變胞機構(gòu)的理論基礎(chǔ)及基本求解論文

1、變胞機構(gòu)的理論基礎(chǔ)及基本求解摘要：簡單介紹了變胞機構(gòu)概念提出的時間，詳細闡述了采用Huston低序體陣列和齊次變換矩陣相結(jié)合的方法，描述剛體的位置和姿態(tài)（簡稱位姿）。包括對位置描述的位置矢量，對方位描述的旋轉(zhuǎn)矩陣， 平移運動的齊次變換矩陣，旋轉(zhuǎn)運動的齊次變換矩陣，變胞機構(gòu)任意構(gòu)態(tài)q的運動分析。關(guān)鍵字：變胞機構(gòu) 齊次變換 旋轉(zhuǎn)矩陣 變胞機構(gòu)在1996年的可重構(gòu)包裝自動化線的機構(gòu)學研究中被發(fā)現(xiàn)，并于1998年第25屆ASME機構(gòu)學與機器人學雙年會上提出的一種新型機構(gòu)。在機構(gòu)連續(xù)運行中，由有效桿件數(shù)目變化或運動副類型和幾何關(guān)系變化引起機構(gòu)的拓撲變化，并導致機構(gòu)活動度變化；在機構(gòu)連續(xù)運行中，至少有一次

2、活動度變化，并在活動度變化后，機構(gòu)仍保持運行，這樣的機構(gòu)稱為變胞機構(gòu)。目前，對變胞機構(gòu)的研究主要包括三個方面，即變胞機構(gòu)的構(gòu)態(tài)分析、運動學分析和動力學分析。其中構(gòu)態(tài)分析是變胞機構(gòu)的基礎(chǔ)，也是進行運動和動力分析的前提。變胞機構(gòu)的構(gòu)態(tài)描述是其結(jié)構(gòu)學的重要內(nèi)容，也是到目前為止對變胞機構(gòu)研究最多的問題。研究者們主要用如下幾種方法來描述變胞機構(gòu)的構(gòu)態(tài)：拓撲結(jié)構(gòu)拓撲圖，拓撲圖具有形象、直觀、便于理解等優(yōu)點，是目前機構(gòu)學中應(yīng)用最多的方法；Roberson/wittenburg有向圖法，是一種基于圖論的方法，該方法比較容易建立變胞機構(gòu)的運動學及動力學方程；Huston低序體陣列，將變胞機構(gòu)視為開鏈樹形多體系統(tǒng)

3、，按一定規(guī)則對系統(tǒng)中各個構(gòu)件編號，從而可形成系統(tǒng)的低序體陣列；鄰接矩陣法應(yīng)用圖論，桿間的關(guān)聯(lián)關(guān)系可反映到相應(yīng)拓撲圖的鄰接矩陣中。因此，變胞機構(gòu)的構(gòu)態(tài)及構(gòu)態(tài)變換也可用鄰接矩陣來描述。本文主要是從運動學方面來了解變胞機構(gòu)的理論基礎(chǔ)及基本求解。1 Huston低序體陣列和齊次變換矩陣 采用Huston低序體陣列和齊次變換矩陣相結(jié)合的方法，描述剛體的位置和姿態(tài)（簡稱位姿）的方法是首先規(guī)定一個坐標系,相對于該坐標系,點的位置可以用維列向量表示,剛體的姿態(tài)可用的旋轉(zhuǎn)矩陣來表示。1.1位置描述一位置矢量 對于選定的坐標系k，空間任一點P的位置可用31的列矢量表示，即用位置矢量表示如下： = 其中、是P在坐標

4、系k中的三個坐標分量。的右上標代表選定的參考坐標系k。1.2方位的描述旋轉(zhuǎn)矩陣為了規(guī)定空間某剛體k的方位，另設(shè)一直角坐標系k與此剛體固接。我們用坐標系k的三個單位主矢量、相對于坐標系j的方向余弦組成的33矩陣。 = 或 = 表示剛體k相對坐標系j的方位。稱為旋轉(zhuǎn)矩陣，右上標j代表參考坐標系j，右下標k代表被描述的坐標系k。有9個元素，只有三個是獨立的。因為的三個列矢量都是單位主矢量，且兩兩互相垂直，所以它的9個元素滿足6個約束條件(稱正交條件） =1 =0 因此，旋轉(zhuǎn)矩陣是單位正交的，并且的逆與它的轉(zhuǎn)置相同，其行列式等于1，即 =1 變次變換矩陣T是一個44矩陣，一般地，能用來表示平移、旋轉(zhuǎn)、

