第三章 立體投影、第四章 立體表面交線

1、第三章 基本體3.1 3.1 平面立體平面立體3.2 3.2 回轉(zhuǎn)體回轉(zhuǎn)體01表面僅由平面圍成的基表面僅由平面圍成的基本體本體：平面立體平面立體表面包含曲面的基本體表面包含曲面的基本體：曲面立體曲面立體 立體都可以看作由一些基本幾何體組合而成，最基本的簡單立體稱為基本體。如：棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、球、環(huán)等。它們是構(gòu)成形體的基本單元。基本體分為平面立體和曲面立體球圓環(huán)四棱錐圓柱圓錐六棱柱3.1 平面立體平面立體02 繪制所有繪制所有多邊形表面的投影多邊形表面的投影，也就是繪制其也就是繪制其表面棱線及各頂點的表面棱線及各頂點的投影投影。 1、平面體的投影表示、平面體的投影表示 平面立體表面都是由

2、平面多邊形構(gòu)成，平面立體表面都是由平面多邊形構(gòu)成，多邊形的邊和頂點就是立體表面上的棱線和多邊形的邊和頂點就是立體表面上的棱線和頂點，每一條棱線是兩個相鄰表面片的共有頂點，每一條棱線是兩個相鄰表面片的共有邊。邊。（一）棱柱（一）棱柱 棱柱的結(jié)構(gòu)特點是除它的上、下棱柱的結(jié)構(gòu)特點是除它的上、下底面外，它的所有側(cè)面都是矩形，且底面外，它的所有側(cè)面都是矩形，且所有側(cè)棱都相互平行。所有側(cè)棱都相互平行。(二二)棱錐棱錐 棱錐的結(jié)構(gòu)特點是所有棱線相棱錐的結(jié)構(gòu)特點是所有棱線相交于一點，此點稱為錐頂。底面是交于一點，此點稱為錐頂。底面是一平面多邊形，而所有側(cè)面都是三一平面多邊形，而所有側(cè)面都是三角形，為一般位置平

3、面或投影面垂角形，為一般位置平面或投影面垂直面。直面。 棱柱棱柱棱錐棱錐eabdabceVWHB1CA1ABDEaebdcae b dce(d) a(c)b11111cdbeae1(d1) b1 a1(c1)b(b1)c(c1)d(d1)e(e1)a(a1)投影規(guī)律：投影規(guī)律： 高平齊高平齊 長對正長對正 寬相等寬相等高高寬寬寬寬長長sabcsbVWHCASBsabca (c )a(c)(c)bacssabcsb （1）、由于平面立體的表面都是多）、由于平面立體的表面都是多邊形平面片，所以，邊形平面片，所以，在平面立體表面上取在平面立體表面上取點和取線的作圖問題，就是平面上取點和點和取線的作圖

4、問題，就是平面上取點和取線作圖的應(yīng)用取線作圖的應(yīng)用。 （2）、可見性問題。判別立體表面）、可見性問題。判別立體表面上點與線可見與否的依據(jù)是：上點與線可見與否的依據(jù)是：如果平面片如果平面片的某投影是可見的，則位于其上的點與線的某投影是可見的，則位于其上的點與線的同面投影可見，否則為不可見的同面投影可見，否則為不可見。2. 平面立體表面上的點和線平面立體表面上的點和線n (f)bcsscbaascban(m)(e)例例1：已知三棱錐：已知三棱錐S-ABC的三面投影及棱錐表面上點的投的三面投影及棱錐表面上點的投影影(m)、和線段投影、和線段投影(ef)，試求出點與線段的其它投影。，試求出點與線段的其

5、它投影。3nnef(m)fe33(f)bcsscbaascban(m)(e)121221(m)例例2 2：已知棱柱表面M點的正面投影 m和N點的側(cè)面投影 n”，求出其他兩面投影。利用特殊位置表面的積聚性取點由于m 是可見的，因此M點必定在ABCD棱面上，而ABCD棱面為鉛垂面，水平投影abcd有重影性，因而m必定在abcd上。再根據(jù)m和m即可求出m”。 同理作n 和 n ，且n 不可見。04例例3 3：已知M點的正面投影m ，求其他兩投影方法二 過錐頂S和M點作輔助線S，然后再求M點的水平投影m方法一 M點在棱面SAB上。過M在ABC上作AB的輔助平行線M，即作1mab，再作1mab ，求出m

