(完整版)曲線積分與曲面積分(解題方法歸納)

1、第十一章解題方法歸納一、曲線積分與曲面積分的計算方法1曲線積分與曲面積分的計算方法歸納如下:(1)利用性質計算曲線積分和曲面積分(2)直接化為定積分或二重積分計算曲線或曲面積分(3)利用積分與路徑無關計算對坐標的曲線積分(4)利用格林公式計算平面閉曲線上的曲線積分(5)利用斯托克斯公式計算空間閉曲線上的曲線積分(6)利用高斯公式計算閉曲面上的曲面積分2在具體計算時，常用到如下一些結論：(1)若積分曲線L關于y軸對稱，則0f對x為奇函Lf(x,y)ds2 tf(x,y)ds1f對X為偶函 數LP(x,y)dx0P對X為奇函數2 LLP(x,y)dy1P對X為偶函數0Q對x為偶函數LQ(x,y)d

2、y2LQ(x,y)dyQ對x為奇函數其中L是L在右半平面部分.若積分曲線L關于x軸對稱，則0Lf(x,y)ds 2 f (x,y)dsJf對y為奇函數f對y為偶函數0P對y為偶函數LP(x, y)dx 2 p(x, y)dy P對y為奇函數0Q對y為奇函數嚴皿2Q(x,y)dyQ對y為偶函數1其中Li是L在上半平面部分若空間積分曲線L關于平面yx對稱，則f (x)dsLf(y)ds.(3)若積分曲面 關于xOy面對稱，則0f對z為奇函數f(x,y,z)dS 2 R(x, y,z)dS f對z為彳禺函數0R對z為偶函數R(x, y,z)dxdy 2 R(x, y, z)dxdy RM z為奇函數

3、1其中1是在xOy面上方部分.若積分曲面 關于yOz面對稱，則0f對x為奇函數f(x,y,z)dS 2 R(x, y,z)dS f對x為偶函數10P對x為偶函數P(x,y,z)dydz 2 P(x,y,z)dydz P對x為奇函數i是在yOz面前方部分.若積分曲面關于zOx面對稱，f對y為奇函數R(x, y,z)dS f對y為偶函數Q對y為偶函數Q(x,y,z)dzdx Q對y為奇函數x(t),y(t) ,x2(t) y2(t)dt ()若曲線弧L : r r()其中1是在zOx面右方部分.若曲線弧L:x(t)y(t)t),則Lf(x, y)dsf r( )cos,r( )sin . r2()

4、 r2( )d其中f (x,y,z)dSQ(x, y, z)dzdxLf(x,y)ds(極坐標),則若空間曲線弧:yzx(t)y(t) (tz(t),則f(x,y,z)ds f x(t), y(t),z(t) x2(t) y2(t) z2(t)dt (5)若有向曲線弧L:xx(t) (t：),貝IJyy(t)LP(x,y)dx Q(x, y)dy P x(t), y(t) x(t) Q x(t), y(t) y (t) dtxx(t)若空間有向曲線弧:y y(t) (t:),貝ijzz(t)P(x,y,z)dx Q(x, y, z)dy R(x, y,z)dzP x(t), y(t), z(t

5、) x(t)Q x(t), y(t),z(t) y (t) R x(t), y(t), z(t) z(t) dt(6)若曲面:z z(x, y) (x, y) Dxy),貝Uf (x,y,z)dS f x, y,z(x, y) 1Zx2(x, y) Zy2(x, y)dxdyDxy其中Dxy為曲面在xOy面上的投影域.若曲面:x x(y, z) ( y,z) Dyz),則f (x,y, z)dS f x(y,z), y, z . 1 Xy(y,z) Xz(y,z)dydzDyz其中Dyz為曲面在yOz面上的投影域若曲面:yy(x, z) (x, z) Dzx),則f (x,y, z)dS f

