基于MATLAB環(huán)境的數(shù)字濾波器設計

1、 引 言隨著信息時代和數(shù)字世界的到來，數(shù)字信號處理已成為今一門極其重要的學科和技術領域。數(shù)字濾波器是數(shù)字信號處理的基礎，用來對信號進行過濾、檢測與參數(shù)估計等處理，在通信、圖像、語音、雷達等許多領域有著十分廣泛的應用。尤其在圖像處理、數(shù)據(jù)壓縮等方面取得了令人矚目的進展和成就2。所以，數(shù)字濾波器的設計就顯的尤為重要。在與模擬濾波器相比，數(shù)字濾波器是利用離散時間系統(tǒng)的特性對輸入信號波形或頻率進行加工處理?；蛘哒f，把輸入信號變成一定的輸出信號，從而達到改變信號頻譜的目的。它具有精度高、穩(wěn)定、體積小、重量輕、靈活、不要求阻抗匹配以及能實現(xiàn)模擬濾波器無法進行的特殊濾波等優(yōu)點。 目前數(shù)字濾波器的設計有很多現(xiàn)

2、成的高級語言設計程序，但它們都存在設計效率低，不具有可視圖形，不便于修改等缺點，而MATLAB的FDATOOL工具為數(shù)字濾波器的研究和應用提供了一個直觀、高效、便捷的利器。它以矩陣運算為基礎，把計算、可視化、仿真設計融合到一個交互式的工作環(huán)境中。MATLAB擁有多樣的工具箱，它們?yōu)楦黝I域帶來了直觀方便的應用。其中，信號處理、圖像處理等工具箱為數(shù)字濾波研究的蓬勃發(fā)展提供了有力的工具。本文介紹了一種基于MATLAB環(huán)境下對數(shù)字濾波器進行設計與仿真的方法。 在基于MATLAB環(huán)境的數(shù)字濾波器的設計過程中，MATLAB工具箱提供了幾種模擬濾波器的原型產(chǎn)生函數(shù)；模擬低通濾波器原型向低通、高通、帶通、帶阻

3、的轉變函數(shù)；從模擬濾波器向數(shù)字濾波器轉換的雙線性變換和沖激響應不變法；數(shù)字濾波器直接設計函數(shù)等。這一套設計函數(shù)在MATLAB中對于濾波器的設計帶來了極大的方便。在使用時，可以隨時對比設計要求和濾波器特性調(diào)整參數(shù)，直觀簡便，極大的減輕了工作量，有利于濾波器設計的最優(yōu)化。1數(shù)字濾波器及MATLAB語言概述1.1數(shù)字濾波器概述1.1.1 濾波器的發(fā)展過程 凡是有能力進行信號處理的裝置都可以稱為濾波器。在所有的電子部件中，使用最多，技術最復雜，濾波器的優(yōu)劣直接決定產(chǎn)品的優(yōu)劣，所以，對濾波器的研究和生產(chǎn)歷來為各國所重視。1917年美國和德國科學家分別發(fā)明了LC濾波器，次年美國第一個多路復用系統(tǒng)出現(xiàn)。到2

4、0世紀50年代，無源濾波器EI日趨成熟。到60年代中期，形成了數(shù)字濾波器的完整而正規(guī)的理論。具體來說，人們提出了各種濾波器結構，有的以運算誤差最小為特點，有的則以運算速度高見長，而有的則二者兼而有之。70年代以后濾波器的主攻方向為低耗能、高精度、小體積、多工藝、穩(wěn)定可靠并且價廉，這就導致數(shù)字濾波器、RC有源濾波器、開關電容濾波器和電荷轉移濾波器等各種濾波器的飛速發(fā)展。到了80年代，人們開始致力于各種新型濾波器的研究，如對自適應濾波器的廣發(fā)研究，所取得的成果在通信、雷達、語音、圖像等領域獲得了廣泛應用。90年代至今仍致力于把各類濾波器應用在產(chǎn)品的開發(fā)和研制上。當然，對濾波器本身的研究仍在不斷進行