6、，再根據(jù)m、 m求出m”06例例4 4：已知N點的水平投影n ，求其他兩投影N點在側(cè)垂面SAC上，因此n”必定在s”a”c”，由n、n”可求出n， n為不可見。073.2 3.2 回轉(zhuǎn)體回轉(zhuǎn)體回轉(zhuǎn)體它是由一線繞空間一直線作回轉(zhuǎn)運動形成的曲面，該直回轉(zhuǎn)體它是由一線繞空間一直線作回轉(zhuǎn)運動形成的曲面，該直線稱線稱回轉(zhuǎn)軸回轉(zhuǎn)軸。運動的線稱為。運動的線稱為母線母線，母線可以是直線或曲線，其，母線可以是直線或曲線，其任一位置直線稱任一位置直線稱素線素線。母線上任一點的運動軌跡是圓，又稱。母線上任一點的運動軌跡是圓，又稱緯緯圓圓，其所在平面垂直于回轉(zhuǎn)軸。，其所在平面垂直于回轉(zhuǎn)軸。喉圓赤道圓經(jīng)線回轉(zhuǎn)面的形成回

7、轉(zhuǎn)面的形成曲母線曲母線 母線為回轉(zhuǎn)面上的母線為回轉(zhuǎn)面上的經(jīng)線經(jīng)線(或或子午線子午線)。母線上任一點的軌跡。母線上任一點的軌跡為圓，稱為為圓，稱為緯線緯線(或緯圓或緯圓)，緯圓，緯圓所在的平面垂直于旋轉(zhuǎn)軸。回所在的平面垂直于旋轉(zhuǎn)軸?；剞D(zhuǎn)面上直徑最小的緯圓稱為喉轉(zhuǎn)面上直徑最小的緯圓稱為喉圓，最大的緯圓稱為赤道圓。圓，最大的緯圓稱為赤道圓。OO1緯圓緯圓旋轉(zhuǎn)軸回轉(zhuǎn)體的投影回轉(zhuǎn)體的投影繪制回轉(zhuǎn)體的投影，應(yīng)畫出回轉(zhuǎn)軸，表繪制回轉(zhuǎn)體的投影，應(yīng)畫出回轉(zhuǎn)軸，表示曲面輪廓的轉(zhuǎn)向線、圓的對稱中心線示曲面輪廓的轉(zhuǎn)向線、圓的對稱中心線等。等。 1、曲面邊、曲面邊界線的投影界線的投影 2、曲面轉(zhuǎn)向、曲面轉(zhuǎn)向輪廓線輪廓線

8、(外形外形線線) 3、軸線、軸線的投影的投影 4、曲面上的、曲面上的若干條素線若干條素線 不同的投射不同的投射方向產(chǎn)生不同的方向產(chǎn)生不同的外形線，并且，外形線，并且，外形線也是該投外形線也是該投射方向曲面上可射方向曲面上可見與不可見部分見與不可見部分的分界線。的分界線。 平行于某個投影方向且與曲面相切的平行于某個投影方向且與曲面相切的投射線形成投射面，投射面與曲面相切的切投射線形成投射面，投射面與曲面相切的切線稱為該投射方向的曲面外形輪廓線，簡稱線稱為該投射方向的曲面外形輪廓線，簡稱外形線。外形線。 曲面在曲面在某個投影面某個投影面上的投影，上的投影，可以用該投可以用該投射方向上外射方向上外形

9、線的投影形線的投影來表示來表示badcVZYXHWABCDbdcabadcVZYXHWABCD(一一)、圓柱體的投影、圓柱體的投影1、圓柱體的形成、圓柱體的形成2、圓柱體的投影、圓柱體的投影dcbac(d)a(b)cdba投影規(guī)律：投影規(guī)律： 高平齊高平齊 長對正長對正 寬相等寬相等高高長長寬寬寬寬寬寬寬寬長長寬寬寬寬長長寬寬寬寬長長高高寬寬寬寬長長n不可見，N點必定在右半圓柱面，水平投影n必定在具有右半水平投影圓上再由n和n求出n例：已知圓柱面上M點的正面投影m，和N點的側(cè)面投影 n求其他兩面投影。 利用圓柱面的H面投影的積聚性，可以直接得到水平投影m 由于m是不可見的，因此M點必定在后半個

