自動控制理論_19開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線繪制

1、第五章第五章頻率域方法頻率域方法5.3 開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線的繪制開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線的繪制 根據(jù)疊加原理，繪出各環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性根據(jù)疊加原理，繪出各環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性分量，再將各分量的縱坐標(biāo)相加，就得到整個系分量，再將各分量的縱坐標(biāo)相加，就得到整個系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性；將各環(huán)節(jié)的相頻特性分統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性；將各環(huán)節(jié)的相頻特性分量相加，就成為系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)相頻特性。量相加，就成為系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)相頻特性。例例 ) 105. 0)(1() 15 . 0(10)(sssssG1.1.確定出系統(tǒng)開環(huán)增益確定出系統(tǒng)開環(huán)增益K，并計算，并計算 。 20lgK2.2.確定各環(huán)節(jié)的確定各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率

2、轉(zhuǎn)折頻率，并標(biāo)注在橫軸上。，并標(biāo)注在橫軸上。 3.3.在半對數(shù)坐標(biāo)上確定在半對數(shù)坐標(biāo)上確定 =1且縱坐標(biāo)等于且縱坐標(biāo)等于20lgK dB的點的點A。過。過A點做一直線，使其斜率等于點做一直線，使其斜率等于-20 dB/dec/dec。當(dāng)。當(dāng) =0, =1, =2時，斜率分別是時，斜率分別是(0，-20，-40)/dec/dec。 伯德圖的繪制的一般方法伯德圖的繪制的一般方法（無須疊加）（無須疊加） 4.4.從低頻段第一個從低頻段第一個轉(zhuǎn)折頻率轉(zhuǎn)折頻率開始做斜直線，該直開始做斜直線，該直線的斜率等于過線的斜率等于過A點直線的斜率加這個環(huán)節(jié)的斜點直線的斜率加這個環(huán)節(jié)的斜率（慣性環(huán)節(jié)加率（慣性環(huán)節(jié)加

3、-20，振蕩環(huán)節(jié)加，振蕩環(huán)節(jié)加-40，一階微分，一階微分環(huán)節(jié)加環(huán)節(jié)加+20的斜率），這樣過每一個轉(zhuǎn)折頻率都的斜率），這樣過每一個轉(zhuǎn)折頻率都要進(jìn)行斜率的加減。要進(jìn)行斜率的加減。 例例 已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)如圖所示，試做出已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)如圖所示，試做出系統(tǒng)的開環(huán)伯德圖。系統(tǒng)的開環(huán)伯德圖。 解：解： 作作L( ): :(1) 4040/41011(4)(1)1144KG ss ss Tsssss 因此，因此，開環(huán)增益開環(huán)增益 K=10轉(zhuǎn)折頻率轉(zhuǎn)折頻率 114(1/s)20lg20dBKT /s-1L( )/dB0.11011002040-20-400-20 dB/dec4AB-40 dB/dec例

4、例 。用伯德圖一般法重繪例15例例 已知一單位負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)已知一單位負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 220010.24100sG ss sss 試作系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻試作系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻L( )圖。圖。 解：解： 作作L( ): : 220010.2 100510.010.041sG sssss 2001020lg20dB0.2 100KK 123n0.2,1,10,0.2 120lg8dB2 /s-1L( )/dB0.11011002040-20-400A-20 dB/dec0.2B-40 dB/decC-20 dB/decD-60 dB/dec 1 1 2 3 例例 已知某最小相位系統(tǒng)的對

5、數(shù)幅頻特性漸近線如圖，已知某最小相位系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性漸近線如圖，試寫出該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。試寫出該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。 decdB/20decdB/40decdB/20dB1572解：（解：（1 1）低頻漸近線的斜率為）低頻漸近線的斜率為-20-20故系統(tǒng)有且僅有一個積分環(huán)節(jié)即故系統(tǒng)有且僅有一個積分環(huán)節(jié)即 1v（2）因低頻漸近線在）因低頻漸近線在 處的對數(shù)幅值為處的對數(shù)幅值為15dB 16 . 515lg20KK（3）在 處，對數(shù)幅頻特性漸近線的斜率由-20變?yōu)?40，故 是慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率， 225 . 021TT（4）在 處，特性曲線的斜率由-40 變回到-20，則知 是一階微分環(huán)節(jié)

