北京市海淀區(qū)2024-2025 學(xué)年第二學(xué)期期中練習(xí)（一模）數(shù)學(xué)試題（含答案）

北京市海淀區(qū)2024-2025學(xué)年第二學(xué)期期中練習(xí)（一模）數(shù)學(xué)試題2025.04本試卷共6頁，150分?？荚嚂r長120分鐘。考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分(選擇題共40分)一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。(1)已知集合,則?U(A) (B)(C) (D)(2)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=i(A) (B)(C) (D)(3)函數(shù)fxA122 (C) (D)(4)已知直線經(jīng)過圓x2+y2(A)-1 B(C)0 (D)1(5)已知四個數(shù)a=lg(A)a (B)b(C)c (D)d(6)已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F，點M(A)1 BC3 (7)已知A?紙的長寬比約為2:1.現(xiàn)將一張A?紙卷成一個圓柱的側(cè)面(無重疊部分).當(dāng)該圓柱的高等于A?紙的長時，設(shè)其體積為V?，軸截面的面積為S1;當(dāng)該圓柱的高等于A4紙的寬時，設(shè)其體積為VAV1=VCV1=V(8)已知是公差為d的等差數(shù)列，是公比為q的等比數(shù)列.若0<q<1,則“an?(A)充分而不必要條件 (B)必要而不充分條件(C)充分必要條件 (D)既不充分也不必要條件(9)已知函數(shù)y=3(A)1 B(C)π D(10)對于無窮數(shù)列和正整數(shù),若存在滿足n1<n2<?<nk且an1n1=(A)若an=n2,則數(shù)列(B)若an=n?1+cosnπ,則數(shù)列具有性質(zhì)(C)存在數(shù)列和,使得和均不具有性質(zhì)P2,且an+bn具有性質(zhì)P2025(D)若數(shù)列和均具有性質(zhì),則an+bn具有性質(zhì)第二部分(非選擇題共110分)二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。(11)已知x?24=(12)已知雙曲線y2a2?x(13)已知向量,,則的最大值為_______________;與的夾角的取值范圍是___________.(14)已知函數(shù).若的值域為則的一個取值為___________；若的值域為R，則的取值范圍是__________________.(15)如圖所示，某游樂場有一款游樂設(shè)施，該設(shè)施由轉(zhuǎn)輪A和轉(zhuǎn)輪B組成，B的圓心固定在轉(zhuǎn)輪A上的點Q處，某個座椅固定在轉(zhuǎn)輪B上的點M處.A的半徑為10米，B的半徑為5米，A的圓心P距離地面豎直高度為20米.游樂設(shè)施運行過程中，A與B分別繞各自的圓心逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，A旋轉(zhuǎn)一周用時π分鐘，B旋轉(zhuǎn)一周用時分鐘.當(dāng)Q在P正下方且M在Q正下方時，開始計時，設(shè)在第t分鐘M距離地面的豎直高度為h(t)米.給出下列四個結(jié)論：①?②最大值是35;③M在豎直方向上的速度大小低于40米/分鐘；④存在使得t=t0時M到P的距離等于15米.其中所有正確結(jié)論的序號為_____________三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。(16)(本小題13分)如圖，五面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形.(Ⅰ)求證:EF∥CB;(Ⅱ)若平面ABCD⊥平面ABF,AB=AF=EF=1,BF=2,求直線DE與平面BCEF所成角的大小.(17)(本小題13分)在△ABC中，已知2a(Ⅰ)求sinB的值;(Ⅱ)若∠B為銳角，再從條件①、條件②和條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使△ABC存在且唯一，求△ABC的面積.條件①:c=5;條件②：cos條件③：a注：如果選擇的條件不符合要求，第(Ⅱ)問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.

(18)(本小題14分)某工廠有一組型號相同的設(shè)備，在日常維護中發(fā)現(xiàn)部分設(shè)備有發(fā)熱的情況，經(jīng)過查閱歷史數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)設(shè)備是否發(fā)熱與設(shè)備狀態(tài)(完好或損壞)有較強的相關(guān)性，從發(fā)熱和未發(fā)熱情況的數(shù)據(jù)中各自隨機抽取1000條數(shù)據(jù)，整理如下圖所示：日常維護時，對單臺設(shè)備有三種可能的操作：保留觀察、停機更換或檢查維修，對單臺設(shè)備的不同狀態(tài)，這三種操作給工廠帶來的經(jīng)濟損失如下(單位：千元)：操作經(jīng)濟損失設(shè)備狀態(tài)保留觀察停機更換檢查維修完好0105損壞1257假設(shè)用頻率估計概率，且各設(shè)備之間的狀態(tài)相互獨立.(Ⅰ)已知某設(shè)備未出現(xiàn)發(fā)熱情況，試估計該設(shè)備損壞的概率；(Ⅱ)該工廠現(xiàn)有2臺設(shè)備出現(xiàn)發(fā)熱情況，準(zhǔn)備對這2臺設(shè)備都進行檢查維修.記檢查維修這2臺設(shè)備給工廠帶來的總經(jīng)濟損失為X千元，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX；(Ⅲ)該工廠的某車間現(xiàn)有2臺設(shè)備，維護時發(fā)現(xiàn)其中一臺出現(xiàn)發(fā)熱情況，另一臺未出現(xiàn)發(fā)熱情況.下面有三種維護這2臺設(shè)備的操作方案：發(fā)熱情況操作方案編號發(fā)熱未發(fā)熱①檢查維修保留觀察②停機更換檢查維修③停機更換保留觀察直接寫出使得工廠總經(jīng)濟損失的期望最小的方案的編號.

