高數(shù)上冊(cè)課件第一章課件

1、參考資料：1、高等數(shù)學(xué)典型題精解 解題思路、方法、技巧 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室 陳蘭祥主編2、高等數(shù)學(xué)第六版同步習(xí)題解答 中國(guó)礦業(yè)大學(xué)出版社第一章 函數(shù)與極限1-1 映射與函數(shù)一.集合(一)集合概念1.概念：把具有某種特定性質(zhì)的事 物的全體稱之為集合(簡(jiǎn)稱集),把 組成集合的事物稱為該集合的元 素(簡(jiǎn)稱元)2、集合的表示法：(1)字母表示法集合通常用大寫拉丁字母 表示,而用小寫字母 表示集合的元素,如果 的元素,記作如果 不是集合A的元素,記作, ,A B C , , ,a b c aA是集合aAaaAaA或在表示數(shù)集的字母的右上角標(biāo)上 ,表示在數(shù)集A內(nèi)去掉元素0后，由其它元素組成的集合，標(biāo)上“+

2、” 來(lái)表示該數(shù)集內(nèi)排除 0與負(fù)數(shù)的集。A“ ”如（2）集合表示法列舉法：把集合里的全體元素一一列舉出來(lái)寫在花括號(hào)內(nèi),每個(gè)元素僅寫一次,不考慮順序.描述法：若集合M是由具有某種性質(zhì) 的全體所組成的，就可以表示成 px的元素Mx xp具有性質(zhì)（3）幾種特殊的數(shù)集表示法自然數(shù)集N 整數(shù)集Z 有理數(shù)集Q 實(shí)數(shù)集R 3、集合中元素的特性 （1）確定性 （2）唯一性 （3）無(wú)序性4、相關(guān)定義（1）有限集 無(wú)限集（2）子集、 真子集、 空集、 集合的相等子集：設(shè) 是兩個(gè)集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，則稱A是B的子集，記作 或,A BABBA集合相等：如果集合A 與集合B互為子集,即 且 ,則稱集合

3、A與集合B相等,記作 。真子集：若 且 ,則稱 的真子集,記作ABBAABABABAB是AB空集：不含任何元素的集合稱 為空集 ，記作 空集 是任何集合A的子集。(二)集合的運(yùn)算1、基本運(yùn)算(1)并集(簡(jiǎn)稱并)：設(shè)A,B是兩個(gè)集合,由所有屬于A或者屬于B的元素組成的集合稱為A與B的并集,記作即(2)交集(簡(jiǎn)稱交)：AB ABx xAxB或 ABx xAxB且(3)差集(簡(jiǎn)稱差)： 余集或補(bǔ)集 有時(shí),我們所研究某個(gè)問(wèn)題限定在一個(gè)大的集合 中進(jìn)行,所研究的其它集合A都是 的子集,此時(shí),我們稱集 合 為全集,或基本集稱 為A的余集或補(bǔ)集,記作 A Bx xAxB且IIII ACA2、集合運(yùn)算的運(yùn)算律

4、(1)交換律：(2) 結(jié)合律： A BBA A BBAABCABCABCABC(3) 分配率： (4) 對(duì)偶律： A BCA CB CABCACBCCCCABABCCCABAB3、直積(或笛卡兒乘積) 設(shè) 是任意兩個(gè)集合,在集合A中任意取一個(gè)元素 ,在集合 B 中任意取一個(gè)元素 ,組成一個(gè)有序?qū)Π堰@樣的有序?qū)ψ鳛樾碌脑?，它們?nèi)w組成的集合稱為集合A與集合B的直積,記作 即AB、xy, x yAB( ,) ABx yxAyB且(三)區(qū)間和鄰域1、 三種符號(hào)的意義 三種符號(hào)都表示某個(gè)變量取值的一種變化趨勢(shì) 表示某個(gè)變量取正值而且越變?cè)酱? 表示某個(gè)變量取負(fù)值,而且絕對(duì) 值越變?cè)酱? 表示某個(gè)變量

5、即可取正值也可取 負(fù)值,但絕對(duì)值越變?cè)酱? ， 1 2 32、區(qū)間(1)有限區(qū)間開區(qū)間 閉區(qū)間 半開區(qū)間 ,|a bx axb,|a bx axb , )|a bx axb, |a bx axb(2)無(wú)限區(qū)間 ,)|ax xa ,)|ax xa (, |bx xb(, )|bx xb(,) (3)區(qū)間長(zhǎng)度及區(qū)間的數(shù)軸表示 在三種有限區(qū)間中，稱為有限區(qū)間的區(qū)間長(zhǎng)度，無(wú)限區(qū)間的區(qū)間長(zhǎng)度為正無(wú)窮大。ba3、鄰域(1)定義：以點(diǎn) 為中心的任何開區(qū)間稱為點(diǎn) 的鄰域，記作aa U a(2)點(diǎn) 的 鄰域 設(shè) 是任一正數(shù),則開區(qū)間稱為點(diǎn) 的 鄰域,記作即點(diǎn) 稱為這個(gè)鄰域的中心, 稱為這個(gè)鄰域的半徑。 ,)aa

6、(aU a， ,Uax axax x a aa(3)點(diǎn) 的去心 鄰域 點(diǎn) 鄰域去掉中心 后，稱為點(diǎn) 的去心 鄰域，記作 即 a的0U, a0U,0axxaaaa(4)點(diǎn) 鄰域,點(diǎn) 鄰域 把開區(qū)間 稱為點(diǎn)鄰域,把開區(qū)間 稱為點(diǎn) 鄰域。a的左a的右,aaa的左, a aa的右二、映射(一)映射概念1、定義(1)定義：設(shè) X、Y 是兩個(gè)非空集合,如果存在一個(gè)法則 ，使得對(duì) X 中每個(gè)元素 ,按法則 ， 在 Y 中有唯一確定的元素 與之對(duì)應(yīng),則稱 為從 X 到 Y 的映射，記作 fxfyf:fXY其中 稱為元素 (在映射 下)的像,并記作： 即 ,而元素稱為元素 (在映射 下)的一個(gè)原像,集合 X 稱