6、x,y(x, z),z J yz2(y,z)yx2(y, z)dzdxDzx其中Dzx為曲面 在zOx面上的投影域.(7)若有向曲面:zz(x, y),則R(x,y,z)dxdyRx, y,z(x,y)dxdy(上Dxy其中Dxy為在xOy面上的投影區(qū)域.若有向曲面：xx(y,z),貝ijP(x,y,z)dydz Px(y,z), y,zdydz(前Dyz屮后)其中Dyz為在yOz面上的投影區(qū)域.方向余弦.(門)斯托克斯公式dydz dzdx dxdy?Pdx Qdy Rdz若有向曲面:yy(x,z),則Q(x, y, z)dzdx Q x, y(x, z), zdzdx(右 + 左)Dzx其

7、中Dzx為在zOx面上的投影區(qū)域.(8)內任一閉曲線)L Pdx Qdy與路徑無關?Pdx Qdy 0 ( c為Ddu (x, y) Pdx Qdy(存在u(x, y)PQyx其中D是單連通區(qū)域，P(x,y),Q(x, y)在D內有一階連續(xù)偏導數(9)格林公式?LP(x,y)dx Q(x,y)dy其中L為有界閉區(qū)域D的邊界曲線的正向, 偏導數.(10)高斯公式衛(wèi)上dxdy D x yP(x, y),Q(x, y)在D上具有一階連續(xù)oP(x, y,z)dydz Q(x, y, z)dzdx R(x, y, z)dxdy-dvb (Pcos Qcos Rcos )dSdv其中為空間有界閉區(qū)域的邊界

8、曲面的外側，P(X, y, z),Q(x, y,z), R(x, y,z)在上具有一階連續(xù)偏導數,cos ,cos ,cos為曲面在點(x, y, z)處的法向量的其中為曲面的邊界曲線，且的方向與的側(法向量的指向)符合右手螺旋法則，P,Q,R在包含在內的空間區(qū)域內有一階連續(xù)偏導數1計算曲線積分或曲面積分的步驟：（1）計算曲線積分的步驟：1）判定所求曲線積分的類型（對弧長的曲線積分或對坐標的曲線積分）；2）對弧長的曲線積分，一般將其化為定積分直接計算；對坐標的曲線積分：1判斷積分是否與路徑無關，若積分與路徑無關，重新選取特殊路徑積分；2判斷是否滿足或添加輔助線后滿足格林公式的條件，若滿足條件，

9、利用格林公式計算（添加的輔助線要減掉）；3將其化為定積分直接計算4對空間曲線上的曲線積分，判斷是否滿足斯托克斯公式的條件，若滿足條件，利用斯托克斯公式計算；若不滿足，將其化為定積分直接計算（2）計算曲面積分的步驟：1）判定所求曲線積分的類型（對面積的曲面積分或對坐標的曲面積分）；2）對面積的曲面積分，一般將其化為二重積分直接計算；對坐標的曲面積分：1判斷是否滿足或添加輔助面后滿足高斯公式的條件，若滿足條件，利用高 斯公式計算（添加的輔助面要減掉）；2將其投影到相應的坐標面上，化為二重積分直接計算例1計算曲線積分I -2,其中L為x|y 1取逆時針方向.Lx |y xdx dydx dy dxd

10、yLx| |y| x21-12XL1 x2 L1 x2由于積分曲線L關于x軸、y軸均對稱，被積函數PQ芯 對x、y均為偶1 x函數，因此dx_ dydx dyL1 x2L1 x2HX|y| x2方法技巧對坐標的曲線積分的對稱性與對弧長的曲線積分對稱性不同， 記清楚后再使用事實上，本題還可應用格林公式計算例2計算曲面積分l(ax by cz n)2dS,其中為球面22-xy2ZR2.解I2(ax by cz n) dS2222222(a xb y c z n 2abxy 2acxz 2bcyz 2anx 2bny 2cnz)dS由積分曲面的對稱性及被積函數的奇偶性知xydS xzdS yzdS