6、的轉(zhuǎn)折頻率， 7714. 071) 15 . 0() 114. 0(6 . 5) 1() 1()(sssTsssKsG 控制系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性是系統(tǒng)分析和設(shè)計所需控制系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性是系統(tǒng)分析和設(shè)計所需解決的首要問題，頻域穩(wěn)定判據(jù)的特點是根據(jù)開環(huán)解決的首要問題，頻域穩(wěn)定判據(jù)的特點是根據(jù)開環(huán)系統(tǒng)頻率特性曲線判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，使用方系統(tǒng)頻率特性曲線判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，使用方便，易于推廣。便，易于推廣。 NyquistNyquist穩(wěn)定判據(jù)是其中的代表。穩(wěn)定判據(jù)是其中的代表。 5-4 頻率穩(wěn)定判據(jù) 一、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)一、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)反饋控制系統(tǒng) sNsMsG11 sNsMsH22開環(huán)傳遞函

7、數(shù) sNsNsMsMsHsG2121閉環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)傳遞函數(shù) sHsGsF1令令 sMsMsNsNsNsMsHsGsGs2121211)( sNsNsMsMsNsN212121將F(s)寫成零、極點形式，有 niiniipszssF11輔助函數(shù)輔助函數(shù)F(s)具有如下特點：具有如下特點： 其零點和極點分別是閉環(huán)和開環(huán)的特征根。其零點和極點分別是閉環(huán)和開環(huán)的特征根。 其零點的個數(shù)與極點的個數(shù)相同。其零點的個數(shù)與極點的個數(shù)相同。輔助函數(shù)與系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)只差常數(shù)輔助函數(shù)與系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)只差常數(shù)1。 設(shè)設(shè)S S為復(fù)變量，為復(fù)變量，F(xiàn) F( (S S) )為為S S的有理分式函數(shù)，對于的有理分式函數(shù)

8、，對于S S平面上任一變平面上任一變量點，通過復(fù)變函數(shù)量點，通過復(fù)變函數(shù)F F( (S S) )的映射關(guān)系，在的映射關(guān)系，在F F( (S S) )平面上可確定關(guān)于變平面上可確定關(guān)于變量的象。量的象。 在右半在右半S S平面上任選一條不通過平面上任選一條不通過F F( (S S) ) 任何零極點的任何零極點的閉合曲線閉合曲線s s，S S從閉合曲線從閉合曲線s s上任意一點上任意一點A A起起, ,順時針沿順時針沿s s運(yùn)動一周運(yùn)動一周, ,再回到再回到A A點，那么相應(yīng)點，那么相應(yīng)F F( (S S) )平面上的象平面上的象F(s)F(s)則從則從B B點起點起, ,到到B B點止形成一條閉

9、合曲線點止形成一條閉合曲線F F。1.1.輻角原理（柯西）輻角原理（柯西）)(sFFj1z2ziz1iz1pizssABjsF S S平面上的閉合曲線平面上的閉合曲線s s內(nèi)部僅有內(nèi)部僅有1 1個個F(s)F(s)的零點，的零點，F(xiàn) F ( (s s) )的其的其它零極點如圖所示。當(dāng)閉合曲線它零極點如圖所示。當(dāng)閉合曲線s s上任一點上任一點S S沿順時針方向轉(zhuǎn)動一沿順時針方向轉(zhuǎn)動一圈時，圈時，F(xiàn)(s)F(s)總的相角增量為總的相角增量為)()()()()()()()()(212111nnniiniipspspszszszspszssF)(sFFj1z2ziz1iz1pizssABjsF nii

10、niipszssF11202 上式表明，在上式表明，在F F ( (s s) )平面，平面，F(xiàn) F曲線從曲線從B B點開始繞原點順點開始繞原點順時針轉(zhuǎn)了一圈。時針轉(zhuǎn)了一圈。 同理，當(dāng)同理，當(dāng)s s在在s s平面從平面從A A點開始繞點開始繞1 1個個F(s)F(s)的極點順時的極點順時針轉(zhuǎn)一圈時，在針轉(zhuǎn)一圈時，在F(s)F(s)平面上，平面上，F(xiàn) F曲線從曲線從B B點開始繞原點點開始繞原點反時針轉(zhuǎn)一圈。反時針轉(zhuǎn)一圈。)(sFFj1z2ziz1iz1pizssABjsF定理如下：如果封閉曲線如果封閉曲線 內(nèi)有內(nèi)有Z Z個個F(s)F(s)的的零點，有零點，有P P個個F(s)F(s)的極點，則

