第九章常微分方程初步

1、l第一節(jié) 常微分方程的基本概念l第二節(jié) 一階微分方程l第三節(jié) 高階微分方程的幾個特殊類型l*第四節(jié) 二階線性微分方程( )22,32nyy yyxya yy yx 凡表示函數 及其導數和自變量 之間關系的方程叫作常微分方程,如等.所謂的常微分方程是指只有一個自變量的微分方程,其一般形式為( ) , ,0nf x y y yy.n并稱其為 階常微分方程這里簡稱為.本章主要介紹微分方程的一些基本概念及幾種簡單的常用的微分方程的解法.常微分方程微分方程先從實例出發(fā),來說明微方程的基本概念.,m自由落體問題.設質量為 的物體 受重力作用,自由降落,試建立其方程.即求物體的運動規(guī)律.,( )()stss

2、 t 設物體降落的鉛垂線為 正向指向地心 物體在時刻 的位置為見圖9-122,.d sfmamgmdt由牛頓第二定律 則22:,d sgdt于是有關系式說明運動規(guī)律與質量無關.1,dsstgtcdt為了求 兩端對 積分 有2121( ).2s tgtctc再積分一次,便得運動規(guī)律注意到微分方程的解的過程是求原函數的過程,其解是一個函數.( )( ) , ,0( ),nyf xf x y yyyf x 若將一函數代入到微分方程中去,使方程恒成立,則函數叫作微分方程的解. 圖9-1 物體降落 示意圖so221221( ),2.d ss tgtctcgdt如函數是微分方程的解 將其代入方程恒成立21

3、2332133232.:,32,3()2 .3yxy yxyxy yxxx 再如函數的微分方程的解驗證 因為將代入該微分方程,有12232122223321233(1)32 ?:11(1)2 ,3(+1) (331)22 ,(1)yxy yxyxxy yxxxxyx 問函數是否也滿足該滿足微分方程驗證因為將代入微分方程,有即函數也是該微分方程的解.1232122321233,() (),32.,()32,(1),yxccy yxyxcy yxcyxyx 實際上 函數為任意實數或說成積分常數 都是微分方程解其解有無窮多個 稱為解曲線或者叫作積分曲線是平面內一族曲線.把叫作微分方程的通解,或者說成

4、所有解.若 取定某一固定數值,如等 叫作微分方程的特解.222121232 (),(),.,.ny yxd scgdtc cnnc cc 通過上面例題可以發(fā)現,叫作一階微分方程 的通解只有一個積分常數而為二階微分方程 的通解中有兩個積分常數理由很簡單 因為一階微分方程求解時需積一次分,而二階微分方程積兩次分,依次類推, 階微分方程的通解要有 個積分常數其通解形式為12( ,)nyy x c cc:,.nnn特解的確定 因一階微分方程只有一個積分常數,故需要一個初始條件,二階微分方程有兩個積分常數,故需要兩個初始條件, 階微分方程有 個積分常數 故需要 個初始條件來確定特解( , )x y 已知

5、曲線 上任意一點處之切線垂直于此點與原點的連線, 例1(1)由此建立微分方程;22(2);xyc驗證隱函數為該微分方程的解(3)?該解如何得到的(4)(1,0),.若曲線過點試寫出該曲線方程(1)().;yx,yxyyx 點與原點連續(xù)的斜率為因為過該點切線垂直于其連線,所以此即為所求微分方程解22(2)220,yxyyyxycx 因為所以即為該微分方程的解;2211(3),.22ydyxdxyxc 改寫微分方程成兩端積分可得22;xyc即為該微分方程的解22(4)1,0,1,1().xycxy因為時所以所求曲線方程為特解思考題1.微分方程的通解是否包含方程的所有解?答案202.說明微分方程 的

