八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《勾股定理》特色題講解_北師大版

1、勾股定理之特色題一、清新扮靚的規(guī)律探究題例1（成都市）如圖，如果以正方形ABCD的對(duì)角線AC為邊作第二個(gè)正方形ACEF，再以對(duì)角線AE為邊作第三個(gè)正方形AEGH，如此下去，已知正方形ABCD的面積為1，按上述方法所作的正方形的面積依次為，（n為正整數(shù)），那么第8個(gè)正方形的面積 _【解析】：求解這類題目的常見(jiàn)策略是：“從特殊到一般”即是先通過(guò)觀察幾個(gè)特殊的數(shù)式中的變數(shù)與不變數(shù)，得出一 般規(guī)律，然后再利用其一般規(guī)律求解所要解決的問(wèn)題對(duì)于此題，由勾股定理、正方形的面積計(jì)算公式易求得：， 照此規(guī)律可知：，觀察數(shù)1、2、4、8、16易知：，于是可知因此，二、考查閱讀理解能力的材料分析題例2（臨安）閱讀下

2、列題目的解題過(guò)程： 已知a、b、c為的三邊，且滿足，試判斷的形狀 解： 問(wèn)：（1）上述解題過(guò)程，從哪一步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤？請(qǐng)寫(xiě)出該步的代號(hào)： ；（2）錯(cuò)誤的原因?yàn)椋?（3）本題正確的結(jié)論為： .【解析】：材料閱讀題是近年中考的熱點(diǎn)命題，其類型多種多樣，本題屬于“判斷糾錯(cuò)型”題目集中考查了因式分解、勾股定理等知識(shí)在由得到等式?jīng)]有錯(cuò)，錯(cuò)在將這個(gè)等式兩邊同除了一個(gè)可能為零的式子若，則有，從而得，這時(shí)，為等腰三角形因此：(1)選C(2)沒(méi)有考慮(3) 三、滲透新課程理念的圖形拼接題例3（長(zhǎng)春）如圖，在RtABC中，C = 90，AC = 4，BC = 3在RtABC的外部拼接一個(gè)合適的直角三角形，使得拼成

3、的圖形是一個(gè)等腰三角形，如圖所示要求：在答題卡的兩個(gè)備用圖中分別畫(huà)出兩種與示例不同的拼接方法，并在圖中標(biāo)明拼接的直角三角形的三邊長(zhǎng)（請(qǐng)同學(xué)們先用鉛筆畫(huà)現(xiàn)草圖，確定后再用0.5毫米的黑色簽字筆畫(huà)出正確的圖形） 示例圖 備用圖 【解析】：要在RtABC的外部拼接一個(gè)合適的直角三角形，使得拼成的圖形是一個(gè)等腰三角形，關(guān)鍵是腰與底邊的確定；要求在圖中標(biāo)明拼接的直角三角形的三邊長(zhǎng)，這需要用到勾股定理知識(shí)下面四種拼接方法可供參考四、極具“熱點(diǎn)”的動(dòng)態(tài)探究題例4（泉州）:如圖，一架長(zhǎng)4米的梯子AB斜靠在與地面OM垂直的墻壁ON上，梯子與地面的傾斜角為求AO與BO的長(zhǎng)；若梯子頂端A沿NO下滑，同時(shí)底端B沿OM

4、向右滑行. 如圖2，設(shè)A點(diǎn)下滑到C點(diǎn)，B點(diǎn)向右滑行到D點(diǎn)，并且AC:BD=2:3，試計(jì)算梯子頂端A沿NO下滑多少米?【解析】：對(duì)于沒(méi)有學(xué)習(xí)解直角三角形知識(shí)的同學(xué)而言，求解此題有一定的難度但若是利用等邊三角形就可以推出的一個(gè)性質(zhì)：“在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”，結(jié)合勾股定理求解，還是容易解答的中,O=,=,OAB=，又4米， 米.由勾股定理得：（米）.設(shè)在中, 根據(jù)勾股定理: - 所以， AC=2x=即梯子頂端A沿NO下滑了米. 勾股定理中的常見(jiàn)題型例析 勾股定理是幾何計(jì)算中運(yùn)用最多的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)考查的主要方式是將其綜合到幾何應(yīng)用的解答題中，常見(jiàn)的題型有以下

5、幾種：一、探究開(kāi)放題例1如圖1，設(shè)四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，以正方形ABCD的對(duì)角線AC為邊作第二個(gè)正方形ACEF，再以第二個(gè)正方形的對(duì)角線AE為邊作第三個(gè)正方形AEGH，如此下去（1）記正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，依上述方法所作的正方形的邊長(zhǎng)依次為，求出，的值（2）根據(jù)以上規(guī)律寫(xiě)出第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)的表達(dá)式分析：依次運(yùn)用勾股定理求出a2，a3，a4，再觀察、歸納出一般規(guī)律解：(1)四邊形ABCD為正方形，AB=BC=CD=AD=1由勾股定理，得AC，同理，AE=2，EH= 即 a2= ，a3=2，a4= (2) ， ， ， ， 點(diǎn)撥：探究開(kāi)放題形式新穎、思考方向不確定，因此綜合性和邏輯