10、圓柱面上，水平投影m必定落在具有重影性的后半水平投影圓上 再由m和m求出m093、圓柱面上取點、圓柱面上取點n”不可見，N點必定在右半圓柱面，水平投影n必定在具有右半水平投影圓上再由n和n”求出n2 2、圓柱表面上取點、圓柱表面上取點例：已知圓柱面上M點的正面投影m，和N點的側(cè)面投影 n”求其他兩面投影。 利用圓柱面的H面投影的積聚性，可以直接得到水平投影m由于m是不可見的，因此M點必定在后半個圓柱面上，水平投影m必定落在具有重影性的后半水平投影圓上再由m和m求出m”091 1、圓錐面的形成、圓錐面的形成圓錐面是一直母線母線繞與之相交的軸線回轉(zhuǎn)而成。底圓為水平面，其H面投影反映實形，其V面、W

11、面投影積聚為直線。圓錐面的所有素線均與軸線相交于定點S，因此圓錐面的V面和W面投影各為一等腰三角形。三角形的兩腰是圓錐轉(zhuǎn)向輪廓線的投影。H面投影上的圓既是圓錐面的投影，也是圓錐底圓的投影。10（二）、圓錐面的投影（二）、圓錐面的投影2、圓錐面的投影、圓錐面的投影3、圓錐面上取點、圓錐面上取點 SBaabbAsssa方法一：素線法方法一：素線法(b)Saabsssa方法二：緯圓法方法二：緯圓法A(b)（三）、球面（三）、球面1.形成與投影形成與投影bcabcaabbacebc(a)efafe(f)111bcac(b)2、球面上的點、球面上的點第四章 立體的截切與相貫第一節(jié)第一節(jié) 平面與立體的截切

12、平面與立體的截切第二節(jié)第二節(jié) 立體與立體的相貫線立體與立體的相貫線零件表面被平面（截平面）截切所零件表面被平面（截平面）截切所產(chǎn)生的交線稱為產(chǎn)生的交線稱為截交線截交線 截交線的基本性質(zhì)：截交線的基本性質(zhì)：1)截交線是截平面和立體表面的共有線，其上的點一定是截平面和立體表面的共有點2)由于立體的表面都具有一定的范圍，所以截交線是封閉的線條，截斷面是封閉的平面圖形求截交線可歸結(jié)為求截平面與立體求截交線可歸結(jié)為求截平面與立體表面的共有點、線的問題表面的共有點、線的問題第一節(jié)第一節(jié) 平面與立體的截交線平面與立體的截交線具有截交線的零件的實例：切刀頂尖六角螺母手把上的球13一、一、 平面與平面立體相交平

13、面與平面立體相交【例1】三棱錐S-ABC被正垂面P所截切,求正面?zhèn)让嫱队?1)截平面為正垂面，正面投影有重影性，因此可直接得到P面與各棱線交點、 的正面投影1 、2、 3求截交線方法求截交線方法平面與平面立體相交，截交線通常是封閉的平面多邊形，多邊形的各頂點是平面立體的各棱線或邊與截平面的交點，多邊z的各邊是平面立體的棱面與截平面的交線。由于實際零件上絕大多數(shù)的截平面是特殊位置平面，因此可利用重影性原理來作出其共有點、線。(2)根據(jù)線上取點的方法作出它們的水平投影1、2、3和側(cè)面投影1”、2”、3” (3)連接各點的同面投影即得截交線的三個投影(4)判斷可見性并整理輪廓線15【例2】求帶切口的

14、正四棱錐的各個投影，切口由水平和正垂截面組成。分析：切口的正面投影有積聚性，故投影為已知。水平截面與四棱錐底面平行，因此它與棱面的交線必與底邊四邊形對應(yīng)邊互相平行。 由于組成切口的兩個截面都垂直于正投影面，所以兩截面的交線一定是正垂線。 水平截斷面和正垂截斷面都是五邊形步驟：(1) 畫出完整正四棱錐的三面投影。標出截交線正面投影中各頂點。(2)先求水平截斷面上的交線。利用點的投影規(guī)律和平行線的投影特性求出、 、 、的各面投影(3)利用點的投影規(guī)律求正垂截斷面上截交線，求得、 的投影(4)依次連接各頂點的同面投影，判別可見性并整理輪廓線，其中水平投影4、5為不可見，側(cè)面投影右棱線不可見，應(yīng)畫虛線