5、。我國廣泛使用濾波器是在50年代以后，經(jīng)過半個世紀的發(fā)展，我國在研制、生產(chǎn)和應用等方面已納入國際發(fā)展步伐，現(xiàn)有濾波器的種類和所覆蓋的頻率也基本上可以滿足各種電信產(chǎn)品。 1.1.2 濾波器的原理 濾波器，其作用是對輸入信號起到濾波的作用。對于圖1-1所示的LSI系統(tǒng)，其時域輸入輸出關系為： (1-1) x(n) y(n) h(n)圖 1-1 若y(n),x(n)的傅立葉變換存在，則輸入輸出的頻域關系是： （1-2） 當輸入信號x(n)通過濾波器系統(tǒng)h(n)后，其輸出y(n)中不再含有|c的頻率成分，僅使|c的信號成分通過。因此，濾波器的形狀不同，其濾波后的信號結果也不一樣。 當濾波器的輸入、輸出

6、都是離散時間信號，那么該濾波器的單位沖激響應h(n)也必然是離散的，這種濾波器稱為數(shù)字濾波器（DF）。當用硬件實現(xiàn)一個DF時，所需元件是延遲器、乘法器和加法器；而利用MATLAB軟件時，它僅需要線性卷積程序便可實現(xiàn)。而模擬濾波器（AF）只能用硬件實現(xiàn)。因此DF比AF容易實現(xiàn)，且更容易獲得理想的濾波特性。數(shù)字濾波器具有以下優(yōu)點：精度和穩(wěn)定性高；系統(tǒng)函數(shù)容易改變；靈活性高；不存在阻抗匹配 ；便于大規(guī)模集成；可實現(xiàn)多維濾波。 在濾波器中，把信號能夠通過的頻率范圍，稱為通頻帶或通帶；反之，信號受到很大衰減或完全被抑制的頻率范圍稱為阻帶；通帶和阻帶之間的分界頻率稱為截止頻率；理想濾波器在通帶內(nèi)的電壓增益

7、為常數(shù)，在阻帶內(nèi)的電壓增益為零；實際濾波器的通帶和阻帶之間存在一定頻率范圍的過渡帶。1.2 數(shù)字濾波器的定義及分類1.2.1 數(shù)字濾波器的定義 數(shù)字濾波器是指完成信號濾波處理功能的，用有限精度算法實現(xiàn)的離散時間線性非時變系統(tǒng)，信號通過線性系統(tǒng)后，其輸出就是輸入信號和系統(tǒng)沖激響應的卷積。因此，數(shù)字濾波器本身既可以是用數(shù)字硬件裝配成的一臺完成給定運算的專用的數(shù)字計算機，也可以將所需要的運算編程程序，讓通用計算機來執(zhí)行。數(shù)字濾波器，輸入輸出均為數(shù)字信號，通過一定的運算關系，改變輸入信號中所含頻率成分的相對比例，或則濾除某些頻率成分的器件。1.2.2數(shù)字濾波器的分類 數(shù)字濾波器可以有很多的分類方法，但

8、總體上可以分為兩大類。一類稱為經(jīng)典濾波器，即一般的濾波器，其特點是輸入信號中的有用成分和希望濾除的成分占用不同的頻帶，通過合適的選頻濾波器可以實現(xiàn)濾波。例如，若輸入信號中有干擾，信號和干擾的頻帶互不重疊，則可濾除信號中的干擾得到純信號。但是，如果輸入信號中信號和干擾的頻帶相重疊，則干擾就不能被有效的濾除。另一類稱為現(xiàn)代濾波器，如維納濾波器、卡爾曼濾波器等，其輸入信號中有用信號和希望濾除的成分頻帶重疊。對于經(jīng)典濾波器，從頻域上也可以分為低通、高通、帶通和帶阻濾波器。從時域特性上看，數(shù)字濾波器還可以分為有限沖激響應數(shù)字濾波器（FIR）和無限沖激響應數(shù)字濾波器（IIR）。 對于有限沖激響應數(shù)字濾波器

