理論力學(xué)8—剛體的平面運(yùn)動(dòng)ppt課件

1、在運(yùn)動(dòng)中，剛體上的任意一點(diǎn)與某一固定平面始終保持相等的距離，這種運(yùn)動(dòng)稱為平面運(yùn)動(dòng)。此處有影片播放8.1 剛體平面運(yùn)動(dòng)概述和運(yùn)動(dòng)分解MNSA1A2A剛體上每一點(diǎn)都在與固定平面M平行的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。 若作一平面N與平面M平行,并以此去截割剛體得一平面圖形S。 可知該平面圖形S始終在平面N內(nèi)運(yùn)動(dòng)。因而垂直于圖形S的任一條直線A1A2必然作平動(dòng)。A1A2的運(yùn)動(dòng)可用其與圖形 S的交點(diǎn) A的運(yùn)動(dòng)來替代。剛體的平面運(yùn)動(dòng)可以簡(jiǎn)化為平面圖形在其自身平面S內(nèi)的運(yùn)動(dòng)。123( ),( ),( )OOxf tyf tf t這就是平面圖形的運(yùn)動(dòng)方程。SMOyxO8.1 剛體平面運(yùn)動(dòng)概述和運(yùn)動(dòng)分解平面圖形S在其平面上的位置

2、完全可由圖形內(nèi)任意線段OM的位置來確定，而要確定此線段的位置，只需確定線段上任一點(diǎn)O的位置和線段OM與固定坐標(biāo)軸Ox間的夾角即可。點(diǎn)O的坐標(biāo)和角都是時(shí)間的函數(shù)，即平面圖形的運(yùn)動(dòng)方程可由兩部分組成：一部分是平面圖形按點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)方程xO = f1(t), yO = f2(t)的平移，沒有轉(zhuǎn)動(dòng)；另一部分是繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)角為 = f3(t)的轉(zhuǎn)動(dòng)。8.1 剛體平面運(yùn)動(dòng)概述和運(yùn)動(dòng)分解平面運(yùn)動(dòng)的這種分解也可以按上一章合成運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)加以解釋。以沿直線軌道滾動(dòng)的車輪為例，取車廂為動(dòng)參考體，以輪心點(diǎn)O為原點(diǎn)取動(dòng)參考系Oxy，則車廂的平動(dòng)是牽連運(yùn)動(dòng)，車輪繞平動(dòng)參考系原點(diǎn)O的轉(zhuǎn)動(dòng)是相對(duì)運(yùn)動(dòng)，二者的合成就是車輪的平面運(yùn)動(dòng)(

3、絕對(duì)運(yùn)動(dòng))。單獨(dú)輪子作平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，可在輪心O處固連一個(gè)平動(dòng)參考系Oxy，同樣可把輪子這種較為復(fù)雜的平面運(yùn)動(dòng)分解為平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)兩種簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)。yxOyxO8.1 剛體平面運(yùn)動(dòng)概述和運(yùn)動(dòng)分解對(duì)于任意的平面運(yùn)動(dòng)，可在平面圖形上任取一點(diǎn)O，稱為基點(diǎn)。在這一點(diǎn)假想地安上一個(gè)平移參考系Oxy；平面圖形運(yùn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)坐標(biāo)軸方向始終保持不變，可令其分別平行于定坐標(biāo)軸Ox和Oy 。于是平面圖形的平面運(yùn)動(dòng)可看成為隨同基點(diǎn)的平移和繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)這兩部分運(yùn)動(dòng)的合成。yxOyxOOM 平面圖形內(nèi)任一點(diǎn)的速度等于基點(diǎn)的速度與該點(diǎn)隨圖形繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)速度的矢量和,這就是平面運(yùn)動(dòng)的速度合成法或稱基點(diǎn)法。1. 基點(diǎn)法已知O點(diǎn)的速度及平面圖形

4、轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，求M點(diǎn)的速度。8.2 求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)速度的基點(diǎn)法wvMvOvMOvOaervvvMOMOvvv例1 橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)如圖。已知連桿AB的長(zhǎng)度l = 20 cm，滑塊A的速度vA=10 cm/s ，求連桿與水平方向夾角為30時(shí)，滑塊B和連桿中點(diǎn)M的速度。 解: AB作平面運(yùn)動(dòng)，以A為基點(diǎn)，分析B點(diǎn)的速度。cot3010 3 cm/sBAvv由圖中幾何關(guān)系得：1rad sBAABvlw方向如圖所示。AvAvAvBvBABwAB30BABAvvvM20 cm/ssin30ABAvv30以A為基點(diǎn)，則M點(diǎn)的速度為將各矢量投影到坐標(biāo)軸上得：:cossin30MAMAxvvv :sincos30