15、16【例3】補畫三棱錐切割后的側(cè)面投影，并畫全水平投影，截平面P、Q都是正垂面分析：三棱錐底面ABC為水平面，棱面SAB、SBC為一般位置面，棱面SAC為側(cè)垂面。 P、Q都是正垂面，截交線的正面投影有積聚性。步驟：（1) 作出三棱錐兩個棱線SA、SB于截平面P、Q的交點 、 、 的正面投影1、2、3、4，由此再求出1、2、3、4和1” 、2” 、3”、4” （2）作出SBC面點和SAC面點的水平、側(cè)面投影。過點和點作MBC、 M AC，交棱線SC于M點，即作5m bc，6m ac交sc于m，由此求得其余兩投影5、5和6、6 （3）連接各頂點的同面投影，判別可見性并整理輪廓線，其中P、Q的交線為

16、正垂線，其水平投影被錐面所遮，不可見，應(yīng)畫虛線17三棱柱三棱柱18四棱柱四棱柱19六棱柱六棱柱201 1、截交線的形狀、截交線的形狀2 2、截交線的畫法、截交線的畫法 例例1(1(圓柱斜切圓柱斜切) )例例2(2(圓柱切割圓柱切割) )例例3(3(圓柱開槽圓柱開槽) )例例4(4(圓柱多平面切圓柱多平面切) )例例5(5(圓筒開凸榫和凹槽圓筒開凸榫和凹槽) )21習題習題( (圓柱割槽圓柱割槽) )習題習題( (組合圓柱組合圓柱) )習題習題( (圓柱切口圓柱切口)V)V習題習題( (圓柱多平面截切圓柱多平面截切) )二、二、 平面與曲面立體相交平面與曲面立體相交(1)平面與圓柱相交截交線的形

17、狀取決于截平面與圓柱的相對位置：當平面與圓柱軸線平行時，截交線為兩條平行直線（素線）當平面與圓柱軸線斜交時，截交線為一橢圓當平面與圓柱軸線垂直時，截交線為圓1 1、截交線的形狀、截交線的形狀22（2）平面與圓錐相交平面與圓錐相交 1 1、截交線的形狀、截交線的形狀23【例1】圓柱被正垂面截切，求作三面投影分析：截平面與圓柱軸線斜交，截交線為橢圓，其正面投影重影為直線，水平投影與圓柱面重影，其側(cè)面投影可根據(jù)投影規(guī)律和圓柱面上取點的方法求出。2 2、平面與圓柱相交截、平面與圓柱相交截 交線的畫法交線的畫法1）求特殊點 找橢圓長短軸的四個端點，最高、最低點（也是最右、最左點）I、II，最前、最后點、

18、，其中3”、4 ”在側(cè)面轉(zhuǎn)向線上。由此可確定截交線大致范圍。注意：特殊點要取全，一般點要適當。Attention: the especial points need construct entirely, the general points need construct properly242）求一般點 作、 等點的各個投影。3）連曲線 依次光滑連接各點的側(cè)面投影，即得截交線用一組平面截圓柱體用一組平面截圓柱體【例2】一組平面截切圓柱，求側(cè)面一組平面截切圓柱，求側(cè)面投影投影分析：圓柱體被兩個側(cè)平面和一個水平面在圓柱上方對稱地截取兩部分。側(cè)平截面平行于圓柱軸線，與圓柱面的交線為素線、，與端面的