7、為映射 的定義域,記作, 即 ,X 中所有元素的像所組成的集合稱為映射 的值域，記作 。yxf f x yf xxyfffDfDXffRfX或(2)掌握定義注意的問(wèn)題構(gòu)成一個(gè)映射必須具備以下三個(gè)要素,集合X,即定義域 ,集合Y,即值域的范圍, 對(duì)應(yīng)法則 ,使對(duì)每個(gè) 有唯一確定的 與之對(duì)應(yīng)。fDX,fRYfxX yf x對(duì)每個(gè) , 是唯一的,而對(duì)每個(gè) 元素 的原像不一定是唯一的,映射 的值域的一個(gè)子集,即 ,不一定xXxy的像fyRyffRY是fRYfRY2、滿射、單射、雙射(1)滿射：設(shè) 是從集合 X 到集合Y 的映射，若 即 Y 中每一個(gè)元素 都是 X 中某元素的像,則稱 上的映射或滿射。f

8、,fRYyfXY為 到(2)單射：設(shè) 是從集合的映射,若對(duì) X 中任意兩個(gè)不同元素 ,它們的像則稱 的單射。fXY到集合12xx 12f xf xfX為 到Y(jié)(3)雙射(一一映射)：若映射 即是單射,又是滿射,則稱 為一一映射（或雙射）。ff(二)逆映射與復(fù)合映射1、逆映射（1）定義：設(shè) 的單射,則由定義,對(duì)每個(gè) 有唯一的 ,于是,我們可定義一個(gè)從 的新的映射 ,即 對(duì)每個(gè) ,規(guī)定 這 這個(gè)映射 的逆映射,記作 其定義域fX是從 到Y(jié)fyR f xyfRX到g:fg RXfyR g yx xf xy滿足gf稱為1f11,=fffRXD=R值域。,xX適合(2)注意： 只有單射才存在逆映射2、復(fù)

9、合映射(1)定義：設(shè)有兩個(gè)映射其中 則由映射 可以定出一個(gè)從X 到Z的對(duì)應(yīng)法則,它將每個(gè) 這個(gè)對(duì)應(yīng)法則確定了一個(gè)從X到Z的映射,這個(gè)映射稱為映射 構(gòu)成的復(fù)合映射，記作 12:, :g X Y f YZ12YYgf和 .xXfg xZ映成gf和:oof gf g XZ即 of gxfg xxX=(2)注意：映射 構(gòu)成復(fù)合映射的條件是： 必須包含在 的定義域 內(nèi),即 ,否則,不能構(gòu)成復(fù)合 映射。映射 的復(fù)合是有順序的, 有意義, 不一定有意義,即便有意 義, 也未必相同。gf和ggR的值域fDgR fgf和foggoffoggof與三、函數(shù)（一）函數(shù)的概念1、定義：設(shè)數(shù)集 ,則稱映射 為定義在 上

10、的函數(shù)，通常簡(jiǎn)記為 其中 稱為自變量， 稱為因變量，D稱為定義域，記作 ,函數(shù)定義中，對(duì)每個(gè)按對(duì)應(yīng)法則，總有唯一確定的值 與之對(duì)應(yīng)，這個(gè)值稱為 處的函數(shù)值。DR:fDRD ,yf xxDxyffDDD即,xDyfx在記作 ，函數(shù)值 的全體所構(gòu)成的集合稱為函數(shù) 的值域， 記作 ,f xyf x即 f xf fDf D或 fRf Dy yfx xD即2、確定函數(shù)的兩大要素：定義域?qū)?yīng)法則 如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同,對(duì)應(yīng)法則也相同.那么這兩個(gè)函數(shù)是相同的;否則就是不同的.fDf3、函數(shù)定義域的求法(1)對(duì)有實(shí)際背景的函數(shù)，應(yīng)根據(jù)變量的實(shí)際意義確定函數(shù)的定義域。(2)對(duì)抽象地用算式表達(dá)的函數(shù)，函數(shù)的定

11、義域是使算式有意義的一切實(shí)數(shù)組成的集合 例1已知求 并寫出它的定義域。 210 xf xefxxx 且 x例設(shè) 的定義域?yàn)?，則 的定義域?yàn)?（ ）。() ()() ()1f x0,0aa f x1,1a1,1a1,aa,1a a例設(shè) 的定義域?yàn)?,求的定義域。 f x1,10f xaf xaa4、單值函數(shù)，多值函數(shù)(1)單值函數(shù)：在函數(shù)的定義域中,對(duì)每個(gè) 對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 總是唯一的,這樣定義的函數(shù)為單值函數(shù)。,xDy(2)多值函數(shù)：定義：如果給定一個(gè)對(duì)應(yīng)法則,按這個(gè)法則對(duì)應(yīng)每個(gè) ,總有確定的值 與之對(duì)應(yīng),但這個(gè) 不是唯一的,習(xí)慣上,我們稱這種法則確定了一個(gè)多值函數(shù)。多值函數(shù)的單值分支 對(duì)于多值