9、（FIR），其輸出y(n)只取決于有限個過去和現(xiàn)在的輸入，x(n),x(n-1),x(n-m),濾波器的輸入輸出關系可表示為： (1-3) 對于無限沖激響應數(shù)字濾波器（IIR），它的輸出不僅取決于過去和現(xiàn)在的輸入，而且還取決于過去的輸出，其差分方程為： (1-4) 該差分方程的單位沖激響應是無限延續(xù)的。1.2.3常用濾波器的性能指標 濾波器性能一般用系統(tǒng)頻率特性H(ejw)來說明，常用的性能指標主要有以下三個參數(shù)：1. 幅度平方函數(shù) (1-5)該性能指標主要用來說明系統(tǒng)的幅頻特性。2. 相位函數(shù) (1-6) 其中： (1-7)該指標主要用來說明系統(tǒng)的相位特性。3. 群延時 (1-8) 定義為相

10、位對角頻率導致的負值，說明了濾波器對不同的頻率成分的平均延時。當要求在通帶內(nèi)的群延遲是常數(shù)時，濾波器相位響應特性是線性的。 實際設計中所能得到的濾波器的頻率特性與理想濾波器的頻率特性之間存在著一些顯著的差別，現(xiàn)以低通濾波器的頻率特性為例進行說明。1. 理想低通濾波器的特性：設濾波器輸入信號為x(t),信號中混入噪音u(t),它們有不同的頻率成分。濾波器的單位脈沖響應為h(t)。則理想濾波器輸出為： (1-9)即噪音信號被濾除u(t)*h(t)=0.而信號無失真只有延時和線性放大。對上式作傅立葉變換得： (1-10)假定噪音信號被濾除，即： (1-11) 整理得： (1-12) 圖1-2 理想濾

11、波器頻率特性 圖1-3 理想濾波器單位脈沖響應假定信號頻率成分為，噪音頻率成分為。則完成濾波的理想低通濾波器特性是： (1-13)即： (1-14) (1-15)系統(tǒng)的單位脈沖響應為： (1-16)理想低通濾波器的頻率特性如圖1-2所示，單位脈沖響應的波形如圖1-3所示。理想濾波器具有非因果、無限長的單位脈沖響應和不連續(xù)的頻率特性，要用穩(wěn)定的線性時不變（LTI）系統(tǒng)來實現(xiàn)這樣的特性是不可能的。工程上是用脈沖響應為有限長的、因果的、穩(wěn)定的線性時不變系統(tǒng)或具有連續(xù)頻率特性的線性時不變系統(tǒng)來逼近理想特性。在滿足一定的誤差要求的情況下來實現(xiàn)理想濾波特性。因此實際的濾波器的頻率特性如圖1-4所示。 圖1

12、-4 實際濾波器的頻率特性其中：c截止頻率s阻帶起始頻率s-c過渡帶寬在通帶內(nèi)幅度響應以的誤差接近于1，即： (1-17)s為阻帶起始頻率，在阻帶內(nèi)幅度響應以小于的誤差接近于零，即： (1-18) 為了使逼近理想低通濾波器的方法成為可能，還必須提供一帶寬為s-c的不為零的過渡帶。在這個頻帶內(nèi)，幅度響應從通帶平滑的下落到阻帶。1.3 MATLAB軟件概述 MATLAB是美國MathWorks公司開發(fā)的一種功能極其強大的高技術計算語言和內(nèi)容極其豐富的軟件庫，集數(shù)值計算、矩陣運算和信號處理與顯示于一身。該軟件最初是由美國教授Cleve Moler創(chuàng)立的。1980年前后，他在教線性代數(shù)課程時，發(fā)現(xiàn)用其

13、他高級語言編程時極不方便，便構思開發(fā)了MATLAB，即矩陣實驗室（Matrix Laboratory）。該軟件利用了當時代表數(shù)值線性代數(shù)領域最高水平的EISPACK和LINPACK兩大軟件包，并且利用Fortran語言編寫了最初的一套交互式軟件系統(tǒng)，MATLAB的最初版本便由此產(chǎn)生了。 最初的MATLAB由于語言單一，只能進行矩陣的運算，繪圖也只能用原始的描點法，內(nèi)部函數(shù)只有幾十個，因此功能十分簡單。1984年該公司推出了第一個MATLAB的商業(yè)版，并用C語言作出了全部改寫。現(xiàn)在的MATLAB程序是MathWorks公司用C語言開發(fā)的，第一版由Steve Bangert主持開發(fā)翻譯解釋程序的，