6、階數.x yxyy答案pt 3.用微分方程表示:在物理中某種氣體的氣壓 對于溫度的 的變化率與氣壓成正比,與溫度的平方成反比.答案4.特征參點答案課堂練習題2sin,1,0.11.確定函數關系式中的參數使之滿足所給的初始條件. 函數為xxy = cxcyy答案tan222.:,sinln,.驗證是微分方程的解xyeyxyy ye答案在本節(jié)中，著重討論幾個簡單形式的一階微分方程的解法.一、可分離變量的微分方程( ) ( ),( ),( ),.dyf x g ydxf xg xx y形如的方程稱為可分離變量的微分方程 其中分別是的連續(xù)函數:( )0,g y 其解法為 設進行變量分離則有( )( )

7、dyf x dxg y,.xy兩端積分,便得 和 的關系式 即解出了微分方程0( ),( )0,.yyxg y如果存在一點 或一函數使該情況另行考慮下面舉例說明.dyxdxy 求解微分方程例122111,.22ydyxdxyxc變量分離兩端積分解22.yxc所以其通解為.m 確定鐳的衰變速度與質量 成正比例2,(0),dmkm kdt 為比例系數 負號表示質量隨時間增加而減少.解1,(0),ln,dmkdt mmktcdt 所以1,kt cktmee 即為衰變規(guī)律.由此可見鐳的質量隨時間增加而按指數規(guī)律衰減.000,.tmcm若已知時 鐳的質量為這時0(92).ktmm e所以有見圖20cos

8、|1.xdyyxydx 解方程 并求滿足初始條件的特解例32110,cos,sin,sindyyxdxxcyyyxc 當時 有所以所以為原方程的通解.解92見圖 例2示意圖ot0mm0,0.yy顯然滿足該微分方程叫作該方程的補解10,1,1,.1 sinxycyx 將代入通解 得所求特解為221.(1)dyydxxxy 解微分方程例422211,1(1)1yxdydxdxyxxxx222211!(1)(1)xxxxxx所以22111ln(1)ln |ln(1)ln222yxxc故222(1)(1),(0)xycxc:,.注意 求解微分方程時 不必寫成顯函數 只寫出關系式即可解(2,3), 一曲

9、線過點 它在兩坐標軸間的任一切線段均為切點平分,求該曲線方程(見圖9-3). 例5( , ),x y設為所求曲線上任意一點過該點的切線方程為解()yyy xx,.0,2 ,x yxyy式中為切線的流動坐標令此時,.dydxyxyyx 于是有即圖9-3 例5示意圖oxyyy( , )x y中點ln |ln |ln ,.2,3,6.yxcxycxyc 所以整理得當時6.xy 故所求曲線方程為6(1,1),(0,0)( , )1,(494).op x yxpyop 例 一曲線從原點經過點伸向第一象限 曲線從點到點一段弧與 軸及過 點平行 軸的直線圍成面積等于為對角線,邊分別平行坐標軸的矩形面積的求該

10、曲線方程 見圖94圖 例6示意圖oxy(1,1)( , )p x y01,0.,4xydxxy xx依題意有兩邊對 求導1()4yyxy33 ,3,ln3lnln ,.dydydxxyyxc ycxdxyx所以1,1.1xyc因為時所以故所求曲線方程為2,(0)yxx二、齊次微分方程dyyfdxx形如的方程稱為齊次微分方程.tandyyydxxx如即為一齊次微分方程.顯然該方程不能變量分離,解決該類問題的方法是解,.yuyxuxx令則兩端對 求導有dyduuxdxdxtan ,.duuxuudx于是便可變量分離tan0,ln |sin| ln |ln ,(0),sintan,(0).dudxu