12、函數(shù),往往只需要附加一些條件就可以將它化為單值函數(shù),這樣得到的單值函數(shù)稱為多值函數(shù)的單值分支.xDyy5、幾種特殊的函數(shù)(1)絕對(duì)值函數(shù)定義域 值域0000 xxyxxx x,D 0,)fR (2)符號(hào)函數(shù)它的定義域 值域 10sgn0010 xyxxx,D 1,0,1fR (3)取整函數(shù) 設(shè) 為任一實(shí)數(shù),不超過(guò) 的最大整數(shù)稱為 的整數(shù)部分,記作把函數(shù) 稱為取整函數(shù),它的圖像為階梯曲線。xxx x yx（4）分段函數(shù) 在自變量的不同變化范圍中,對(duì)應(yīng)法則用不同式子來(lái)表示的函數(shù)稱為分段函數(shù)。 分段函數(shù)表示的是一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù)。(二)函數(shù)的幾種特性1、函數(shù)的有界性(1)定義：設(shè)函數(shù) 的定義域

13、為D,數(shù)集 ,如果存在數(shù) ,使得 ,對(duì)任一 都成立,則稱函數(shù) 在X上有上界,而 稱為函數(shù) 在X上的一個(gè)上界。 f xXD1k 1f xkxX f x1k f x 如果存在數(shù) ,使得 ,對(duì)任一 都成立,則稱函數(shù) 在X上有下界,而 稱為函數(shù) 在 X上的一個(gè)下界。 如果存在正數(shù)M,使得 ,對(duì)任一 都成立,則稱函數(shù) 在X上有界,如果這樣的 M 不存在,就稱 在X上無(wú)界。 2fxk2kxX f x2k f x fxMxX f x f x例證明函數(shù) ，在區(qū)間 上無(wú)界。 211sinfxxx(0,1(2)注意若 上有上界,有下界,有界,界不是唯一的.函數(shù)的有界性是對(duì)于數(shù)集而言的,不能離開數(shù)集去談?wù)摵瘮?shù)的有界

14、性.函數(shù) 上有界的充分必要條件是它在X上既有上界,又有下界。 f xX在 f xX在（二）函數(shù)的單調(diào)性 設(shè)函數(shù) 的定義域?yàn)镈，區(qū)間 ,如果對(duì)于區(qū)間 上任意兩點(diǎn) 恒有 ，則稱函數(shù) 在區(qū)間 上是單調(diào)增加的，如果對(duì)于區(qū)間 上任意兩點(diǎn) 恒有 ， f xIDI1212,xxxx及當(dāng)時(shí)， 12f xf x f xII1212,xxxx及當(dāng)時(shí)， 12f xf x則稱函數(shù) 在區(qū)間 上是單調(diào)減少的，單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。 f xI（三）函數(shù)的奇偶性1、定義：設(shè)函數(shù) 的定義域 D 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如果對(duì)于任意 恒成立，則稱為偶函數(shù)。如果對(duì)于任意 恒成立，則稱 為奇函數(shù)。 f x ,xD fxf x

15、 f x ,xD fxf x f x例證明：定義在對(duì)稱區(qū)間 上的任意函數(shù) 可表示為一奇函數(shù)與一偶函數(shù)之和。, l l f x(四)函數(shù)的周期性1、定義：設(shè)函數(shù) 的定義域?yàn)镈,如果存在一個(gè)正數(shù) ,使得對(duì)于任一 恒成立,則稱 為周期函數(shù), 的周期,通常我們所說(shuō)的周期函數(shù)的周期是指最小正周期. f xl xDx lD f x lf x有且 f x lf x稱為例例6證明：函數(shù) 是周期為1 的周期函數(shù)。 f xxx例例7設(shè)對(duì)任何 ，存在 ,使 ,證明 是周期函數(shù)。,x 0c f xcf x f x2、注意：若 的周期,則 的周期。并非每個(gè)周期函數(shù)都有最小正周期 11fxnlfxnllfxnlfx= l

16、f x是 nlf x也是例8狄利克雷函數(shù) 證明任何一個(gè)正有理數(shù)都是它的 周期。 10CxQD xxQ（三）反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)1、反函數(shù)（1）定義：設(shè)函數(shù) 是單射,則它存在逆映射 ,則稱此映射 的反函數(shù),而把原來(lái)的函數(shù) 叫做直接函數(shù).:fDf D 1:ff DD1ff為函數(shù) yf x(2)注意反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域,反函數(shù)的值域是原函數(shù)的定義域。例9設(shè) 求 。 211424xxxf xxxx 1fx 與 表示同一函數(shù)。若 是定義在D上的單調(diào)函數(shù),反函數(shù) 也是定義在 上的單調(diào) 函數(shù)。直接函數(shù) 和它的反函數(shù) 的圖像關(guān)于直線 對(duì)稱。 xyyD yxxDf1ff D yf x 1yfxyx2、復(fù)合函

17、數(shù)（1）定義：設(shè)函數(shù) 的定義域?yàn)?函數(shù) 的定義域?yàn)?且其值域 則由下式確定的函數(shù) 稱為由函數(shù) 構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，它的定義域?yàn)?，變量u稱為中間變量。 函數(shù) 構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)通常記為 。 yf u ug x,gfRD yfg x ug xyf u和函數(shù)gf與函數(shù) oof gf gxfg x即,fDgDxDgD(2)注意： 不是所有函數(shù)都能構(gòu)成復(fù)合函數(shù), 能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件是： 函數(shù) 的值域 必須含在函數(shù) 的定義域 內(nèi),即 ,否則不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)。gf和ggRffDgfRD(四)初等函數(shù) 1、基本初等函數(shù)(1)冪 函 數(shù)：(2)指數(shù)函數(shù)：(3)對(duì)數(shù)函數(shù)：(4)三角函數(shù)： 等(5)反三角函數(shù)： uyx

18、uR 是常數(shù)01xyaaa且log01xyaaa且,sincostancotyx yx yx yxsin ,cosy arcx y arcx,cotyarctanx yarcx（2）初等函數(shù)：由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù)稱為初等函數(shù)。例10寫出的復(fù)合過(guò)程。53lnarcsinytgx3、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)(1)雙曲函數(shù)種類： 雙曲正弦 雙曲余弦 雙曲正切 2xxeeshx2xxeechxxxxxshxeethxchxee性態(tài) 函 數(shù)定義域奇偶性 單調(diào)性 R 奇在 內(nèi)單調(diào)增加 R 偶在 內(nèi)單調(diào)減少 在 內(nèi)單調(diào)增加 R 奇在 內(nèi)單調(diào)

