2021屆高考數(shù)學一輪復(fù)習第十章選修系列選修4_4坐標系與參數(shù)方程第一節(jié)坐標系教師文檔教案文北師大版

1、選修選修 4 44 4坐標系與參數(shù)方程坐標系與參數(shù)方程第一節(jié)坐標系授課提示：對應(yīng)學生用書第 198 頁基礎(chǔ)梳理1坐標系(1)坐標變換設(shè)點 p(x，y)是平面直角坐標系中的任意一點，在變換：xx（0） ，yy（0）的作用下，點 p(x，y)對應(yīng)到點(x，y)，稱為坐標系中的伸縮變換(2)極坐標系在平面內(nèi)取一個定點 o，叫作極點；自極點 o 引一條射線 ox，叫作極軸； 再選一個長度單位， 一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個極坐標系設(shè) m 是平面內(nèi)任意一點，極點 o 與點 m 的距離|om|叫作點 m 的極徑，記為；以極軸 ox 為始邊，射線 om 為終邊的

2、角 xom 叫作點m 的極角，記為，有序數(shù)對(，)叫作點 m 的極坐標，記為 m(，)2直角坐標與極坐標的互化把直角坐標系的原點作為極點， x 軸非負半軸作為極軸， 且在兩坐標系中取相同的長度單位 設(shè)m 是 平 面 內(nèi) 的 任 意 一 點 ， 它 的 直 角 坐 標 、 極 坐 標 分 別 為 (x ， y) 和 ( ， ) ， 則xcos ，ysin ，2x2y2，tan yx（x0）.3常用簡單曲線的極坐標方程曲線圖形極坐標方程圓心在極點，半徑為 r 的圓r圓心為(r，0)，半徑為 r 的圓2rcos22圓心為r，2 ，半徑為 r 的圓2rsin(00） ，yy（0） ，可將其代入 x2y

3、21，得2x22y21.將 4x29y236 變形為x29y241，比較系數(shù)得13，12.所以x13x，y12y.故將橢圓 4x29y236 上的所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?3，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?2，可得到圓 x2y21.法二： 利用配湊法將 4x29y236 化為x32y221， 與 x2y21 對應(yīng)項比較即可得xx3，yy2.故將橢圓 4x29y236 上的所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?3，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?2，可得到圓 x2y21.破題技法1.平面上的曲線 yf(x)在變換：xx（0） ，yy（0）的作用下的變換方程的求法是將xx，yy代入 yf(x)，得yfx ，整理之后得到 yh(x)，即

4、為所求變換之后的方程2應(yīng)用伸縮變換時，要分清變換前的點的坐標(x，y)與變換后的坐標(x，y)1(2020池州模擬)求曲線 x2y21 經(jīng)過：x3x，y4y變換后得到的新曲線的方程解析：曲線 x2y21 經(jīng)過：x3x，y4y變換后，即將xx3，yy4代入圓的方程，可得x29y2161，即所求新曲線方程為：x29y2161.2求正弦曲線 ysin x 按：x13x，y12y變換后的函數(shù)解析式解析：設(shè)點 p(x，y)為正弦曲線 ysin x 上的任意一點，在變換：x13x，y12y的作用下，點 p(x，y)對應(yīng)到點 p(x，y)即x3x，y2y，代入 ysin x 得 2ysin 3x，所以 y1

5、2sin 3x，即 y12sin 3x 為所求考點二求曲線的極坐標方程例(2019高考全國卷)在極坐標系中，o 為極點，點 m(0，0)(00)在曲線 c：4sin 上，直線 l 過點 a(4，0)且與 om 垂直，垂足為 p.(1)當03時，求0及 l 的極坐標方程；(2)當 m 在 c 上運動且 p 在線段 om 上時，求 p 點軌跡的極坐標方程解析(1)因為 m(0，0)在曲線 c 上，當03時，04sin32 3.由已知得|op|oa|cos32.設(shè) q(，)為 l 上除 p 外的任意一點在 rtopq 中，cos3 |op|2.經(jīng)檢驗，點 p2，3 在曲線cos3 2 上，所以，l

6、的極坐標方程為cos3 2.(2)設(shè) p(，)，在 rtoap 中，|op|oa|cos 4cos ，即4cos .因為 p 在線段 om 上，且 apom，所以的取值范圍是4，2 .所以，p 點軌跡的極坐標方程為4cos ，4，2 .破題技法1.將03代入4sin 求得0.由0可求得|op|，從而求得 l 的極坐標方程2設(shè)點 p(，)，用，表示出 rtaop 中的邊角關(guān)系，從而求出 p 點軌跡的極坐標方程(2019高考全國卷)如圖，在極坐標系 ox 中，a(2，0)，b2，4 ，c2，34 ，d(2，)，弧ab， bc，cd所在圓的圓心分別是(1， 0)，1，2 ， (1， )， 曲線 m1

7、是弧ab，曲線 m2是弧bc，曲線 m3是弧cd.(1)分別寫出 m1，m2，m3的極坐標方程；(2)曲線 m 由 m1，m2，m3構(gòu)成，若點 p 在 m 上，且|op| 3，求 p 的極坐標解析：(1)由題設(shè)可得，弧ab， bc，cd所在圓的極坐標方程分別為2cos ，2sin ，2cos .所以 m1的極坐標方程為2cos 04 ，m2的極坐標方程為2sin 434 ，m3的極坐標方程為2cos 34.(2)設(shè) p(，)，由題設(shè)及(1)知若 04，則 2cos 3，解得6；若434，則 2sin 3，解得3或23；若34，則2cos 3，解得56.綜上，p 的極坐標為3，6 或3，3 或3

