理學微積分PPT學習教案

1、會計學1理學微積分理學微積分2021-10-172解解的平均速度的平均速度到到求時段求時段ttt 00)1(ttxttxttv )()(),(000 速速度度平平均均速速度度的的極極限限是是瞬瞬時時)2(ttxttxtvt )()(lim)(0000 如果極限如果極限存在存在, , 這個極限值就是質點的這個極限值就是質點的瞬時速度瞬時速度. .第1頁/共32頁2021-10-173 例例2 2 曲線的切線斜率問題曲線的切線斜率問題 ).(,(),(),(.,)()()(,000000 xfyyxMLbaxbaCxfbxaxfyL 其其中中的的切切線線在在點點求求曲曲線線其其方方程程為為設設曲曲

2、線線什麼是曲線的切線？什麼是曲線的切線？第2頁/共32頁2021-10-174xyo0MN0 xxx0T)(:xfyL 的的極極限限位位置置就就是是切切線線割割線線時時當當,0MN 割線割線切切線線第3頁/共32頁2021-10-175xxfxxfxkx )()(lim)(0000 xxfxxfxxk )()(),(000 的割線斜率的割線斜率到到求區(qū)間求區(qū)間xxx 00)1(斜斜率率割割線線斜斜率率的的極極限限是是切切線線)2()()(000 xxxkxfy 的的切切線線方方程程在在點點曲曲線線),()3(000yxML第4頁/共32頁2021-10-17600,),(.,)()(limli

3、m.)(00000000 xxxxxxdxdydxdfxfxfxfxxfxxfxyxxfy 記記作作的的導導數(shù)數(shù)在在極極限限值值為為函函數(shù)數(shù)并并稱稱此此可可導導在在則則稱稱函函數(shù)數(shù)存存在在如如果果極極限限某某鄰鄰域域有有定定義義的的在在點點設設函函數(shù)數(shù) 二、導數(shù)定義與性質二、導數(shù)定義與性質1. 導數(shù)定義：導數(shù)定義：第5頁/共32頁2021-10-177注意注意1 導數(shù)的等價定義：導數(shù)的等價定義：hxfhxfxfh)()(lim)(0000 000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx xxfxxfxfx )()(lim)(0000 第6頁/共32頁2021-10-178)()(00tstv

4、 瞬瞬時時速速度度：)()(00 xfxk 切切線線斜斜率率：.)(,()()(0000處處切切線線的的斜斜率率在在點點是是曲曲線線導導數(shù)數(shù)xfxMxfyxf )()(xmx 線密度：線密度：注意注意2 導數(shù)的意義：導數(shù)的意義：物理意義物理意義幾何意義幾何意義 導數(shù)是函數(shù)在一點的變化率導數(shù)是函數(shù)在一點的變化率 第7頁/共32頁2021-10-179例例: :線密度問題線密度問題.,處處細細桿桿的的線線密密度度求求在在斷斷面面成成的的細細桿桿設設有有一一根根由由某某種種物物質質做做MABABMxxo)(xmAM的的質質量量是是設設Nxx )()(xmxxmMN 的的質質量量為為平平均均線線密密度

5、度xxmxxm )()( xxmxxmxx )()(lim)(0 第8頁/共32頁2021-10-1710)()()(lim0000 xfxxfxxfx 左導數(shù)左導數(shù))()()(lim0000 xfxxfxxfx 右導數(shù)右導數(shù)2. 單側導數(shù)定義：單側導數(shù)定義：)()()(,00000 xfxfxfxfxf 存存在在即即等等左左、右右導導數(shù)數(shù)都都存存在在且且相相的的在在可可導導在在點點函函數(shù)數(shù)定理：定理：左左可可導導在在0 xf右右可可導導在在0 xf第9頁/共32頁2021-10-17113. 導函數(shù)定義：導函數(shù)定義：.),(,),(上上可可導導在在開開區(qū)區(qū)間間則則稱稱可可導導上上處處處處在在

6、開開區(qū)區(qū)間間若若函函數(shù)數(shù)bafbaf .,),(上上可可導導在在閉閉區(qū)區(qū)間間則則稱稱左左可可導導在在點點右右可可導導且且在在點點上上可可導導在在開開區(qū)區(qū)間間若若函函數(shù)數(shù)bafbabaf .),(,的的導導函函數(shù)數(shù)稱稱為為上上定定義義了了一一個個新新的的函函數(shù)數(shù)則則在在區(qū)區(qū)間間上上可可導導在在區(qū)區(qū)間間若若函函數(shù)數(shù)fxfIIf 第10頁/共32頁2021-10-1712三、函數(shù)的微分三、函數(shù)的微分 導數(shù)是從函數(shù)對自變量變化的速度來導數(shù)是從函數(shù)對自變量變化的速度來研究研究; ;而微分則是直接研究函數(shù)的增量，而微分則是直接研究函數(shù)的增量，這有許多方便之處。這有許多方便之處。（一）函數(shù)的微分的定義（一）

7、函數(shù)的微分的定義.)()()()(.)(00000可可微微在在點點則則稱稱函函數(shù)數(shù)的的增增量量可可表表示示成成在在點點如如果果的的某某鄰鄰域域有有定定義義在在點點設設函函數(shù)數(shù)xfxoxxAxfxxfxxf .0的的微微分分在在點點稱稱為為函函數(shù)數(shù)線線性性函函數(shù)數(shù)xfxA 第11頁/共32頁2021-10-1713.)(,1000的的線線性性函函數(shù)數(shù)是是微微分分時時當當確確定定點點注注意意xxxxdfx .)()(,)()(,20000的的高高階階無無窮窮小小是是其其誤誤差差的的近近似似值值增增量量可可作作為為微微分分很很小小時時當當注注意意xxdfxfxfxdfx 部部”微微分分是是增增量量的