(19)(本小題15分)已知橢圓W：x2a2+(Ⅰ)求橢圓W的方程及長軸長；(Ⅱ)已知點,點P在直線AC上,設(shè)直線PM與x軸交于點E,直線BP與直線EC交于點Q，判斷點Q是否在橢圓W上，并說明理由.(20)(本小題15分)已知函數(shù)f(Ⅰ)若曲線在點處的切線為y=?32x,求k(Ⅱ)若為R上的單調(diào)函數(shù)，求k的取值范圍；(Ⅲ)若函數(shù)gx=k6x3+x+(21)(本小題15分)設(shè)正整數(shù)n≥2,對于數(shù)列A:a1,a2,?,an,定義變換T，T將數(shù)列A變換成數(shù)列(Ⅰ)若A0:?1,1,1,(Ⅱ)若為奇數(shù)且不是常數(shù)列，求證：對任意正整數(shù)k，Ak都不是常數(shù)列；(Ⅲ)求證：當(dāng)且僅當(dāng)n=2mm∈N?時，對任意A

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）(1)D (2)D (3)A (4)B (5)C(6)C (7)B (8)D (9)D (10)D二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）(11)-7 (12) (13)3，(14)（答案不唯一，只需滿足0<a<1）, （15）①③三、解答題（共6小題，共85分）（16）（本小題13分）解：（I）由四邊形是正方形，可得.又因為平面 平面，所以平面.又因為平面 ，平面平面，所以.（II）由四邊形是正方形，可得.又因為平面平面，所以平面.所以.在中，因為，所以，由勾股定理逆定理得如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，由已知可得.所以，,設(shè)平面的一個法向量為，則,所以取 ，得,所以，設(shè)直線與平面所成角為則.又因為為銳角，所以.（17）（本小題14分）解：（I）因為,故由可得 ,因為，所以，在中，由正弦定理，所以,因為，所以.（II）選條件②解答如下：因為，所以 ，因為為銳角，所以,又因為，所以.在中，由正弦定理,所以(或者a=3)又因為所以的面積.選條件③解答如下：由（I），，且，解得,因為，所以,所以,因為為銳角，所以，又因為，所以所以的面積.（18）（本小題13分）解：（I）設(shè)“一臺設(shè)備未出現(xiàn)發(fā)熱情況時該設(shè)備損壞”為事件A，由圖可得.（II）X的取值范圍為，依題意，用頻率估計概率，一臺設(shè)備出現(xiàn)發(fā)熱情況下?lián)p壞的概率為.,X的分布列為：X101214P所以,100501005(III)①(19)(本小題15分)解：(I)由題意，解得所以，橢圓,其長軸長為.(II)由(I)得，,直線的方程為.設(shè),其中，①當(dāng)時，與重合，此時與 的交點即點,所以，在橢圓上.②當(dāng)時,直線，即.令得，，即.直線，即直線，即.聯(lián)立解得即因為所以，Q在橢圓W上.綜上，Q在橢圓W上.(20)(本小題15分)解：(I)，因為曲線在處的切線方程為，所以，解得.檢驗：，故曲線在處的切線方程為·····4分(II)因為為R上的單調(diào)函數(shù),所以對任意x,有；或?qū)θ我鈞,有,即恒成立，或恒成立，所以k的取值范圍是.(III)因為是奇函數(shù)，所以只需證明：k存在無數(shù)個取值使得在上恰有一個零點.,令，根據(jù)(II),時，在上是減函數(shù).所以，任意在上是減函數(shù).故存在.｛存在其它取點情況，由可得時,}當(dāng)x變化時，的變化情況如下表:x0 2+0-0↑極大值↓故時，..{存在其它取點情況，時，由可得時，}故存在唯一的.于是時，在上存在唯一的零點.于是k存在無數(shù)個取值使得恰有三個不同的零點.(21)(本小題15分)解：(I).(II)證明：設(shè)，其中.假設(shè)存在正整數(shù)k，使得是常數(shù)列，由不是常數(shù)列，不妨設(shè)不為常數(shù)列且為常數(shù)列，記，則 .令當(dāng)時，因為，且，所以.故.此時為常數(shù)列，矛盾.另法：①若，則，有，此時為常數(shù)列，矛盾.②若，則，有，矛盾.綜上，對任意正整數(shù)都不是常數(shù)列.(Ill)①首先證明，若,其中 ,則存在項的數(shù)列，使得對任意的正整數(shù)都不是常數(shù)列.證明：構(gòu)造項的數(shù)列，其中.構(gòu)造項的數(shù)列對任意的正整數(shù)k，設(shè)，則由(II)得，不是常數(shù)列，故不是常數(shù)列.②其次證明：若，其中