8、，23 或3，56 .考點三極坐標與直角坐標的互化例(2018高考全國卷)在直角坐標系 xoy 中， 曲線 c1的方程為 yk|x|2.以坐標原點為極點，x 軸非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線 c2的極坐標方程為22cos 30.(1)求 c2的直角坐標方程；(2)若 c1與 c2有且僅有三個公共點，求 c1的方程解析(1)由 xcos ，ysin 得 c2的直角坐標方程為(x1)2y24.(2)由(1)知 c2是圓心為 a(1，0)，半徑為 2 的圓由題設(shè)知，c1是過點 b(0，2)且關(guān)于 y 軸對稱的兩條射線記 y 軸右邊的射線為 l1，y 軸左邊的射線為 l2.由于點 b 在圓 c2的外

9、面，故 c1與 c2有且僅有三個公共點等價于 l1與 c2只有一個公共點且 l2與 c2有兩個公共點，或 l2與 c2只有一個公共點且 l1與 c2有兩個公共點當 l1與 c2只有一個公共點時，點 a 到 l1所在直線的距離為 2，所以|k2|k212，故 k43或k0.經(jīng)檢驗，當 k0 時，l1與 c2沒有公共點；當 k43時，l1與 c2只有一個公共點，l2與 c2有兩個公共點當 l2與 c2只有一個公共點時，點 a 到 l2所在直線的距離為 2，所以|k2|k212，故 k0 或 k43.經(jīng)檢驗，當 k0 時，l1與 c2沒有公共點；當 k43時，l2與 c2沒有公共點綜上，所求 c1的

10、方程為 y43|x|2.破題技法極坐標方程與普通方程的互化技巧(1)將極坐標方程兩邊同乘或同時平方，將極坐標方程構(gòu)造成含有cos ，sin ，2的形式，然后利用公式代入化簡得到普通方程(2)巧借兩角和差公式，轉(zhuǎn)化sin()或cos()的結(jié)構(gòu)形式，進而利用互化公式得到普通方程(3)將直角坐標方程中的 x 轉(zhuǎn)化為cos ，將 y 換成sin ，即可得到其極坐標方程在直角坐標系 xoy 中，曲線 c1的參數(shù)方程為xacos t，y1asin t，(t 為參數(shù)，a0)在以坐標原點為極點，x 軸非負半軸為極軸的極坐標系中，曲線 c2：4cos .(1)說明 c1是哪一種曲線，并將 c1的方程化為極坐標方

11、程；(2)直線 c3的極坐標方程為0，其中0滿足 tan 02，若曲線 c1與 c2的公共點都在 c3上，求 a.解析：(1)消去參數(shù) t 得到 c1的普通方程 x2(y1)2a2.c1是以(0，1)為圓心，a 為半徑的圓將 xcos ，ysin 代入 c1的普通方程中，得到 c1的極坐標方程為22sin 1a20.(2)曲線 c1，c2的公共點的極坐標滿足方程組22sin 1a20，4cos .若0，由方程組得 16cos28sin cos 1a20，由已知 tan 2，可得 16cos28sin cos 0，從而 1a20，解得 a1(舍去)或 a1.a1 時，極點也為 c1，c2的公共點

12、，在 c3上所以 a1.考點四極坐標方程的應(yīng)用例在直角坐標系 xoy 中，以坐標原點為極點，x 軸非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線 c1的極坐標方程為cos 4.(1)m 為曲線 c1上的動點，點 p 在線段 om 上，且滿足|om|op|16，求點 p 的軌跡 c2的直角坐標方程；(2)設(shè)點 a 的極坐標為2，3 ，點 b 在曲線 c2上，求oab 面積的最大值解析(1)設(shè) p 的極坐標為(，)(0)，m 的極坐標為(1，)(10)由題設(shè)知|op|，|om|14cos .由|om|op|16 得 c2的極坐標方程為4cos (0)因此 c2的直角坐標方程為(x2)2y24(x0)(2)設(shè)點

13、b 的極坐標為(b，)(b0)由題設(shè)知|oa|2，b4cos ，于是oab 的面積s12|oa|bsinaob4cos |sin3 |2|sin23 32|2 3.當12時，s 取得最大值 2 3.所以oab 面積的最大值為 2 3.破題技法1.涉及圓的極坐標方程的解決方法方法一：先把涉及的直線或圓的極坐標方程化為直角坐標方程，再根據(jù)直角坐標系中的相關(guān)知識進行求解；方法二： 直接利用極坐標的相關(guān)知識進行求解， 其關(guān)鍵是將已知條件表示成和之間的關(guān)系 這一過程需要用到解三角形的知識，并需要掌握直線和圓的極坐標方程2判斷位置關(guān)系和求最值問題的方法(1)已知極坐標方程討論位置關(guān)系時，可以先化為直角坐標方程，化陌生為熟悉再進行解答(2)已知極坐標方程解答最值問題時，通?？赊D(zhuǎn)化為三角函數(shù)模型求最值問題，比直角坐標系中求最值的運算量小(2020山西太原模擬)點 p 是曲線 c1：(x2)2y24 上的動點，以坐標原點 o 為極點，x 軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，以極點 o 為中心，將點 p 逆時針旋轉(zhuǎn) 90得到點 q，設(shè)點 q的軌跡為曲線 c2.(1)求曲線 c1，c2的極坐標方程；(2)射