8、的“線線性性主主xAdyxAxdfxx 0)(0或或記記作作第12頁/共32頁2021-10-1714xxfxdfxfxAxxxf )()()()(,)()1(000000 即即且且必必可可微微點點則則它它在在處處可可導導在在點點函函數(shù)數(shù)四、可導、可微與連續(xù)的關系四、可導、可微與連續(xù)的關系定理定理1: 函數(shù)可微與可導是等價的函數(shù)可微與可導是等價的)()(,)()2(0000 xAxfxxxf 且且必必可可導導點點則則它它在在處處可可微微在在點點函函數(shù)數(shù)第13頁/共32頁2021-10-1715即即可可導導在在點點設設,)(0 xxf)()(lim000 xfxxfx 量量的的關關系系知知由由有

9、有極極限限函函數(shù)數(shù)與與無無窮窮小小)1()()(00oxfxxf )()()(00 xoxxfxf 證證 (1)()(,)(000 xfxAxxf 且且可可微微在在點點即即第14頁/共32頁2021-10-1716可可微微在在點點設設函函數(shù)數(shù)0)(xxf)0()()()(00 xxoxxAxf )()()(lim)(lim)(000000 xAxxoxxAxxfxfxx 證證 (2)()(,)(000 xAxfxxf 且且可可導導在在點點即即第15頁/共32頁2021-10-1717.,00連連續(xù)續(xù)在在則則可可導導在在若若函函數(shù)數(shù)xfxf定理定理2：證證)(lim000 xfxyxfx 可可導

10、導在在xxxxfy )()(00lim0 yx 連連續(xù)續(xù)在在0 xf注意注意 可導必連續(xù)可導必連續(xù), 連續(xù)不一定可導！連續(xù)不一定可導！)()(0 xoxxf 第16頁/共32頁2021-10-1718.0與與可可導導性性處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在點點研研究究函函數(shù)數(shù)例例 xxy得得到到一一個個改改變變量量給給,00 xx 1limlim)0(00 xxxyfxx 1limlim)0(00 xxxyfxx 不不可可導導在在0 xxyxxy 00解解連連續(xù)續(xù))0(0 xy 第17頁/共32頁2021-10-1719oxxy 尖點尖點第18頁/共32頁2021-10-1720的的可可導導性性在在研研究

11、究例例0)(31 xxxf3231)(1)()0()0(xxxxfxfxy 32)(1limlim00 xxyxx 解解不不可可導導在在0)(31 xxxfx31xy Oy有鉛垂切線有鉛垂切線第19頁/共32頁2021-10-1721)0(,0,00,1sinyxxxxy 求求例例xxxxyxx 1sinlim01sinlim)0(00解解振蕩振蕩不存在不存在！)0(y 第20頁/共32頁2021-10-1722 0,00,1sin2xxxxy若若 01sinlim01sinlim)0(020 xxxxxyxx則則第21頁/共32頁2021-10-1723xyo0MNQ)(xfy dyy 0

12、xxx0 x TPdyxfxtgQMPQ )(00 微分的幾何意義微分的幾何意義微分三角形微分三角形第22頁/共32頁2021-10-1724.)(,()(00000的的縱縱坐坐標標增增量量處處的的切切線線在在點點就就是是曲曲線線微微分分TMxfxMxfydyxx .,0“以以直直代代曲曲”曲曲線線用用切切線線近近似似代代替替附附近近在在點點即即很很小小時時當當xdyyx 第23頁/共32頁2021-10-17250)() 1 ( C1)()2( xxxx1)(ln)5( xxee )()3(五、基本導數(shù)（微分）公式五、基本導數(shù)（微分）公式xxx22cos1sec)(tan)9( xxx22s

13、in1csc)(cot)10( aaaxxln)()4(axxaln1)(log)6(xxsin)(cos)8(xxcos)(sin)7(第24頁/共32頁2021-10-1726xxxtansec)(sec)11( xxxcotcsc)(csc)12( 211)(arcsin)13(xx 211)(arccos)14(xx 211)(arctan)15(xx 211)cot()16(xxarc 第25頁/共32頁2021-10-1727)67(.,)()(Pxxfxdf見見講講義義：微微分分基基本本公公式式得得到到由由導導數(shù)數(shù)基基本本公公式式便便可可以以故故根根據(jù)據(jù) 微分基本公式微分基本公式

14、第26頁/共32頁2021-10-1728.)()(1的導數(shù)的導數(shù)在在為常數(shù)為常數(shù)求求例例xCCxfy 得得到到以以增增量量給給,)1(xx 0)()( CCxfxxfy 求求增增量量比比)2(00 xxy 取取極極限限得得令令, 0)3(x 0lim0 xyx 5. 利用定義求導的例子利用定義求導的例子解解0)( C公公式式第27頁/共32頁2021-10-17292sin)2sin(2cos)cos(xxxxxxy xxxxyxxxxsinsin)2sin(limlim2200 .cos)(2的的導導數(shù)數(shù)在在求求例例xxxf 解解22sin)2sin(xxxxxy xxsin)(cos 公公式式xxcos)sin( 公公式式第28頁/共32頁2021-10-1730)1ln(ln)ln(xxxxxy xx1)(ln 公公式式.ln)(3的的導導數(shù)數(shù)在在求求例例xxxf 解解xxxxxxxxxy )1ln()1ln(1xxyx1lim0 axxaln1)(log 公公式式第29頁/共32頁2021-10-1731)1( xxxxxaaa