八年級數(shù)學上冊《勾股定理》特色題講解_北師大版

1、勾股定理之特色題一、清新扮靚的規(guī)律探究題例1（成都市）如圖，如果以正方形ABCD的對角線AC為邊作第二個正方形ACEF，再以對角線AE為邊作第三個正方形AEGH，如此下去，已知正方形ABCD的面積為1，按上述方法所作的正方形的面積依次為，（n為正整數(shù)），那么第8個正方形的面積 _【解析】：求解這類題目的常見策略是：“從特殊到一般”即是先通過觀察幾個特殊的數(shù)式中的變數(shù)與不變數(shù)，得出一 般規(guī)律，然后再利用其一般規(guī)律求解所要解決的問題對于此題，由勾股定理、正方形的面積計算公式易求得：， 照此規(guī)律可知：，觀察數(shù)1、2、4、8、16易知：，于是可知因此，二、考查閱讀理解能力的材料分析題例2（臨安）閱讀下

2、列題目的解題過程： 已知a、b、c為的三邊，且滿足，試判斷的形狀 解： 問：（1）上述解題過程，從哪一步開始出現(xiàn)錯誤？請寫出該步的代號： ；（2）錯誤的原因為： （3）本題正確的結論為： .【解析】：材料閱讀題是近年中考的熱點命題，其類型多種多樣，本題屬于“判斷糾錯型”題目集中考查了因式分解、勾股定理等知識在由得到等式?jīng)]有錯，錯在將這個等式兩邊同除了一個可能為零的式子若，則有，從而得，這時，為等腰三角形因此：(1)選C(2)沒有考慮(3) 三、滲透新課程理念的圖形拼接題例3（長春）如圖，在RtABC中，C = 90，AC = 4，BC = 3在RtABC的外部拼接一個合適的直角三角形，使得拼成

3、的圖形是一個等腰三角形，如圖所示要求：在答題卡的兩個備用圖中分別畫出兩種與示例不同的拼接方法，并在圖中標明拼接的直角三角形的三邊長（請同學們先用鉛筆畫現(xiàn)草圖，確定后再用0.5毫米的黑色簽字筆畫出正確的圖形） 示例圖 備用圖 【解析】：要在RtABC的外部拼接一個合適的直角三角形，使得拼成的圖形是一個等腰三角形，關鍵是腰與底邊的確定；要求在圖中標明拼接的直角三角形的三邊長，這需要用到勾股定理知識下面四種拼接方法可供參考四、極具“熱點”的動態(tài)探究題例4（泉州）:如圖，一架長4米的梯子AB斜靠在與地面OM垂直的墻壁ON上，梯子與地面的傾斜角為求AO與BO的長；若梯子頂端A沿NO下滑，同時底端B沿OM

4、向右滑行. 如圖2，設A點下滑到C點，B點向右滑行到D點，并且AC:BD=2:3，試計算梯子頂端A沿NO下滑多少米?【解析】：對于沒有學習解直角三角形知識的同學而言，求解此題有一定的難度但若是利用等邊三角形就可以推出的一個性質(zhì)：“在直角三角形中，如果一個銳角等于，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半”，結合勾股定理求解，還是容易解答的中,O=,=,OAB=，又4米， 米.由勾股定理得：（米）.設在中, 根據(jù)勾股定理: - 所以， AC=2x=即梯子頂端A沿NO下滑了米. 勾股定理中的常見題型例析 勾股定理是幾何計算中運用最多的一個知識點考查的主要方式是將其綜合到幾何應用的解答題中，常見的題型有以下

5、幾種：一、探究開放題例1如圖1，設四邊形ABCD是邊長為1的正方形，以正方形ABCD的對角線AC為邊作第二個正方形ACEF，再以第二個正方形的對角線AE為邊作第三個正方形AEGH，如此下去（1）記正方形ABCD的邊長為1，依上述方法所作的正方形的邊長依次為，求出，的值（2）根據(jù)以上規(guī)律寫出第n個正方形的邊長的表達式分析：依次運用勾股定理求出a2，a3，a4，再觀察、歸納出一般規(guī)律解：(1)四邊形ABCD為正方形，AB=BC=CD=AD=1由勾股定理，得AC，同理，AE=2，EH= 即 a2= ，a3=2，a4= (2) ， ， ， ， 點撥：探究開放題形式新穎、思考方向不確定，因此綜合性和邏輯