11、uxc cuuxcx c當時所以tan0,0,0.sin,().uycycx cx 注意到即也是方程的解 所以允許原方程的通解為為任意常數,( ),dyuxf udx上例提供了解齊次微分方程的一般方法 即經過變換后 齊次方程可寫在將其變量分離即為( )dudxf uux227.dydyyxxydxdx例 解微分方程原方程可寫成解22ydyy dyxdxx dx2,ydydududuuyxuuxuuxu uxxdxdxdxdx令則所以即1,(0)udxduuuxln | ln |ln ,0,0.yxuuxc cycec所以故所以原方程通解為,()yxycec為任意實數:.c注 驗證補解過程習慣上

12、可以省略,最后注明 的取值范圍即可三、()dyf axbycdx形如的微分方程,.()dudyduuaxbyabbf ucdxdxdxa令則原方程可轉化成將變量分離即()dudxbf uca28tan ().dyxydx例 解微分方程22,1,tan1,tan1dudy duduuxyudxdxdx dxu 令則2cos.ududx即解11(1 cos2 ),sin2224uu dudxuxc原方程的通解為1sin()24xyxyxc四、一階線性微分方程,.,dypyqpdxqxyy形如稱為一階線性微分方程(!重點掌握!).這里均為 的連續(xù)函數之所以稱為線性 是指函數 及其導數都是一次的.(

13、)0,0q xypy若即稱為一階線性齊次方程.( )0,.q xypyq若即稱為一階線性非齊次方程,ln |,.pdxdypdxyypdxc ycec 對于一階線性齊次方程,其通解很容易解決.即這里 為任意實數對于一階線性非齊次方程,不能進行變量分離,求解稍困難些.00,(),( )pdxpdxpdxypyypyqyceypyypyqyceycepcxc x 不難看出,一階線性齊次方程是非齊次方程的特殊情況,兩者既有聯系又有差異.對于函數來講,它一定是齊次方程的解,一定不是非齊次方程的解 因為若將函數及其導數代入非齊次方程 有左端恒為零,而右端為函數不是零.于是可以猜想,若 不是常數,而 的函

14、數 那么能否選取適當的函數,( )?pdxyc x eypyq使函數是非齊次性方程的解呢( ).pdxyc x e于是人們嘗試:令為非齊次方程的解( )( )( ),pdxpdxpdxyyc x ec x epypyqc x eypypq將 及代入方程中.有所以( ), ( )pdxpdxc xqec xqedxc,( ),( ),pdxpdxc xqedxcyc x eypyq于是 當取適當函數時 函數一定是非齊次線性方程的解 即其通解為pdxpdxyqedxc e., 該方法稱為數變由于該通解作為公式不易記憶 因此不背公式,根據推導過程,即利用數變來求解一階線性非齊次方程.常易法常易法2.

15、yyxx 求方程的通解例90.yyx先求對應齊次方程的通解解,ln | ln |ln ,.dydxyxc ycxyx因為所以( ) ,( )( )yc x x yc x xc xyy設原方程的解為將 及代入原方程有21 ( )( )( )c x xc xc x xxx所以21( ), ( )2c xx c xxc原方程通解為231122yxc xxcx2,xyyyxxxx該題當然也可以這樣來解:變形為即21,2yxcx所以即原方程通解為312yxcx2cot.sinxyyxx 解微分方程例10cot0.yyx先求對應齊次方程的通解解cot,ln |ln |sin|ln .dyxdxyxcy 因

16、為所以齊次方程的通解為sincyx設原方程的解為( ),sinc xyx2( )sin( )cossinc xxc xxyxyy將 及代入原方程有( )( )( )2cotcotsinsinsinsinc xc xc xxxxxxxx所以2( )2 , ( )c xx c xxc原方的通解為2sinxcyxsin2 ,( sin )2 ,yxycoxxyxx該題也可以這樣來做:變形為即2sin,yxxc所以原方程通解為2sinxcyx五、伯努利方程1111,(0,1).(?0,11?),1,(1)(1) ,.nnnnnndypyqynnndxdynypyqdxndydupyqyun pun q