14、Steve Kleiman完成圖形功能的設計，John Little和Cleve Moler主持開發(fā)了各類數(shù)學分析的子模塊、撰寫用戶指南和大部分的M文件。接著又添加了豐富的圖形圖像處理、多媒體功能、符號運算和與其它流行軟件的接口功能，使MATLAB的功能越來越強大。 MATLAB系統(tǒng)主要由以下五個部分組成3： （1）MATLAB語言體系。 MATLAB是高層次的矩陣(數(shù)組)語言，具有條件控制、函數(shù)調(diào)用、數(shù)據(jù)結構、面向對象等程序語言特性。利用它既可以進行小規(guī)模編程，完成算法設計和算法實驗的基本任務，也可以進行大規(guī)模編程，開發(fā)復雜的應用程序。 （2）MATLAB工作環(huán)境。 這是對MATLAB提供給

15、用戶使用的管理功能的總稱。包括管理工作空間中的變量數(shù)據(jù)輸入輸出的方式和方法，以及開發(fā)、調(diào)試、管理M文件的各種工具。 （3）圖形句相系統(tǒng)。 這是MATLAB圖形系統(tǒng)的基礎，包括完成2D和3D數(shù)據(jù)顯示、圖像處理、動畫生成、圖形顯示等功能的高層MATLAB命令，也包括用戶對圖形圖像等對象進行特性控制的低層MATLAB命令，以及開發(fā)GUI(圖形用戶界面，Graphic User Interface)應用程序的各種工具。 （4）MATLAB數(shù)學函數(shù)庫。這是對MATLAB使用的各種數(shù)學算法的總稱。包括各種初等函數(shù)的算法，也包括矩陣運算、矩陣分析等高層次數(shù)學算法。 （5）MATLAB應用程序接口（API）。

16、這是MATLAB為用戶提供的一個函數(shù)庫，使得用戶能夠在MATLAB環(huán)境中使用C程序或FORTRAN程序，包括從MATLAB中調(diào)用于程序，讀取MAT文件的功能。 除此之外，MATLAB系統(tǒng)還具有如下特點： a可以在多種操作系統(tǒng)下運行，如DOS、Windows95/98/2000/NT、Compaq Alpha、Linuxsun Solaris等。 b有超過500種的數(shù)學、統(tǒng)計、科學及工程方面的函數(shù)，使用簡單快捷，并且有很強的用戶自定義函數(shù)的能力。 c. 有強大的圖形繪制和可視化功能，可以進行視覺數(shù)據(jù)處理和分析，進行圖形、圖像的顯示及編輯，能夠繪制二維、三維圖形，使用戶可以制作高質(zhì)量的圖形，從而寫

17、出圖文并茂的文章。 d.有和其他高級語言（如C、C+，F(xiàn)ORTRAN,JAVA）編寫的外部程序相接口的能力，也可以把MATLAB程序轉換成上述高級語言的子程序。 e.有從外部文件及外部硬件設備讀入數(shù)據(jù)的能力。 f.有豐富的網(wǎng)絡資源，從相關的Web網(wǎng)站可以直接獲得全套的MATLAB聯(lián)機幫助文件和說明書的電子文檔，還可以獲得各類技術支持與幫助。 g. MATLAB的缺點是，與其他高級程序相比，程序執(zhí)行的速度較慢。由于MATLAB的程序不用編譯等預處理，也不生成可執(zhí)行文件，程序為解釋執(zhí)行，所以速度較慢。 h功能強大的工具箱是MATLAB的另一特色。MATLAB包含兩個部分：核心部分和各種可選的工具箱

18、。核心部分中有數(shù)百個核心內(nèi)部函數(shù)。其工具箱又分為兩類：功能性工具箱和學科性工具箱。功能性工具箱主要用來擴充MATLAB的符號計算、圖形可視化、建模仿真、文字處理等功能以及與硬件實時交互的功能。功能性工具箱用于多種學科。學科性工具箱是按學科領域來分類的，如信號處理、控制、通信、神經(jīng)網(wǎng)絡圖像處理、系統(tǒng)辨識、模糊邏輯等工具箱。 MATLAB中的信號處理工具箱內(nèi)容豐富，使用簡便。在數(shù)字信號處理中常用的算法，如FFT，卷積，相關，濾波器設計，參數(shù)模型等，幾乎都只用一條語句即可調(diào)用。數(shù)字信號處理中常用的函數(shù)有波形的產(chǎn)生、濾波器的分析和設計、傅里葉變換、Z變換等。 MATLAB數(shù)字信號處理工具箱和濾波器設計