19、增加yshxychxythx, ,00, 性質(zhì)sh xyshx chychx shysh xyshx chychx shych xychx chyshx shych xychx chyshx shy22sh xshx chy222ch xch xsh x221ch xsh x01ch (2)反雙曲函數(shù)種類：雙曲函數(shù)的反函數(shù)依次記為反雙曲正弦 反雙曲余弦 反雙曲正切 0yshx ychx xythx2ln1yarshxxx2ln1yarchxxx11ln21xyarthxx性態(tài)y arshxy archx1,)1,)yarthx1,1函數(shù)定義域奇偶性單調(diào)性 R 奇 在R內(nèi)單調(diào)增加在 內(nèi)單調(diào)增加

20、奇在 內(nèi)單調(diào)增加1,11-2 數(shù)列的極限一、數(shù)列極限的定義(一)數(shù)列的定義：如果按著某一法則,對(duì)每個(gè) ,對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的實(shí)數(shù) ,這些實(shí)數(shù) 按著下標(biāo)n從小到大排列得到的一個(gè)序列 ,就叫做數(shù)列,簡(jiǎn)記為 數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做數(shù)列的項(xiàng),第 叫做數(shù)列的一般項(xiàng).nNnxnx123,nx x xx nxnnx項(xiàng)(二)數(shù)列的極限1、兩個(gè)實(shí)例2、數(shù)列 的極限是 的特征(1) 的極限是 ,與前有限項(xiàng) 的取值無(wú)關(guān),它刻劃的是當(dāng) 時(shí), 的取值的變化情況。 nxa nxanxn nx(2) 的極限是 ,說(shuō)明 時(shí), 比較接近,即 ,把這一問(wèn)題我們用 語(yǔ)言來(lái)描述。 對(duì) ,總 正整數(shù)N,當(dāng) 時(shí),就有 成立,則 的極限是 。(

21、3) 語(yǔ)言的解釋 nxan nxa與0nxaN0 nNnxa nxaN3、定義（ ）：設(shè) 為一數(shù)列，如果存在常數(shù) ，對(duì)于任意給定的正數(shù) （不管它多么?。?，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng) 時(shí)，不等式 都成立，-N語(yǔ)言 nxanNnxa那么就稱常數(shù) 是數(shù)列 的極限,或者稱數(shù)列 收斂于 ,記為 ,如果不存在這樣的常數(shù) ,就說(shuō)數(shù)列 沒(méi)有極限,或者說(shuō)數(shù)列 是發(fā)散的,習(xí)慣上也說(shuō) 不存在。 數(shù)列極限 的定義也可表示為 正整數(shù)N,當(dāng) 時(shí),有 .a nx nxalimnnnxaxa n或a nx nxlimnnxlimnnxalim0,nnxa nNnxa例1證明數(shù)列的極限是1。111 4 32,2 3 4nnn 4、

22、掌握定義及利用定義證明極限應(yīng)注意的問(wèn)題(1) 是任意給定的正數(shù),只有這樣,不等式 才能表達(dá)出無(wú)限接近的意思。(2)所取的 不同,找到的正整數(shù)N也不相同,N隨著 的給定而選定,但即使是同一 ,N也可以是不同的。nxanxa與(3)利用極限的定義證明 的極限是 ,關(guān)鍵是對(duì)于任意給定的正數(shù) ,能夠找到定義中所說(shuō)的正整數(shù)N,確實(shí)存在。 nxa(4)利用定義證明極限，我們經(jīng)常采用放大技巧,有時(shí)還需加入限制條件 ,即:若小于某個(gè)量,那么當(dāng)量 小于 時(shí),必有 ,但通過(guò)放大后找到的N和不放大確定的N值 ,一般來(lái)說(shuō)是不同的,我們的目標(biāo)是找到這樣的N,而不是去找最小的N。 nxaf ng n-nxa-nxa g

23、n例2已知證明數(shù)列 的極限是零。211nnxn nx例3設(shè) ，證明等比數(shù)列的極限是零。1q 211, ,nq qq例4用數(shù)列極限定義證明2334lim029nnnn二、收斂數(shù)列的性質(zhì)（一）（極限的唯一性）定理1： 如果數(shù)列 收斂，那么它的極限唯一。 nx例證明數(shù)列是發(fā)散的。111,2,nnxn （二）收斂數(shù)列的有界性1、定義：對(duì)于數(shù)列 ,如果存在正數(shù)M，使得對(duì)于一切 ,都滿足不等式 則稱數(shù)列 是有界的,如果這樣的正數(shù)M不存在，就說(shuō)數(shù)列 是無(wú)界的。 nxnxnxM， nx nx2、定理2（收斂數(shù)列的有界性） 如果數(shù)列 收斂，那么數(shù)列一定有界。 nx nx3、注意：(1)數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條

24、件,收斂數(shù)列必有界,但數(shù)列有界卻不一定收斂。(2)如果數(shù)列 無(wú)界，那么數(shù)列 一定發(fā)散。 nx nx（三）收斂數(shù)列的保號(hào)性1、定理3：如果那么存在正整數(shù) 時(shí)，都有 。lim00nnxaaa且或0,NnN當(dāng)0,0nnxx或2、推論：如果數(shù)列 從某項(xiàng)起有 ，那么 。 nx0,0limnnnnxxxa或且0,0aa或(四)子數(shù)列1、定義：在數(shù)列 中任意抽取無(wú)限多項(xiàng)并保持這些項(xiàng)在原數(shù)列 中的先后次序，這樣得到的一個(gè)數(shù)列稱為原數(shù)列 的子數(shù)列（或子列） nx nx nx2、定理4（收斂數(shù)列與其子數(shù)列的關(guān)系） 如果數(shù)列 收斂于 ，那么它的任一子數(shù)列也收斂，且極限也是 。 nxaa3、注意：如果數(shù)列 有兩個(gè)子數(shù)