17、dxdx形如的方程稱為伯努利方程情形又如何其解法為:變形所以令整理得此為一階線性齊次方程2.yxyy 求微分方程通解例11111,duuuydxxx令則1,()1,1.cxuuxuxuxc ux 所以所以原方程的通解為xyxc解思考題1.一階齊次方程與一階線性齊次方程中齊次的含義有何不同?答案2.是否微分方程都有通解?試舉一例.答案203.微分方程+ -的通解中含有幾個積分常數.yy x答案4.線性微分方程有哪些特征?答案課堂練習題1.求 =10的通解.x+yy答案21.2.求微分方程+2=0,滿足初始條件的特解xxdyydxy答案一、( )nnd yf xdx型的微分方程,.nn該類方程只需

18、連積分 次 便可得到通解,其中有 個積分常數2cos .xyex 解方程例1211sin,2xyexc2121cos,4xyexc xc解所以原方程的通解為2212311sin82xyexc xc xc(0,1),12xyxmy 試求經過點 且在該點與直線相切的積分曲線. 例2211,2yxc1110,22xyc由初始條件所以解321162yxxc所以20,1,1,xyc由初始條件所以所求曲線311162yxx二、( ,)yf x y型的微分方程,:,( ,).xxxyypyppf x ppx該類型方程的特點是不含未知函數其解法為 令則所以原方程可寫在為 關于 的一階微分方程.簡要地說,采用降

19、階的方法來解該類方程.0.xyy 求方程的通解例3,xdpypydx設則10,ln |ln |ln,dpdpdxxppxcdxpx 所以原方程可寫成1112,ln |.ccpyycxcxx所以即所以原方程的通解為0022|1,|3.1xxxyyyyx 求方程滿足初始條件的特解例4解,xypyp設則解2222,11dpxdpxpdxdxxpx所以原方程可寫成為2211ln | ln(1)ln,(1).pxc pc x21(1).yc x即3012|3,3,3,xycyxxc由初始條件所以02|1,1,xyc由初始條件所以331.yxx故所求特解為三、( ,)yf y y型微分方程12,:,.,(

20、 , ),(,).xxypyxdydxydp dydpdpppf y pydx dxdydyppyyx c c 該方程的特點是缺少自變量其解法為 令注意到方程中含有 而不含 為此想法令代換后出現而不出現所以于是原方程可寫成此為關于變量的一階微分方程,從方程中求得最后再確定原方程的解220,0.yyyy 解方程例52,(!)20dpdpyp ypyppdydy設注意設法與 二 不同 則解0,.0pycp若若1,2dpdypy 有11ln |lnln,2pyc 所以11,ccdypdxyy即321122,.3ydyc dxyc xc所以2.yyyy 解方程例6,dpyp ypdy設2.dpyppp

21、dy所以有解0,;pyc若0,.1dpdyppy若有1ln |1| ln |ln,pyc所以11(1),1.cypc py 11,cdydxy 即1.ydydxyc所以112ln |.ycycxc原方程通解為322(1 ) .yy 解方程例7322,(1) ,xydpyp yppdx 該方程中既缺 ,又缺 ,按理說按類型二或類型三解都行,若按類型二,令則有該積分稍有些麻煩 若類型三 則比類型二要簡單 這時有解322(1)dpppdy322,(1)pdpdyp所以2122111,1,()1yc pycp2111 (),ycpyc 所以2111 (),ycdydxyc 即121(),1 ()ycd

22、ydxyc 所以21121 ().ycxc 2221()()1xcyc3221(1 )1.yy即解曲線為一單位圓,細心的也可發(fā)現,原微分方程為曲率處處為 的正是單位圓思考題 1.?對形如的微分方程求通解的步驟是什么nnd yf xdx答案2.采用何種方法來解形如的微分方程?y = f x,y答案.3.注意在解形如的微分方程時的設法有何特點y = fy,y答案課堂練習題21.10.試將方程降階并分離變量xy yy 返回2.求方程=cos 的通解.yx返回一、解的結構( ,),( ,)( , ,)0,yf x yyf y yf x y yyy上節(jié)介紹了特殊類型的二介微分方程的解法.對于一般的二階微