5、MMAyvv解之得10cm sMvtan360AvAvAvMABwAB30MvMMAMAvvvxy例2 行星輪系機(jī)構(gòu)如圖。大齒輪I固定，半徑為r1；行星齒輪II沿輪I只滾而不滑動(dòng)，半徑為r2。系桿OA角速度為wO。求輪II的角速度wII及其上B，C兩點(diǎn)的速度。解:行星齒輪II作平面運(yùn)動(dòng)，求得A點(diǎn)的速度為vAwODADAvvvODACBvAvDAwIIIII以A為基點(diǎn)，分析兩輪接觸點(diǎn)D的速度。12()AOOvOArrww由于齒輪I固定不動(dòng)，接觸點(diǎn)D不滑動(dòng)，顯然vD0，因而有vDAvAwO(r1+r2)，方向與vA相反，vDA為點(diǎn)D相對(duì)基點(diǎn)A的速度，應(yīng)有vDA wIIDA。所以12II2()ODA

6、rrvDArwwvAwOCACAvvvODACBvAvCAvCvBvBAvAwIIIII以A為基點(diǎn)，分析點(diǎn)B的速度。II12()BAOAvBArrvwwBABAvvvvBA與vA垂直且相等，點(diǎn)B的速度221222()BABAAOvvvvrrw以A為基點(diǎn)，分析點(diǎn)C的速度。vCA與vA方向一致且相等，點(diǎn)C的速度II12()CAOAvCArrvww122()CCAOvvvrrw 同一平面圖形上任意兩點(diǎn)的速度在其連線上的投影相等。這就是速度投影定理。2. 速度投影定理由于vBA垂直于AB，因此vBAAB=0。于是將等式兩邊同時(shí)向AB方向投影:8.2 求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)速度的基點(diǎn)法ABwvBvAvBAvA

7、BABAABABABvvvBAABABvvBABAvvv例3 用速度投影定理解例1。解：由速度投影定理得60cos30cosBAvv解得10 3cm sBv BAABABvvAvAvBB30定理：一般情況，在每一瞬時(shí)，平面圖形上都唯一地存在一個(gè)速度為零的點(diǎn)。8.3 求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)速度的瞬心法wS設(shè)有一個(gè)平面圖形S角速度為w，圖形上點(diǎn)A的速度為vA，如圖。在vA的垂線上取一點(diǎn)C (由vA到AC的轉(zhuǎn)向與圖形的轉(zhuǎn)向一致)，有如果取AC vA /w ，則CAvvACw0CAvvACwNCvAvCA該點(diǎn)稱為瞬時(shí)速度中心，或簡(jiǎn)稱為速度瞬心。 vAA圖形內(nèi)圖形內(nèi)各點(diǎn)速度的大小各點(diǎn)速度的大小與該點(diǎn)到速度瞬心

8、的距離與該點(diǎn)到速度瞬心的距離成正比。速度的方向垂直于該點(diǎn)到速度瞬心的連線，成正比。速度的方向垂直于該點(diǎn)到速度瞬心的連線，指向圖形轉(zhuǎn)動(dòng)的一方。指向圖形轉(zhuǎn)動(dòng)的一方。 8.3 求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)速度的瞬心法CAwvAvBBDvDwC確定速度瞬心位置的方法有下列幾種：(1) 平面圖形沿一固定表面作無滑動(dòng)的滾動(dòng)，圖形與固定面的接觸點(diǎn)C就是圖形的速度瞬心。如車輪在地面上作無滑動(dòng)的滾動(dòng)時(shí)。8.3 求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)速度的瞬心法vC(2) 已知圖形內(nèi)任意兩點(diǎn)A和B的速度的方向，速度瞬心C的位置必在每點(diǎn)速度的垂線的交線上。 8.3 求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)速度的瞬心法wABwOCvAABvB (3) 已知圖形上兩點(diǎn)A和B的