25、列收斂于不同的極限,那么數(shù)列 是發(fā)散的。 nx nx 1-3 函數(shù)的極限一、函數(shù)極限的定義(一)定義 在自變量的某個(gè)變化過(guò)程中,如果對(duì)應(yīng)的函數(shù)值無(wú)限接近了某個(gè)確定的數(shù),那么這個(gè)確定的數(shù)就叫做在這一變化過(guò)程中函數(shù)的極限。(二)函數(shù)極限的兩種不同情形1、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限(1)定義：如果在 的過(guò)程中,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 無(wú)限接近于確定的數(shù)值A(chǔ),那么就說(shuō)A是函數(shù) 當(dāng) 時(shí)的極限。0 xx f x f x0 xx（2） 語(yǔ)言定義 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某一去心鄰域內(nèi)有定義,如果存在常數(shù)A,對(duì)于任意給定的正數(shù) (無(wú)論它多么小),總存在正數(shù) ,使得當(dāng) 滿足不等式 時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 都滿足不等式 ， f x0

26、xx00 xx f x fxA那么常數(shù)A就叫做函數(shù) 當(dāng)時(shí)的極限,記作 或 ,簡(jiǎn)記為: 時(shí)，有 。 f x0 xx 0limxxf xA f xA 0lim=0 xxf xA 0()xx當(dāng)時(shí)00,x x 當(dāng)0 fxA(3) 的幾何解釋。 0limnxf xA例證明： 此處C為常數(shù)。0limxxCC(4)利用定義證明極限注意的問(wèn)題利用定義證明極限存在,關(guān)鍵是對(duì) 去找 ,使得當(dāng)時(shí),恒有 成立。,000 xx fxA例2證明：00limxxx x例3證明：1lim 211xx從定義 這一條不難看出,當(dāng) 時(shí), 有沒(méi)有極限,與 在點(diǎn) 是否有定義無(wú)關(guān).00 xx0 xx f x f x0 x例4證明：211

27、lim21xxx求函數(shù)的極限也往往采用放大技巧，或?qū)ψ宰兞考尤胂拗茥l件。例5證明：當(dāng) 時(shí)，00 x 00limxxxx例6證明：2551lim2510 xxx(5)左極限，右極限（單側(cè)極限）定義：有時(shí)也考慮 的方面趨于 或 的左側(cè)趨于 ,記為 的情形，由此便得左右極限的定義。 當(dāng) 時(shí),有 當(dāng) 時(shí),有0 xx從大于0 x0 xx記為0 xx從0 x0 xx 00lim0 xxf xAf xA 或000 xxx fxA 00lim0 x xf xAf xA 或000 xxx fxA定理：注意:()若 有一個(gè)不 存在,則 一定不存在。 ()當(dāng) 時(shí),若 都存在但不相等,則 一定不存在。 000limx

28、xfxAfxfxA00f xf x或 0limxxf x0 xx 00f xf x及 0limxxf x例7證明函數(shù)： 當(dāng) 時(shí)， 的極限不存在。 100010 xxf xxxx 0 x f x2、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限(1)定義:如果在 的過(guò)程中,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值無(wú)限接近于確定的數(shù)值A(chǔ)，那么A叫做函數(shù) 當(dāng)時(shí)的極限。x f xx （2）定義（ ） 設(shè)函數(shù) 大于某一正數(shù)時(shí)有定義，如果存在常數(shù)A,對(duì)于任意給定的正數(shù) （不論它多么?。┛偞嬖谡龜?shù) ，使得當(dāng) 滿足不等式 時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 都滿足不等式 那么常數(shù)A就叫做函數(shù) ，當(dāng)時(shí)的極限記作：X語(yǔ)言 f xx當(dāng)XxxX f x fxA f xx 。 li

29、mxf xAf xAx或當(dāng)時(shí)可簡(jiǎn)記為： 當(dāng) 時(shí),有 lim0 xf xA 0XxX fxA(3) 函數(shù) 極限 的定義；() 當(dāng) 時(shí),有() 當(dāng) 時(shí),有 xx及 f x lim0 xf xA 0XxX fxA lim0 xf xA 0XxX fxA 例8證明：1lim0 xx(4)水平漸近線： 如果 ,則直線 是函數(shù) 圖形的水平漸近線。 limxf xCyC yf x二、函數(shù)極限的性質(zhì)(僅以 討論)(一)函數(shù)極限的唯一性定理1：如果 存在,那么這極限唯一。 0limxxf x 0limxxf x(二)函數(shù)極限的局部有界性定理2：如果 ,那么存在常數(shù)M0和 ,使得當(dāng) 時(shí)，有 。 0limxxf x

30、A000 xx fxM(三)函數(shù)極限的局部保號(hào)性1、定理3:如果 那么存在常數(shù) ,使得當(dāng)時(shí),有 0lim,00 x xf xAAA而 且或000 xx 0(0)f xf x或2、定理 :如果 的某一去心鄰域 當(dāng) 時(shí)就有 . 0lim0 ,xxf xA A0 x那么就存在著00u x00 xu x 2Af x 33、推論:如果在 的某一去心鄰域內(nèi) ,而且 ,那么 。0 x 00f xf x或 0limxxf xA00AA或(四)函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系定理4:如果極限 存在, 為函數(shù) 的定義域內(nèi)任一收斂于 的數(shù)列且滿足 ,那么相應(yīng)的函數(shù)值數(shù)列 必收斂,且 。 0limxxf x nx f x0