5、伸縮和透視變換。把T的4部分表示為： T= 其中，為33的表示兩坐標系間的旋轉(zhuǎn)關(guān)系的轉(zhuǎn)動矩陣，為13矩陣表示沿3個坐標軸的透視變換，=矩陣稱為位置向量，表示兩坐標系間的平移，右下角的單一元素矩陣為使物體產(chǎn)生總體變換的比例因子。在機器人運動學中，透視變換值總是取零，而比例因子則總是取1.正交變換都是線性變換，故齊次變換是用齊次坐標表示的線性變換。三維物體在空間的運動都可以分解為平動和轉(zhuǎn)動。下面分別討論它們的齊次變換矩陣。 1.3平移運動的齊次變換矩陣考察任意典型構(gòu)件k（固定在其上的坐標系成為k系）上某點在其動系中的坐標是，設(shè)k系在其低序體j系沿、軸平動的距離分別為、，則k系相對于j系（j=)的齊

6、次變換矩陣為： =Trans= 其中為初始狀態(tài)下，k系相對于j系的齊次變換矩陣，以下相同。 變換后再j坐標系下的坐標為 = 1.4 旋轉(zhuǎn)運動的齊次變換矩陣 任意典型機構(gòu)件k上某點 在其動系中的坐標是 ，設(shè)k系在j坐標系中依次沿、軸轉(zhuǎn)動的角度分別為、，則k相對于其低序體j(j=)的齊次變換矩陣為： =Rot(z,)Rot(y,)Rot(x,) 其中 Rot(x,)= Rot(y,)= Rot(z,)= 變換后在j坐標系下的坐標為 = 2 變胞機構(gòu)任意構(gòu)態(tài)q的運動分析2.1 位移分析 假設(shè)某一變胞機構(gòu)包含c個構(gòu)態(tài) ，構(gòu)態(tài)q為此變胞機構(gòu)的任意一個構(gòu)態(tài)。已知變胞機構(gòu)在構(gòu)態(tài)q共有個體，兩相鄰體k與j以某

7、一約束相聯(lián)，j是k的低序體，即 j= 設(shè)是變胞機構(gòu)的慣性坐標系，（k=1，2，）為構(gòu)態(tài)q中各活動構(gòu)件上的固連坐標系，固連坐標系的原點為，單位向量、。設(shè)機構(gòu)在構(gòu)態(tài)q的運動過程中，任一構(gòu)件相對于其低序體的齊次變換矩陣為，沿著低序體遞推，就可以得到典型體在慣性坐標系下的位姿 =（k=1,2，） 如果選定典型體上任意點P，P相對于其體上的固聯(lián)坐標系中的坐標（，）。在構(gòu)態(tài)q時，其活動構(gòu)件經(jīng)過一系列繞軸線的轉(zhuǎn)動和沿軸線的平動后，點P在其新位置相對于慣性坐標系的齊次坐標表達式為： = 其中的意義為：左上標為變胞機構(gòu)的某一構(gòu)態(tài)q;右上標為任意點P相對于k系的坐標；右下標為k體上的P點。 已知已知各典型體相對于

8、體低序體的齊次變換矩陣,即可求出任意兩典型體間的位置關(guān)系,此即為變胞機構(gòu)的位置正解當需要求典型體的位姿逆解時,可用一系列齊次變換矩陣的逆矩陣左乘對典型體的位姿正解方程式求解: = = = 然后考察各方程式右端的元素,找出那些為零或為常數(shù)的元素,令這些元素與左端元素相等,即可求出全部的關(guān)節(jié)變量有時不需要做完所有的遞推,即可求出全部的關(guān)節(jié)變量 2.2速度分析 設(shè)變胞機構(gòu)在構(gòu)態(tài)q時,兩相鄰桿件,以旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié).相聯(lián),己知桿以速度/v,0-1移動,并以角速度轉(zhuǎn)動。而桿在關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩的作用下繞關(guān)節(jié)軸相對于以角速度旋轉(zhuǎn)，于是對桿來說，其上固聯(lián)坐標系的原點相對的線速度和桿的角速度分別是： =+ =+ 其中,表示