23、分方程求解是相當困難的.但如果是線性微分方程,所謂的線性是指函數 及其一階 二階導數都是一次方,是有辦法解決的., ,.ypyqyfp q fx二階線性微分方程的一般形式為這里均為 的連續(xù)的函數( )0,0f xypyqy若既叫作階線齊二性次方程.( )0,f xypyqyf若即叫作階線齊二性非次方程.為了尋求二階微分方程的通解,先討論線性微分方程的解的結構.0.yypyqycy設 是二階線性齊次方程的解則也一定是該方程的解.1212,0.y yypyqyyy設是二階線性齊性方程的兩個解則也一定是該方程的解把上述兩個基本性質寫在一起,有121122,0,y yypyqyc yc y 若是二階線

24、性齊次方程的解 則其任意一個線性組合也是該方程的解. 定理1 該定理說明,如果知道了二階方程的兩個解.由此可以構造出無窮多個解.1122?c yc y問題:是否為二階齊次方程的通解121122,c cc yc y 二階微分方程通應有兩個積分常數,從表面上看,這里的恰好是任意兩個實數,于是說,是通解 這句話的對錯 下面通過實例說明.21112212121122,202(2),xxxxxxyeyeyyc yc ycececc cecec yc y 已知是微分方程的兩個解,(代入可驗證),而其線性組合實際上只有一個積分常數 故不一定是該方程的通解.1212,.c cy y實際上,是否可以合并成一個常

25、數 取決于的關系1121221121221212,;,(),yy yky yyyc cy ykkyy yc c若相差一個常數倍 即為常數 稱是線性相關 這時必能合并 否則 當不相差一個常數倍 即為常數 或說成線性無關時一定不能合并,于是就有121122,0.y yypyqyc yc y 若是二階線性齊次方程的兩個線性無關的解,則就是該方程的通解定理2122112212,0,.xxxxxyeyeyyyeky yyyc ec e 已知是微分方程的兩個解(代入便可驗證),且常數 即線性無關 所以該方程的通解為1212,(1) 0.xxyx yexyxyyyc xc e再如 可以驗證為方程的兩個線性無

26、關的解,則其通解為下面討論二階線性非齊次微分方程的解.*11(1),.yypyqyfyypyqyfyyypyqyff 設 是二階線性非齊次方程的解,是的解 則是方程的解定理3().定理的正確性代入便可驗證11122123,( )0,(1).0,f xyyc yc yypyqyy y在定理 中 若即 是與方程對應的齊次方程的解設為齊次方程的通解 即線性無關,則定理3可以敘述為:*11221122*0,.yypyqyfyc yc yypyqyyc yc yyypyqyf 設 是二階線性非齊方程的特解,是與其對應的齊次方程的通解 則為方程的通解定理4*3121, 2 2,3, 2 0 2 2xxxx

27、xyx eyyyxeyeyxeyyyyyyxe例如 可以驗證為方程的特解 而是與方程對應的齊次方程的兩個線性無關的解所以方程的通解為31213xxxycec xex e 以上介紹了二階線性微分方程的解的結構,如何去解方程是最關鍵的,下面僅介紹最簡單的二階線性方程的解法.二、常系數二階性微分方程的解法,0,.ypyqypq先考慮常系數二階線性齊次微分方程這里均為常數,0,?rxrxyeyeypyqyr根據求導經驗 因為指數函數的各階導數仍為同類函數,于是猜想可能是常系數線性齊次方程的解那么 應取什么數值呢2,.,0rxrxyreyr ey y yypyqy將代入方程有220,0,0.rxrxrx