19、工具箱專門應用于信號處理領域。工具箱可以使原來繁瑣的程序設計簡化成函數(shù)的調(diào)用。只要以正確的指標參數(shù)調(diào)用相應的濾波器設計程序或工具箱函數(shù)，便可以得到正確的設計結果，使用非常方便。接下來將分別要對IIR數(shù)字濾波器和FIR數(shù)字濾波器的設計實現(xiàn)進行分析討論。在具體的設計工程中，將充分發(fā)揮MATLAB軟件在數(shù)值計算、圖像處理中的優(yōu)勢，并充分利用其強大的濾波器設計工具箱（FDTOOL）及圖像用戶界面工具輔助設計分析。 2. IIR濾波器設計2.1 數(shù)字濾波器設計方法概述數(shù)字濾波器設計的一個重要步驟是確定一個可實現(xiàn)的傳遞函數(shù)H（z），這個確定傳遞函數(shù)H（z）的過程稱為數(shù)字濾波器的設計。數(shù)字濾波器設計的一般步

20、驟為：1.按照實際需要，確定濾波器的性能要求（通常在頻域內(nèi)給定數(shù)字濾波器的性能要求）。2.尋找一滿足預定性能要求的離散時間線性系統(tǒng)。3.用有限精度的運算實現(xiàn)所設計的系統(tǒng)。4.通過模擬，驗證所設計的系統(tǒng)是否符合給定性能要求。2.2 IIR濾波器的設計 IIR數(shù)字濾波器的沖激響應h(n)是無限長的，其輸入輸出關系為： (2-1) 系統(tǒng)函數(shù)為： (2-2) 設計無限長單位脈沖響應（IIR）數(shù)字濾波器一般可有三種方法： 第一種方法：先設計一個合適模擬濾波器，然后將其數(shù)字話，即將S平面映射到Z平面得到所需的數(shù)字濾波器。模擬濾波器的設計技巧非常成熟，不僅得到的是閉合形式的公式，而且設計系數(shù)已經(jīng)表格化了。因

21、此，由模擬濾波器設計數(shù)字濾波器的方法準確，簡便，得到普遍采用。對于這種方法，工程上有兩種常見的變換法脈沖響應不變法及雙線性變換法。 第二種方法：在Z平面直接設計IIR數(shù)字濾波器，給出閉合形式的公式，或者以所希望的濾波器響應作為依據(jù)，直接在Z平面上通過多次選定極點和零點的位置，以逼近該響應。 第三種方法：利用最優(yōu)化技術設計參數(shù)，選定極點和零點在Z平面上的合適位置，在某種最優(yōu)化準則意義上逼近所希望的響應。但一般不能得到濾波器的系數(shù)（即零，極點的位置）作為給定響應的閉合形式函數(shù)表達式。優(yōu)化設計需要完成大量的迭代運算，這種設計法實際上也是IIR濾波器的直接設計法。 利用模擬濾波器成熟的理論設計IIR數(shù)

22、字濾波器的過程是： （1）確定數(shù)字濾波器的技術指標：通帶邊界頻率p、通帶最大衰減p、阻帶截止頻率s、阻帶最小衰減s。 （2）將數(shù)字濾波器的技術指標轉換成相應的模擬濾波器的技術指標 （3）按照模擬濾波器的技術指標設計過渡模擬濾波器。 （4）用所選的轉換方法，將模擬濾波器Ha(s)轉換成數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)設計流程圖如下： 開始讀入數(shù)字濾波器技術指標將指標轉化為歸一化模擬低通濾波器的指標設計歸一化的模擬低通濾波器階數(shù)N和3dB截止頻率模擬域頻率變換，將G（P）變換成模擬帶通濾波器H(s)用雙線性變換法將H（s）換成數(shù)字帶通濾波器H（z）輸入信號后顯示相關結果H（s）結束圖2-1 數(shù)字濾波器設