9、速度相互平行，并且速度的方向垂直于兩點(diǎn)的連線AB，則速度瞬心必定在連線AB與速度矢vA和vB端點(diǎn)連線的交點(diǎn)C上。 8.3 求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)速度的瞬心法ABvBvACABvBvAC (4)某瞬時(shí)，圖形上A、B兩點(diǎn)的速度相等,如圖所示，圖形的速度瞬心在無限遠(yuǎn)處。(瞬時(shí)平動(dòng)：此時(shí)物體上各點(diǎn)速度相同，但加速度不一定相等) 8.3 求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)速度的瞬心法wOvAABvB另外注意：瞬心的位置是隨時(shí)間在不斷改變的，它只是在某瞬時(shí)的速度為零，加速度并不為零。確定瞬心的一般方法：確定瞬心的一般方法：ABAvBvAAvBBvCwCABAvBvwCABAvBvwABAvBvCw例4 用速度瞬心法解例1。解：

10、AB作平面運(yùn)動(dòng)1rad ssin30AAvvAClwcos3010 3cm sBvBClww210cm sMlvMCwwAvAvBB30CvMwM瞬心在C點(diǎn)例5 已知輪子在地面上作純滾動(dòng)，輪心的速度為v，半徑為r。求輪子上A1、A2、A3和A4點(diǎn)的速度。A3wA2A4A1vA2vA3vA4vO解：很顯然速度瞬心在輪子與地面的接觸點(diǎn)即A1各點(diǎn)的速度方向分別為各點(diǎn)與A點(diǎn)連線的垂線方向，轉(zhuǎn)向與w相同，由此可見車輪頂點(diǎn)的速度最快，最下面點(diǎn)的速度為零。2422AAvvrvwovrvw10AvO322Avrvw459090O1OBAD例6 已知四連桿機(jī)構(gòu)中O1Bl，AB3l/2，ADDB，OA以w繞O軸轉(zhuǎn)

11、動(dòng)。求：(1) AB桿的角速度；(2) B和D點(diǎn)的速度。w 解：AB作平面運(yùn)動(dòng)，OA和O1B都作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，C點(diǎn)是AB桿作平面運(yùn)動(dòng)的速度瞬心。vAvBvDCwAB32 ,23 23 5,24OAlABBClACl DCl2AvOAlww2233 22AABvlAClwwwBABvBClww52DABvDClww例7 直桿AB與圓柱O相切于D點(diǎn)，桿的A端以 勻速向前滑動(dòng)，圓柱半徑 ，圓柱與地面、圓柱與直桿之間均無滑動(dòng)，如圖，求 時(shí)圓柱的角速度。scmvA60cmr1060 解一：圓柱作平面運(yùn)動(dòng)，其瞬心在 點(diǎn)，設(shè)其角速度為 。1CwwwrDCvD31 AB圓柱作平面運(yùn)動(dòng)，其瞬心在 點(diǎn)，則2CAvAB

12、DO1CwDv2CABw22ACvDCvADABw即AADvvrrv3333亦即Avr333w故sradrvA2103603w例9 圖示機(jī)構(gòu)，已知曲柄OA的角速度為w，OAABBO1O1Cr，角 = b = 60，求滑塊C的速度。解：AB和BC作平面運(yùn)動(dòng)，其瞬心分別為C1和C2點(diǎn)，則wwrOAvA1AABvrACrwww1BABvBCrww2133BBCvrBCrwww233CBCvCCrwwwbOABO1CC1C2wBCwABvAvBvC解：連桿AB作平面運(yùn)動(dòng)，瞬心在C1點(diǎn)，則12 3cos303AABvrrACABlwww1sin302 33233BABABvBCABlrrlwwww例10

13、 曲柄肘桿式壓床如圖。已知曲柄OA長(zhǎng)r以勻角速度w轉(zhuǎn)動(dòng)，AB = BC = BD = l，當(dāng)曲柄與水平線成30角時(shí)，連桿AB處于水平位置，而肘桿DB與鉛垂線也成30角。試求圖示位置時(shí)，桿AB、BC的角速度以及沖頭C 的速度。AOBDC3030vAvBvCwC1wABC2wBC連桿BC作平面運(yùn)動(dòng)，瞬心在C2點(diǎn)，則233BBCvrBClww233CBCrvCCww例11 曲柄連桿機(jī)構(gòu)中，在連桿AB上固連一塊三角板ABD，如圖所示。機(jī)構(gòu)由曲柄O1A帶動(dòng)。已知曲柄的角速度為w2rad/s，曲柄O1A=0.1m，水平距離O1O2=0.05m，AD=0.05m，當(dāng)O1AO1O2時(shí)，ABO1O2 ，且AD與