11、xdS ydS zdS 0又由輪換對稱性知x2dS y2dS z2dS2222222ax dS b y dS c z dS njg(a2b2c2) x2dS n2dSb2(x2y2z2)dS 4 R2n22222a b R2 dS 4 R2n24 R2R(a2b2c2) n233方法技巧對面積的曲面積分的對稱性與對坐標的曲面積分的對稱性不同，理解 起來更容易些若碰到積分曲面是對稱曲面，做題時可先考慮一下對稱性.例3計算曲面積分b心)dS,其中 為球面x2y2z?2ax解 乙(x? y2z2)dS2axdS 2a乙(x a)dS 2a2dS02a2 dS 2a2gl a28 /R分曲面是關于xa

12、O對稱的，被積函數xa是xa的 奇函數，因此&x a)dS 022例4計算曲線積分？xy dN X嚴，其中L為圓周x2y2a2(a 0)的逆Jx2y2時針方向.解法1直接計算將積分曲線L表示為參數方程形式a cos :(:0asi n代入被積函數中得_ xy2dy x2ydx 12:2 2xy方法技巧 本題解法1用到了定積分的積分公式:n 1 n 3 ,HV9TAg-g3解法2中，一定要先將積分曲線x2y2a2代入被積函數的分母中，才能應用格林公式，否則不滿足P,Q在D內有一階連續(xù)偏導數的條件.A(,)到點B(,)的曲線弧.解直接計算比較困難.22xy dv x ydx2cos sincosc

13、ossin(sin )d2aQsin2cos2d2a320sin(1 sin2)d8叭伽2sin4)d8a3192a3解法2利用格林公式y(tǒng)dx(x22y )dxdy其中D:x2y2a2,故n為奇數例5計算曲線積分(x v)dx (x v)dy其中L為沿y cosx由點X2ydx1Lxydy aL2 2yn 1rH-/2y (xy)因此在不包含原點O(0,0)的單連通區(qū)域內，積分與路徑無關取圓周x2y222上從A(J到點B(J的弧段L代替原弧段L,由于P x y 2xy22其參數方程為：L、2 cccy、2 sin(:-45),代入被積函數中得4(x y)dx (x y)dy12(Xy)dx (

14、xy)dyI 2222L匚x y54(cos4sin )( sin)(cos sin )cos d534d42方法技巧本題的關鍵是選取積分弧段L,既要保證L簡單，又要保 證不經過坐標原點.例6計算曲面積分xdydz ydzdx zdxdy,其中 為x . y z 1的法向量與各坐標軸正向夾銳角的側面.解由于曲面具有輪換對稱性，xdydz ydzdx zdxdy,投影到xOy面的區(qū)域Dxy(x,y)v、x . y 1,故xdydz ydzdx zdxdy 3 zdxdy 3 (1 x . y)2dxdy(1 x . y)2dy(1 . x)3 4dx203 (1 .x . y)2dxdy 3 d

15、x DxyDO方法技巧由于積分曲面具有輪換對稱性，因此可以將dyd乙dzdx直接轉換為dxdy,只要投影到xOy面即可.例7計算曲面積分(x y2)dydz (y z2)dzdx (z x2)dxdy,其中 z2x2y2在0 z h部分的上側.解利用高斯公式添加輔助面1：zh(x2y2h2),取下側,則(x y2)dydz (y z2)dzdx (z x2)dxdy(x y2)dydz (y z2)dzdx (z x2)dxdy0；xt4p t)dt130為錐h2g! h dxdy(xDxy:1 2h3hg h2 13d2方法技巧添加輔助面時，既要滿足封閉性，又要滿足對側的要求本題由于積分錐面