23、計流程圖利用用模擬濾波器設計的方法主要有脈沖響應不變法和雙線性變換法。而本文也重點介紹這兩種方法。2.2.1 脈沖響應不變法設計IIR數(shù)字濾波器脈沖響應不變法就是要求數(shù)字濾波器的脈沖響應序列與模擬濾波器的脈沖響應的采樣值相等，即 (2-3) 式中，T為采樣周期。根據(jù)模擬信號的拉普拉斯與離散序列的Z變換之間的關系，我們知道 (2-4) 此式表明，的拉普拉斯變換在S平面上沿虛軸，按照周期s=2/T延拓后，按式，進行Z變換，就可以將映射為。事實上，用脈沖響應不變法設計IIR濾波器，只適合于有單階極點，且分母多項式的階次高于分子多項式階次的情況。將用部分分式表示： (2-5) 式中，LT代表拉普拉斯變

24、換，為單階極點。將進行拉普拉斯反變換，即可得到 (2-6) 式中，u(t)是單位階躍函數(shù)。則的離散序列： (2-7) 對進行Z變換后，可得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) (2-8) 對比與,我們就會發(fā)現(xiàn)：S域中的極點是,映射到Z平面之后，其極點變成了eSiT，而系統(tǒng)沒有發(fā)生變化，仍為Ai。因此，在設計IIR濾波器時，我們只要找出模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)的極點和系數(shù)Ai,通過脈沖響應不變法，代入的表達式中，即可求出，實現(xiàn)連續(xù)系統(tǒng)的離散化1。 但是脈沖響應不變法只適用于設計低通和帶通濾波器，而不適用于設計高通和帶阻濾波器。因為，如果模擬信號的頻帶不是介于/T之間，則會在/T的奇數(shù)倍附近產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象，映射到Z

25、平面后，則會在=附近產(chǎn)生頻率混疊的現(xiàn)象。從而使所設計的數(shù)字濾波器不同程度的偏離模擬濾波器在=附近的頻率特性，嚴重時使數(shù)字濾波器不滿足給定的技術指標。為此，希望設計的濾波器是帶限濾波器，如果不是帶限的，例如，高通濾波器、帶阻濾波器，需要在高通濾波器、帶阻濾波器之前加保護濾波器，濾出高于折疊頻率/T以上的頻帶，以免產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象。但這樣會增加系統(tǒng)的成本和復雜性。因此，高通與帶阻濾波器不適合用這種方法。 在MATLAB中，脈沖響應不變法的調(diào)用函數(shù)是impinvar,其調(diào)用格式為： a.bz,az=impinvar(b,a,fs) b.bz,az=impinvar(b,a) c.bz,az=impi

26、nvar(b,a,fs,tol) 該函數(shù)的功能是將分子向量中為b、分母向量為a的模擬濾波器，轉換為分子向量為bz、分母向量為az的數(shù)字濾波器。fs為采樣頻率，單位為Hz，默認值為1Hz。tol指誤差容限，表示轉換后的離散系統(tǒng)函數(shù)是否有重復的極點。 例如，設計一個濾波器除指定正弦信號中的噪聲，還原正弦信號。該正弦信號為sin(2*pi*100*t),噪聲信號是sin(2*pi*50*t)和sin(2*pi*150*t)。信號采樣頻率為2KHz。濾波器的性能指標：巴特沃斯IIR帶通濾波器；fs=2000Hz,wp1=90Hz,wp2=110Hz,ws1=80Hz,ws2=120Hz,rp=1,rs

27、=20。 程序如下所示： clear wp1=90; wp2=110; ws1=80; ws2=120; fs=2000; rp=1; rs=20; wp=wp1,wp2*2*pi; ws=ws1,ws2*2*pi; bw=wp2*2*pi-wp1*2*pi; wo=2*pi*sqrt(wp2*wp1); n,wn=buttord(wp,ws,rp,rs,s); %估計濾波器階數(shù) z,p,k=buttap(n); %產(chǎn)生模擬低通濾波器原型 b,a=zp2tf(z,p,k); %轉化為轉換函數(shù)形式 Bb,Ab=lp2bp(b,a,wo,bw); %轉化為帶通濾波器 Bbz,Abz=impinva