14、AO1在同一直線上， =30。試求三角板ABD的角速度和點(diǎn)D的速度。解、運(yùn)動(dòng)分析：O1A和O2B作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)；ABD作平面運(yùn)動(dòng)，其速度瞬心在點(diǎn)C。 O1O2ABDCw2wABDwvAvDvB10.2 m/sAvO Aw110.1866 mCACOO A1.072 rad/sAABDvCAw0.2366 mCDCAAD0.254 m/sDABDvCDwtBAa如圖所示。由牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)的加速度合成定理，有aer aaa而tnBABABA aaa其中tBAABan2BAABwa故tnBABABA aaaa由于牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)，所以ae=aA，于是有BABA aaa8.4 用基點(diǎn)法求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的加速

15、度BAaAaBaAnBAaaBAw即：平面圖形內(nèi)任一點(diǎn)的加速度等于基點(diǎn)的加速度與相對(duì)基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的切向加速度和法向加速度的矢量和。這就是平面運(yùn)動(dòng)的加速度合成法，稱為基點(diǎn)法。tnBABABA aaaatBAaBAaAaBaAnBAaaBAw8.4 用基點(diǎn)法求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的加速度解： 如圖所示。rS 由于此式對(duì)任意時(shí)間都成立，故兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)有ddddOsvrrttw由此可得rvOw再對(duì)時(shí)間求導(dǎo)有2222ddddOsarrtt由此可得Oar例14 求圓輪在地面上作純滾動(dòng)時(shí)的角速度w和角加速度。wOOrMMsvOvO 例15 車輪在地面上作純滾動(dòng)，已知輪心O在圖示瞬時(shí)的速度為vO，加速度為aO，車輪半

16、徑為r，如圖。試求輪緣與地面接觸點(diǎn)C的加速度。解：車輪作平面運(yùn)動(dòng)，取O點(diǎn)為基點(diǎn)，則C點(diǎn)的加速度為tnCOCOCOaaaa,OOvarrwtOCOOaarrar2n22()OOCOvvarrrrw取如圖的投影軸，將各矢量投影到投影軸上得nCOa0OOCOOCaaaaarvaaOnCOC2rvaaaOCCC222方向由C點(diǎn)指向O點(diǎn)。waOCOvOtCOaaO例16 平面四連桿機(jī)構(gòu)中，曲柄OA長(zhǎng)r，連桿AB長(zhǎng)l4r。當(dāng)曲柄和連桿成一直線時(shí)，此時(shí)曲柄的角速度為w，角加速度為，試求搖桿O1B的角速度和角加速度的大小及方向。解：AB作平面運(yùn)動(dòng)，由題設(shè)條件知，AB的速度瞬心在B點(diǎn)，也就是說，vB = 0，故

17、：OO1ABw3030110BO BvO BwvA取A為基點(diǎn)分析B點(diǎn)的加速度如圖所示：ntntntBBAABABAaaaaaa其中：1n210BOBaOBwOO1ABnBAanAanAatAatBanBatAatBAan22221()()4ABAABvraABABrABllwww n22AaOArwwtAaOAr 將加速度向軸投影得 ：ntnncos30cos60BBABAaaaatnn2221()cos6012()452BABAaaarrrwww 12t21532523BO BrarOBwwOO1ABnBAanAanAatAatBanBatAatBAa30ABCDO100100vCvB454

18、5例17 平面四連桿機(jī)構(gòu)的尺寸和位置如圖所示，如果桿AB以等角以等角速度速度w = 1 rad/s繞A軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求C點(diǎn)的加速度。 解：AB和CD作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，BC作平面運(yùn)動(dòng)，其B、C兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡已知為圓周，由此可知vB和vC的方向，分別作vB和vC兩個(gè)速度矢量的垂線得交點(diǎn)O即為該瞬時(shí)BC的速度瞬心。由幾何關(guān)系知 200 mm100 2 mm,200 2 mmOBBCOCCD0.5rad/sBBCvABOBOBww50 2 mm/sCBCvOCwwBCwABCDaB45aBnCBatCBatCanCa80.54取B為基點(diǎn)分析C點(diǎn)的加速度，有 ntnntCCBCBCBa +aaaan22100 mm