11、的極點，則s s依依 順時針轉(zhuǎn)一圈時，在順時針轉(zhuǎn)一圈時，在F(s)F(s)平面上，平面上，F(xiàn)(s)F(s)曲線繞原點曲線繞原點反反時針轉(zhuǎn)的圈數(shù)時針轉(zhuǎn)的圈數(shù)R R為為P P和和Z Z之差，即之差，即R RP PZ Zss若若R R為負(fù)為負(fù), ,表示表示F(s)F(s)曲線繞原點曲線繞原點順順時針轉(zhuǎn)過時針轉(zhuǎn)過的圈數(shù)。的圈數(shù)。 將將s s曲線擴(kuò)展為整個右半曲線擴(kuò)展為整個右半s s平面，此時的曲線叫做平面，此時的曲線叫做奈奈奎斯特軌跡奎斯特軌跡，則輻角原理可以用來判斷閉環(huán)穩(wěn)定性。，則輻角原理可以用來判斷閉環(huán)穩(wěn)定性。 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為F F( (S S) )函數(shù)在函數(shù)在s

12、 s平面右半部平面右半部的零點數(shù)的零點數(shù)Z Z=0=0即即 PR 2 2、奈氏判據(jù)、奈氏判據(jù) 對于包含了整個右半對于包含了整個右半s s平面的平面的NyquistNyquist軌跡來說，軌跡來說，Z Z和和P P分別為閉環(huán)傳遞函數(shù)和開環(huán)傳遞函數(shù)在右半分別為閉環(huán)傳遞函數(shù)和開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s s平面上的平面上的極點數(shù)，極點數(shù)，s s沿奈氏軌跡運(yùn)動，沿奈氏軌跡運(yùn)動，F(xiàn)(s)F(s)在在F(s)F(s)平面上繞原點反平面上繞原點反時針旋轉(zhuǎn)圈數(shù)時針旋轉(zhuǎn)圈數(shù) R=P-Z .R=P-Z . F(s)F(s)與與G(s)H(s)G(s)H(s)相差常數(shù)相差常數(shù)1 1，顯然，顯然F(s)F(s)在在F(s)F

13、(s)平面上平面上繞原點等效于在繞原點等效于在G(s)H(s)G(s)H(s)平面上繞平面上繞(-1,j0)(-1,j0)點，而點，而G(s)H(s)G(s)H(s)平面上的函數(shù)通過平面上的函數(shù)通過s=jws=jw替代就是開環(huán)幅相頻率替代就是開環(huán)幅相頻率特性曲線特性曲線. . G(s)H(s)=F(s)-1OjF(s)平面平面O-1jG(s)H(s)平面平面 定理如下定理如下： 若開環(huán)傳函 在s的右半平面有p個極點，為了使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，當(dāng) 從 變化時， 的軌跡必反時針包圍 GH 平面上的(-1,j0)點P次。即)()(sHsG)()(jHjG0RPzz閉環(huán)傳遞函數(shù)在s右半平面的極點數(shù)。（ 的零

14、點數(shù)）p開環(huán)傳函在s右半平面的極點數(shù)。R 繞(-1,j0)點反時針轉(zhuǎn)的次數(shù)。若為順時針轉(zhuǎn)需注意符號。 )()(jHjG)(sF例已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 試應(yīng)用奈氏判據(jù)判別K=0.5和K=2時的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。1)(sKsG分別作出K=0.5和K=2時開環(huán)幅相特性曲線 K=0.5時，閉環(huán)時，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)不穩(wěn)定。 K=2時，閉環(huán)系時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。統(tǒng)穩(wěn)定。例例 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 )52)(2(2 . 5)()(2ssssHsG試?yán)迷嚴(yán)肗yquistNyquist判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 已知 0P由圖知 ，則2RRPZ2)2(0有有2 2個

15、閉環(huán)右極點個閉環(huán)右極點系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定 例例 某某型系統(tǒng)在型系統(tǒng)在s s右半平面無開環(huán)極點，已知其開環(huán)特性右半平面無開環(huán)極點，已知其開環(huán)特性如圖所示，試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。如圖所示，試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解：已知解：已知P P=0=0，由圖知，由圖知R R=-2=-2，則，則P PR R，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。其位于其位于s s右半平面的極點數(shù)為右半平面的極點數(shù)為 2)2(0RPZ201)()(0ZPNjjHjG轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為：），曲線繞（變化，對應(yīng)的從NPRPZ2系統(tǒng)不穩(wěn)定， 考慮到開環(huán)幅相頻率特性曲線具有對稱性考慮到開環(huán)幅相頻率特性曲線具有對稱性例例 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)開環(huán)

16、傳遞函數(shù)為 )52)(2(2 . 5)()(2ssssHsG試?yán)迷嚴(yán)肗yquistNyquist判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 已知 0P由圖知 ，則1NNPZ22)2(0例例 某某型系統(tǒng)在型系統(tǒng)在s s右半平面無開環(huán)極點，已知其開環(huán)特性右半平面無開環(huán)極點，已知其開環(huán)特性如圖所示，試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。如圖所示，試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解：已知解：已知P P=0=0，由圖知，由圖知N N=-1=-1，則，則P P22N N，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。其位于其位于s s右半平面的極點數(shù)為右半平面的極點數(shù)為 2)2(02NPZ 例例 設(shè)某設(shè)某型系統(tǒng)的開環(huán)特性如圖所示。