28、r(Bb,Ab,fs); %調(diào)用脈沖響應不變法 h,w=freqz(Bbz,Abz,512); %計算頻率響應 subplot(2,3,1); %創(chuàng)建子圖 plot(w/pi)*fs/2,20*log10(abs(h); %平面線圖 grid; %畫分格線 xlabel(w/pi); %定義x軸 ylabel(數(shù)字帶通幅度(dB); %定義y軸 t1=0:1/2000:0.5; A=0.5*sin(2*pi*50*t1); B=sin(2*pi*100*t1); C=2*sin(2*pi*150*t1); subplot(2,3,2); plot(t1,A); subplot(2,3,3);

29、plot(t1,B); subplot(2,3,4); plot(t1,C); D=A+B+C; subplot(2,3,5); plot(t1,D); E=filter(Bbz,Abz,D); %生成濾波器函數(shù) subplot(2,3,6); plot(t1,E);圖2-2 濾波器響應曲線圖2.2.2 雙線性變換法設計IIR數(shù)字濾波器 從S平面到Z平面是多值的映射關系會造成頻率響應的混疊失真。為了克服這一缺點，可以采用非線性頻率壓縮方法，將整個頻率軸上的頻率范圍壓縮到/T/T之間，再用轉換到Z平面上。也就是說，第一步先將整個S平面壓縮到S1平面的/T/T一條橫帶里；第二步再通過標準變換關系將

30、此橫帶變換到整個Z平面上去。這樣就使S平面與Z平面建立了一一對應的單值關系，消除了多值變換性，也就消除了頻率混疊現(xiàn)象，映射關系如下圖所示。 S平面 S1平面 Z平面 圖2-3雙線性變換映射關系圖為了將S平面的整個虛軸j壓縮到S1平面j1軸上的/T/T段上，可以通過以下正切變換實現(xiàn) (2-9)式中，T仍為采樣間隔。當1由/T經(jīng)過0變化到/T時，由經(jīng)過0變化到，也即映射了整個j軸。將式（2-9）寫成 (2-10)將此關系解析延拓到整個S平面和S1平面，令j=s,j1=s1,則得： (2-11)再將S1平面通過以下標準變換關系映射到Z平面Z=eS1T從而得到S平面和Z平面的單值映射關系： (2-12

31、) (2-13) 式子（2-12）與式子（2-13）是S平面與Z平面之間的單值映射關系，這種變換都是兩個線性函數(shù)之比，因此稱為雙線性變換。 式子（2-9）與式子（2-12）的雙線性變換符合映射變換應滿足的兩點要求：首先，把z=ej,可得 (2-14)即S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓。其次，將s=+j代入（2-13）得 (2-15)因此 (2-16) 由此看出，當0時，|z|1；當0時，|z|1.也就是說，S平面的左半平面映射到Z平面的單位圓內(nèi)，S平面的右半平面映射到Z平面的單位圓外，S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓上。因此，穩(wěn)定的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后所得的數(shù)字濾波器也一定是穩(wěn)定的。 雙線

32、性變換法的優(yōu)缺點： 雙線性變換法與脈沖響應不變法相比，其主要的優(yōu)點是避免了頻率響應的混疊現(xiàn)象。這是因為S平面與Z平面是單值的一一對應的關系。S平面整個j軸單值地對應于Z平面單位圓一周，即頻率軸是單值變換關系。關系式為： (2-17)這個式子表明，S平面上與Z平面的成非線性的正切關系，如下圖所示。由其映射關系圖可以看出，在零頻率附近，模擬角頻率與數(shù)字角頻率之間的變換關系接近于線性關系；但當進一步增加時，增長的越來越慢，最后當時，終止在折疊頻率=處，因而雙線性變換就不會出現(xiàn)由于高頻部分超過折疊頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象，從而消除了頻率混疊現(xiàn)象。圖2-4雙線性變換法的頻率變換關系 但是，雙線性變換

