施瓦茨不等式的證明

1、2柯西施瓦茨不等式的證明2.1 柯西施瓦茨不等式定理（柯西施瓦茨不等式） 若a1，a2，an和b1, b2, ,bn是任意實(shí)數(shù)，則k=1nakbk2k=1nak2k=1nbk2當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使得bk=xak（k=1,2,）時(shí)，等號(hào)成立。2.2 用數(shù)學(xué)歸納法證明柯西施瓦茨不等式當(dāng)n=1時(shí)， 左式=a1b12=a12b12， 右式=a12b12顯然 左式=右式當(dāng)n=2時(shí)，左式=a1b1+a2b22=a12b12+2a1b1a2b2+a22b22 a12+a22b12+b22=a12b12+a22b22+a22b12+a12b22=右式 故有 a1b1+a2b22a12+a22b12+b2

2、2 ,即 k=12akbk2k=12ak2k=12bk2當(dāng)且僅當(dāng)a1b2=a2b1時(shí)等號(hào)成立。 故n=1,2時(shí)不等式成立。假設(shè)當(dāng)n=i時(shí)，不等式成立，即k=1iakbk2k=1iak2k=1ibk2當(dāng)且僅當(dāng)akbj=ajbk(k,j=1,2，i)時(shí)成立。那么當(dāng)n=i+1時(shí)，k=1i+1ak2k=1i+1bk2=k=1iak2+ai+12k=1ibk2+bk+12 =k=1iak2k=1ibk2+ai+12k=1ibk2+bi+12k=1iak2+ai+12bi+12 k=1iak2k=1ibk2+2ai+1bi+1k=1iak2k=1ibk2+ai+12bi+12 k=1iakbk2+2ai+

3、1bi+1k=1iakbk+ai+12bi+12 =k=1i+1akbk2當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)akbk=ajbjk,j=1,2,i且k=1iak2k=1ibk2=ai+12bi+12時(shí)成立。因?yàn)?akbk=ajkj，故 ak2bk2=aj2bj2=k=1iak2k=1ibk2(k,j=1,2,i)所以 ak2bk2=aj2bj2=ai+12bi+12（k,j=1,2,i）所以 akbk=ajkj（k,j=1,2,i+1）綜上所述，不等式k=1nakbk2k=1nak2k=1nbk2成立。2.3 用向量法證明柯西施瓦茨不等式 設(shè)a=a1,a2,an,b=b1,b2,bn是兩個(gè)n維向量，則 ab=k=

4、1nakbk a=(aa)12=k=1nak212 b=(bb)12=k=1nbk212因?yàn)?ab=abcosab 所以 k=1nakbk=k=1nak212k=1nbk212整理后得到 k=1nakbk2k=1nak2k=1nbk2由上可知，不等式 k=1nakbk2k=1nak2k=1nbk2成立。2.4運(yùn)用基本不等式證明柯西施瓦茨不等式 基本不等式：ab12a2+b2 柯西施瓦茨不等式：k=1nakbk2k=1nak2k=1nbk2，為簡(jiǎn)潔我們記a2=k=1nak2，b2=k=1nbk2，sk=akbk(k=1,2,n)則柯西施瓦茨不等式變?yōu)?a2b2k=1nsk2兩邊開平方再移向得 s1+s2+snab1證明：s1ab=a1b1aba1a2+b1b22,當(dāng)且僅當(dāng)a1a=b1b,即a1b1=ab時(shí)等號(hào)成立； s2ab=a2b2aba2a2+b2b22,當(dāng)且僅當(dāng)a2a=b2b,即a2b2=ab時(shí)等號(hào)成立；snab=anbnabana2+bnb22,當(dāng)且僅當(dāng)ana=bnb,即anbn=ab時(shí)等號(hào)成立；上述n式相加得s1+s2+snabs1ab+s2ab+snabk=1na