9、由,到的位置向量。 變胞機構(gòu)是一個多體系統(tǒng),為便于計算,還可以把某構(gòu)件的速度和角速度表示在自身的坐標系中,將會使計算簡化。 =+=其中是相對于的齊次變換矩陣。由于平移對向量不產(chǎn)生影響,所以對于速度和加速度的齊次變換矩陣只考慮旋轉(zhuǎn)變換,不考慮平移變換。3實例分析及仿真 變胞機構(gòu)在運動過程中,構(gòu)態(tài)會發(fā)生變化,各個構(gòu)態(tài)間有效構(gòu)件數(shù)或自由度也隨之變化,構(gòu)件間的運動關(guān)系會發(fā)生轉(zhuǎn)移。本節(jié)用低序體陣列針對一種典型的含有閉環(huán)約束、并含移動副連接的變胞機構(gòu)進行構(gòu)態(tài)分析和運動學仿真。O(O1)P(P0)xy1y4x4y4x4y1xO(O1)y(x1)P(P0) 圖一 圖二 此變胞機構(gòu)有二個構(gòu)態(tài),初始狀態(tài)如圖一所示

10、。第一個構(gòu)態(tài)為構(gòu)件2、3、4與構(gòu)件1固定,構(gòu)件1繞轉(zhuǎn)動副A旋轉(zhuǎn)角,然后構(gòu)件1與機架固定；第二個構(gòu)態(tài)為構(gòu)件4沿構(gòu)件1平動一定距離后停下,平移的最大位移受構(gòu)件2和構(gòu)件3尺寸的限制?，F(xiàn)考察構(gòu)件4在整個變胞過程中的運動情況,建立坐標系如圖一所示。選擇斷開構(gòu)件3和構(gòu)件4間的轉(zhuǎn)動副,圖所示機構(gòu)的低序體陣列如表所示。 表一 機構(gòu)的低序體陣列1234012100100000構(gòu)件1相對于機架繞z軸旋轉(zhuǎn)角,如圖所示。即固定在構(gòu)件1上的動坐標系繞頂坐標系旋轉(zhuǎn)角,齊次變換矩陣為構(gòu)件1繞轉(zhuǎn)動副旋轉(zhuǎn)角后與機架固定,機架的運動轉(zhuǎn)移到構(gòu)件1上。構(gòu)件4沿構(gòu)件1的平動,即構(gòu)件4上動坐標系在構(gòu)件1坐標中沿軸x1平移齊次變換矩陣為所

11、以得到構(gòu)件相對于固定坐標系的齊次變換矩陣設(shè)各桿長度分別為。為了避免變胞機構(gòu)在構(gòu)態(tài)變化時產(chǎn)生過大的剛性沖擊,應(yīng)使變胞機構(gòu)在構(gòu)態(tài)切換時采用先加速后減速的運動過程,使構(gòu)態(tài)平穩(wěn)切換。運動過程為構(gòu)態(tài)一：構(gòu)態(tài)二：運動學初始條件為取仿真時間T=4s,得到P點位移、速度的仿真結(jié)果所示。 圖三 位移時間圖 圖四 速度時間圖總結(jié) Huston低序體陣列法能將變胞機構(gòu)運動學分析與其構(gòu)態(tài)描述結(jié)合起來。齊次變換矩陣能很好地表達空間剛體的位姿及剛體上任意點的坐標變換。本文采用齊次坐標變換描述了相鄰構(gòu)件之間的變換關(guān)系，再根據(jù)各構(gòu)件之間的遞推關(guān)系推導出各構(gòu)件的運動學關(guān)系。采用Huston低序體陣列和齊次變換矩陣相結(jié)合的方法來

12、研究變胞機構(gòu)的運動學，推導出變胞機構(gòu)任意構(gòu)態(tài)R之典型體k的位置、速度和加速度。從而為建立變胞機構(gòu)的動力學模型打下基礎(chǔ)。通過對一個典型變胞機構(gòu)的運動學仿真，得到了變胞機構(gòu)在構(gòu)態(tài)切換時加速度一般會有突變的結(jié)論。參考文獻1.金國光, 張啟先等. 變胞機構(gòu): 理論研究若干問題及其應(yīng)用 J . 機械設(shè)計與研究, 2002, 增刊: 24 26。2.金國光.變胞機構(gòu)結(jié)構(gòu)學、運動學及動力學研究R.北京:北京航空航天大學博士后研究報告，2003年1月UD L, Dai J S, Sun H. Configuration based synthesis of a Carton-like metamorphic

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