33、的這個特點是靠頻率的嚴重非線性關系而得到的，如式（2-14）及圖（2-3）所示。由于這種頻率之間的非線性變換關系，就產(chǎn)生了新問題。首先，一個線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后得到非線性相位的數(shù)字濾波器，不再保持原有的線性相位了；其次，這種非線性關系要求模擬濾波器的幅頻響應必須是分段常數(shù)型的，即某一頻率段的幅頻響應近似于某一常數(shù)，不然變換所產(chǎn)生的數(shù)字濾波器幅頻響應相對于原模擬濾波器的幅頻響應會有畸變。這種頻率的畸變可以通過頻率的預畸來加以校正。也就是將臨界模擬頻率事先加以畸變，然后經(jīng)變換后正好映射到所需要的數(shù)字頻率上。 在MATLAB中，雙線性變換法的調(diào)用函數(shù)是bilinear.調(diào)用格式為： a

34、.zd,pd,kd=bilinear(z,p,k,fs) b.zd,pd,kd=bilinear(z,p,k,fs,fp) c.numd,dend=bilinear(num,den,fs) d.numd,dend=bilinear(num,den,fs,fp) e.Aa,Bb,Cc,Dd=bilinear(A,B,C,D,fs) f.Aa,Bb,Cc,Dd=bilinear(A,B,C,D,fs,fp) zd,pd,kd=bilinear(z,p,k,fs)是把模擬濾波器的零極點模型轉換為數(shù)字濾波器的零極點模型，fs為采樣頻率，z,p,k分別為濾波器的零點、極點和增益； numd,dend=b

35、ilinear(num,den,fs)是把模擬濾波器的傳遞函數(shù)模型轉換為數(shù)字濾波器的傳遞模型； Aa,Bb,Cc,Dd=bilinear(A,B,C,D,fs)是把模擬濾波器的狀態(tài)方程模型轉換為數(shù)字濾波器狀態(tài)方程模型。 例如，用雙線性變換法設計一個低通濾波器，給定的數(shù)字濾波器的技術指標為fp=100Hz,fs=300Hz,p=3dB, s=20dB,抽樣頻率Fs=1000Hz。 程序如下所示： clear all; fp=100; fs=300; Fs=1000; rp=3; rs=20; wp=2*pi*fp/Fs; ws=2*pi*fs/Fs; Fs=Fs/Fs; %Firstly to

36、finish frequency prewarping; wap=tan(wp/2); was=tan(ws/2); n,wn=buttord(wap,was,rp,rs,s)n = 2wn = 0.4363 %Note;s! z,p,k=buttap(n); bp,ap=zp2tf(z,p,k)bp = 0 0 1ap = 1.0000 1.4142 1.0000 bs,as=lp2lp(bp,ap,wap) %低通模擬的頻率轉換bs =0.1056as = 1.0000 0.4595 0.1056 %Note;s=(2/Ts)(z-1)(z+1);Ts=1,that is 2fs=1,fs

37、=0.5; bz,az=bilinear(bs,as,Fs/2) %調(diào)用雙線性變換法 bz = 0.0675 0.1349 0.0675az = 1.0000 -1.1430 0.4128 h,w=freqz(bz,az,256,Fs*1000); plot(w,abs(h); grid on;圖2-5 濾波器的特性曲線圖3.FIR濾波器設計由于IIR數(shù)字濾波器能夠保留一些模擬濾波器的優(yōu)良特性， 因此應用很廣。但是這些特性是以犧牲線性相位頻率特性為代價的，即用Butterworth、cheblbchev和橢圓法設計的數(shù)字濾波器逼近理想的濾波器的幅度頻率特性，得到的濾波器往往是非線性的。在許多電子系統(tǒng)中，對幅度頻率特性和線性相位特性都有較高的要求，所以IIR濾波器在這些系統(tǒng)中往往難以勝任。而有限長單位沖擊響應(FIR)數(shù)字濾波器具有以下優(yōu)良的特點：1.可在設計任意幅度頻率特性濾波器的同時，保證準確、嚴格的線性相位特性。2.FIR數(shù)字濾波器的單位沖激響應h(n)是有限長的，可以用一個固定的系統(tǒng)來實現(xiàn)，因而FIR數(shù)字濾波器可以做成因果穩(wěn)定系統(tǒng)。3.允許設計多通帶（多阻帶）系統(tǒng)。FIR數(shù)字濾波器單位沖激響應h(n)的特點：其單位沖激響應h(n)是有限長（1=nwp=0.5*pi;ws=0.66*pi; %