向量的內積長度及正交性

1、 向量的內積、長度及正交性 本章主要討論方陣的特征值與特征向量、方陣的相似對角化和二次型的化簡問題 其中涉及向量的內積、長度及正交等知識 本節(jié)先介紹這些知識 上頁下頁鈴結束返回首頁上頁下頁鈴結束返回首頁向量的內積 設有n維向量x(x1 x2 xn)t y(y1 y2 yn)t 令x yx1y1x2y2 xnynx y稱為向量x與y的內積 說明 內積是兩個向量之間的一種運算 其結果是一個實數 用矩陣記號表示 當x與y都是列向量時 有x yxty下頁上頁下頁鈴結束返回首頁向量的內積 設有n維向量x(x1 x2 xn)t y(y1 y2 yn)t 令x yx1y1x2y2 xnynx y稱為向量x與

2、y的內積 內積的性質 設x y z為n維向量 為實數 則 (1)x yy x (2)x yx y (3)xy zx zy z (4)當x0時 x x0 當x0時 x x0 (5)x y2x xy y 施瓦茨不等式 下頁上頁下頁鈴結束返回首頁向量的長度 令 22221 ,|nxxx xxx |x|稱為n維向量x的長度(或范數) 向量的長度的性質 設x y為n維向量 為實數 則 (1)非負性 當x0時 |x|0 當x0時 |x|0 (2)齊次性 |x|x| (3)三角不等式 |xy|x|y| 下頁上頁下頁鈴結束返回首頁向量間的夾角| ,arccosyxyx稱為n維向量x與y的夾角 當x0 y0時

3、當x y0時 稱向量x與y正交 顯然 若x0 則x與任何向量都正交 定理1 若n維向量a1 a2 ar是一組兩兩正交的非零向量 則a1 a2 ar線性無關 下頁上頁下頁鈴結束返回首頁 例1 已知3維向量空間r3中兩個向量a1(1 1 1)t a2(1 2 1)t正交 試求一個非零向量a3使a1 a2 a3兩兩正交 解 設a3(x1 x2 x3)t 則a3應滿足a1ta30 a2ta30即a3應滿足齊次線性方程組 00121111321xxx 取a3(1 0 1)t即合所求得基礎解系(1 0 1)t 由 010101 030111 121111rra010101 030111 121111rra

4、010101 030111 121111rra 下頁上頁下頁鈴結束返回首頁注 當|x|1時 稱x為單位向量 規(guī)范正交基 設n維向量e1 e2 er是向量空間v(vrn)的一個基 如果e1 e2 er兩兩正交 且都是單位向量 則稱e1 e2 er是v的一個規(guī)范正交基 例如 向量組 是r4的一個規(guī)范正交基 0021211e 0021212e 2121003e 2121004e 下頁上頁下頁鈴結束返回首頁規(guī)范正交基 設n維向量e1 e2 er是向量空間v(vrn)的一個基 如果e1 e2 er兩兩正交 且都是單位向量 則稱e1 e2 er是v的一個規(guī)范正交基 向量在規(guī)范正交基中的坐標 若e1 e2

5、er是v的一個規(guī)范正交基 那么v中任一向量a應能由e1 e2 er線性表示 并且aa e1e1a e2e2 a erer 事實上 設a1e12e2 rer 則eitaieiteii 即ieita a ei 下頁上頁下頁鈴結束返回首頁說明 要找一組兩兩正交的單位向量e1 e2 er 使e1 e2 er與a1 a2 ar等價 這樣一個問題 稱為把a1 a2 ar這個基規(guī)范正交化 施密特正交化方法 設a1 a2 ar是向量空間v中的一個基 取向量組 下頁上頁下頁鈴結束返回首頁施密特正交化方法 設a1 a2 ar是向量空間v中的一個基 取向量組 容易驗證b1 b2 br兩兩正交 且b1 b2 br與a

6、1 a2 ar等價 把b1 b2 br單位化 即得v的一個規(guī)范正交基111|1bbe 222|1bbe rrrbbe|1 11ab 1112122 , ,bbbabab 111122221111 , , , , , , rrrrrrrrrbbbabbbbabbbbabab 下頁上頁下頁鈴結束返回首頁 例2 設a1(1 2 1)t a2(1 3 1)t a3(4 1 0)t 試用施密特正交化過程把這組向量規(guī)范正交化 解 令b1a11113512164131 , ,1112122bbbabab10121113512131014 , , , ,22221113133bbbabbbbabab再令 e1

7、 e2 e3即為所求 12161|111bbe1113512164131 , ,1112122bbbabab 10121113512131014 , , , ,22221113133bbbabbbbabab 12161|111bbe12161|111bbe11131|222bbe11131|222bbe11131|222bbe10121|333bbe10121|333bbe 下頁上頁下頁鈴結束返回首頁 例3 已知a1(1 1 1)t 求一組非零向量a2 a3 使a1 a2 a3兩兩正交 a2 a3應滿足方程a 1tx0 即x1x2x30 它的基礎解系為 1(1 0 1)t 2(0 1 1)t把

8、基礎解系正交化 即得所求 亦即取 解 10112 a 1212110121110 , ,1112122 a1212110121110 , ,1112122 a 下頁上頁下頁鈴結束返回首頁正交陣 如果n階矩陣a滿足atae(即a1at) 那么稱a為正交矩陣 簡稱正交陣 方陣a為正交陣的充分必要條件是a的列(行)向量都是單位向量 且兩兩正交 n階正交陣a的n個列(行)向量構成向量空間rn的一個規(guī)范正交基 正交矩陣舉例 2121000021212121212121212121p 下頁上頁下頁鈴結束返回首頁正交陣 如果n階矩陣a滿足atae(即a1at) 那么稱a為正交矩陣 簡稱正交陣 正交矩陣的性質 (1)若a為正交陣 則a1at也是正交陣 且|a|