19、/sBaABwtnn2cos45106.07 mm/sCCBBaaa 將C點(diǎn)的加速度向BC方向投影得：aCn2225 2 mm/sCBBCaBCw2n217.68 mm/sCCvaCD負(fù)值表明實(shí)際方向與假設(shè)方向相反。n2t22()()107.5 mm/sCCCaaatnarctan()80.54CCaa 例18 圖示曲柄連桿機(jī)構(gòu)中，已知曲柄OA長(zhǎng)0.2 m，連桿AB長(zhǎng)1m，OA以勻角速度w =10 rad/s繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)。求圖示位置滑塊B的加速度和AB桿的角加速度。解：AB作平面運(yùn)動(dòng)，瞬心在C點(diǎn)，則2m sAvOAw2rad sAABvACwOwwAB45AvA45vBBCAB作平面運(yùn)動(dòng)，以A點(diǎn)

20、為基點(diǎn)，則B點(diǎn)的加速度為tnBABABA aaaa其中n2220m sAAaaOAwO45AaBBaAa nBAa tBAaAn224m sBAABaABw將B點(diǎn)加速度投影到軸上得tsin45BABAaaancos45BBAaa25.66m sBa t216m sBAat216rad sBAABaAB將B點(diǎn)加速度投影到軸上得解：薄板作平面運(yùn)動(dòng)，取B為基點(diǎn)分析A點(diǎn)的加速度如圖所示：例19 圖示正方形薄板邊長(zhǎng)20 mm，在其平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。某瞬時(shí)頂點(diǎn)A和B的加速度分別為 和 ，方向如圖。求薄板的角速度和角加速度。240 2 mm/sAa 280 mm/sBa DCBAaBaAa nCBa tCBaBn

21、tABABAB aaaa其中 ：240 2 mm/sAa 280 mm/sBa n2ABaABwn2ABaABw將等式兩邊分別向x和y方向投影得： tcos45ABABaaa n240 222 rad/s20ABaABwDCBAxyaBaAa nCBa tCBaBncos45AABaa t228040 222 rad/s20ABaABntABABAB aaaantCBCBCB aaaan2240 mm/sCBaBCwt240 mm/sCxCBaa22240 2 mm/sCCxCyaaa再取B為基點(diǎn)分析C點(diǎn)的加速度如圖所示將加速度分別向x和y方向投影得：其中方向與CD成45夾角指向右下方。DCB

22、AxyaBaCaBa nCBa tCBaCxaCyt240 mm/sCBaBCn240 mm/sCyCBBaaa 例20 半徑r = 1m的輪子，沿水平直線軌道純滾動(dòng)，輪心具有勻加速度aC = 0.5 m/s2，借助于鉸接在輪緣A點(diǎn)上的滑塊，帶動(dòng)桿OB繞垂直圖面的軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，在初瞬時(shí)(t = 0)輪處于靜止?fàn)顟B(tài)，當(dāng)t = 3s時(shí)機(jī)構(gòu)的位置如圖。試求桿OB在此瞬時(shí)的角速度和角加速度。 解：當(dāng)t=3s時(shí)，輪心C的速度0.5 31.5m sCCva t 輪子作平面運(yùn)動(dòng)，瞬心在D點(diǎn)，則23m sACvvrCOABvAvCaC45D取滑塊A為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系取在OB桿上，動(dòng)點(diǎn)的速度合成矢量圖如圖所示。reavvv45cossmvvre223sradOAveOB43wvevr輪作平面運(yùn)動(dòng)，取C為基點(diǎn)，則A點(diǎn)的加速度tnACACAC aaaa根據(jù)牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)的加速度合成定理，動(dòng)點(diǎn)A的絕對(duì)加速度為tnaeerK aaaaarCOABaC45DaCa tACa nACaKara tea ne于是可得ttnneerKCACAC aaaaaaatACCara2n222.25m sCACCvaACrw2922m s4KOBravw其中取如圖的投影軸