19、交線為。水平截面垂直于圓柱軸線，與圓柱面的交線為弧線。兩截面的交線為直線。作圖：因交線 、 、的兩個投影已知，根據(jù)投影規(guī)律易于作出側(cè)面投影25【例3】圓柱開槽，求側(cè)面投影圓柱開槽，求側(cè)面投影分析：圓柱體在上方中部被切割成矩形切口。側(cè)平截面平行于圓柱軸線，與圓柱面的交線為素線、（單側(cè)），與端面的交線為。水平截面垂直于圓柱軸線，與圓柱面的交線為圓弧。兩截面的交線為直線。作圖：由正面投影可知，圓柱側(cè)面投影的轉(zhuǎn)向輪廓線在切口處的一段被切掉，所以這段轉(zhuǎn)向線在側(cè)面投影圖上不應(yīng)畫出26兩截面的交線在側(cè)面投影圖上被遮擋，應(yīng)畫虛線?！纠?】圓柱被正垂面和水平面截切，求水平投影分析：水平截面與圓柱交線是兩平行素線

20、，另一平面與圓柱斜交，交線是橢圓弧。兩截面交線是正垂線。作圖：標出、各點的正面投影，其中為橢圓弧上一般位置點，、為橢圓弧最前、最高點求各點的水平投影依次連接成直線和光滑曲線由正面投影可知圓柱水平投影的轉(zhuǎn)向輪廓線在至段被切掉，故這段轉(zhuǎn)向線在水平投影上不應(yīng)畫出27【例5】補全圓筒開凸榫和凹槽后的側(cè)面投影2829圓柱組合圓柱組合303132立體上兩形體的表面相交而產(chǎn)生的立體上兩形體的表面相交而產(chǎn)生的交線稱為交線稱為相貫線相貫線相貫線的基本性質(zhì)：相貫線的基本性質(zhì)：1)相貫線一般是封閉的空間曲線2)相貫線是兩形體的共有線，相貫線上的所有點一定是兩形體表面的共有點第二節(jié)第二節(jié) 立體與立體相交立體與立體相交

21、(相貫線）相貫線）三通管Three-direction pipeline 蓋Lid彎管Syphon旋塞體Faucet3334三通管蓋彎管旋塞體一、兩曲面立體相交（圓柱與一、兩曲面立體相交（圓柱與圓柱）圓柱）二、平面立體與曲面立體相交二、平面立體與曲面立體相交例1例2例3例4例5例6例71 1、求相貫線方法、求相貫線方法求相貫線實質(zhì)是求兩曲面立體表面的一系列共有點，然后順次光滑連接。常用的作圖方法為利用積聚性在表面取點【例1】求垂直相交的兩圓柱的相貫線分析：直立圓柱的水平投影具有積聚性，因而相貫線的水平投影與之重合。水平圓柱的側(cè)面投影具有積聚性，因而相貫線的側(cè)面投影與之重合。所以相貫線的兩個投影

22、已確定，只需求其正面投影(1)求特殊點 分別求相貫線上最前點，最左、最右點、的各投影。（2）求一般點 在相貫線的水平投影上任取一般點、的投影，再根據(jù)投影規(guī)律求出另外兩面投影（3）連曲線并判別可見性 相貫線后半段與前半段重合，只畫實線一、兩曲面立體相交（圓柱與圓柱）一、兩曲面立體相交（圓柱與圓柱）35兩圓柱正交，小圓柱穿過大圓柱，在非積聚性的投影上，其相貫線彎曲趨勢總是朝大圓柱里彎曲兩正交圓柱，直徑差異越小，相貫線彎曲程度越大兩正交圓柱直徑相等時兩正交圓柱直徑相等時，相貫線變成平面曲線（橢圓），其一其一個投影變成相交直線個投影變成相交直線2 2、相貫線變化趨勢、相貫線變化趨勢影響兩正交圓柱的相貫線變化的趨勢的因素是它們的相對尺寸36兩外表面相交兩外表面相交外表面與內(nèi)外表面與內(nèi)表面相交表面相交兩內(nèi)表面兩內(nèi)表面相交相交3 3、兩圓柱相交的三種形式、兩圓柱相交的三種形式37兩圓柱相交可能是它們的外表面，也可能是內(nèi)表面，但其相貫線的形狀和求作方法都是相同的。分析：兩個空心圓柱正交產(chǎn)生 外外相貫 和 內(nèi)內(nèi)相貫。水平圓筒的側(cè)面投影具有積聚性，因而兩相貫線的側(cè)面投影與之重合。同理，相貫線的水平投影與直立圓筒