31、x0nxxnNnf x 0limlimnnxxf xf x 1-4 無(wú)窮小與無(wú)窮大一、無(wú)窮小(一)定義1、定義1 如果函數(shù) 當(dāng) 時(shí)的極限為零,即那么稱函數(shù) 為時(shí)的無(wú)窮小。 f x0 xxx 或 0lim0 xxxfx f x0 xxx或2、定義2 當(dāng) 時(shí),有xX或語(yǔ)言 0lim000 xxxfx （） 00 x x fx0X 或，xX或(二)注意1、零是可以作為無(wú)窮小的唯一常數(shù)2、除零外,無(wú)窮小不是一個(gè)很小的數(shù),而是一個(gè)函數(shù),在的過(guò)程中,這個(gè)函數(shù)的絕對(duì)值能小于任意給定的正數(shù)。0 xxx或(三)無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系定理1：在自變量的同一變化過(guò)程 中函數(shù) 具有極限A的充分必要條件是 其中 是無(wú)窮

32、小。( 其中A為常數(shù), 是某個(gè)變化過(guò)程中無(wú)窮小)0 xxx或 f x ,f xA 0()limxxxf xA f xA二、無(wú)窮大（一）定義1、定義1 如果當(dāng) 時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的絕對(duì)值 無(wú)限增大,就稱函數(shù) 為當(dāng)時(shí)的無(wú)窮大。0 xxx或 fx f x0 xxx或2、定義2：設(shè)函數(shù) 在 的某一去心鄰域內(nèi)有定義(或 大于某一正數(shù)時(shí)有定義),如果對(duì)于任意給定的正數(shù)M(無(wú)論它多么大),總存在正數(shù) (或正數(shù)X),只要 適合不等式對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 總滿足不等式則稱函數(shù) 為當(dāng) 時(shí)的無(wú)窮大.記作 。 f x0 xx f x fxM f x0 xxx 或 0()limxxxf x x00,xxxX或簡(jiǎn)記為 為當(dāng)時(shí)的無(wú)窮大

33、， 當(dāng) 時(shí),有 : f x0 xxx或0M0X或00 xxxx或 f xM3、定義3當(dāng) 時(shí),有 01 lim000 x xxf xMX 或00 xxxX或 f xM (2) 當(dāng) 時(shí),有 0,lim000 xxxf xM 或X00 xxxX或 f xM 例1證明：11lim1xx (二)漸近線 如果 ,則直線是函數(shù) 的圖形的鉛直漸近線。 0limxxf x 0 xx yf x(三)注意1、無(wú)窮大量不是一個(gè)很大的數(shù),它表 示變量的一種變化趨勢(shì)。2、注意無(wú)窮大量和無(wú)界的區(qū)別,在某一區(qū)間里的無(wú)界量,不一定是自變量在該區(qū)間變化時(shí)的無(wú)窮大量。例2在區(qū)間 上,變量 是否有界,當(dāng)時(shí),這函數(shù)是否為無(wú)窮大。(0,

34、1211sinxx0 x（四）無(wú)窮大與無(wú)窮小之間的關(guān)系定理2：在自變量的同一變化過(guò)程中，如果 為無(wú)窮大，則 為無(wú)窮小，反之，如果 為無(wú)窮小，且 ，則 為無(wú)窮大。 f x 1f x f x 0f x 1f x1-5 極限運(yùn)算法則一、無(wú)窮小的性質(zhì)定理(一)定理1： 有限個(gè)無(wú)窮小的和也是無(wú)窮小(二)定理2： 有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小1、推論1： 常數(shù)和無(wú)窮小的乘積仍是無(wú)窮小。2、推論2： 有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小。二、函數(shù)極限的和、差、積、商的運(yùn)算法則(一)定理3：如果 那么 lim,lim,fxAg xB 1 limlimlimf xg xf xg xAB 2 limlimlimf x

35、g xf xg xA B lim30limlimfxfxAg xg xB若又有B則2、推論1：如果 存在，而c為常數(shù)，則 即常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面。3、推論2：如果 存在，而 n是正整數(shù)，則(二)定理4：如果 lim f x limlimcf xcf x lim fx limlimnnf xf x lim=xxxa而 lim= ,xbab那么三、數(shù)列極限四則運(yùn)算法則定理5：設(shè)數(shù)列 如果 ,那么 。 ,nnxy和limlimnnnnxAyB 1 lim2 limnnnnnnxyABxyA B 301,2,0nynB當(dāng)且時(shí)，limnnnxAyB例1求極限 1lim 21xx例2求 3221l

36、im53xxxx四、利用法則求極限的方法及注 意的問(wèn)題(一)設(shè)多項(xiàng)式為有理整函數(shù),則 101nnnf xa xa xa 00limxxfxfx(二)有理分式函數(shù) 極限其中 皆為有理整函數(shù)1、若 ,則2、若 ,則不能應(yīng)用商的運(yùn)算法則,此時(shí)應(yīng)考慮將分子、分母的零因式約掉,或根據(jù)無(wú)窮小和無(wú)窮大的關(guān)系. 0limxxP xQ x ,P xQ x 0lim0 xxQ x 000limxxP xP xQ xQ x00lim0 xxQ x例3求233lim9xxx例4求 2123lim54xxxx(三)有理分式函數(shù) 的極限設(shè)其中 , 都是非負(fù)整數(shù)則 limxP xQ x 101mmmP xa xa xa 1