17、開環(huán)傳遞函數(shù)型系統(tǒng)的開環(huán)特性如圖所示。開環(huán)傳遞函數(shù)在右半在右半s s平面上沒有極點，試用平面上沒有極點，試用NyquistNyquist判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。定性。 解：已知解：已知P P=0=0，由圖可知，由圖可知N N=0=0，則，則Z Z0 0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。 * *G G( (S S) )H H( (S S) )包含積分環(huán)節(jié)的處理辦法包含積分環(huán)節(jié)的處理辦法.90)0()0(的圓弧逆時針補(bǔ)一個起從vjHjG穿越法判斷包圍圈數(shù)穿越法判斷包圍圈數(shù) 設(shè)設(shè)N N為開環(huán)幅相頻率特性曲線穿越為開環(huán)幅相頻率特性曲線穿越（1 1，j j0 0）點左側(cè)負(fù)實軸的次數(shù)，點左側(cè)負(fù)

18、實軸的次數(shù)，N N表示正穿越的次數(shù)（從表示正穿越的次數(shù)（從上往下穿越），上往下穿越），N N表示負(fù)穿越的次數(shù)（從下往上表示負(fù)穿越的次數(shù)（從下往上穿越），則穿越），則)(22NNNR例例 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 )52)(2(2 . 5)()(2ssssHsG試?yán)迷嚴(yán)肗yquistNyquist判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 已知 0P由圖知01NN，NPZ22)2(0)( 22NNNR2二、對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)二、對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù) 在極坐標(biāo)圖上應(yīng)用奈氏判據(jù)時，（在極坐標(biāo)圖上應(yīng)用奈氏判據(jù)時，（1,1,j j0 0）點是個關(guān)）點是個關(guān)鍵點，開環(huán)頻率特性鍵點，開環(huán)

19、頻率特性G G( (jj) )H H( (jj) ) 曲線是否圍繞它，怎曲線是否圍繞它，怎樣圍繞它，圍繞幾圈，掌握這些信息后，就可以判斷閉環(huán)樣圍繞它，圍繞幾圈，掌握這些信息后，就可以判斷閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定。系統(tǒng)是否穩(wěn)定。 （1，j0）點表示成幅角形式是）點表示成幅角形式是 而而A()1對應(yīng)于對數(shù)幅頻坐標(biāo)圖上對應(yīng)于對數(shù)幅頻坐標(biāo)圖上L()0的水平線；的水平線； 則對應(yīng)于對數(shù)相頻坐標(biāo)圖上則對應(yīng)于對數(shù)相頻坐標(biāo)圖上180的水平線。因此可以進(jìn)行坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換。的水平線。因此可以進(jìn)行坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換。1)(1801A，即180)(180)( 在極坐標(biāo)圖上，在極坐標(biāo)圖上， G G( (jj) )H H( (jj) ) 曲

20、線每包圍（曲線每包圍（1,1,j j 0 0）點一次，必然是點一次，必然是G G( (jj) )H H( (jj) ) 在在A A( () ) 1 1的條件下穿越的條件下穿越負(fù)實軸負(fù)實軸( (，1)1)區(qū)段一次。若區(qū)段一次。若G G( (jj) )H H( (jj) ) 曲線逆時曲線逆時針包圍（針包圍（1,1,j j 0 0）點一圈，意味著）點一圈，意味著G G( (jj) )H H( (jj) )曲線在曲線在( (，1)1)區(qū)段有一次正穿越；相反，若區(qū)段有一次正穿越；相反，若G G( (jj) )H H( (jj) ) 曲線順時針包圍（曲線順時針包圍（1,1,j j 0 0）點一圈，意味著有一次負(fù)穿）點一圈，意味著有一次負(fù)穿越。越。 這種正負(fù)穿越在對數(shù)坐標(biāo)圖上的對應(yīng)關(guān)系是：在這種正負(fù)穿越在對數(shù)坐標(biāo)圖上的對應(yīng)關(guān)系是：在對數(shù)坐標(biāo)圖的對數(shù)坐標(biāo)圖的L L( () ) 0 0dBdB的范圍內(nèi)，當(dāng)?shù)姆秶鷥?nèi)，當(dāng)增加時，增加時，相頻特性曲線從下向上穿過相頻特性曲