28、rxr epreqeerprq因為所以2,0,00rxryeypyqyrprqypyqy說明 只要 滿足上方程 則函數一定是方程的解 稱為的.特征方程12,r r設是特征方程兩個根.1212121212(1),0;r xr xr xr xrryeyeypyqyyc ec e若為實數 則就是方程的兩個線性無關的解,這時方程的通解為11121122(2),( ).r xr xr rryeyyyu xe 若為實數 即 為二重根 這種情況只能得到方程的一個解為了求通解 還要找到一個與 線性無關的解即滿足常數12( )r xyu x e于是設為方程另一解,則1121( )( )r xr xyu x eu

29、 x e r1112211( )2 ( )( )r xr xr xyux eu x e ru x e r222, ,0yyyypyqy將代入方程整理得1112111( )(2)( )()( )0r xr xr xux erp e u xrr pq e u x111111221211212( ), ( ).,()r xr xr xruxc u xc xcyc xcyc xyc eyc xec xe 由 為特征根,及根與系數關系,可得又因為常數 所以可得微分方程的通解為或寫成2()()11212122(3)40,i xi xpqyri riyeyeyyy 若即特征方程無實根,而是有一對共軛復數根,

30、這時且常數 即線性無關,因此,方程的通解為12(cossin).(!)xyecxcx從前式到后式利用了尤拉公式. 2 30.yyy 解微分方程例1解2230,1,3,rrrr 特征方程式為所以原方程的通解為312xxycec e00 2 0,|0,|1.xxyyyyy 求方程滿足初始條件的特解例22210,1rrr 特征方程式為所以為二重根,原方程的通為解12()xycc x e122:0,0,0,;xxxycyc ec xe由初始條件所以20,1,1,.xxycyxe由初始條件所以滿足條件的特解為 2 50.yyy 解微分方程例3225012rrri 特征方程為所以為復根,原方程的通解為解(

31、1 2 )(1 2 )1112(cos2sin2 )i xi xxycecee cxcx常系數二階線性齊次方程的解法很簡單,因它不是用積分法,而是用代數法.下面看常系數二階線性非齊次方程的通解.( ),( )0, ,.ypyqyf xf xp q其一般為為常數*112212*4,0,.,yypyqyyc yc yy yyyy根據定理該方程之通解應為它的一個特解加上與其對應的齊次方程的通解其中線性無關當然 目前已經能確定 現在問題是如何尋求特解當然 要與*( ).( ),( ),.,f xf xyf xy函數有關 若為一般初等函數 找也是不容易的 但若為指數函數 多項式函數,正弦余弦函數,特解是

32、容易確定的因此 僅對這三種情況的函數進行研究.2 3 .xyyye 求微分方程的通解例4 3 0yyy先求對應齊次方程的通解.解2310,rr 因為特征方程35.2r所以所以齊次方程的通解為35352212xxycec.下面確定非齊次方程的特解22*2*2*2*2222*2( ),.2,4.,43 2,xxxxxxxxxxf xeeyaeayaeyaeyyyaeaeaeeye 因為根據求導經驗及微分方程為常系數,猜想特解很有可能仍是形式的函數,這僅是一個猜想,是否真具有該種形式,關鍵看其否滿足方程.于是,設為待定系數將代入原方程 有故函數滿足原方程 即其為非齊次線性方程的特解.35352221

33、2.xxxycce所以原方程之通解為2 3 2.xyyye 求方程的通解例5 3 20yyy先求方程的通解.解2320,1,2.rrrrr特征方程為所以212 3 20.xxyyyycec e所以齊次方程的通解為2*2*2.?,4,.xxxaeyaeyae 說明原方程不具備形式之特解問題何在 分析一下 在例中設成功 該例中設則失敗222,.xxxeaeae 觀察 思考 可以發(fā)現 該例中是相應齊次方程之解,由定理1,必是齊次方程的解,必不是非齊次方程的解,從而若將代入原方程 必會有左恒等零 而右不為零 從而得出矛盾結果22*2*22*22*,2,44.,xxxxxxxxeeyaxeyaeaxey

