高等數(shù)學教學課件匯編abel判別法與dirichlet判別法

1、補充補充: abel: abel判別法與判別法與dirichletdirichlet判別法判別法abelabel判別法與判別法與dirichletdirichlet判別法判別法 11111(, 1 2 3.().nnkkiippkkppkkkkkabelabbbka ba baa b 引引理理變變換換）：設(shè)設(shè)、是是兩兩數(shù)數(shù)列列，記記 、則則 111111122211111111:()()ppppkkkkkkkkkkkkkpppkkkkppppkkkkkka ba babba ba ba ba baba ba baab證證明明 111(, 1 2 3,2(1 2 3)2).kkkkiikkkpk

2、kpkabelabbbkabbm ka bm aa 引引理理引引理理） 設(shè)設(shè)、為為兩兩數(shù)數(shù)列列，且且、且且 （1 1）單單調(diào)調(diào)； （ ）有有界界：、則則 （ 111111111111111111()(), ()()(2)pppkkppkkkpkkkkkkppkkkkppkkpkkpppkabela ba baabm aaaaaaaaaaaaa bm aaam aa 證證明明: :由由變變換換，有有 由由于于單單調(diào)調(diào) 故故于于是是得得到到 1. abel判判別別法法 111().(1) (2) nnnnnnnnnabela baba b 定定理理判判別別法法 設(shè)設(shè)滿滿足足 單單調(diào)調(diào)有有界界； 收

3、收斂斂. .則則收收斂斂. .1111(1),(1 2 3).,0, ( 2)3 nnnnpkk nnpkknnpk nnamnbnnnpnbabela baamcauchya b 證證明明：由由有有，、由由于于收收斂斂對對及及，有有由由引引理理，可可得得 由由原原理理，知知1nn 收收斂斂. .11113111(1)ln; (2)(1); (3); (4).21nnnnnnnnnnnbbbbnnnn 1nnb 例例：設(shè)設(shè)收收斂斂收收斂斂，證證明明如如下下級級數(shù)數(shù)收收斂斂： 221:(1) (31)(22)6826823(1)1313(1)1313(1)1lnln22(1)22(1)31313

4、3ln,lnlnln,222231lnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnabelnnnnb 證證明明由由于于于于是是 故故單單調(diào)調(diào) 又又由由判判別別法法知知 .2(2)(3)(4)n收收斂斂類類似似地地可可證證2. dirichlet判判別別法法 1111dirichlet(2)(1,2,)nnnnnnkkkknnna babbm na b 定定理理（判判別別法法） 設(shè)設(shè)滿滿足足 （1 1）單單調(diào)調(diào)趨趨于于0 0； 有有界界：則則收收斂斂. .1111110, 2. bel 2( 2)6 nnn kn knkikiii niinpkknnpk nnnnannnabbbbbma bm a

5、ama b n n 證證明明：由由于于lim=0lim=0，使使時時，令令 =(k=1,2,), =(k=1,2,),則則由由a a引引理理，有有 根根據(jù)據(jù)cauchycauchy原原理理，收收斂斂. . 10, sin .nnnaxanx 例例：設(shè)設(shè)單單調(diào)調(diào)趨趨于于 ，則則對對一一切切實實數(shù)數(shù)級級數(shù)數(shù)收收斂斂1111 2sin0sin .2122sinsincoscos.2221sin(1,2,)sin2sin .nnnkknknnxknxanxxxnxkakxxkxnxdirichletanx 證證明明：當當時時，由由于于，故故收收斂斂 當當時時，由由于于于于是是 由由判判別別法法；收收斂斂 1 10 2 cos.nnnaxkanx （ ）類類似似可可證證：由由單單調(diào)調(diào)趨趨于于 ，則則當當時時，也也收收斂斂11(2)1 sin(2)sin21 cos(2)sin2nknkkxxkxkxxkx 如如下下式式子子常常在在習習題題中中用用到到： 1 (3) 0