16、取上側(內側),因此添加的平面要取下側，這樣才能保證封閉曲面取內側，使用高斯公式轉化為三重積分時，前面要添加負號例8計算曲線積分？(z ydx (x z)dy (x y)dz,其中L:從z軸的正向往負向看，L的方向是順時針方向.面的投影區(qū)域為Dxy(x, y) x2y21,則(x y2)dydz (y z2)dzdx (z x2)dxdy其中為和3dxdydz (h x )dxdy 3 dxdydz11圍成的空間圓錐區(qū)域，Dxy為投影到2(h x )dxdyDxyxOy面的區(qū)域，即Dxy(X, y) X2h2,由Dxy的輪換對稱性，有x2dxdy 2(x2y2)dxdyD xyMx2y21 y

17、 z2(x y2)dydz(y z2)dzdx (z x2)dxdyy2)dxdy1 h44解應用斯托克斯公式計算令:x y2(x2y21)取下側，在xOy?(z y)dx (x z)dy (xdydz dzdx dxdyy)dz2dxdy 2 dxdy 2Dxy|方法技巧|本題用斯托克斯公式計算比直接寫出曲線L的參數方程代入 要簡單，所有應用斯托克斯公式的題目，曲面的選取都是關鍵，既要簡單，又要滿足斯托克斯的條件，需要大家多加練習.、曲線積分與曲面積分的物理應用1.曲線積分與曲面積分的物理應用歸納如下(1)曲線或曲面形物體的質量曲線或曲面的質心(形心)(3)曲線或曲面的轉動慣量.(4)變力沿

18、曲線所作的功.(5)矢量場沿有向曲面的通量.(6)散度和旋度.2.在具體計算時，常用到如下一些結論:22lzL(xy) (xyz)ds(1)平面曲線形物體空間曲線形物體曲面形構件(2)質心坐標平面曲線形物體的質心坐標：空間曲線形物體的質心坐標：LX (x,v,z)dsL(x, y)ds曲面形物體的質心坐標：X (x,y,z)ds(x, y, z)dS當密度均勻時，質心也稱為形心(3)轉動慣量平面曲線形物體的轉動慣量：空間曲線形物體的轉動慣量：lx L(y2Z2) (xyz)ds(x,y)ds(x, y,z)ds(x,y,z)dSLX (x, y)dsL(x,y)dsLy (x, y)dsL(x

19、,y)dsLV(x,v,z)dsLZ(x,y,z)dsL(x, y)dsL(x, y)dsy (x,y,z)dsz (x, y, z)dS(x,y,z)dS(x, y,z)dSLy2(x, y) ds ,|YLX2(x,y)dsIyL(z2x2) (x,y,z)ds曲面形物體的轉動慣量:(x2y2) (x, y,z)dS其中(x, y)和(x,y,z)分別為平面物體的密度和空間物體的密度.(4)變力沿曲線所作的功平面上質點在力F P(x, y) i+Q(x, y) j作用下，沿有向曲線弧L從A點運 動到B點,F所做的功WABP(X,y)dx Q(x, y)dy空間質點在力F P(x, y, z

20、) i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k作用下，沿有向曲線 弧L從A點運動到B點，F(xiàn)所做的功WABP(X,y, z)dx Q(x, y,z)dy R(x, y, z)dz(2)矢量場沿有向曲面的通量矢量場A P(x,y,z) i +Q(x, y,z) j + R(x, y,z) k通過有向曲面指定側的通P(x, y, z)dydz Q(x, y,z)dzdx R(x,y,z)dxdy(3)散度和旋度矢量場A P(x, y,z) i +Q(x, y, z) j + R(x, y,z) k的散度矢量場A P(x, y,z) i +Q(x, y, z) j + R(x, y,z) k的旋度x y zlx(y2z2) (x, y,z)dS , I(z2x2) (x,y,z)dSPQR1.曲線積分或曲面積分應用題的計算步驟:(1)根據所求物理量，代入相應的公式中;(2)計算曲線積分或曲面積分.例9設質點在場力F占：X的作用下，沿曲線L:y由A移動