6、性較強(qiáng)，它著力于考查觀察、分析、比較、歸納、推理等方面的能力，對(duì)提高同學(xué)們的思維品質(zhì)和解決問(wèn)題的能力具有十分重要的作用二、動(dòng)手操作題例2如圖2，圖（）是用硬紙板做成的兩個(gè)全等的直角三角形，兩條直角邊長(zhǎng)分別為a和b，斜邊長(zhǎng)為c圖（）是以c為直角邊的等腰直角三角形請(qǐng)你開(kāi)動(dòng)腦筋，將它們拼成一個(gè)能證明勾股定理的圖形（）畫(huà)出拼成的這個(gè)圖形的示意圖，寫(xiě)出它是什么圖形；（）用這個(gè)圖形證明勾股定理；（）假設(shè)圖（）中的直角三角形有苦干個(gè)，你能運(yùn)用圖（）所給的直角三角形拼出另一種能證明勾股定理的圖形嗎？請(qǐng)畫(huà)出拼后的示意圖（無(wú)需證明）解：（1）所拼圖形圖3所示，它是一個(gè)直角梯形（2）由于這個(gè)梯形的兩底分別為a、b，

7、腰為（a+b），所以梯形的面積為又因?yàn)檫@個(gè)梯形的面積等于三個(gè)直角三角形的面積和，所以梯形的面積又可表示為： （3）所拼圖形如圖4點(diǎn)撥：動(dòng)手操作題內(nèi)容豐富，解法靈活，有利于考查解題者的動(dòng)手能力和創(chuàng)新設(shè)計(jì)的才能。本題通過(guò)巧妙構(gòu)圖，然后運(yùn)用面積之間的關(guān)系來(lái)驗(yàn)證勾股定理。三、閱讀理解題例3 已知a，b，c為ABC的三邊且滿足a2c2b2c2=a4b4，試判斷ABC的形狀小明同學(xué)是這樣解答的解：a2c2b2c2=a4b4， 訂正： ABC是直角三角形 橫線與問(wèn)號(hào)是老師給他的批注，老師還寫(xiě)了如下評(píng)語(yǔ)：“你的解題思路很清晰，但解題過(guò)程中出現(xiàn)了錯(cuò)誤，相信你再思考一下，一定能寫(xiě)出完整的解題過(guò)程”請(qǐng)你幫助小明訂正

8、此題，好嗎？ 分析：這類閱讀題在展現(xiàn)問(wèn)題全貌的同時(shí)，在關(guān)鍵處留下疑問(wèn)點(diǎn)，讓同學(xué)們認(rèn)真思考，以補(bǔ)充欠缺的部分，這相當(dāng)于提示了整體思路，而讓學(xué)生在整體理解的基礎(chǔ)上給予具體的補(bǔ)缺因此，本題可作如下訂正：解：a2c2b2c2=a4b4， ，或或 ABC是等腰三角形或直角三角形 點(diǎn)撥：閱讀理解題它與高考中興起的信息遷移題有異曲同工之巧解決的關(guān)鍵是抓住疑問(wèn)點(diǎn)，補(bǔ)全漏洞四、方案設(shè)計(jì)題例4給你一根長(zhǎng)為30cm的木棒，現(xiàn)要你截成三段，做一個(gè)直角三角形，怎樣截取（允許有余料）？請(qǐng)你設(shè)計(jì)三種方案分析：構(gòu)造直角三角形，可根據(jù)勾股定理的逆定理來(lái)解決解：方案一：分別截取3cm，4cm，5cm；方案二：分別截取6cm，8c

9、m，10cm；方案三：分別截取5cm，12cm，13cm點(diǎn)撥：本題首先依據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行分析，設(shè)計(jì)出方案，然后再通過(guò)測(cè)量、截取、加工等活動(dòng)方能完成既要思考，又要?jiǎng)邮肿寣W(xué)生在這個(gè)過(guò)程中，體會(huì)做數(shù)學(xué)的快樂(lè)五、實(shí)際應(yīng)用題例5如圖5，三個(gè)正方形形狀的土地面積分別是74英畝、116英畝、370英畝，三個(gè)正方形恰好圍著一個(gè)池塘現(xiàn)要將這560英畝的土地拍賣(mài)，如果有人能計(jì)算出池塘的面積，則池塘不計(jì)入土地價(jià)錢(qián)白白奉送，英國(guó)數(shù)學(xué)家巴爾教授曾經(jīng)巧妙地解答了這個(gè)問(wèn)題，你能解決嗎？分析：巴爾教授解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)首先發(fā)現(xiàn)三個(gè)正方形的面積74、116、370相當(dāng)于池塘的三條邊的平方，因而聯(lián)想到勾股定理，得74=52+7

10、2，116=42+102，370=92+172于是作出圖6，運(yùn)用勾股定理的逆定理，問(wèn)題就得以解決解：74=52+72，AB是兩直角邊分別為5和7的直角三角形的斜邊，作出這個(gè)直角三角形，得RtABE同理，作RtBCF，其中BF=4，F(xiàn)C=10延長(zhǎng)AE、CF交于D，則AD=9，CD=17，而AC2=370=92+172=AD2+CD2，ACD是直角三角形，ADC=90=點(diǎn)撥：本題的關(guān)鍵是運(yùn)用勾股定理和它的逆定理構(gòu)造新圖形，用構(gòu)造法解題的思想，有助于提高運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力勾股定理的逆定理典例分析例1 如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為 ，則這三角形是直角三角形分析： 驗(yàn)證 三邊是否符合勾股定量的逆定理證明： C 說(shuō)明：勾股定理的逆定理給出了判定一個(gè)三角形是直角三角形的方法，與前面學(xué)習(xí)的方法不同，它需要通過(guò)代數(shù)運(yùn)算算出來(lái)例2已知：如圖，四邊形ABCD中，B ，AB3，BC4，CD12，AD13求四邊形ABCD的面積分析：我們不知道這個(gè)四邊形是否為特殊的四邊形，所以將四邊形分割為兩個(gè)三角形，只要求出這兩個(gè)三角形的面積，四邊形的面積就等于這兩個(gè)三