34、aeaxeyyy 因為形式的函數及其一階導數,二階導數的某一個線線性組合有可能得到形式的函數 于是假設 原方程的特解為則將代入原方程222222(44)3(2)2xxxxxxaeaxeaeaxeaxee那么原方程的特解可能具備什么形式?*21,.xayxe所以故原方程的通解為2212xxxycec exe005|2,|.xxyy將例 改為求滿足初始條件的特解2,2,xy因為122,cc所以2221222xxxxycec eexe0,0,xy因為1221.cc 所以21(1),(2)3,5.cc 由式得故所求滿足初始條件的特解為2253xxxyeexe2 4 4.xyyye 求微分方程的通解例6

35、 4 40.yyy先求對應齊次方程的通解解2440,2.rrr特征方程為所以為重根 所以齊次方程的通解為212()xycc x e2*222212( ),xxxxxf xeyaeaxec ec xe然后再確定原方程的特解,這里仍是由例4,例5可知,不能設成及形式 理由很簡單,因為對應齊次方程的通解有含有及22*2*2222222,22,284.xxxxxxxxaxeeyaxeyaxeax eyaeaxeax e 因為函數與其一階 二階導數的線性組合有可能得到于是假定特解為故*,yyy將代入原方程,有2222222222(284)4(22)4xxxxxxxaeaxeax eaxeax eax e

36、e*2211,.22xayx e所以特解故原方程的通解為222121()2xxycc x ex e*2,( ),;.xxxxxf xbeyaeyaxeyax eypyqybe 歸納以上三例 當時 且 不是對應齊次方程的特征根時,特解應設為之形式 若 是特征方程單根時,特解應設成之形式 若 是特征方程二重根時,特解應設成之形式從而可以得么求解常系數二階線性非齊次方程的方法( )f x下面討論為多項式之情況.yyyx 求微分方程的通解.例7201130,2yyyrrir 先求對應齊次方程的通解.特征方程為所以解所以齊次方程的通解為13132212iixxycec e 21233coscos22xe

37、cxcx.下面確定原方程的特解( )f xx因為為一次函數,猜想非齊次線性方程的特解很可能是一次多項式,于是*212,0,(),1,1,1.33coscos122xyaxbya yyyyaaxbxabyxyecxcxx 設為原方程的特解 則將代入原方程 有比較系數得所以故原方程的通解為*:( ),.,0,1,0,.f xxyyaxya yaaxxaaax注意 盡管中沒有常數項也要設成一次多項式 否則將會出現矛盾結果若設則代入原方程有所以矛盾 即特解不是形式.yyx 求微分方程之通解例820.0,0,1,yyrrrr 先求之通解特征方程所以所以齊次方程的通解為解12xycc e*( ),?,0,

38、f xxyaxbyyaxb ya yax然后確定非齊次方程的特解,因為是一次多項式 是否能設特解為觀察該微分方程之特點 其缺少函數項若設特解為代入原方程 則左端等于 為常數而右端為函數,矛盾.依照過去的做法,再乘于是設特解*2*(),2,2yx axbaxbx yaxb ya*,2(2),yyyaaxbx將代入原方程 有1,12ab 所以*221211.22xyxxycc exx特解故原方程的通解為( ),( ),( ).f xyf xyyf xx歸納以上兩例可得,當為多項式時,若方程中含有則特解設成與同次多項式 若方程中不含有 而含特解設成與同多項式與 的乘積依次類推( ),.f x下面討論

39、為正弦 余弦的情形 2sinyyyx 求微分方程的通解.例92 20.20yyyrr 先求對應齊次方程的通解特征方程解2121,2.xxrrycec e 所以齊次方程的通解為*sincoscossin ,sincos .yaxbxyaxbx yaxbx 然后確定非齊次方程的一個特解,根據求導經驗,特解可能是含有正弦,余弦的函數,于是猜測特解形成為*,yyy將代入原方程有(sincos )(cossin )2( sincos )sinaxbxaxbxaxbxx3131,.301010ababba 比較系數有所以故原方程的特解為*31sincos1010yxx 所以原方程的通解為21231sinc