37、01nnnQ xb xb xb0000abmn和 00101101limlim0mmmnnxxnamnbP xa xa xamnQ xb xb xbmn當(dāng)當(dāng)當(dāng)例5求 3232342lim753xxxxx例6求232321lim25xxxxx例7求 32225lim321xxxxx(四)根據(jù)無(wú)窮小的性質(zhì)求極限例8求sinlimxxx例9已知 其中 是常數(shù)， 求 。2lim01xxaxbx, a bab與五、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則1、定理6:設(shè)函數(shù) 是由函數(shù) 與函數(shù) 復(fù)合而成,在點(diǎn) 的某去心鄰域內(nèi)有定義,若 且存在 有 則 。 yfg x yf u ug x fg x0 x 000limlimxx

38、uug xuf uA00000,xu x當(dāng) 0g xu 00limlimxxuufg xf uA例10求 lim 1 21 21nnn 2、推廣(在上面定理中把 換成以下幾種情況定理仍成立） 000lim,limxxuuxuf uA 01.limlimxxuxf uA 若 0limlimxxufxf uA則有 2.limlimxuxf uA 若 limlimxufxf uA則有 3.limlimxuaxaf uA若 limlimxuafxf uA則有1-6 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限一、極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則（一）準(zhǔn)則：如果數(shù)列 滿足下列條件： (1)從某項(xiàng)起,即那么數(shù)列 的極限存在且 ,nnnx

39、yz及 2 limlimnnnnyaza nxlimnnxa00,nNnn當(dāng)時(shí)，nnnyxz有例1求22212lim12nnnnnnnn n 例2求 !limnnnn準(zhǔn)則 ：如果 那么 存在,且等于A 。準(zhǔn)則和準(zhǔn)則稱為夾逼準(zhǔn)則 001,xU x rxM當(dāng)或時(shí)， g xf xh x 002 limlimxxxxxxg xAh xA 0limxxxf x例3證明 0limcos1xx(二)準(zhǔn)則1、單調(diào)數(shù)列 如果數(shù)列 滿足條件 就稱數(shù)列 是單調(diào)增加的,如果數(shù)列 滿足條件 就稱數(shù)列 是單調(diào)減少的，單調(diào)增加和單調(diào)減少的數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列。 nx1231nnxxxxx nx nx1231nnxxxxx n

40、x2、準(zhǔn)則： 單調(diào)有界數(shù)列必有極限，它包括兩個(gè)方面：?jiǎn)握{(diào)增加有上界的數(shù)列有極限。單調(diào)減少有下界的數(shù)列有極限例4設(shè)證明數(shù)列 有極限,并求出111112,3,1nnnxxxnx nxlimnnx例5設(shè) 證明： 111101,2,2nnnxxxnx limlimnnnnxx存在，并求3、數(shù)列收斂性與數(shù)列有界的關(guān)系(1)收斂數(shù)列必有界,無(wú)界數(shù)列必發(fā)散, 有界數(shù)列不一定收斂。(2)單調(diào)有界數(shù)列必收斂。 :設(shè)函數(shù) 在點(diǎn)的某個(gè)左鄰域內(nèi)單調(diào)并且有界,則 在 的左極限 必定存在.注：相應(yīng)于單調(diào)有界數(shù)列必有極限的準(zhǔn)則,函數(shù)極限也有類似準(zhǔn)則,而且在自變量的不同變化過(guò)程( 準(zhǔn)則有不同的成立形式)II二 準(zhǔn)則 f x0

41、 x f x0 x0fx00 xxxxxx 二、兩個(gè)重要極限(一) 時(shí), ,則有0sinlim1xxx 0f x 0sin( )lim1xxxf xf x0 xxx 若或例6求 0tanlimxxx例7求201 coslimxxx例8求0arcsinlimxxx例9求 2352limsin53xxxx例1020lim lim coscoscos222nxnxxx（二） 時(shí) 則有 1lim(1),nnen1lim(1)xxex0 xxx 若或 f x 0( )()1lim (1)( )f xxxxef x例11求1lim 1xxx例12求 2lim1nnnn例13已知 求常數(shù) 。lim9xxxa

42、xaa1-7 無(wú)窮小的比較一、定義 設(shè) 都是在同一個(gè)自變量變化過(guò)程中的無(wú)窮小量,且1、如果 ,就說(shuō) 高階的無(wú)窮小,記作 。2、如果 ,就說(shuō) 低階的無(wú)窮小。及0lim=0是比 =0lim=是比3、如果 ,就說(shuō) 是 同階 無(wú)窮小 .4、如果 ,就說(shuō)的 階無(wú)窮小 。5、如果 ,就說(shuō) 是 等價(jià)無(wú)窮小,記作lim=c0與lim=c00kk是關(guān)于klim=1與例1當(dāng) 時(shí)，下列四個(gè)無(wú)窮小量中，哪一個(gè)是比其它三個(gè)更高階的無(wú)窮小量？（A） （B） （C） （D）0 x 2x1 cosx211xtansinxx例2證明：當(dāng) 時(shí)0 x 111nxxn二、兩個(gè)定理(一)定理1： 是等價(jià)無(wú)窮小的充分必要條件為(二)定理

43、2：設(shè)存在,則與 = +0 lim，且lim=lim三、使用定理2注意的問(wèn)題1、應(yīng)熟記一些等價(jià)無(wú)窮小尤其注意當(dāng) 時(shí),若則上式把 時(shí)仍成立sinarcsinxxxxtanarcnxxtaxxln 11xxxex211 cos112nxxxxn0 xxx或 0f x xf x換成2、求兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限時(shí)，分子分母都可用等價(jià)無(wú)窮小代替. 例3求 0tan 2limsin 5xxx例4(1) 求(2) 求 30sinlim3xxxx123011limcos1xxx3、用等價(jià)無(wú)窮小代換，只能將分子或分母中的因式代換，而不能將和或差項(xiàng)中的某一項(xiàng)用等價(jià)無(wú)窮小代換，否則有可能導(dǎo)致錯(cuò)誤。例530tansin

