 用點的復合運動理論分析機構的運動；5. 碰撞問題的處理及所用的基本定理；6. 動靜法、剛體慣性力的簡化、附加動反力。38三、基本物理量的計算1. 力對點之矩、力對軸之矩；2. 剛體對點的動量矩和對軸的動量矩；3. 剛體的動能(Knig定理)；4. 剛體上點速度(虛位移)、加速度之間的關系；5. 點的復合運動理論中牽連(加)速度、科氏加速度；6. 剛體上力、慣性力的簡化。39題題(7-13)：在圖示機構中，滑塊在圖示機構中，滑塊A以勻速沿水平滑道運動，滑塊以勻速沿水平滑道運動，滑塊B沿鉛垂滑道運動，試求套筒沿鉛垂滑道運動，試求套筒C位于桿位于桿AB中點時，桿中點時，桿CD的速度的速度和加速度。和加速度。解：解： 1. AB桿作平面運動，其速度瞬心為P； PAB桿的角速度為： 1 rad/sAABvAP桿上C點的速度為： 0.2m/sCABvPCCvAB40二、取AB桿為動系，套筒C為動點：P根據(jù)點的復