40、os1010 xxycec exx:( )sin ,sin ,f xxax注意 這里雖然但特解不能設成否則必出現矛盾結果.sinyyx 求微分方程的解.例10212120.10,cossin .ixixyyrriycec ecxcx 先求對應齊次方程的通解特征方程為所以齊次方程的通解為解*( ),sincos,f xyaxbxx然后再確定原方程的一個特解,這里仍是正弦函數 但注意到齊次方程的通解,就不能再設之形式 按照以往的方法 在原形式上再乘一個 即*( sincos ).yx axbx設為原方程的特解*,yyy將代入原方程有*( sincos )(cossin ),yaxbxx abx則*

41、2(cossin )(sincos )yaxbxxaxbx2(cossin )(cossin )(cossin )sinabxx abxx abxx即原方程的通解為121cossincos2ycxcxxx*110,cos ,22abyxx 所以所以( ),( )( ),ypyqyf xf xf x以上著重討論了常系數二階線性齊次方程當為指數函數,多項式函數,正弦函數,余弦函數的解法,進一步地,根據解的結構定理,對于當為指數函數 多項式函數 余弦函數之和或之積,仍是可以解決的,下面舉例說明. 2 331.xyyyxe 求微分方程的通解例11 2 30yyy先求對應齊次方程的通解.解2230,1,

42、3,rrrr 特征方程為得齊次方程的通解為312xxycec e*111*1( ), 2 331,01123()31,1,.33f xyyyxyaxbya yaaxbxabyx 這里為一多項式函數及一指數函數之和 根據定理3,分別求與多項式函數對應的特解和與指數函數相應的特解,于是考慮方程的特解.設為其特解 則代入有所以*222 2 3,2,xxxxxxxyyyeeyaxeyaeaxeyaeaxe 再考慮方程的特解.因為為對應齊次方程的解,所以設為其特解 則代入有(2)2()3xxxxxxaeaxeaeaxeaxee所以*211,44xayxe *312121134xxxyyyycec exx

43、e故原方程的通解為2 3 2.xyyyxe 求方程的通解例122 3 20.320yyyrr先對應齊次方程的通解特征方程為解1,2,rr 所以齊次方程的通解為212xxycec e22,( ),2,( ),.xxf xeraxexyaxbf x 然后確定原方程的特解 這里是一多項式函數與一指數函數的乘積.若單看指數函數且為特征方程的單根,特解應具形式 若單看多項式函數 且原方程不缺函數 項 其特解應具有形式 將二者合在一起來看,注意到為它們的積 于是 猜測解應具有以下形式*222()(),.xxyaxb xeaxbx e設*222(2)2(),xxyaxb eaxbx e則*222224()4

44、().xxxyaeaxb eaxbx e*,yyy將代入原方程 有22(24 )(84 )4xabab xax e222223(22 )2(22)xxxbab xax eaxbx exe1,1,2ab 比較系數 解方程組可得*2112xyxxe 所以故原方程的通解為2212112xxxycec exxe00cos2|1,|0 xxyyxxyy 求微分方程滿足初始條件的特解.例1312cossin .ycxcx由例10知對應齊次方程的通解為解*()cos2()sin2yaxbxcxdx設為非齊次方程的特解.*cos22()sin2sin22()cos2yaxaxbxcxcxdx則( 22)cos2( 22)sin2cxdaxaxbcx *2cos22(22)sin22 sin2 ( 22)cos2ycxcxdaxaxabcx( 444 )cos2(444 )sin2axbcxcxadx *,yyy將代入到原方程,有4()cos2()sin2 axbcxcxadx()cos2()s