44、limsinxxxx例6求 22411limsinxxxxxx 例7求 1402sinlim1xxxexxe1-8 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)一、函數(shù)的連續(xù)性(一)變量 的增量:設(shè)變量 從它的一個(gè)初值 變到終值 ,終值與初值的差 ,就叫做變量 的增量,記作uu1u2u21uu,21uuuu u(二)函數(shù)在點(diǎn) 連續(xù)的特征1、圖像特征： 函數(shù) 處圖像不間斷,就說(shuō) 處連續(xù)2、極限特點(diǎn) 10yfxx在點(diǎn) 10yfxx在點(diǎn)0000limlim0 xxyf xxf x 0 x(三)定義1、定義1：設(shè)函數(shù) 的某一鄰域內(nèi)有定義,如果 那么就稱 連續(xù)。 在區(qū)間 內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或者說(shuō)函數(shù)

45、在該區(qū)間上連續(xù) 0yf xx在點(diǎn)0000limlim0 xxyf xxf x 0yf xx在點(diǎn), a b例1證明函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)連續(xù)。cosyx, 2、定義2:設(shè)函數(shù) 的某一鄰域內(nèi)有定義,如果那么就稱 連續(xù)。 0yf xx在點(diǎn) 00limxxf xf x 0f xx在點(diǎn)3、定義3 在點(diǎn) 連續(xù)當(dāng) 時(shí)，有 語(yǔ)言 f x0 x00 0 xx 0fxfx4、左連續(xù)、右連續(xù)（1）定義：如果 存在且等于 即 ，就說(shuō)函數(shù) 左連續(xù)，如果存在且等于 ，即就說(shuō)函數(shù) 右連續(xù)。 00limxxf xf x0f x 00limxxf xf x 0f xx在點(diǎn) 00limxxf xf x0f x00f xf x 0f x

46、x在點(diǎn)(2)在點(diǎn) 連續(xù),左連續(xù)右連續(xù)的關(guān)系 函數(shù) 連續(xù)的充分必要條件是 即左連續(xù)又右連續(xù)。0 x 0f xx在點(diǎn) 0fxx在點(diǎn)例2設(shè)在 處連續(xù)，問(wèn)常數(shù)的關(guān)系如何？ 20sin0abxxf xbxxx 0 x ab與(3) 在閉區(qū)間 上連續(xù) 如果函數(shù) 在開區(qū)間 內(nèi)連續(xù),在右端點(diǎn) 左連續(xù),在左端點(diǎn) 右連續(xù)那么稱 在閉區(qū)間 上連續(xù)。 f x, a b f x, a b f x, a bab二、函數(shù)的間斷點(diǎn)（一）定義：設(shè)函數(shù) 的某去心鄰域內(nèi)有定義，在此前提下，如果有下列三種情形之一。（1）在 沒(méi)有定義。 （2）雖在 有定義，但不存在。 0f xx在點(diǎn) f x0 xx0 xx 0limxxf x(3)雖

47、在 有定義,且 存在但 則函數(shù)為不連續(xù),而 稱為函數(shù) 的不連續(xù)點(diǎn)或間斷點(diǎn).0 xx 0limxxf x 00limxxf xf x 0f xx在點(diǎn)0 x f x(二)間斷點(diǎn)的類型1、第一間斷點(diǎn)(1)定義：如果 的間斷點(diǎn),但左極限 及右極限 都存在,那么 的第一類間斷點(diǎn)。 0 xf x是函數(shù)0fx0fx 0 xf x稱為函數(shù)(2)類型可去間斷點(diǎn)：若 的間斷點(diǎn),且 ,則稱 的可去間斷點(diǎn)。 0 xf x是函數(shù)00fxfx 0 xf x為函數(shù)例3對(duì)于函數(shù)是否為可去間斷點(diǎn)。2cos211xyxxx，例4設(shè)函數(shù) 問(wèn) 是否為可去間斷點(diǎn)。 1112xxyf xx1x 跳躍間斷點(diǎn)： 的間斷點(diǎn),但 ,即不存在。

48、0 xf x是00f xf x 0limxxf x例5設(shè)問(wèn) 是否為跳躍間斷點(diǎn) 10sgn0010 xf xxxx0 x 例6設(shè) 判斷 處的連續(xù)性,若不連 續(xù),指出間斷點(diǎn)的類型。 1110110 xxexf xex 0f xx 在2、第二類間斷點(diǎn)(1)定義:不是第一類間斷點(diǎn)的任何間 斷點(diǎn)稱為第二類間斷點(diǎn)。(2)常見類型無(wú)窮間斷點(diǎn):若 的間斷點(diǎn)且 ,則稱 的無(wú)窮間斷點(diǎn)。震蕩間斷點(diǎn): 間斷點(diǎn),且當(dāng)時(shí),函數(shù)值在兩數(shù)之間變動(dòng)無(wú)限多次. 0 xf x是 0limxxf x 0 xf x為0 x 為0 xx例7.求 在區(qū)間 內(nèi)的間斷點(diǎn),并判斷其類型。 tan4= 1+xxf xx0,21-9 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù) 的連續(xù)性一、連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性定理1:設(shè)函數(shù) 連續(xù),則它們的和(差) ,積及商 , 0f xg xx和在點(diǎn)fgf gfg000g xx當(dāng)時(shí) 都在點(diǎn) 連續(xù)。二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性(一)反函數(shù)的連續(xù)性定理2：如果函數(shù) 上單調(diào)增加(或單調(diào)減少)且連續(xù),那么它的反函數(shù) 也在對(duì)應(yīng)的區(qū)間 上單調(diào)增加(或單調(diào)減少)且連續(xù)。 xyf xI在區(qū)間 1xfy yxIy yf xxI（二）復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理3：設(shè)函數(shù) 是由函數(shù) 與函數(shù)