6、性較強，它著力于考查觀察、分析、比較、歸納、推理等方面的能力，對提高同學們的思維品質(zhì)和解決問題的能力具有十分重要的作用二、動手操作題例2如圖2，圖（）是用硬紙板做成的兩個全等的直角三角形，兩條直角邊長分別為a和b，斜邊長為c圖（）是以c為直角邊的等腰直角三角形請你開動腦筋，將它們拼成一個能證明勾股定理的圖形（）畫出拼成的這個圖形的示意圖，寫出它是什么圖形；（）用這個圖形證明勾股定理；（）假設圖（）中的直角三角形有苦干個，你能運用圖（）所給的直角三角形拼出另一種能證明勾股定理的圖形嗎？請畫出拼后的示意圖（無需證明）解：（1）所拼圖形圖3所示，它是一個直角梯形（2）由于這個梯形的兩底分別為a、b，

7、腰為（a+b），所以梯形的面積為又因為這個梯形的面積等于三個直角三角形的面積和，所以梯形的面積又可表示為： （3）所拼圖形如圖4點撥：動手操作題內(nèi)容豐富，解法靈活，有利于考查解題者的動手能力和創(chuàng)新設計的才能。本題通過巧妙構圖，然后運用面積之間的關系來驗證勾股定理。三、閱讀理解題例3 已知a，b，c為ABC的三邊且滿足a2c2b2c2=a4b4，試判斷ABC的形狀小明同學是這樣解答的解：a2c2b2c2=a4b4， 訂正： ABC是直角三角形 橫線與問號是老師給他的批注，老師還寫了如下評語：“你的解題思路很清晰，但解題過程中出現(xiàn)了錯誤，相信你再思考一下，一定能寫出完整的解題過程”請你幫助小明訂正

8、此題，好嗎？ 分析：這類閱讀題在展現(xiàn)問題全貌的同時，在關鍵處留下疑問點，讓同學們認真思考，以補充欠缺的部分，這相當于提示了整體思路，而讓學生在整體理解的基礎上給予具體的補缺因此，本題可作如下訂正：解：a2c2b2c2=a4b4， ，或或 ABC是等腰三角形或直角三角形 點撥：閱讀理解題它與高考中興起的信息遷移題有異曲同工之巧解決的關鍵是抓住疑問點，補全漏洞四、方案設計題例4給你一根長為30cm的木棒，現(xiàn)要你截成三段，做一個直角三角形，怎樣截?。ㄔ试S有余料）？請你設計三種方案分析：構造直角三角形，可根據(jù)勾股定理的逆定理來解決解：方案一：分別截取3cm，4cm，5cm；方案二：分別截取6cm，8c

9、m，10cm；方案三：分別截取5cm，12cm，13cm點撥：本題首先依據(jù)勾股定理的逆定理進行分析，設計出方案，然后再通過測量、截取、加工等活動方能完成既要思考，又要動手讓學生在這個過程中，體會做數(shù)學的快樂五、實際應用題例5如圖5，三個正方形形狀的土地面積分別是74英畝、116英畝、370英畝，三個正方形恰好圍著一個池塘現(xiàn)要將這560英畝的土地拍賣，如果有人能計算出池塘的面積，則池塘不計入土地價錢白白奉送，英國數(shù)學家巴爾教授曾經(jīng)巧妙地解答了這個問題，你能解決嗎？分析：巴爾教授解決這個問題時首先發(fā)現(xiàn)三個正方形的面積74、116、370相當于池塘的三條邊的平方，因而聯(lián)想到勾股定理，得74=52+7

10、2，116=42+102，370=92+172于是作出圖6，運用勾股定理的逆定理，問題就得以解決解：74=52+72，AB是兩直角邊分別為5和7的直角三角形的斜邊，作出這個直角三角形，得RtABE同理，作RtBCF，其中BF=4，F(xiàn)C=10延長AE、CF交于D，則AD=9，CD=17，而AC2=370=92+172=AD2+CD2，ACD是直角三角形，ADC=90=點撥：本題的關鍵是運用勾股定理和它的逆定理構造新圖形，用構造法解題的思想，有助于提高運用數(shù)學知識解決實際問題的能力勾股定理的逆定理典例分析例1 如果一個三角形的三邊長分別為 ，則這三角形是直角三角形分析： 驗證 三邊是否符合勾股定量的逆定理證明： C 說明：勾股定理的逆定理給出了判定一個三角形是直角三角形的方法，與前面學習的方法不同，它需要通過代數(shù)運算算出來例2已知：如圖，四邊形ABCD中，B ，AB3，BC4，CD12，AD13求四邊形ABCD的面積分析：我們不知道這個四邊形是否為特殊的四邊形，所以將四邊形分割為兩個三角形，只要求出這兩個三角形的面積，四邊形的面積就等于這兩個三